數(shù)學（三）-2025年中考數(shù)學考前沖刺攻略（原卷版）

第三輯幾何圖形的初步認識…………01三角形…………………………11四邊形…………………………23圓………………35尺規(guī)作圖………………………520101幾何圖形的初步認識考點考情分析幾何體的展開圖考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會出現(xiàn)。題目會越來越多地以實際生活中的物體為背景。直線﹑射線和線段考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會出現(xiàn)。在選擇題?？疾閷χ本€、射線、線段概念的理解；填空題中可能會涉及根據(jù)線段的長度關系求某條線段的長度；在解答題中，通常會與三角形、四邊形等其他幾何圖形結合。相交線與平行線考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會出現(xiàn)。選擇題常考查對基本概念的理解和簡單應用；填空題可能涉及根據(jù)相交線所成角的關系求角度，或者利用平行線的性質求線段長度、角度等。

解答題一般不會單獨作為大題考查，通常會與三角形、四邊形等其他幾何圖形結合，在證明或計算過程中運用到相交線與平行線的相關性質和判定定理。角考查的題型多樣化，在選擇題、填空題和解答題均會出現(xiàn)。角的知識會越來越多地與其他幾何知識(如三角形、四邊形、圓、相似形等)以及代類知識(如函數(shù)、方程等)綜合考查，形成綜合性較強的題目，考查學生的綜合運用能力考查分值：分值在3-9分之間，具體分值因地區(qū)和試卷結構而異?？疾樾问剑哼x擇題、填空和解答題均有。命題趨勢：幾何初步知識是中考數(shù)學的基礎考點，年年都會考查，預計2025年及今后各地中考仍會出現(xiàn)。知識點1：幾何體的展開圖幾何圖形的概念:我們把實物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形,幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分不都在同一平面內(nèi)，這個圖形叫做立體圖形.平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個圖形叫做平面圖形.正方體展開圖（共計11種）：口訣：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同層可任意,2）“三個二”成階梯,3）“二個三”“日”相連,異層必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此規(guī)律，運用定自如.幾何圖形的組成：1）點：線和線相交的地方是點，它是幾何圖形最基本的圖形.2）線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線.3）面：包圍著體的是面，分為平面和曲面.4）體：幾何體也簡稱體.組成幾何圖形元素的關系：點動成線，線動成面，面動成體.知識點2：直線﹑射線和線段重點：1.經(jīng)過兩點有一條直線，并且僅有一條直線，即兩點確定一條直線2.兩點之間的線段中，線段最短，簡稱兩點間線段最短知識點3：平行線

平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“∥”表示.平行公理（唯一性）：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.平行公理的推論（傳遞性）：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線的性質：性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；性質3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補..平行線的判定判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：同位角相等，兩直線平行.判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡稱：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡稱：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.判定方法4：垂直于同一直線的兩直線互相平行．判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關系時，可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定：①有且只有一個公共點，兩直線相交；②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合.平行線之間的距離概念：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距離.性質：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等；2）平行線間的距離處處相等.知識點4：角

1.角的分類：∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°2.角的表示方法：角的表示圖例適用范圍注意事項用三個大寫字母表示記作：∠ABC或∠CBA任何情況都適用表示頂點的字母一定要寫在中間，邊上的字母寫在兩側.用一個大寫字母表示記作：∠O1）以這個字母為頂點的角只有一個；2）當在一個頂點處有兩個或兩個以上的角時,其中的任意一個角都不能用一個大寫英文字母表示.用一個數(shù)字表示任何情況都適用在靠近頂點處畫上弧線，表示出角的范圍，并注上數(shù)字或小寫的希臘字母用一個希臘字母表示3.角度制：以度、分、秒為單位的角的度量制.度、分、秒的運算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（160）′；1″=（136001周角=2平角=4直角=360°.角的大小的比較：1）疊合法：使兩個角的頂點及一邊重合，比較另一邊的位置；2）度量法：分別用量角器測量兩個角的大小，再進行比較.4.角的平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線.【性質】①若OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠BOC=12∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC②角平分線上的點到角兩邊的距離相等．5.余角的概念：如果兩個角的和等于直角，就說這兩個角互為余角，即其中一個是另一個的余角.6.補角的概念：如果兩個角的和等于平角，就說這兩個角互為補角，即其中一個是另一個的補角.【性質】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補角相等.真題1（2024·江蘇常州·中考真題）下列圖形中，為四棱錐的側面展開圖的是（

）A．B．C．D．真題2（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知AD∥BC，BD平分∠ABC．若∠A=110°，則A．40° B．36° C．35° D真題3（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，推動水桶，以點O為支點，使其向右傾斜．若在點A處分別施加推力F1、F2，則F1的力臂OA大于F2的力臂OBA．垂線段最短B．過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C．兩點確定一條直線D．過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行真題4（2024·廣西·中考真題）如圖，2時整，鐘表的時針和分針所成的銳角為（

）A．20° B．40° C．60° D．80°真題5（2024·江西·中考真題）如圖是4×3的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展開圖的方法有（

）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種真題6（2024·山東青島·中考真題）如圖①，將邊長為2的正方形紙板沿虛線剪掉邊長為1的小正方形，得到如圖②的“紙板卡”，若用這樣完全相同的“紙板卡”拼成正方形，最少需要塊；如圖③，將長、寬、高分別為4，2，2的長方體磚塊，切割掉長、寬、高分別為4，1，1的長方體，得到如圖④的“直角磚塊真題7（2024·福建·中考真題）在手工制作課上，老師提供了如圖1所示的矩形卡紙ABCD，要求大家利用它制作一個底面為正方形的禮品盒．小明按照圖2的方式裁剪（其中AE=FB），恰好得到紙盒的展開圖，并利用該展開圖折成一個禮品盒，如圖

圖1

圖2

圖3(1)直接寫出ADAB(2)如果要求折成的禮品盒的兩個相對的面上分別印有“吉祥”和“如意”，如圖4所示，那么應選擇的紙盒展開圖圖樣是（

）圖4A．

B．C．

D．(3)卡紙型號型號Ⅰ型號Ⅱ型號Ⅲ規(guī)格（單位：cm）30×4020×8080×80單價（單位：元）3520現(xiàn)以小明設計的紙盒展開圖（圖2）為基本樣式，適當調整AE，EF的比例，制作棱長為10cm的正方體禮品盒，如果要制作27個這樣的禮品盒，請你合理選擇上述卡紙（包括卡紙的型號及相應型號卡紙的張數(shù)），并在卡紙上畫出設計示意圖（包括一張卡紙可制作幾個禮品盒，其展開圖在卡紙上的分布情況），給出所用卡紙的總費用．（要求：①同一型號的卡紙如果需要不止一張，只要在一張卡紙上畫出設計方案；②沒有用到的卡紙，不要在該型號的卡紙上作任何設計；③所用卡紙的數(shù)量及總費用直接填在答題卡的表格上；④本題將綜合考慮“利用卡紙的合理性”和“所用卡紙的總費用”給分，總費用最低的才能得滿分；⑤試卷上的卡紙僅供作草稿用）預測1（2025·陜西西安·模擬預測）如圖，一束平行于主光軸的光線AB經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線BF與一束經(jīng)過光心O的光線CD相交于點P，點F為凸透鏡的焦點．若∠ABF=145°，∠COE=30°，則A．45° B．55° C．65° D．75°預測2（2025·陜西商洛·一模）若∠A的度數(shù)為27°23'，則∠A．152°37' B．152°77' C．預測3（2025·河北石家莊·一模）如圖，C島在A島的北偏東50°方向，在B島的北偏西35°方向，則∠ACB的度數(shù)是（

A．35° B．50° C．85° D．90°預測4（2025·山東菏澤·一模）一副三角板按如圖方式擺放，∠A=∠B=45°，∠C=60°，∠DA．45° B．50° C．60° D．75°預測5（2025·山東臨沂·一模）抖空竹是我國傳統(tǒng)體育項目，如圖，某一時刻對空竹進行受力分析，抖線給空竹的拉力為F1和F2，空竹受到的重力為G，方向豎直向下，若∠1=20°,∠2=130°，則∠3的度數(shù)為（A．70° B．85° C．90° D．80°預測6（2025·河北唐山·一模）如圖，正方體展開圖的每個面上都有一個漢字，則原正方體的表面上，“心”字對面的字是（

）A．數(shù) B．學 C．素 D．養(yǎng)預測7（2025·江西景德鎮(zhèn)·一模）將邊長為4的正方形做成如圖1所示的七巧板，將圖1中的七巧板拼成如圖2所示的“天鵝”，則圖2中AB的長為．

押題1如圖，長方形紙片ABCD沿EF折疊，A，D兩點分別與A',D'對應，若A．60° B．65° C．75° D．72°押題2淇淇一家要到革命圣地西柏坡參觀．如圖，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，則淇淇家位于西柏坡的（

）

A．南偏西70°方向 B．南偏東20°方向C．北偏西20°方向 D．北偏東70°方向押題3下圖是小明同學在體育課上跳遠后留下的腳印，體育杜老師在測量小明同學的體育成績時，選取測量線段CD的長度，其依據(jù)是（）A．垂線段最短B．兩點之間線段最短C．兩點確定一條直線D．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直押題4如圖是每個面上都有一個漢字的正方體的一種展開圖，那么在正方體的表面，與“國”相對的面上的漢字是（）A．誠 B．信 C．友 D．善押題5如圖，CD是∠ECB的平分線，且CD∥AB，∠B=40°A．30° B．40° C．50°押題6如圖所示，∠AOD=∠BOC，若∠AOB=100°A．100° B．40° C．30° D．25°押題7如圖是8：00時的時針及分針的位置，則此時分針與時針所成的∠α=押題8七巧板是我國古代勞動人民的發(fā)明之一，被譽為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個用七巧板拼成的正方形，且邊長為4，那么陰影部分面積為．

0202三角形考點考情分析三角形的基本概念和性質選擇題常考查對三角形基本概念的理解；填空題可能涉及三角形的重要線段(如中線、高線、角平分線)的性質應用，以及根據(jù)三角形的性質求線段長度或角度；解答題常與其他幾何知識綜合考查。全等三角形選擇題常考查對三角形基本概念的理解；填空題可能涉及三角形的重要線段(如中線、高線、角平分線)的性質應用，以及根據(jù)三角形的性質求線段長度或角度；解答題常與其他幾何知識綜合考查，如三角形與四邊形、圓的結合，或在實際問題中運用三角形的性質進行求解。勾股定理及逆定理選擇題?？疾閷垂啥ɡ砑捌淠娑ɡ淼幕纠斫夂秃唵螒?；填空題可能涉及利用勾股定理求線段長度，或根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角形形狀后求相關度等；解答題常與其他幾何知識綜合考查，如與三角形全等、相似、四邊形等知識結合。也會在實院問題情境中，要求考生運用勾股定理及逆定理來解決問題，如考查分值：三角形相關內(nèi)容的分值大約在15-25分左右，占總分的12.5%-20.8%。?？疾樾问剑哼x擇題:通常有1-2道題考查三角形，每題分值3-4分，共3-8分。

填空題:可能有1-2道題與三角形有關，每題分值3-4分，共3-8分。解答題:會有1-2道大題涉及三角形，分值一般在8-12分左右。如果是綜合性很強的壓軸題分值可能會更高。命題趨勢：更加注重與實際生活的聯(lián)系，以實際問題為背景，考查學生運用三角形知識解決實際問題的能力；強調知識的綜合運用，將三角形與其他數(shù)學知識，如函數(shù)、方程、圓等進行深度融合，考查學生的綜合分析和解決問題的能力；對學生的邏輯推理能力要求提高，在證明軍答題中，需要學生具備嚴謹?shù)倪壿嬎季S，能夠清晰地寫出推理過程和證明步驟。知識點1：三角形的性質三角形三邊關系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關系定理及推論的應用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應用：1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．知識點2：三角形的重要線段重要線段概念圖形性質三角形

的高從三角形一個頂點向它的對邊做垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡稱三角形的高）．∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形

的中線在三角形中，連接一個頂點和它對邊的中點的線段叫做三角形的中線∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADCC三角形的角平分線三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點間的線段叫做三角形的角平分線．∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12三角形的中位線連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線∵DE是?ABC的中位線∴AD=DBAE=ECDE=12BCDE重心三角形三條中線交點1）重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2）重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3)重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。垂心三角形三條高交點1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。3）三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6組四點共圓.4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短.知識點2：全等三角形的性質和判定全等三角形的性質：1）對應邊相等，對應角相等.2）全等三角形的對應角平分線、對應中線、對應高相等．3）全等三角形的周長相等、面積相等．全等三角形的判定1.邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；2.邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS”）；3.角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA”）；4.角角邊定理：有兩角和它們所對的任意一邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS”）；5.對于特殊的直角三角形：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．

常見的全等三角形模型（基礎）常見的全等三角形模型（基礎）平移模型模型分析：此模型特征是有一組邊共線或部分重合，另兩組邊分別平行，常要在移動的方向上加（減）公共線段，構造線段相等，或利用平行線性質找到對應角相等．對稱模型模型分析：所給圖形可沿某一直線折疊，直線兩旁的部分能完全重合，重合的頂點就是全等三角形的對應頂點，解題時要注意隱含條件，即公共邊或公共角相等．一線三垂直/一線三等角模型解讀：一線：經(jīng)過直角頂點的直線；三垂直：直角兩邊互相垂直，過直角的兩邊向直線作垂直，利用“同角的余角相等”轉化找等角旋轉模型模型解讀：將三角形繞著公共頂點旋轉一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉型三角形．旋轉后的圖形與原圖形存在兩種情況：①無重疊：兩個三角形有公共頂點，無重疊部分，一般有一對隱含的等角；②有重疊：兩個三角形含有一部分公共角，運用角的和差可得到等角．真題1（2024·山東德州·中考真題）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是中線，AD=4，S△ABC=12A．1.5 B．3 C．4 D．6真題2（2024·甘肅蘭州·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DAA．100° B．115° C．130° D．145°真題3（2024·山東泰安·中考真題）如圖，直線l∥m，等邊三角形ABC的兩個頂點B，C分別落在直線l，m上，若∠ABE=21°，則A．45° B．39° C．29° D．21°真題5（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=6，D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，ACA．18 B．92 C．9 D．真題5（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交BC，BA于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在∠ABC的內(nèi)部相交于點P，作射線BP交AC于點F．已知CF真題6（2024·山東德州·中考真題）如圖，C是AB的中點，CD=BE，請?zhí)砑右粋€條件，使真題7（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，∠C=∠D

(1)求證：△ABC(2)若∠DAB=70°，則∠真題8（2024·山東東營·中考真題）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，將△CAB繞點C按逆時針方向旋轉90°得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關系是______，AD與BE的位置關系是(2)類比探究將△CAB繞點C按逆時針方向旋轉任意角度得到△CDE，連接AD，BE，線段AD與BE的數(shù)量關系、位置關系與（1）中結論是否一致？若AD交CE于點N，請結合圖(3)遷移應用如圖3，將△CAB繞點C旋轉一定角度得到△CDE，當點D落到AB邊上時，連接BE，求線段預測1（2025·陜西寶雞·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D、E、F分別是邊AB、A．3 B．4 C．5 D．6預測2（2025·陜西咸陽·模擬預測）如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點E在線段AD上，∠EBC=45°，若BE=2A．22 B．23-2 C．預測3（2025·福建·一模）如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的中線，E是BD的中點，連接CE，若S△BCE=2預測4（2025·吉林四平·二模）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，適當?shù)拈L度為半徑畫弧分別交AB，BC邊于點P，Q，再分別以點P，Q為圓心，以大于12PQ為半徑畫弧，兩弧交于點M，連接BM交AC于點E，過點E作ED∥BC交AB于點D，若AB=12，預測5（2025·湖南岳陽·一模）如圖，一根豎直的木桿在離地面1m的A處折斷，木桿頂端落在地面的B處上，與地面的夾角為α，若α=30°，則木桿折斷之前高度為預測6（2025·江蘇常州·一模）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，已知AB=DE，BF=(1)求證：AC=(2)分別連接AE、BD，則AE與BD的關系為________．預測7（2025·江蘇無錫·二模）如圖，點C在線段AD上，AB=AD，∠B(1)求證：△ABC(2)若∠BAC=62°，求預測8（2025·貴州黔東南·一模）閱讀材料，并解決問題：【思維指引】（1）如圖1等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB解決此題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP，連接P'P，借助旋轉的性質可以推導出【知識遷移】（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點且∠EAF=45°，請判斷【方法推廣】（3）如圖3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=2，BC=3，點P為△ABC押題1如圖，過邊長為3的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，且CQ=PA，連接PQ交AC于點DA．1 B．32 C．2 D．押題2如圖，點E在等邊△ABC的邊BC上，BE=4，射線CD⊥BC，垂足為點C，點P是射線CD上一動點，點F是線段AB上一動點，當EP+FP的值最小時，A．9 B．10 C．53 D．押題3如圖，在△ABC中，AB=AC=10，AD平分∠BAC，點E為

押題4如圖△ABC≌△DEF，EF=BC，AB=DE，AD=20，F(xiàn)C=10，則AF=押題5如圖，要為一段高為5米，長為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要米．押題6如圖，A、E、B、D在同直線上，在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，AC∥DF.求證：△ABC≌△DEF押題7（1）如圖1，△ABC中，點D是邊BC的中點，若AB=6，AC=4解：∵點D是邊BC的中點，∴BD=將△ACD繞點D旋轉180°得到△即得△ACD≌△EBD，且A，D在△ABE中，可得AE6-4<AE∴AD的取值范圍是：．（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，點D是BC邊的中點，∠MDN=90°，∠MDN的兩邊分別交AB于點E，交AC于點F，連接EF．探究線段押題8綜合與實踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：

(1)直接寫出紙板上∠ABC與紙盒上∠(2)證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結論．0303四邊形考點考情分析多邊形及其內(nèi)角和選擇題?？疾槎噙呅蝺?nèi)角和公式、外角和定理的直接應用，或者結合正多邊形的性質，求多邊形的邊數(shù)、內(nèi)角度數(shù)或外角度數(shù)等；填空題可能會涉及根據(jù)多邊形內(nèi)角和與外角和的關系，求多邊形的邊數(shù);或者在一些幾何圖形的組合中，利用多邊形內(nèi)角和定理求某個角的度數(shù)；解答題:一般不會單獨考查，通常會與三角形、四邊形等其他幾何圖形綜合出現(xiàn)。平行四邊形選擇題:?？疾槠叫兴倪呅蔚幕拘再|；填空題可能涉及利用平行四邊形的性質求線段長度、角度大小或面積等；解答題通常會與三角形全等、相似、解直角三角形等知識綜合考查。特殊平行四邊形選擇題?？疾樘厥馄叫兴倪呅蔚幕拘再|和判定定理的直接應用；填空題可能涉及利用特殊平行四邊形的性質求線段長度、角度大小或面積等；解答題通常會與三角形全等、相似、解直角三角形以及函數(shù)等知識綜合考查。考查分值：10-20分左右，占總分的8%-17%左右，具體分值因地區(qū)和試卷結構而異?？疾樾问剑哼x擇題:通常會有1-2道題考查四邊形，每題分值在3-4分左右，共計3-8分。填空題:也可能出現(xiàn)1-2道與四邊形有關的題目，每題分值一般為3-5分，大約共3-10分。解答題:如果有解答題考查四邊形，通常會是一道，分值在8-12分左右。命題趨勢：在選擇題和填空題中，可能會出現(xiàn)一些小巧靈活的題目，直接考查四邊形的基本性質和判定定理的應用，或者通過簡單的計算和推理來求解四邊形中的相關量。解答題的難度可能會有所增加，綜合性更強。除了傳統(tǒng)的證明和計算外，可能會出現(xiàn)一些探究性問題、開放性問題或實際應用問題。

知識點1：多邊形的相關概念

多邊形的定義：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.

多邊形對角線條數(shù)：從n邊形的一個頂點可以引（n－3）條對角線，并且這些對角線把多邊形分成了(n–2)個三角形，n邊形的對角線條數(shù)為n(多邊形內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n?2)?180°（n≥3）.【高分技巧】1）n邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的增加而增加，邊數(shù)每增加1，內(nèi)角和增加180°.2）任意多邊形的內(nèi)角和均為180°的整數(shù)倍.3）利用多邊形內(nèi)角和定理可解決三類問題：①已知多邊形的邊數(shù)求內(nèi)角和；②已知多邊形的內(nèi)角和求邊數(shù)；③已知足夠的角度條件下求某一個內(nèi)角的度數(shù)．多邊形外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°，與多邊形的形狀和邊數(shù)無關.正多邊形的定義：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形.【高分技巧】1）正n邊形的每個內(nèi)角為（n-22）正n邊形有n條對稱軸．3）對于正n邊形，當n為奇數(shù)時，是軸對稱圖形；當n為偶數(shù)時，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．知識點2：平行四邊形的性質和判定

平行四邊形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的表示：用符號“?”表示，平行四邊形ABCD記作“?ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”.平行四邊形的性質：1)對邊平行且相等；2)對角相等、鄰角互補；3)對角線互相平分；

4)平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，平行四邊形的對角線的交點是平行四邊形的對稱中心.【高分技巧】1）平行四邊形相鄰兩邊之和等于周長的一半．2）平行四邊形中有相等的邊、角和平行關系，所以經(jīng)常需結合三角形全等來解題．3）過平行四邊形對稱中心的任一直線等分平行四邊形的面積及周長．4）如圖①，AE平分∠BAD，則可利用平行線的性質結合等角對等邊得到△ABE為等腰三角形，即AB=BE．5）如圖②，已知點E為AD上一點，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE．6）如圖③，根據(jù)平行四邊形的面積的求法，可得AE·BC=AF·CD．平行四邊形的判定定理：①定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．【高分技巧】一般地，要判定一個四邊形是平行四邊形有多種方法，主要有以下三種思路：1）當已知條件中有關于所證四邊形的角時，可用“兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”來證明；2）當已知條件中有關于所證四邊形的邊時，可選擇“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”或“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”或“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”來證明；3）當已知條件中有關于所證四邊形的對角線時，可選擇“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”來證明

知識點3：三角形的中位線

三角形中位線概念：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.三角形中位線定理的作用：位置關系：可以證明兩條直線平行.數(shù)量關系：可以證明線段的倍分關系.常用結論：任意一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半.結論2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形.結論3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形.結論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分.結論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等.知識點4：矩形的性質和判定

矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的性質：1）矩形具有平行四邊形的所有性質；2）矩形的四個角都是直角；3）對角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.矩形的對稱中心是矩形對角線的交點；矩形有兩條對稱軸，矩形的對稱軸是過矩形對邊中點的直線；矩形的對稱軸過矩形的對稱中心.【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半.2）直角三角形中，30度角所對應的直角邊等于斜邊的一半.矩形的判定：1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個角是直角的四邊形是矩形.【高分技巧】

要證明一個四邊形是矩形，首先要判斷四邊形是否為平行四邊形，若是，則需要再證明對角線相等或有一個角是直角；若不易判斷，則可通過證明有三個角是直角來直接證明．知識點5：菱形的性質和判定

菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質：1）具有平行四邊形的所有性質；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心.菱形的判定：1）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）.菱形的周長公式：周長l=4a（其中a為邊長）.

知識點6：正方形的性質和判定

正方形的定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.

正方形的性質：1）正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質.2）正方形的四個角都是直角，四條邊都相等.3）正方形對邊平行且相等.4）正方形的對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；

5）正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；

6）正方形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.【補充】正方形對角線與邊的夾角為45°.正方形的判定：1）平行四邊形+一組鄰邊相等+一個角為直角；2）矩形+一組鄰邊相等；3）矩形+對角線互相垂直；4）菱形+一個角是直角；5）菱形+對角線相等.【高分技巧】

判定一個四邊形是正方形通常先證明它是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直；或者先證明它是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等；還可以先判定四邊形是平行四邊形，再證明它有一個角為直角和一組鄰邊相等．正方形的面積公式：a2＝對角線乘積的一半=2S△ABC=4S△AOB.正方形的周長公式：周長=4a真題1（2024·西藏·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，點P是邊AB上任意一點，過點P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點A．132 B．6013 C．125真題2（2024·寧夏·中考真題）如圖，在正五邊形ABCDE的內(nèi)部，以CD邊為邊作正方形CDFH，連接BH，則∠BHC=真題3（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿邊EF折疊，使點D在邊BC中點M處．若AB=4，BC=6真題4（2024·江蘇徐州·中考真題）已知：如圖，四邊形ABCD為正方形，點E在BD的延長線上，連接EA、(1)求證：△EAB(2)若∠AEC=45°，求證：真題5（2024·山東青島·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠ABD=∠CDB，BE⊥AC于點E，DF

(1)求證：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)若AB=BO，當∠ABE等于多少度時，四邊形ABCD真題6（2024·四川巴中·中考真題）綜合與實踐(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2．在圖2中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，E、F是AD、(2)探究與證明：探究將任意一個四邊形剪開拼成一個平行四邊形，拼接示意圖如圖3、圖4、圖5．在圖5中，E、F、G、①通過操作得出：AE與EB的比值為______．②證明：四邊形OJKL為平行四邊形．(3)實踐與應用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形ABCD剪成4塊，按圖5的方式補全圖6，并簡單說明剪開和拼接過程．若不能，請說明理由．真題7（2024·湖南長沙·中考真題）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∠(1)求證：AC=(2)點E在BC邊上，滿足∠CEO=∠COE．若AB=6，BC=8真題8（2024·山東泰安·中考真題）綜合與實踐為了研究折紙過程蘊含的數(shù)學知識，某校九年級數(shù)學興趣小組的同學進行了數(shù)學折紙?zhí)骄炕顒樱咎骄堪l(fā)現(xiàn)】（1）同學們對一張矩形紙片進行折疊，如圖1，把矩形紙片ABCD翻折，使矩形頂點B的對應點G恰好落在矩形的一邊CD上，折痕為EF，將紙片展平，連結BG，EF與BG相交于點H．同學們發(fā)現(xiàn)圖形中四條線段成比例，即EFBG【拓展延伸】（2）同學們對老師給出的一張平行四邊形紙片進行研究，如圖2，BD是平行四邊形紙片ABCD的一條對角線，同學們將該平行四邊形紙片翻折，使點A的對應點G，點C的對應點H都落在對角線BD上，折痕分別是BE和DF，將紙片展平，連結EG，F(xiàn)H，F(xiàn)G，同學們探究后發(fā)現(xiàn)，若FG∥CD，那么點G恰好是對角線BD的一個“黃金分劇點”，即預測1（2025·陜西寶雞·一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，點O為對角線BD的中點，過點O作OG⊥BC于GA．2 B．3 C．1 D．1預測2（2025·安徽·二模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，F(xiàn)是CD的中點，連接AF，AC，則∠CAF的度數(shù)為（

A．15° B．18° C．20° D．24°預測3（2025·安徽·一模）如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，點E在AB的延長線上，OE與BC交于點F．若F為OE的中點，BCAB=34，則A．34 B．45 C．32預測4（2025·重慶·一模）如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)為DC上一點，E在CB的延長線上，連接AE，AF，EF，點G為EF的中點，連接DG．若AE=AF，EB=14A．23 B．24 C．25預測5（2025·陜西咸陽·模擬預測）如圖，已知四邊形ABCD是邊長為6的正方形，E為CB延長線上一點，以BE為邊，在直線CE上方作正方形BEFG，連接DF，取DF的中點M，連接BM．若∠FMB=60°，則BE預測6（2025·浙江嘉興·一模）如圖，在正方形紙片ABCD中，點M，N分別是BC，AD上的點，將該正方形紙片沿直線MN折疊，使點B落在CD的中點E處．若AB=4，則△預測7（2025·浙江·二模）如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分線交BC于點E，交直線DC于(1)請你選擇一位同學的說法，并進行證明（選小波得4分，選小杭得2分）；(2)如圖2，若∠BAD=60°，四邊形CEGF是菱形，分別連結DB，DG，求押題1如圖，木制活動衣帽架由3個全等的菱形掛鉤構成，在A、E、F、C、G、H處安裝上、下兩排掛鉤，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離，并在B，M處固定．已知菱形ABCD的邊長為20cm，要使兩排掛鉤的距離（即AC）為32cm，則BM之間的距離為（

A．36 B．60 C．72 D．96押題2如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB=5，AC=8．則菱形ABCD的面積是押題3如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線交CD于點E．如果AD=2.7，DE=1.3，那么押題4如圖，在矩形ABCD中，點E是邊CD的中點，BF⊥AE于點F．若AB=2，BC=3押題5如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE=DF，(1)求證：四邊形AECF是矩形；(2)若AB=AD，且AC=45，押題6【操作發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．請按要求畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B'，點C的對應點為C'，連接B【問題探究】（2）如圖2，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA=2，PB=3，PC小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下思考：將△BPC繞點B按逆時針方向旋轉60°，得到△AP'B，連接PP'，尋找線段PA【問題解決】（3）如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點P，且PA=5，PB=2，押題7閱讀理解：我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點得到的四邊形叫中點四邊形，如圖1，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，依次連接各邊中點得到中點四邊形EFGH．(1)（填空）判斷圖1中的中點四邊形EFGH的形狀為______，菱形的中點四邊形的形狀是______；(2)如圖2，在四邊形ABCD中，點M在AB上且△AMD和△MCB為等邊三角形，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，BC，CD，DA的中點，試判斷四邊形(3)若四邊形ABCD的中點四邊形為正方形，AD+BC的最小值為4，求押題8如圖1，在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，以EC，CF為鄰邊作平行四邊形ECFG(1)求證：平行四邊形ECFG是菱形；(2)如圖2，若∠ABC=120°，連接BD，CG，BG，DG，求∠BDG(3)如圖3，若∠ABC=90°，AB=6，AD=8，M是0404圓考點考情分析垂徑定理選擇題常直接考查垂徑定理的基本應用；填空題可能會結合勾股定理，通過給出圓的相關線段長度，讓考生計算弦長、半徑或圓心到弦的距離等；解答題常與其他幾何知識綜合考查。圓心角和圓周角選擇題?？疾閳A心角和圓周角的基本概念﹑性質及它們之間的關系；填空題可能會結合圓的其他性質，如垂徑定理、圓的對稱性等，來計算圓心角或圓周自數(shù)，或者根據(jù)已知的圓心角或圓周角度數(shù)，求相關線段的長度；解答題常與三角形、四邊形等幾何圖形綜合考查。切線的性質與判定選擇題?？疾榍芯€的基本概念、性質及判定條件的直接應用；填空題可能會結合圓的其他性質，如垂徑定理、圓心角定理等，來考查切線的性質與判定；解答題常與三角形、四邊形等幾何圖形綜合考查，是圓的綜合題中的重要考點。正多邊形與圓選擇題?？疾檎噙呅闻c圓的基本概念、性質及簡單計算；填空題可能結合圓的性質，考查正多邊形的內(nèi)角、外角、邊長、半徑、邊心距等；解答題通常與其他幾何知識綜合考查，難度適中或偏上。弧長和扇形面積選擇題常以基礎題形式出現(xiàn)，考查弧長和扇形面積；填空題可能結合圓的其他性質，如垂徑定理、切線性質等，考查弧長和扇形面積的計算；解答題:通常作為圓的綜合題的一部分出現(xiàn)，難度適中或偏上?？疾榉种担涸?0-12分左右，但會因地區(qū)和試卷結構的不同而有所差異?？疾樾问剑哼x擇題﹑填空題和解答題均會出現(xiàn)。

命題趨勢：選擇題:會考查圓的基本概念，如圓心角、圓周角、弦、弧等的理解;也可能考查根據(jù)圓的半徑和圓心角求弧長，或者利用圓周角定理求角度等；填空題:常涉及圓的性質應用，如垂徑定理求弦長、半徑;也可能考查圓與正正多邊形的中心角與圓的半徑關系等；解答題:通常以圓的綜合題形式出現(xiàn)，與三角形、四邊形等知識結合。知識點1：垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理的應用：經(jīng)常設未知數(shù)，幾何方程于勾股定理解答。【高分技巧】：

1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△2)有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分知識點2：圓心角和圓周角

圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角。弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。（即：圓周角=1推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。即：在⊙中，∵四邊是內(nèi)接四邊形∴知識點3：切線的性質和判定

1.切線的性質與判定定義線和圓只有一個公共點時，這條直線叫圓的切線，這個公共點叫做切點．性質圓的切線垂直于過切點的半徑．（實際上過切點的半徑也可理解為過切點的直徑或經(jīng)過切點與圓心的直線．）解題方法：當題目已知一條直線切圓于某一點時，通常作的輔助線是連接切點與圓心（這是圓中作輔助線的一種方法）．根據(jù)切線的性質可得半徑與切線垂直，從而利用垂直關系進行有關的計算或證明．判定1）定義法：直線和圓只有一個公共點時，我們說這條直線是圓的切線.2）數(shù)量關系法：圓心到這條直線的距離等于半徑時，直線與圓相切.3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.常見輔助線作法：判定一條直線是圓的切線時，1）若已知直線與圓的公共點時，把圓心和這個公共點連接起來，然后證明直線垂直于這條半徑，簡稱“連半徑，證垂直”；3）若直線與圓的公共點沒有明確，可過圓心作直線的垂線段，再證明圓心到直線的距離等于半徑，簡稱“作垂直，證半徑”．2.切線長定理定義在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長．定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．切線長定理的應用問題解題方法：切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構造直角三角形來求解．知識點4：三角形的內(nèi)切圓和三角形的外接圓1.三角形內(nèi)切圓與外接圓三角形外接圓經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.三角形內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.2.三角形內(nèi)心與外心圓心的名稱圓心的確定方法圖形圓心的性質外心三角形三邊中垂線的交點1)OA=OB=OC2)外心不一定在三角形的內(nèi)部．內(nèi)心三角形三條角平分線的交點1)到三邊的距離相等；

2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；

3)內(nèi)心一定在三角形內(nèi)部．【高分技巧】

1）三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=2SC，其中S2）特殊的直角三角形內(nèi)切圓半徑公式：r=a+b-c2或3）解三角形的內(nèi)切圓問題，通常分別連接．內(nèi)切圓的圓心與切點、圓心與三角形的頂點來構造直角三角形，以便利用直角三角形的知識進行求解．知識點5：正多邊形與圓

1.正多邊形的相關概念正多邊形概念各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.正多邊形的半徑正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.正多邊形的邊心距中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.2.正多邊形的常用公式邊長an=2Rn周長Pn=n?an外角/中心角度數(shù)360°面積Sn=12an?rn?對角線條數(shù)n邊心距rn=Rn?cos180內(nèi)角和（n-2）×180°.內(nèi)角度數(shù)（n邊形的邊數(shù)（內(nèi)角和÷180°）＋2aRn2=rn2+an24（an【高分技巧】正多邊形與圓的計算問題：正n邊形的外接圓半徑和邊心距把正n邊形分成2n個全等的直角三角形，而每個直角三角形都集中地反映了這個正n邊形各元素間的關系，故可以把正n邊形的計算轉化為解直角三角形，再利用勾股定理即可完成計算．知識點6：弧長和扇形面積

設⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則扇形弧長公式l=nπR180（弧長的長度和圓心角大小和半徑的取值有關，且n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和扇形面積公式S扇形=nπR2圓錐側面積公式S圓錐側=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）圓錐全面積公式S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）圓錐的高h，圓錐的底面半徑rr知識點7：求不規(guī)則圖形面積求與圓有關的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：1）直接用公式求解．圖形公式S陰影=S扇形ABCS陰影=S△ABCS陰影=S四邊形ABCD=ab2）和差法：所求面積的圖形是一個不規(guī)則圖形，可將其轉化變成多個規(guī)則圖形面積的和或差，進行求解．①直接和差法.（陰影部分是幾個常見圖形組合而成，即S陰影=S常見圖形±S常見圖形）圖形面積計算方法圖形面積計算方法S陰影=S△ACB?S扇形CADS陰影=S扇形BAB′+S半圓AB′?S半圓ABS陰影=S△AOB?S扇形CODS陰影=S半圓AC+S半圓BC?S△ACBS陰影=S半圓AB?S△AOBS陰影=S扇形BAD?S半圓ABS陰影=S扇形EAF?S△ADES陰影=S扇形之和=nπR2②構造和差法圖形公式S陰影=S扇形AOC+S△BOCS陰影=S△ODC-S扇形DOES陰影=S扇形AOB-S△AOBS陰影=S扇形BOE+S△OCE-S扇形COD3）割補法：直接求面積較復雜或無法計算時，可通過旋轉、平移、割補等方法，對圖形進行轉化，為利用公式法或和差法創(chuàng)造條件，從而求解．①全等法圖形公式S陰影=S△AOBS陰影=S扇形BOCS陰影=S矩形ACDFS陰影=S正方形PCQE②等面積法圖形公式S陰影=S扇形COD③平移法圖形公式S陰影=S正方形BCFES陰影=S矩形ABHG④旋轉法圖形公式S陰影=S扇形BOES陰影=S扇形BODS陰影=S扇形ABE-S扇形MBN⑤對稱法圖形公式S陰影=S△ACDS陰影=S扇形CDES陰影=S△OBC=14S正方形S陰影=S扇形ACB-S△ACD真題1（2024·山東泰安·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點，BA平分∠CBD，若∠AOD=50°A．65° B．55° C．50° D．75°真題2（2024·四川·中考真題）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，OA=1，則AB的長為（A．2 B．3 C．1 D．1真題3（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點，C為拱門最高點，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若AB=1m，CD=2.5A．1.25m B．1.3m C．1.4m真題4（2024·四川廣元·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，E為AD延長線上一點，∠AOC=128°，則∠A．64° B．60° C．54° D．52°真題5（2024·內(nèi)蒙古通遼·中考真題）如圖，為便于研究圓錐與扇形的關系，小方同學利用扇形紙片恰好圍成一個底面半徑為5cm，母線長為12cm的圓雉的側面，那么這個扇形紙片的面積是cm2真題6（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D,DE⊥AC，垂足為E．(1)求證：DE是⊙O(2)若∠C=30°,CD真題7（2024·廣東·中考真題）綜合與實踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為10cm②一只漏斗口直徑與母線均為7cm【實踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．【實踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學的數(shù)學知識說明．(2)當濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結果保留π）真題8（2024·四川廣元·中考真題）如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，⊙O經(jīng)過A、C兩點，交AB于點D，CO的延長線交AB于點F，(1)求證：DE為⊙O(2)若AC=4，tan∠CFD預測1（2025·四川綿陽·二模）小月同學在手工課上用扇形卡紙制作的簡易圓錐形漏斗如圖所示，若漏斗的底面圓的直徑為6cm，高為4cm，則扇形卡紙的面積至少是（

）A．7.5πcm2 B．9πcm2 C．15πcm2 D．預測2（2025·河南省直轄縣級單位·一模）如圖是一個隧道的橫截面，它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點，EM經(jīng)過圓心交⊙O于點E，并且CD=4m，EM=6A．3m B．103m C．4預測3（2025·廣東佛山·一模）如圖，點A、B、C、D在⊙O上，BO∥CD，∠A=25°A．100° B．120° C．125° D．130°預測4（2025·陜西寶雞·一模）如圖，四邊形ACDE內(nèi)接于⊙O，連接AO、DO，若∠AED=120°，則預測5（2025·河南·二模）如圖，AC是⊙O的直徑，點B,D在⊙O上，AB=BC，AC與BD交于點E．若預測6（2025·內(nèi)蒙古包頭·模擬預測）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半徑OB上一點，過點C作DC⊥AB，交半圓O于點D，連接AD．若AD=23，CD=預測7（2025·河南駐馬店·二模）如圖．△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，點(1)尺規(guī)作圖：做∠CBF=12∠BAC，(2)求證：直線BF是⊙O(3)若AB=5，sin∠CBF=5預測8（2025·湖北鄂州·一模）綜合與實踐：如圖，生活中的很多工藝品，可以看成是由一些簡單的平面圖形旋轉得到的幾何體．【知識背景】把一個平面圖形繞著不同的軸旋轉，可以得到一個不同形狀的幾何體．如圖，某數(shù)學興趣小組把Rt△ABC繞它的一條直角邊AB旋轉可以形成一個圓錐體．已知BC請完成下列方案設計中的任務：【方案設計】目標：設計一個一定條件下的側面積最大的圓錐體．任務一：把圓錐體的側面沿著其中一條母線AC剪開并展平，研究圓錐體側面展開圖的形狀及邊長．（1）如圖，設BC的長度為xcm，請用含有x的代數(shù)式分別表示AC任務二：計算圓錐體側面積，設圓錐體的側面積為ycm（2）在（1）的條件下，求y與x的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，x滿足2≤x≤4，求當x取何值時，圓錐體的側面積預測9（2025·北京·一模）在平面直角坐標系xOy中，對于點P和點Qa,b給出如下規(guī)定：如果將點P沿直線x=a翻折后得到點P'，再將點P'沿直線y=b翻折后得到點H(1)如圖1，如果點P-1,1，①在點H14,2，H21,0，H30,-2中，點P的②點P的“相稱點”與點P的距離最小值是_______．(2)如圖2，⊙O的半徑和等邊△ABC的邊長均為1，點A0,m，點P和點Qa,b都在⊙O上，如果在圖中的△ABC押題1如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A=30°，∠B=58°A．56° B．58° C．28° D．25°押題2如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P，PA=9，PB=4A．6 B．10 C．12 D．13押題3《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題如下：在一座圓形城堡中，有正東、正南、正西和正北四個門，出南門A向東走一段路程到達點B后AB相切圓形城堡于點A），剛好看到北門的正北方向的一棵大樹C，即BC相切圓形城堡于點D．若AB=4km，CD=83押題4若圓錐的底面半徑為2，母線長為6，則該圓錐側面積為．（結果保留π）．押題5如圖，一段公路的轉彎處是一段圓弧AB，點O是這段弧所在圓的圓心，AB=600m，圓心角∠AOB=120°，C是AB上的一點，OC⊥AB，垂足為D，則彎路上點押題6如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點E．過點D作DF∥AB，交CA的延長線于點F，CF(1)試判斷直線DF與⊙O(2)若DE?DC=2押題7如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD為BC邊的高，AE為⊙O的直徑交BC于點F(1)求證：△ABE(2)當直徑AE平分∠BAD時，求證：BE(3)在（2）的條件下，若AB=10，BE=5，求押題8如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，P是BA延長線上的一點，連接AC，(1)求證：PC是⊙O(2)若sinB=1(3)在（2）的條件下，若⊙O的半徑為20505尺規(guī)作圖考點考情分析尺規(guī)作圖題目類型主要是解答題，也有選擇題，部分地區(qū)還出現(xiàn)了簡述題和糾錯題?？疾榉种担涸?-8分左右，但會因地區(qū)和試卷結構的不同而有所差異?？疾樾问剑航獯痤}為主，選擇題為輔。

命題趨勢：尺規(guī)作圖不再單純考查作圖技能，而是越來越多地與幾何推理、證明、計算等相結合，還會與其他數(shù)學知識如函數(shù)、三角形、四邊形等綜合考查，以體現(xiàn)學生的綜合運用能力。

五種基本作圖：類型圖示作圖依據(jù)作一條線段等于已知線段圓上的點到圓心的距離等于半徑.作一個角等于已知角1)三邊分別相等的兩個三角形全等；2)全等三角形的對應角相等；3)兩點確定一條直線.作一個角的平分線作一條線段的垂直平分線1)到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上；2)兩點確定一條直線.過一點作已知直線的垂線1)等腰三角形“三線合一”；

2)兩點確定一條直線.根據(jù)基本作圖作三角形類型圖示已知三角形的三邊，求作三角形已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形根據(jù)基本作圖作圓類型圖示過不在同一直線上的三點作圓

（即三角形的外接圓）作三角形的內(nèi)切圓【高分技巧】1）先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么；2）讀懂題意后，再運用幾種基本作圖