2025年考研數(shù)學(xué)（一）高等代數(shù)強(qiáng)化訓(xùn)練：行列式計算與逆矩陣技巧

2025年考研數(shù)學(xué)（一）高等代數(shù)強(qiáng)化訓(xùn)練：行列式計算與逆矩陣技巧一、行列式計算要求：熟練掌握行列式的展開定理，并能正確計算二階、三階行列式。1.計算下列二階行列式：$$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$$2.計算下列三階行列式：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$$3.計算下列三階行列式：$$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}$$4.計算下列三階行列式：$$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}$$5.計算下列三階行列式：$$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&2\\1&2&3\end{vmatrix}$$二、逆矩陣技巧要求：熟練掌握逆矩陣的性質(zhì)，并能正確求出二階、三階矩陣的逆矩陣。1.求下列二階矩陣的逆矩陣：$$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$$2.求下列三階矩陣的逆矩陣：$$B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$3.求下列三階矩陣的逆矩陣：$$C=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$$4.求下列三階矩陣的逆矩陣：$$D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$5.求下列三階矩陣的逆矩陣：$$E=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&2\\1&2&3\end{pmatrix}$$四、行列式的性質(zhì)與應(yīng)用要求：掌握行列式的性質(zhì)，并能運(yùn)用這些性質(zhì)簡化行列式的計算。1.利用行列式的性質(zhì)計算下列行列式：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$$2.利用行列式的性質(zhì)證明下列等式：$$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{vmatrix}$$3.證明下列等式：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=3\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}$$4.證明下列等式：$$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}$$五、逆矩陣的求解與應(yīng)用要求：掌握逆矩陣的求解方法，并能運(yùn)用逆矩陣解決實際問題。1.求下列矩陣的逆矩陣，并驗證：$$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$2.求下列矩陣的逆矩陣，并驗證：$$B=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$$3.使用逆矩陣求解下列線性方程組：$$\begin{cases}x+2y+3z=1\\2x+3y+4z=2\\3x+4y+5z=3\end{cases}$$4.使用逆矩陣求解下列線性方程組：$$\begin{cases}ax+by+cz=d\\dx+ey+fz=g\\gx+hy+iz=j\end{cases}$$六、行列式與矩陣的秩要求：理解行列式與矩陣的秩的關(guān)系，并能判斷矩陣的秩。1.判斷下列矩陣的秩：$$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$2.判斷下列矩陣的秩：$$\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$$3.利用行列式判斷下列矩陣的秩：$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$4.利用行列式判斷下列矩陣的秩：$$\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&2\\1&2&3\end{pmatrix}$$本次試卷答案如下：一、行列式計算1.解析：根據(jù)二階行列式的計算公式，我們有：$$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2$$所以，答案是-2。2.解析：這是一個三階行列式，我們可以通過拉普拉斯展開法計算：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$$計算得：$$=1\cdot(45-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)$$$$=-3+12-9$$$$=0$$所以，答案是0。3.解析：同樣使用拉普拉斯展開法，我們有：$$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=a\cdot\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\cdot\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\cdot\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}$$所以，答案是$a\cdot\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\cdot\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\cdot\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}$。4.解析：這是一個三階單位矩陣，其行列式值為1，因為單位矩陣的行列式等于其行列式主對角線元素的乘積。所以，答案是1。5.解析：這是一個三階行列式，我們可以通過拉普拉斯展開法計算：$$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&2\\1&2&3\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}$$計算得：$$=1\cdot(3-4)-1\cdot(3-2)+1\cdot(2-1)$$$$=-1+1+1$$$$=1$$所以，答案是1。二、逆矩陣技巧1.解析：首先，我們需要計算矩陣$A$的行列式：$$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\cdot4-2\cdot3=4-6=-2$$因為行列式不為零，所以矩陣$A$是可逆的。接下來，我們計算$A$的伴隨矩陣$A^*$，然后將其除以行列式的值得到逆矩陣$A^{-1}$：$$A^*=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$$$$A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$所以，答案是$\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。2.解析：由于單位矩陣的逆矩陣仍然是它本身，所以答案是$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$。3.解析：這是一個三階矩陣，我們需要計算其行列式來判斷其是否可逆。如果行列式不為零，則矩陣可逆。計算行列式：$$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=a\cdot\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\cdot\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\cdot\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}$$如果行列式不為零，則繼續(xù)計算逆矩陣。4.解析：這是一個三階單位矩陣，其行列式值為1，因此是可逆的。逆矩陣仍然是它本身：$$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$5.解析：這是一個三階矩陣，我們需要計算其行列式來判斷其是否可逆。如果行列式不為零，則矩陣可逆。計算行列式：$$\begin{vmatrix}1&1&1\\1&1&2\\1&2&3\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}-1\cdot\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}+1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}$$如果行列式不為零，則繼續(xù)計算逆矩陣。四、行列式的性質(zhì)與應(yīng)用1.解析：這是一個三階行列式，我們可以通過拉普拉斯展開法計算：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$$計算得：$$=1\cdot(45-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)$$$$=-3+12-9$$$$=0$$所以，答案是0。2.解析：由于零矩陣的行列式為0，而原矩陣的行列式為非零值，所以等式成立。3.解析：通過行列式的性質(zhì)，我們可以將第三行乘以3，然后減去第一行，得到：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=3\cdot\begin{vmatrix}1&2\\4&5\end{vmatrix}$$4.解析：根據(jù)行列式的性質(zhì)，我們可以將第三列乘以$a$，第二列乘以$-b$，第一列乘以$c$，然后相加，得到：$$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=a\cdot\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\cdot\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\cdot\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}$$五、逆矩陣的求解與應(yīng)用1.解析：首先，我們需要計算矩陣$A$的行列式：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$$計算得：$$=1\cdot(45-48)-2\cdot(36-42)+3\cdot(32-35)$$$$=-3+12-9$$$$=0$$因為行列式為零，所以矩陣$A$不可逆。2.解析：這是一個三階矩陣，我們需要計算其行列式來判斷其是否可逆。如果行列式不為零，則矩陣可逆。計算行列式：$$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}=a\cdot\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\cdot\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\cdot\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}$$如果行列式不為零，則繼續(xù)計算逆矩陣。3.解析：這是一個線性方程組，我們可以使用逆矩陣來求解。首先，我們需要計算系數(shù)矩陣的逆矩陣，然后將其與常數(shù)向量相乘：$$\begin{pmatrix}x+2y+3z=1\\2x+3y+4z=2\\3x+4y+5z=3\end{pmatrix}$$系數(shù)矩陣是：$$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\3&4&5\end{pmatrix}$$計算其逆矩陣，然后解方程組。4.解析：這是一個線性方程組，我們可以使用逆矩陣來求解。首先，我們需要計算系數(shù)矩陣的逆矩陣，然后將其與常數(shù)向量相乘：$$\begin{pmatrix}ax+by+cz=d\\dx+ey+fz=g\\gx+hy+iz=j\end{pmatrix}$$系數(shù)矩陣是：$$\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$$計算其逆矩陣，然后解方程組。六、行列式與矩陣的秩1.解析：這是一個三階行列式，我們可以通過拉普拉斯展開法計算：$$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\cdot\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\cdot\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\cdot\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}$$計算得