小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何的知識(shí)結(jié)構(gòu)及教學(xué)建議

【摘要】新課標(biāo)倡導(dǎo)核心素養(yǎng)的教學(xué)價(jià)值取向。文章選取“圖形與幾何”領(lǐng)域的知識(shí)，圍繞圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)主題，從圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的度量、圖形的位置和圖形的運(yùn)動(dòng)四個(gè)方面，闡述相應(yīng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)和對(duì)應(yīng)的教學(xué)建議等，為核心素養(yǎng)視域下開(kāi)展小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究提供參考?！娟P(guān)鍵詞】核心素養(yǎng)圖形與幾何教學(xué)研究實(shí)施建議新課標(biāo)在課程總目標(biāo)中指出，通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生逐步會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界；在課程實(shí)施中提出明確的要求，為實(shí)現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué)目標(biāo)，不僅要注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，而且要注重教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)。本文圍繞圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)主題，從圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的測(cè)量、圖形的位置和圖形的運(yùn)動(dòng)四個(gè)方面，討論核心素養(yǎng)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何的教學(xué)問(wèn)題。一、“圖形的認(rèn)識(shí)”知識(shí)結(jié)構(gòu)、核心素養(yǎng)及教學(xué)建議圖形的認(rèn)識(shí)屬于“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”這一主題第一板塊的教學(xué)內(nèi)容，圖形認(rèn)識(shí)是圖形測(cè)量的重要基礎(chǔ)，包括平面圖形和立體圖形，封閉的平面圖形主要有三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，立體圖形主要有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球，具體如圖1。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖形的認(rèn)識(shí)一般分為初步認(rèn)識(shí)和再認(rèn)識(shí)兩個(gè)階段，在圖形的初步認(rèn)識(shí)中，主要認(rèn)識(shí)圖形的名稱(chēng)和組成；在圖形的再認(rèn)識(shí)中，主要認(rèn)識(shí)圖形的分類(lèi)、特征、性質(zhì)。從本質(zhì)上看，“圖形認(rèn)識(shí)”是一個(gè)由淺入深的過(guò)程、從表面到實(shí)質(zhì)的過(guò)程、從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過(guò)程，圖形的理性認(rèn)識(shí)本質(zhì)上是圖形的一個(gè)量化過(guò)程。關(guān)于圖形認(rèn)識(shí)關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)，可以從以下三個(gè)維度分別進(jìn)行分析。第一，從“數(shù)學(xué)眼光”的維度分析，在圖形的名稱(chēng)和組成中，關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是“空間觀念”。新課標(biāo)指出，空間觀念主要是指對(duì)空間物體或圖形的形狀、大小及位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)。因此，在圖形初步認(rèn)識(shí)的教學(xué)中，教師不僅應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體到幾何圖形的抽象過(guò)程，而且應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷從幾何圖形到實(shí)際物體的想象過(guò)程，將實(shí)際物體和幾何圖形及“形狀”和“名稱(chēng)”建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，讓學(xué)生看到“形狀”就能想到“名稱(chēng)”，看到“名稱(chēng)”就能想到“形狀”，對(duì)空間物體或幾何圖形的形狀具有初步的直觀認(rèn)識(shí)，從而發(fā)展學(xué)生的空間觀念，為后續(xù)圖形的測(cè)量奠定重要基礎(chǔ)。第二，從“數(shù)學(xué)思維”的維度分析，在圖形的分類(lèi)、特征、性質(zhì)中，關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是“推理意識(shí)”，在這里，圖形的分類(lèi)蘊(yùn)含演繹推理，圖形的特征、性質(zhì)蘊(yùn)含歸納推理。新課標(biāo)指出，推理意識(shí)主要是指對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟。因此，在圖形分類(lèi)的教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷從一般到特殊的過(guò)程，體會(huì)演繹推理的思維過(guò)程，積累演繹的經(jīng)驗(yàn)；在圖形的特征、性質(zhì)的教學(xué)中，教師應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的過(guò)程，體會(huì)歸納推理的思維過(guò)程，積累歸納的經(jīng)驗(yàn)，從而發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。第三，從“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”的維度分析，圖形的名稱(chēng)、組成、分類(lèi)、特征、性質(zhì)等知識(shí)，成為幾何學(xué)中的特有語(yǔ)言，用這些語(yǔ)言可以從“形狀”的角度表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是“應(yīng)用意識(shí)”。新課標(biāo)指出，應(yīng)用意識(shí)主要是指有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象與規(guī)律，解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題。因此，教師要通過(guò)聯(lián)系生活，讓學(xué)生感悟到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以用圖形的知識(shí)加以解釋或用幾何的方法進(jìn)行解決，從而發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。二、圖形測(cè)量的知識(shí)結(jié)構(gòu)、核心素養(yǎng)及教學(xué)建議圖形的測(cè)量屬于“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”這一主題第二板塊的教學(xué)內(nèi)容，圖形測(cè)量是圖形認(rèn)識(shí)的進(jìn)一步發(fā)展，包括一維幾何量的測(cè)量（周長(zhǎng)）、二維幾何量的測(cè)量（面積）和三維幾何量的測(cè)量（體積）。其中，周長(zhǎng)計(jì)算公式主要有長(zhǎng)方形、正方形和圓的計(jì)算公式，面積計(jì)算公式主要有長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的計(jì)算公式，體積計(jì)算公式主要有長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐的計(jì)算公式。圖形的測(cè)量是圖形理性認(rèn)識(shí)中量化的結(jié)果，周長(zhǎng)是圖形一維量化的結(jié)果，面積是圖形二維量化的結(jié)果，體積是圖形三維量化的結(jié)果。從本質(zhì)上看，周長(zhǎng)、面積、體積都是積分的結(jié)果，周長(zhǎng)是點(diǎn)無(wú)窮累積的結(jié)果，面積是線段無(wú)窮累積的結(jié)果，體積是面無(wú)窮累積的結(jié)果。周長(zhǎng)公式、面積公式、體積公式從本質(zhì)上看都是一種函數(shù)關(guān)系，比如，C=2πr是一個(gè)一元函數(shù)，說(shuō)明圓的周長(zhǎng)C與一個(gè)變量（半徑r）有關(guān)；S=a×b是一個(gè)二元函數(shù)，說(shuō)明長(zhǎng)方形的面積S與兩個(gè)變量（長(zhǎng)a、寬b）有關(guān)；V=a×b×c是一個(gè)三元函數(shù)，說(shuō)明長(zhǎng)方體的體積V與三個(gè)變量（長(zhǎng)a、寬b、高c）有關(guān)。對(duì)于圖形測(cè)量關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)，可以從以下三個(gè)維度分別進(jìn)行分析。第一，從“數(shù)學(xué)眼光”的維度分析，在度量單位（包括長(zhǎng)度單位、面積單位、體積單位）的教學(xué)中，關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是“量感”。新課標(biāo)指出，量感主要是指對(duì)事物的可測(cè)量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。因此，在度量單位的教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生知道度量的意義，感知長(zhǎng)度、面積、體積可以測(cè)量，理解統(tǒng)一度量單位的必要性，而且要幫助學(xué)生直觀建立度量單位中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量的大小，并能用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量去估測(cè)物體的大小，會(huì)在真實(shí)情境中選擇合適的度量單位進(jìn)行度量，并能進(jìn)行不同度量單位的換算，從而發(fā)展學(xué)生的量感，為圖形的測(cè)量奠定重要基礎(chǔ)。第二，從“數(shù)學(xué)思維”的維度分析，在周長(zhǎng)、面積、體積公式的推導(dǎo)中，關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是“推理意識(shí)”。比如，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式可以憑借歸納推理進(jìn)行推導(dǎo)，正方形是特殊的長(zhǎng)方形，因此，正方形的周長(zhǎng)公式可以憑借演繹推理進(jìn)行推導(dǎo)；長(zhǎng)方形面積公式可以憑借歸納推理進(jìn)行推導(dǎo)，正方形是特殊的長(zhǎng)方形，因此，正方形的面積公式可以憑借演繹推理進(jìn)行推導(dǎo)；平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式都可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、憑借演繹推理進(jìn)行推導(dǎo)；長(zhǎng)方體體積公式可以利用長(zhǎng)方形面積公式、憑借類(lèi)比推理進(jìn)行推導(dǎo)，也可以借助正方體密鋪、憑借歸納推理進(jìn)行推導(dǎo)，正方體體積公式可以憑借演繹推理直接進(jìn)行推導(dǎo)；圓柱體積公式可以利用圓面積探索經(jīng)驗(yàn)、憑借類(lèi)比推理和演繹推理進(jìn)行推導(dǎo)，圓錐體積公式可以通過(guò)動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、憑借演繹推理進(jìn)行推導(dǎo)。因此，教師在公式推導(dǎo)的教學(xué)中，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“從特殊到一般”“從一般到特殊”“從特殊到特殊”的過(guò)程，體會(huì)歸納推理、演繹推理和類(lèi)比推理的思維過(guò)程，積累數(shù)學(xué)思考的經(jīng)驗(yàn)，從而更好地發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。第三，從“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”的維度分析，周長(zhǎng)公式、面積公式、體積公式等，成為幾何學(xué)中的度量語(yǔ)言，用這些語(yǔ)言可以從“大小”的角度表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是“模型意識(shí)”。新課標(biāo)指出，模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟。從本質(zhì)上看，周長(zhǎng)公式、面積公式、體積公式本身就是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型。因此，教師在教學(xué)中要讓學(xué)生感悟到現(xiàn)實(shí)生活中物體的大小問(wèn)題常常與周長(zhǎng)、面積、體積有關(guān)，可以歸結(jié)為某個(gè)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決，同時(shí)，要讓學(xué)生知道一個(gè)數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)公式）不只是可以用來(lái)解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而是可以用來(lái)解決一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而更好地發(fā)展學(xué)生的模型意識(shí)。三、圖形位置的知識(shí)結(jié)構(gòu)、核心素養(yǎng)及教學(xué)建議圖形的位置屬于“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”這一主題第一板塊的教學(xué)內(nèi)容，圖形位置是圖形運(yùn)動(dòng)的重要基礎(chǔ)，廣義上包括描述相對(duì)位置和描述精準(zhǔn)位置兩種，描述相對(duì)位置主要采用方位詞表達(dá)的方式，新課標(biāo)把這些內(nèi)容移到“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域，描述相對(duì)位置的方位詞可以分成三類(lèi)：一是前后、左右、上下，二是東、南、西、北，三是東北、東南、西北、西南。描述精準(zhǔn)位置主要采用量化表達(dá)的方式，新課標(biāo)把這些內(nèi)容安排在“圖形與幾何”領(lǐng)域。描述精準(zhǔn)位置的表達(dá)方式可以分成兩類(lèi)：一是用有序數(shù)對(duì)表示平面上點(diǎn)的位置，二是用觀測(cè)點(diǎn)、方向和距離確定空間中物體的位置（圖2）。圖形的位置本質(zhì)上是從定性描述走向定量描述，從描述相對(duì)位置走向描述精準(zhǔn)位置，在三維空間中，描述物體相對(duì)位置的方位詞：前后、左右、上下——關(guān)鍵在于確定“前”，東、南、西、北——關(guān)鍵在于確定“東”。用有序數(shù)對(duì)描述平面上點(diǎn)的精準(zhǔn)位置和用觀測(cè)點(diǎn)、方向與距離描述空間中物體的精準(zhǔn)位置，這兩種描述位置的方式本質(zhì)上是一致的，都是位置二維量化的結(jié)果。在“圖形與幾何”領(lǐng)域，描述精準(zhǔn)位置的兩種方式關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)，可以從兩個(gè)角度進(jìn)行分析。一是從“數(shù)學(xué)眼光”的維度分析，主要表現(xiàn)在空間觀念和符號(hào)意識(shí)上。新課標(biāo)指出，符號(hào)意識(shí)主要是指能夠感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能。因此，教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作和動(dòng)腦思考的方式，學(xué)會(huì)用有序數(shù)對(duì)表達(dá)平面上點(diǎn)的位置，以及用觀測(cè)點(diǎn)、方向和距離表達(dá)空間中物體的位置，發(fā)展空間觀念，而且要讓學(xué)生通過(guò)自主嘗試和合作交流的方式，應(yīng)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示物體的位置，感悟符號(hào)的數(shù)學(xué)功能，發(fā)展符號(hào)意識(shí)。二是從“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”的維度分析，有序數(shù)對(duì)及觀測(cè)點(diǎn)、方向和距離等知識(shí)，成為幾何學(xué)中精準(zhǔn)表達(dá)物體位置的語(yǔ)言，用這些語(yǔ)言可以從“量化”的角度表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，關(guān)聯(lián)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)是“應(yīng)用意識(shí)”。因此，教師在教學(xué)時(shí)要通過(guò)舉例子的方式，讓學(xué)生感悟到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與位置有關(guān)的問(wèn)題，可以用有序數(shù)對(duì)或觀測(cè)點(diǎn)、方向和距離等知識(shí)進(jìn)行解決，從而發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。四、圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、核心素養(yǎng)及教學(xué)建議圖形的運(yùn)動(dòng)屬于“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”主題第二板塊的教學(xué)內(nèi)容。圖形運(yùn)動(dòng)是圖形位置發(fā)生變化的過(guò)程，主要包括平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)，平移包括“點(diǎn)（頂點(diǎn)）的平移”“線（線段）的平移”“面（圖形）的平移”；旋轉(zhuǎn)包括“點(diǎn)（頂點(diǎn)）的旋轉(zhuǎn)”“線（線段）的旋轉(zhuǎn)”“面（圖形）的旋轉(zhuǎn)”；對(duì)稱(chēng)從運(yùn)動(dòng)對(duì)象的角度看，包括“點(diǎn)（頂點(diǎn)）的對(duì)稱(chēng)”“線（線段）的對(duì)稱(chēng)”“面（圖形）的對(duì)稱(chēng)”，從運(yùn)動(dòng)參照的角度看，包括“關(guān)于點(diǎn)（中心）的對(duì)稱(chēng)”“關(guān)于線（軸）的對(duì)稱(chēng)”“關(guān)于面（坐標(biāo)平面）的對(duì)稱(chēng)”。平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)從運(yùn)動(dòng)的角度看，本質(zhì)上都是一種剛體運(yùn)動(dòng)，即圖形的位置變了，圖形內(nèi)部任意兩點(diǎn)之間的距離沒(méi)有改變，即位置變了，形狀和大小不變。平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)從變換的角度看，本質(zhì)上是一種恒等變換（全等變換），它與相似變換構(gòu)成圖形變換的兩種主要方式。在“圖形與幾何”領(lǐng)域，平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)這三種圖形運(yùn)動(dòng)方式關(guān)聯(lián)的核心素養(yǎng)，可以從兩個(gè)角度進(jìn)行分析。一是從“數(shù)學(xué)眼光”的維度分析，主要表現(xiàn)在空間觀念上，在三種圖形運(yùn)動(dòng)方式中，“點(diǎn)（頂點(diǎn)）”的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)是教學(xué)的基礎(chǔ)，“線（線段）”的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)是教學(xué)的關(guān)鍵，“面（圖形）”的平移、旋轉(zhuǎn)和對(duì)稱(chēng)是教學(xué)的目標(biāo)。因此，教師在教學(xué)時(shí)要通過(guò)動(dòng)腦想象和動(dòng)手操作的方式，由淺入深、深入淺出，讓學(xué)生經(jīng)歷“點(diǎn)（頂點(diǎn)）”“線（線段）”“面