專題5極值點偏移問題（學生版）

專題5：極值點偏移問題<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>極值點偏移：在函數(shù)中，如果兩零點與極值點并不對稱，這時極值點也就發(fā)生了偏移，偏移分為左偏和右偏.是函數(shù)在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數(shù)的圖象不具有對稱性.函數(shù)fx極值點是其導函數(shù)f'x=0時相應的值x0，而函數(shù)fx與x軸的交點橫坐標x1,x2為函數(shù)fx的零點，若函數(shù)fx極值點偏移問題分析求解最重要的是要學會構建“一元差”函數(shù)，先將兩變量變形放在原函數(shù)的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用原函數(shù)的單調(diào)性對變量進行大小比較，再通過對這一元差函數(shù)進行求導，證明其值大于零，結合二階導函數(shù)的意義，對于一階導函數(shù)是否存在零點進行分析求解最值，這應該就是求解極值點偏移正確的解題思路和基本步驟.總結解決極值點偏移問題的方法.處理極值點偏移問題一般有四種解法:構造輔助函數(shù)法,對稱化構造函數(shù),對數(shù)均值不等式,雙變量齊次化構造.四種方法各有優(yōu)劣,其中構造輔助函數(shù)和對稱化構造函數(shù)是解決極值點偏移問題的通法,是從"形"的角度解決問題.求極值點偏移的常用方法：方法1.換元、構造、化齊次：這種方法是最常見的方法，大致分為3步，第一步：代根作差找關系，第二步：換元分析化結論，第三步：構造函數(shù)證結論.方法2.消參構建法：含參數(shù)的極值點偏移問題，在原有的兩個變元的基礎上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構造出一個變元的新的函數(shù).<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：x1題設情境是由函數(shù)的切線方程求參數(shù)的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的“兩不同零點之和”的不等式.第（1）問應用導數(shù)的幾何意義和函數(shù)與方程思想求參數(shù)的值，導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的基本方法，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第（2）問利用函數(shù)的單調(diào)性，應用數(shù)形結合思想確定的取值范圍，然后應用極值點偏移的基本方法證明.例1已知函數(shù)，且曲線在處的切線為.（1）求m，n的值和的單調(diào)區(qū)間；（2）若，證明：.【思路點撥】（1）由導數(shù)得幾何意義列出方程組即可求得的值，再將帶入原函數(shù)及導函數(shù)中分別求得解析式，由函數(shù)單調(diào)性與導函數(shù)的關系即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）若，要證明：，由（1）可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于典型的極值點偏移問題，由移向構造新函數(shù)，求得新函數(shù)的單調(diào)性即可證明.練1(2024·廣東省廣州市·聯(lián)考題)已知函數(shù)fx=x(1)討論函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在e(3)若fx=m有兩解x1，x2，且x練2（2024湖北省武漢市期中考試）已知函數(shù)f(x)=12x2(1)求實數(shù)a的取值范圍;(2)證明：x題型二：題型二：f'x1題設情境是討論含參數(shù)變量的函數(shù)的單調(diào)性，證明函數(shù)的兩不同零點的平均值偏函數(shù)極值點左側.第（1）問應用導數(shù)的幾何意義和分類與整合思想討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；第（2）問應用導數(shù)研究函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，借助數(shù)形結合思想確定函數(shù)f(x)有兩個不同的零點充要條件求參數(shù)a的取值范圍，然后應用函數(shù)零點的充分條件探究零點的方程組,利用“消參、換元、構造函數(shù)”等基本方法與技巧證明.例2已知函數(shù)f(x)=e（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;（2）若a>0，設f'(x)為f(x)的導函數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個不同的零點x1【思路點撥】第（1）問由f'(x)=2e2x?a,根據(jù)實數(shù)a的正負取值，結合導函數(shù)的正負變化,分類討論進行求解即可；第（2）問根據(jù)零點的定義，由函數(shù)f(x)有兩個不同的零點,推算出實數(shù)a的取值范圍,然后由f練3（2024·天津市·月考試卷）設函數(shù)fx=（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個零點，求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；（3）若方程f(x)=c有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，求證：．練4（2024·湖北省·聯(lián)考題）設函數(shù)，(1)設，求證：，恒有.(2)若，函數(shù)有兩個零點，求證.題型三：類題型三：類極值點偏移問題題設情境是討論含參數(shù)變量的函數(shù)的單調(diào)性，證明與函數(shù)的兩不同零點的不等式.第（1）問應用導數(shù)和分類與整合思想討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；第（2）問由函數(shù)f(x)有兩個不同的零點的充分條件，得到有關零點的方程組,利用“消參、換元、構造函數(shù)”等基本方法與技巧，應用函數(shù)單調(diào)性與轉化化歸思想證明不等式ex1例3已知函數(shù)fx=（1）討論fx（2）當a=3時，函數(shù)fx存在兩個零點x1,【思路點撥】第（1）問由已知得f'x=ex?a+1，,然后分1?a≥0、1?a<0兩類情,推算f'x正負取值,即可研究fx的單調(diào)性；第（2）問由題設可得ex1?ex2=2x1練5(2025·浙江省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=mx+lnx．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若14<m<1e，求證：函數(shù)g(x)=xlnx練6（2024·湖北省黃岡市·月考試卷）設函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在三個極值點，，，且，求k的取值范圍，并證明：.練7（2024·湖北省宜昌市·聯(lián)考題）設實數(shù)，且，函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個不同的零點.（i）求的取值范圍；（ii）證明：.<<<專題訓練>>><<<專題訓練>>>1.(2024·江蘇省揚州市·月考試卷)若函數(shù)f(x)=lnx?(1)若a=4，且曲線y=f(x)的切線l過點(0,2e2)，求直線(2)證明：若f(x1(3)若G(x)=f(x)+x+lna2≤02.（2024·江西省·月考試卷）已知函數(shù)f(x)=(a?x)ex(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)在x=1處的切線平行于x軸，且f(m)=f(n)(m≠n)，證明：f(m+n)>0．3.(2025·陜西省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=2alnx?(1)若a=1，證明：f(x)<2x?x(2)若f(x)有兩個不同的零點x1，x2，求a的取值范圍，并證明：x4.（2024·湖南省·月考試卷）已知函數(shù)fx=2e?x（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若x1,x2∈0,1，且5.(2025·陜西省·模擬題)已知函數(shù)f(x)=2aln(1)若a=1，證明：f(x)<2x?x(2)若f(x)有兩個不同的零點x1，x2，求a的取值范圍，并證明：6.(2025·湖北省荊門市·單元測試)已知函數(shù)f(x)=x?lnx?a有兩個相異零點x1，x2(x1<x2).

(1)求7.(2024·吉林省吉林市·模擬題)在平面直