5.2小船渡河模型

專題1：小船渡河模型

在初中我們學(xué)習(xí)過(guò)，船在靜水中速度為v船，水流速為v水，船在順流而下時(shí)，v=v船+v水；逆流而上時(shí)，v=v船-v水

現(xiàn)在我們要學(xué)習(xí)的是，小船渡河，我們首先想到的是v船垂直于v水，再想一想，這樣做，小船能夠到達(dá)正對(duì)的對(duì)岸嗎？專題1：小船渡河模型船水1.小船的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：(1)v船表示船在靜水中的速度，即船相對(duì)水的速度，它的方向與船頭的指向

(2)v水表示水流的速度，即水相對(duì)大地的速度，或船隨水漂流的速度，它的方向與河岸平行

2.小船v的合運(yùn)動(dòng)：遵循平行四邊形定則v是小船合運(yùn)動(dòng)的速度，即船相對(duì)大地的速度，表示船的實(shí)際航行的速度勻速直線運(yùn)動(dòng)勻速直線運(yùn)動(dòng)3.小船分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等思路：?jiǎn)栴}1：如圖，河寬為d,小船在靜水中勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v船，假設(shè)水勻速流動(dòng)，速度為v水，問(wèn)小船怎樣渡河時(shí)間最短？d解：設(shè)船頭與水上游夾角為θ，以小船渡河點(diǎn)的位置建立直角坐標(biāo)系，則yx

口訣：渡河時(shí)間欲最短，船頭垂直河對(duì)岸。若是水速在變化，最短時(shí)間不會(huì)變。y=v船sinθt問(wèn)題2：如圖，河寬為d,小船在靜水中勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v船，假設(shè)水勻速流動(dòng)，速度為v水，（v船>v水）問(wèn)小船怎樣渡河位移最短？d解：設(shè)船頭與水上游夾角為θ，以小船渡河點(diǎn)的位置建立直角坐標(biāo)系，則yxx=（v船

cosθ-v水）tymin=d問(wèn)題3：如圖，河寬為d,小船在靜水中勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v船，假設(shè)水勻速流動(dòng)，速度為v水，(v水>v船)問(wèn)小船怎樣渡河位移最短？dyx

在v水>v船時(shí)，無(wú)論怎么做，也不可能到達(dá)正對(duì)的河對(duì)岸，達(dá)到最小的位移。

換個(gè)思路，雖然不可能到達(dá)正對(duì)的河對(duì)岸，那么在現(xiàn)有條件下，我們到達(dá)對(duì)岸的路徑中，什么樣的路徑，位移相對(duì)最小呢？v水v船

即使我們盡量把v船偏向上游，也不可能構(gòu)成這樣的平行四邊形。v水v船

要到達(dá)對(duì)岸，位移最小的路徑只能是這一條切線，，這是因?yàn)樵谒陨希瑅船達(dá)不到；在它以下，位移變大了。這時(shí)候，與切線垂直的那個(gè)半徑方向就是船頭的方向。v船vv水θ(θ(smindθ(如圖所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當(dāng)合速度的方向與圓相切時(shí)，合速度的方向與河岸的夾角最大，此時(shí)位移航程最短．

為了便于構(gòu)成平行四邊形，我們把v船平移到另一側(cè)，畫出不同方向。問(wèn)題3：如圖，河寬為d,小船在靜水中勻速運(yùn)動(dòng)，速度為v船，假設(shè)水勻速流動(dòng)，速度為v水，(v水>v船)問(wèn)小船怎樣渡河位移最短？dyxv水smindθ(θ(v船vθ(小結(jié)：小船渡河模型(1)渡河時(shí)間最短問(wèn)題(2)渡河位移最短問(wèn)題正常情況一：v船>v水不正常情況二：v水＞v船

類同力的合成：平行四邊形合成法或正交法dvdvdv

口訣：渡河時(shí)間欲最短，船頭垂直河對(duì)岸。若是水速在變化，最短時(shí)間不會(huì)變。

口訣：渡河河寬為最短，速度關(guān)系記心間。若是水速大船速，大比小來(lái)再乘寬。航線偏角往上看，小比大來(lái)找余弦。smin

【鞏固訓(xùn)練】（多選）船在靜水中速度為V1，水速為V2，V1>V2,河寬為d.當(dāng)船頭垂直向?qū)Π逗叫袝r(shí)，則()

A.實(shí)際航程最短B.過(guò)河時(shí)間最短C.當(dāng)船速不變，水速增大時(shí)，過(guò)河時(shí)間不變D.當(dāng)船速不變，水速增大時(shí)，過(guò)河時(shí)間變長(zhǎng)BC

口訣：渡河時(shí)間欲最短，船頭垂直河對(duì)岸。若是水速在變化，最短時(shí)間不會(huì)變。d（1）解：由題意可知，當(dāng)船頭始終正對(duì)對(duì)岸時(shí)船到達(dá)對(duì)岸的位置在在出發(fā)點(diǎn)正對(duì)下游100m處【例1】小船在200m寬的河中橫渡，水流速度為2m/s,船在靜水中的航速是4m/s.求：

（1）當(dāng)船頭始終正對(duì)對(duì)岸時(shí)，它將在何時(shí)、何地到達(dá)對(duì)岸？（2）要使小船到達(dá)正對(duì)岸，應(yīng)如何航行？耗時(shí)多少？

口訣：渡河時(shí)間欲最短，船頭垂直河對(duì)岸。若是水速在變化，最短時(shí)間不會(huì)變。v水vv船dθ船頭方向與河岸上游成600航行.【例2】小船在200m寬的河中橫渡，水流速度為2m/s,船在靜水中的航速是4m/s.求：

（1）當(dāng)船頭始終正對(duì)對(duì)岸時(shí)，它將在何時(shí)、何地到達(dá)對(duì)岸？（2）要使小船到達(dá)正對(duì)岸，應(yīng)如何航行？耗時(shí)多少？（2）解：由題意可知

口訣：渡河河寬為最短，速度關(guān)系記心間。若是水速大船速，大比小來(lái)再乘寬。航線偏角往上看，小比大來(lái)找余弦?！纠?】小船在d=200m寬的河水中行駛，船在靜水中V2=2m/s，水流速度V1=4m/s。求：要使船的航線最短，應(yīng)向何方劃船？位移的最小值如何？解：由題意可知v2vv1θ(θ(Smindθ(

口訣：渡河河寬為最短，速度關(guān)系記心間。若是水速大船速，大比小來(lái)再乘寬。航線偏角往上看，小比大來(lái)找余弦。船頭方向與河岸上游成600航行.

【例4】

河水流動(dòng)的速度為v且處處相同，河寬度為a。在船下水點(diǎn)A的下游距離為b處是瀑布。為了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，小船安全渡河的最小速度。v2vv1θ(θ(Sminaθ(b

練習(xí)1：河寬d＝120m，設(shè)小船在靜水中的速度為v1，河水的流速為v2。小船從A點(diǎn)出發(fā)，在過(guò)河時(shí)，船身保持平行移動(dòng)。若出發(fā)時(shí)船頭指向?qū)Π渡嫌蔚腂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)10min，小船恰好到達(dá)正對(duì)岸的C點(diǎn)；若出發(fā)時(shí)船頭指向正對(duì)岸的C點(diǎn)，經(jīng)過(guò)8min，小船到達(dá)C點(diǎn)下游的D點(diǎn)。求：(1)小船在靜水中的速度v1的大小(2)河水的流速v2的大小(3)在第二次過(guò)河中小船被沖向下游的距離sCD答案(1)0.25m/s

(2)0.15m/s

(3)72m

練習(xí)2.有一條兩岸平直、河水均勻流動(dòng)、流速恒為v的大河小明駕著小船渡河,去程時(shí)船頭指向始終與河岸垂直，回程時(shí)行駛路線與河岸垂直去程與回程所用時(shí)間的比值為k,船在靜水中的速度大小相同,則小船在靜水中的速度大小為().B

練習(xí)3.河水流動(dòng)的速度為v且處處相同，河寬度為a。在船下水點(diǎn)A的下游距離為b處是瀑布。為了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，則(

)D

練習(xí)3.(多選)甲、乙兩船在同一河流中同時(shí)開始渡河，河水流速為v0，船在靜水中的速率均為v，甲、乙兩船船頭均與河岸成θ角，如圖5所示，已知甲船恰能垂直到達(dá)河正對(duì)岸的A點(diǎn)，乙船到達(dá)河對(duì)岸的B點(diǎn)，A、B之間的距離為L(zhǎng)，則下列判斷正確的是()A.乙船先到達(dá)對(duì)岸