廣西南寧市武鳴區(qū)廣西希望高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)2025年4月廣西希望高中高一年級(jí)段考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線(xiàn)內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷草稿紙上作答無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖，一個(gè)三棱柱形容器中盛有水，則盛水部分的幾何體是（）A.四棱臺(tái) B.四棱錐 C.四棱柱 D.三棱柱【答案】C【解析】【分析】根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征直接判斷即可.【詳解】記水面與三棱柱四條棱的交點(diǎn)分別為，如圖所示，由三棱錐性質(zhì)可知，和是全等的梯形，又平面平面，平面分別與平面和相交于，所以，同理，又，所以互相平行，所以盛水部分的幾何體是四棱柱.故選：C2.如圖所示，用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為（）A.，， B.，，C.，，， D.，，，【答案】A【解析】【分析】結(jié)合圖形及點(diǎn)、線(xiàn)、面關(guān)系的表示方法判斷即可．【詳解】如圖所示，兩個(gè)平面與相交于直線(xiàn)，直線(xiàn)平面內(nèi)，直線(xiàn)和直線(xiàn)相交于點(diǎn)，故用符號(hào)語(yǔ)言可表達(dá)為，，，故選：A3.已知平面向量，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)模的坐標(biāo)運(yùn)算得，根據(jù)垂直關(guān)系可得，再根據(jù)模長(zhǎng)關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，所以，則，所以.故選：C.4.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則三棱錐的體積為（）A B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的體積與三棱柱體積的關(guān)系求解.【詳解】正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，棱柱的底面面積為：．棱柱的體積為：．由三棱錐的體積的推導(dǎo)過(guò)程可知：三棱錐的體積為：．故選：C．5.已知直角梯形上下兩底分別為分別為2和4，高為，則利用斜二測(cè)畫(huà)法所得其直觀(guān)圖的面積為（）A. B. C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】按照斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出直觀(guān)圖，利用梯形面積公式便可求得其面積.【詳解】如圖所示，實(shí)線(xiàn)表示直觀(guān)圖，.,,∴直觀(guān)圖的面積為,故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查斜二測(cè)畫(huà)法，關(guān)鍵是掌握斜二測(cè)畫(huà)法的要領(lǐng).6.在平行四邊形中，為邊的中點(diǎn)，記，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】如圖所示，可得，所以.故選：D．7.不銹鋼實(shí)心陀螺是早起民間的小孩子的娛樂(lè)工具之一，現(xiàn)在成了一些城市老年人健身和娛樂(lè)的工具，目前的成人陀螺的形狀由同底的一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成．如下圖，已知一陀螺的圓柱的底面直徑為16，圓柱和圓錐的高均為6，則該陀螺的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析該陀螺的表面結(jié)構(gòu)，結(jié)合圓柱、圓錐的側(cè)面積公式運(yùn)算求解.【詳解】該陀螺的表面積有：底面圓面、圓柱的側(cè)面和圓錐的側(cè)面，因?yàn)閳A柱底面直徑為16，所以半徑為8，則底面圓面面積為：，因?yàn)閳A柱的高為6，所以圓柱的側(cè)面為：，根據(jù)圓錐的高為6，底面圓的半徑為8，得圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面為：，所以該陀螺的表面積為：，故選：A.8.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而結(jié)合余弦定理可得，進(jìn)而結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】由，根據(jù)正弦定理得，，即，即，即，因?yàn)?，則，所以，即，所以，又，則，即，又，所以的面積為.故選：A.二、多選題（全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，共18分．）9.正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是和，側(cè)棱長(zhǎng)是，則下列說(shuō)法正確的是（）A.該正六棱臺(tái)的上底面積是B.該正六棱臺(tái)的側(cè)面面積是C.該正六棱臺(tái)的表面積是D.該正六棱臺(tái)的高是【答案】ACD【解析】【分析】畫(huà)出該幾何體，利用已知條件分別計(jì)算正六棱臺(tái)的上底面積、側(cè)面面積、表面積、正六棱臺(tái)的高即可.【詳解】如圖在正六棱臺(tái)中，因?yàn)?，所以?cè)面的梯形的高即正六棱臺(tái)斜高為：，所以梯形的面積為：，故正六棱臺(tái)的側(cè)面積為:，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由圖可知該正六棱臺(tái)的上底面積為6個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形組成，所以該正六棱臺(tái)的上底面積為：，故A正確；同理下底面積為：，所以該正六棱臺(tái)的表面積是,故C正確；正六棱臺(tái)的高為，D正確.故選：ACD.10.若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足：，則（）A.z的實(shí)部為3 B.z的虛部為1C. D.z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法，將代入條件即可求解，，進(jìn)而即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以，，所以，，所以，所以z的實(shí)部為3，虛部為1，故A，B正確；，故C不正確；z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，故D正確．故選:ABD．11.已知向量，，，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出、的值，可得出向量、的坐標(biāo)，利用平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷BCD選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，所以，，解得，則，，對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，，因?yàn)椋瑒t與不共線(xiàn)，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，則，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，故，D對(duì).故選：BCD.三、填空題（每小題5分，共15分）12.設(shè)是平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知且三點(diǎn)共線(xiàn)，則實(shí)數(shù)__________．【答案】1【解析】【分析】由三點(diǎn)共線(xiàn)，可得，利用向量共線(xiàn)的充要條件列出向量方程，根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等求解即得.【詳解】依題意，，,因三點(diǎn)共線(xiàn)，即，則存在，使得，即得，解得.故答案為：1.13.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用圓錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓弧長(zhǎng)，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，列出方程，求解即可．【詳解】由題意，設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，∵圓錐底面周長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的弧長(zhǎng)，圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)即為側(cè)面展開(kāi)圖半圓的半徑，則有，解得，∴該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為.故答案為：.14.圣·索菲亞教堂是哈爾濱的標(biāo)志性建筑，其中央主體建筑集球、圓柱、棱柱于一體，極具對(duì)稱(chēng)之美．為了估算圣．索菲亞教堂的高度，某人在教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高約為36m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)）處測(cè)得建筑物頂A、教堂頂C的仰角分別是45°和60°，在建筑物頂A處測(cè)得教堂頂C的仰角為15°，則可估算圣．索菲亞教堂的高度CD約為_(kāi)_____．【答案】54m【解析】【分析】根據(jù)題意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【詳解】由題可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，則在直角中，，即圣·索菲亞教堂的高度約為54m.故答案：54m.四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟．）15.已知向量與的夾角為.（1）求的值；（2）若，求在上的投影向量的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積性質(zhì)，將所求轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積計(jì)算即可；（2）根據(jù)投影向量公式直接求解可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，所以，所以【小問(wèn)2詳解】由投影向量公式可得：.16.在底面半徑為2母線(xiàn)長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，求圓柱的表面積.【答案】【解析】【分析】由已知中底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)為4的圓錐中內(nèi)接一個(gè)高為的圓柱，可計(jì)算出圓柱的底面半徑，代入圓柱表面積公式，即可得到答案.【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，圓柱的底面半徑為，表面積為，底面半徑為2母線(xiàn)長(zhǎng)為4的圓錐的高為，則圓柱的上底面為中截面，可得，，，.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓柱的表面積，其中根據(jù)已知條件，求出圓柱的底面半徑，是解答本題的關(guān)鍵.17.設(shè)，復(fù)數(shù).（1）求m為何值時(shí)，z為純虛數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求m的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念即可列出方程，進(jìn)而求解即可；（2）復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于第四象限，則橫坐標(biāo)大于0，同時(shí)縱坐標(biāo)小于0，據(jù)此列出不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由解得或；當(dāng)時(shí)，是純虛數(shù)，當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，所以，解得.18.如圖，在中，已知角，，所對(duì)的邊分別為，，，角的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，且，.（1）求角的大小;（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理“邊化角”，由二倍角正弦化簡(jiǎn)，求出B；（2）在中，中由正弦定理求得，，得，代入面積公式求解.【小問(wèn)1詳解】∵，由正弦定理得，

，∴，由，可得，∴

，又，故，∴；【小問(wèn)2詳解】在中，由正弦定理得，∴，又，所以，∴，，在中，由正弦定理得，，∴，.19.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b