山東省青島第三十九中學2024-2025學年高二下學期5月階段性檢測數(shù)學試題（解析）

第頁，共頁青島三十九中學高二數(shù)學5月份階段性檢測一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知函數(shù)在處有極值，則實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對求導，得到，根據(jù)題設有，即可求解.【詳解】因為，則，由題有，解得，所以，令，得到或，當時，，當時，，所以是的極大值點，即滿足題意，故選：C.2.為解決“卡脖子”問題，實現(xiàn)7nm芯片國產(chǎn)化，讓中國制造走向世界，某公司兩個研發(fā)小組同時設計生產(chǎn)出了相同規(guī)格、相同數(shù)量的芯片，經(jīng)初步鑒定：組生產(chǎn)的芯片合格率為，B組生產(chǎn)的芯片合格率為，現(xiàn)公司決定再將這些產(chǎn)品送專家鑒定后量產(chǎn)，專家從這些芯片中隨機取一個，則該芯片合格的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，利用全概率公式即可得解.【詳解】設事件“從組中抽取芯片”，事件“抽到合格的芯片”，則，，，則.故選：C.3.設是定義在上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為，當時，圖象如圖所示，且在處取得極大值，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】借助的圖象，判斷和的符號，從而得到答案.【詳解】由圖可得：時，，單調(diào)遞增，則，所以，時，，單調(diào)遞減，則，所以，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以當時，，單調(diào)遞減，則，所以，時，，單調(diào)遞增，則，所以，綜上：的解集為；故選：A4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出通項，令，再求展開式中系數(shù)為1時的系數(shù)，然后相乘即可；【詳解】，項對應，，項對應系數(shù)為，故展開后系數(shù)為.故選：D.5.下列說法中，正確的個數(shù)為（）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值大小可以反映成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機變量服從正態(tài)分布，若，則；④隨機變量服從二項分布，若方差，則．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，二項分布的性質(zhì)，擬合效果的衡量以及正態(tài)分布的性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；若隨機變量服從二項分布，則方差，所以，所以，所以或，故④錯誤.故選：C.6.已知定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，，且對任意的滿足，則不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求解不等式可構(gòu)造函數(shù)，求導得單調(diào)性，把求解不等式變形為，即，利用單調(diào)性比大小即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，不等式可變形為，即，可得，故選：B.7.盒中有2個黑球，2個白球和1個紅球，每次隨機抽取一球后放回，同時再放入1個同色球，抽取3次，3次顏色均不相同的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依次考慮每次抽取不同顏色球的概率情況，再根據(jù)獨立事件概率乘法公式和互斥加法公式求解即可.【詳解】第一次抽取總共有個球，抽取任意一種顏色球的概率都不為0，不妨先抽取黑球，其概率為，第二次抽取時，因為第一次抽取黑球后放回并放入1個黑球，此時球的總數(shù)變?yōu)閭€，黑球有個，白球還是2個，紅球為1個，若第二次抽取白球，其概率為，第三次抽取時，由于第二次抽取白球后放回并放入1個白球，此時球的總數(shù)變?yōu)閭€，黑球有個，白球有個，紅球為1個，若第三次抽取紅球，其概率為，而第一次抽取黑球、第二次抽取白球、第三次抽取紅球只是其中一種順序，三次抽取不同顏色球的順序還有：第一次抽取白球、第二次抽取黑球、第三次抽取紅球；第一次抽取黑球、第二次抽取紅球、第三次抽取白球；第一次抽取紅球、第二次抽取黑球、第三次抽取白球；第一次抽取白球、第二次抽取紅球、第三次抽取黑球；第一次抽取紅球、第二次抽取白球、第三次抽取黑球這5種情況.每種情況的概率都是，所以3次顏色均不相同的概率為.故選：A8.已知函數(shù)，若函數(shù)有四個不同的零點則的值為（）A.81 B.36 C.12 D.1【答案】A【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為由4個不同的實根即可根據(jù)二次方程跟與系數(shù)的關(guān)系求解，代入化簡即可求解.【詳解】當時，在單調(diào)遞減，當時，，則，令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時，而當時，，時，，故當時，總有兩個不相等的實數(shù)根，由題意可知有4個不同的實數(shù)根，即由4個不同的實根，記，故有兩個不相等的實數(shù)根，，不妨設則，故選：A二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知（常數(shù)）的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，則（）A.B.展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256C.展開式中的系數(shù)為D.若展開式中各項系數(shù)的和為1024，則第6項的系數(shù)最大【答案】ACD【解析】【分析】由題意寫出展開式的通項，根據(jù)組合數(shù)的對稱性、二項式系數(shù)之和、賦值法以及二項式系數(shù)的單調(diào)性，逐項檢驗，可得答案.【詳解】由，則其展開式的通項為，對于A，根據(jù)題意可得，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，故A正確；對于B，由，則展開式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為，故B錯誤；對于C，由解得，則展開式中的系數(shù)為，故C正確；對于D，令，則展開式中各項系數(shù)之和，解得，可得展開式的通項為，即每項系數(shù)均為該項的二項式系數(shù)，易知展開式中第項為二項式的中間項，則其系數(shù)最大，故D正確.故選：ACD.10.現(xiàn)有4個編號為1，2，3，4的不同的球和5個編號為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說法正確的是（）A.共有種不同的放法B.恰有兩個盒子不放球，共有360種放法C.每個盒子內(nèi)只放一個球，恰有2個盒子的編號與球的編號相同，不同的放法有18種D.將4個不同的球換成相同的球，恰有一個空盒的放法有120種【答案】BC【解析】【分析】A應用分步乘法判斷；B、C、D應用分步分類計數(shù)原理及排列組合數(shù)判斷；【詳解】A：由題意，每個球都有5種放法，故共有種不同的放法，錯；B：恰有兩個盒子不放球，則任選3個盒子放球有種，將4個球分成3組有種，最后把3組球放進所選的3個盒子中有種，故共有種，對；C：從四個編號中選2個放同編號的球有種，若另2個盒子放余下2個球有1種放法，若余下2球一個放在5號盒子有2種放法，所以，共有種，對；D：4個相同的球放到5個不同的盒子，恰有一個空盒有種放法，錯.故選：BC11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.有兩個零點C.D.若，，，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項，求出定義域，求導，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減，舉出反例得到A錯誤；B選項，在A選項基礎上，結(jié)合零點存在性定理進行求解；C選項，計算出，C正確；D選項，計算得到，在C選項基礎上求出D正確.【詳解】A選項，定義域為，，故在上單調(diào)遞減，不妨取，此時滿足，但，，，A錯誤；B選項，由A選項知，在上單調(diào)遞減，其中，，，，由零點存在性定理可知，存在，使得，故有兩個零點，B正確；C選項，，而，故，C正確；D選項，，又，，且，，，結(jié)合C選項知，，則，D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：互為倒數(shù)關(guān)系，從而研究得到，并由此得出D選項的思路，由求出.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的極小值點為2，則的極大值點為_________．【答案】3【解析】【分析】求導函數(shù)，令，由極值點的定義得，方程必有一根為2，且2是的極小值點，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得答案.【詳解】由題意，，因為函數(shù)的極小值點為2，所以，即，解得，則，令，則或，因為，函數(shù)極小值點為2，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，所以，由，故，所以的極大值點為.故答案為：3.13.已知為直線上的動點，為函數(shù)圖象上的動點，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】求得的導數(shù)，由題意可得與直線平行的直線和曲線相切，然后求出的值最小，設出切點，求出切線方程，再由兩直線平行的距離公式，得到的最小值．【詳解】解：函數(shù)的導數(shù)為，設與直線平行的直線與曲線相切，設切點為，則，所以，所以，所以，所以，所以切線方程為，可得的最小值為，故答案為：．14.一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到紅球的次數(shù)，，則的數(shù)學期望為______（用表示）．【答案】【解析】【分析】由題知，，利用，可求得.【詳解】由題知，，，，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.某社區(qū)為了推動全民健身，增加人們對體育運動的興趣，隨機抽取了男，女各200人做統(tǒng)計調(diào)查.統(tǒng)計顯示，被調(diào)查的人中，喜歡運動的男性有100人，不喜歡運動的女性有50人.（1）完成下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過0.005的情況下認為人們喜歡運動與性別有關(guān);

喜歡不喜歡合計男性

女性

合計

（2）為了鼓勵全民運動，社區(qū)開展一次趣味體育比賽，并設置3個獎項，每個獎項有且僅有一人獲取，每人最多只能獲得1個獎項;現(xiàn)從這400人中選出男性4人，女性4人參加比賽，記為獲獎的男性人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望.附：0.10050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）表格見解析，能（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，完成列聯(lián)表，計算值并根據(jù)其與的大小比較得出結(jié)論；（2）由題意，可分析得出變量服從超幾何分布，按照其概率公式寫出分布列，計算數(shù)學期望即得.【小問1詳解】

喜歡不喜歡合計男性100100200女性15050200合計250150400零假設為：人們喜歡運動與性別無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)計算可得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為人們喜歡運動與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.005,即能在犯錯誤概率不超過0.005的情況下認為人們喜歡運動與性別有關(guān).【小問2詳解】記為獲獎男性的人數(shù)可能為0，1，2，3，；；；，隨機變量的分布列如下：0123所以.16.在中國詩詞大會的比賽中，選手需要回答兩組題展示自己的詩詞儲備.（1）第一組題是情境共答題，參與比賽者需根據(jù)情境填寫詩句.小王知道該詩句的概率是，且小王在不知道該詩句的情況下，答對的概率是.記事件A為“小王答對第一組題”，事件B為“小王知道該詩句”.（ⅰ）求小王答對第一組題的概率；（ⅱ）在小王答對第一組題的情況下，求他知道該詩句的概率.（2）小王答對第一組題后開始答第二組題.第二組題為畫中有詩，該環(huán)節(jié)共有三道題，每一題答題相互獨立，但難度逐級上升，小王知道第n題的詩句的概率仍為，但是在不知道該詩句的情況下，答對的概率為，已知每一題答對的得分表如下（答錯得分為0）：題號第1題第2題第3題得分2分4分6分若獲得8分及以上則挑戰(zhàn)成功，求小王挑戰(zhàn)成功的概率.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅰ?。?）【解析】【分析】（1）（i）根據(jù)全概率公式，將事件分為“知道詩句答對”和“不知道詩句答對”這兩種情況來計算.（ii）運用貝葉斯公式進行計算.（2）先分別計算答對每一題的概率，再根據(jù)獲得分及以上的得分情況，分析出不同的答題組合，最后利用相互獨立事件概率的乘法公式計算出每種組合的概率，將其相加得到挑戰(zhàn)成功的概率.【小問1詳解】（i）已知，則.在知道詩句的情況下一定答對，即；在不知道詩句的情況下答對的概率.根據(jù)全概率公式，將上述概率值代入可得：.（ii）計算在小王答對第一組題的情況下，他知道該詩句的概率根據(jù)貝葉斯公式.由前面計算可知，，，代入可得：.【小問2詳解】設事件為“小王答對第二組題中的第題”（）.已知小王知道第題詩句的概率為，不知道該詩句的情況下答對的概率為.則；；.因為獲得分及以上則挑戰(zhàn)成功，所以有以下幾種情況：答對第、題，答錯第題，其概率.答對第、題，答錯第題，其概率為.答對第、、題，其概率為.因為這幾種情況互斥，所以小王挑戰(zhàn)成功概率為：.17.已知函數(shù)（1）求證：當時，有兩個零點；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）當時，，則無零點，當時，通過二次求導可判斷出存在唯一，使得，則在上遞減，在上遞增，再結(jié)合零點存在性定理可證得結(jié)論；（2）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證在上恒成立，連續(xù)三次求導可得在上遞增，然后分和兩種情況討論即可.【小問1詳解】證明：當時，，所以，所以無零點，當時，由，得，令，則，所以在上遞增，即在上遞增，因為，所以存在唯一，使得，所以當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，因為，在上遞增，所以，因為，所以存在唯一，使得，所以有兩個零點和0；【小問2詳解】若在上恒成立，則恒成立，設，即證在上恒成立，，令，則，令，則，因為，所以，所以在上遞增，即在上遞增，所以，所以在上遞增，即在上遞增，①當時，，則，所以在上遞增，因為，所以在上恒成立，所以，②當時，，令，則，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，所以，因為，所以，所以存在，使得，所以在上遞減，因為，所以時，不合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：考查利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題，考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)后再次轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后利用導數(shù)求即可，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題.18.某校高三年級有750人，某次考試不同成績段的人數(shù)，且所有得分都是整數(shù)．（1）求該校高三年級本次考試的平均成績及標準差；（2）計算本次考試得分超過141的人數(shù)；（精確到整數(shù)）（3）本次考試中有一類多項選擇題，每道題的四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得6分，部分選對得部分分（正確答案有三個選項的，則每個選項2分；正確答案是2個選項的，則每個選項為3分），有選擇錯誤的得0分．小明同學在做多項選擇題時，選擇一個選項的概率為，選擇兩個選項的概率為，選擇三個選項的概率為．已知某個多項選擇題有三個選項是正確的，小明在完全不知道四個選項正誤的情況下，只好根據(jù)自己的經(jīng)驗隨機選擇，記小明做這道多項選擇題所得的分數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：若，則；；．【答案】（1）平均成績，標準差為（2）17（3）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布可得；（2）應用正態(tài)分布的概率性質(zhì)計算求解；（3）先求出概率再寫出分布列最后求出數(shù)學期望.【小問1詳解】由題意得：平均成績，標準差為【小問2詳解】因為，，所以所以超過14