人教版數(shù)學八年級上冊教學課件~角的平分線的性質（第1課時）

班級：xxx12.3角的平分線的性質（第1課時）人教版八年級數(shù)學上冊12.3角的平分線的性質（第1課時）人教版八年級數(shù)學上冊數(shù)學人教版八年級上冊授課人：XXXABDCE下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線，你能說明它的道理嗎？導入新知3.熟練地運用角平分線的性質解決實際問題.1.學會角平分線的畫法.2.探究并認知角平分線的性質.素養(yǎng)目標在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．

如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？探究新知知識點1角平分線的畫法問題1：問題2：提煉圖形探究新知如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D其依據(jù)是SSS，兩全等三角形的對應角相等.探究新知問題3：【思考】如果沒有此儀器，我們用數(shù)學作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？ABO請大家找到用尺規(guī)作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關系.提示(1)已知什么？求作什么？(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢?(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現(xiàn)這個過程呢？(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？探究新知做一做ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.仔細觀察步驟

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖，大家一定要掌握噢!作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.半徑小于MN或等于MN，可以嗎？探究新知已知：平角∠AOB.求作：平角∠AOB的角平分線.結論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.ABOC探究新知1.操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE⊥OB

，點D,E為垂足，測量PD,PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結果：__________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDEOC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點.猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質知識點2探究新知已知：如圖，∠AOC=∠BOC，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.PAOBCDE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE.角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.探究新知驗證猜想一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.明確命題中的已知和求證；2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學符號表示已知和求證；3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.探究新知歸納總結性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.定理的作用：

證明線段相等.應用格式：∵OP是∠AOB的平分線，∴PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.PD⊥OA，

PE⊥OB，BADOPEC探究新知判一判：（1）∵如下左圖，AD平分∠BAC（已知），

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)∵如上右圖，

DC⊥AC，DB⊥AB（已知）.

∴

=

，

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC缺少“垂直距離”這一條件缺少“角平分線”這一條件探究新知如圖，在△ABC中，∠B，∠C的平分線交于點O，OD⊥AB于點D，OE⊥AC于點E，則OD與OE的大小關系是(

)A.OD>OEB．OD＝OEC.OD<OED．不能確定B鞏固練習例1已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB=FC.ABCDEF證明：∵AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴

DE=DF，

∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△BDE和

Rt△CDF中，DE=DF，BD=CD，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC.探究新知角平分線的性質的應用素養(yǎng)考點1如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM＝PN.證明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD，∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA，∴PM＝PN.(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)鞏固練習例2如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D,E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4提示：存在兩條垂線段——直接應用.探究新知利用角平分線的性質求線段的長度素養(yǎng)考點2ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，

AB=14.（1）則點P到AB的距離為_______.D4提示：存在一條垂線段——構造應用.鞏固練習1.應用角平分線性質：存在角平分線涉及距離問題2.聯(lián)系角平分線性質：面積周長條件利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解探究新知歸納總結如圖，∠B=∠C=90°，M是BC的中點，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，則∠MAB=（）A．30° B．35° C．45° D．60°B

N鏈接中考2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點D到AB的距離是

.ABCD3E1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)，

DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

.60BFEBDFACG課堂檢測基礎鞏固題3.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）SSSASAAAS

角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂檢測4.如圖，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，下列結論中錯誤的是(

)A.PC＝PDB.OC＝OD

C.∠CPO＝∠DPOD.OC＝PCD5.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF課堂檢測EDCBA68101.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，DC=DE，DB=DB，∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，∴BE＝BC=8.∴

AE＝AB–BE=2.∴△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.能力提升題CD課堂檢測2.如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).

求證：CE＝CF.證明：∵CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，∴DE＝DF.在Rt△CDE和Rt△CDF中，∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)，∴CE＝CF.課堂檢測如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.∵AD∥BC，∴MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.∵AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，∴

PM=PE.同理，PN=PE.∴PM=PN=PE=3.∴

MN=6.即AD與BC之間的距離為6.拓廣探索題課堂檢測角平分線尺規(guī)作圖屬于基本作圖，必須熟練掌握性質定理一個點：角平分線上的點；二距離：點到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點向兩邊作垂線段課堂小結為證明線段相等提供了又一途徑課后作業(yè)作業(yè)內容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習相關知識內容延伸學習，授課時可參考。角的平分線的性質（第1課時）教案一、教學目標知識與技能目標：學生能準確表述角平分線的性質，理解其推導過程，并能夠運用角平分線的性質進行簡單的計算和證明。過程與方法目標：經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證的探究過程，培養(yǎng)學生的動手操作能力、邏輯推理能力和數(shù)學思維能力，提高學生從實際問題中抽象出數(shù)學模型的能力。情感態(tài)度與價值觀目標：通過探究活動，激發(fā)學生的學習興趣，培養(yǎng)學生合作交流的意識和勇于探索的精神，讓學生在解決問題的過程中體驗成功的喜悅，感受數(shù)學的嚴謹性和應用價值。二、教學重難點教學重點：理解并掌握角平分線的性質，能夠運用性質解決相關問題。教學難點：探究角平分線性質的過程，以及對性質的證明思路和方法的理解與應用。三、教學方法講授法、探究法、小組合作法、直觀演示法相結合四、教學過程（一）情境導入（5分鐘）展示生活中與角平分線相關的圖片，如風箏、三角形支架等，引導學生觀察圖片中角的特點，提問學生是否能發(fā)現(xiàn)其中角平分線的存在，從而引出本節(jié)課的課題——角的平分線的性質?；仡櫳瞎?jié)課所學的角平分線的定義和畫法，提問學生：“如何用尺規(guī)作一個角的平分線？”請一名學生到黑板上進行演示，其他學生在練習本上操作，鞏固角平分線的畫法，為后續(xù)探究性質做鋪墊。（二）探究新知（20分鐘）動手操作，提出猜想讓學生在紙上任意畫一個角\(\angleAOB\)，用尺規(guī)作出\(\angleAOB\)的平分線\(OC\)。在\(OC\)上任取一點\(P\)，過點\(P\)分別作\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，垂足分別為\(D\)、\(E\)。用直尺測量\(PD\)和\(PE\)的長度，記錄下來，并在小組內交流測量結果。引導學生觀察測量數(shù)據(jù)，思考：“點\(P\)到角兩邊的距離\(PD\)和\(PE\)有什么關系？”鼓勵學生大膽猜想，提出假設：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。推理論證，驗證猜想教師引導學生將上述問題轉化為數(shù)學命題：已知\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，點\(P\)在\(OC\)上，\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，垂足分別為\(D\)、\(E\)，求證\(PD=PE\)。組織學生進行小組討論，分析證明思路。教師巡視各小組討論情況，適時引導學生從全等三角形的角度進行思考，提示學生觀察圖形中可能存在的全等三角形。選取小組代表發(fā)言，闡述證明思路。教師根據(jù)學生的回答，在黑板上規(guī)范地書寫證明過程：因為\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，所以\(\angleAOC=\angleBOC\)。又因為\(PD\perpOA\)，\(PE\perpOB\)，所以\(\anglePDO=\anglePEO=90^{\circ}\)。在\(\trianglePDO\)和\(\trianglePEO\)中，\(\begin{cases}\angleAOC=\angleBOC\\\anglePDO=\anglePEO\\OP=OP\end{cases}\)所以\(\trianglePDO\cong\trianglePEO(AAS)\)，則\(PD=PE\)。證明完成后，教師強調證明過程中的關鍵步驟和依據(jù)，加深學生對證明方法的理解，從而得出角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。（三）例題講解（10分鐘）展示教材中的例題：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AD\)是它的角平分線，且\(BD=CD\)，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，垂足分別為\(E\)、\(F\)，求證\(EB=FC\)。教師引導學生分析題目條件，提問學生：“已知\(AD\)是角平分線，能得到什么結論？”“要證明\(EB=FC\)，可以通過證明哪兩個三角形全等？”引導學生運用角平分線的性質和全等三角形的判定方法進行思考。教師在黑板上逐步示范解題過程，邊講解邊書寫，強調解題的規(guī)范性和邏輯性：因為\(AD\)是\(\angleBAC\)的平分線，\(DE\perpAB\)，\(DF\perpAC\)，根據(jù)角平分線的性質可得\(DE=DF\)。在\(Rt\triangleBDE\)和\(Rt\triangleCDF\)中，\(\begin{cases}BD=CD\\DE=DF\end{cases}\)所以\(Rt\triangleBDE\congRt\triangleCDF(HL)\)，則\(EB=FC\)。讓學生自己在練習本上重新梳理一遍解題過程，加深對解題思路和方法的理解。教師巡視，及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題并進行指導。（四）課堂練習（15分鐘）基礎練習：已知\(OC\)是\(\angleAOB\)的平分線，點\(P\)在\(OC\)上，若點\(P\)到\(OA\)的距離為\(5cm\)，則點\(P\)到\(OB\)的距離為______。如圖，\(OP\)平分\(\angleMON\)，\(PA\perpOM\)，\(PB\perpON\)，垂足分別為\(A\)、\(B\)，若\(OA=3\)，\(OP=5\)，求\(PB\)的長。提高練習：如圖，在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AD\)平分\(\angleBAC\)，\(DE\perpAB\)于\(E\)，若\(BC=8\)，\(BD=5\)，求\(DE\)的長。已知\(AD\)是\(\triangleABC\)的角平分線，\(DE\perpAB\)于\(E\)，\(DF\perpAC\)于\(F\)，且\(AB=AC\)，求證\(AD\)垂直平分\(BC\)。學生獨立完成練習，教師巡視課堂