新課標(biāo)2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章解析幾何題組層級(jí)快練55圓的方程及直線與圓的位置關(guān)系文含解析

PAGEPAGE7題組層級(jí)快練(五十五)1．假如圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為()A．(－1，1) B．(1，－1)C．(－1，0) D．(0，－1)答案D解析r＝eq\f(1,2)eq\r(k2＋4－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(4－3k2)，當(dāng)k＝0時(shí)，r最大．2．(2024·貴州貴陽一模)圓C與x軸相切于T(1，0)，與y軸正半軸交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋eq\r(2))2＝4 D．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝4答案A解析由題意得，圓C的半徑為eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，圓心坐標(biāo)為(1，eq\r(2))，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2，故選A.3．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則“E＝F＝0且D<0”是“圓C與y軸相切于原點(diǎn)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案A解析圓C與y軸相切于原點(diǎn)?圓C的圓心在x軸上(設(shè)坐標(biāo)為(a，0))，且半徑r＝|a|.∴當(dāng)E＝F＝0且D<0時(shí)，圓心為(－eq\f(D,2)，0)，半徑為|eq\f(D,2)|，圓C與y軸相切于原點(diǎn)；圓(x＋1)2＋y2＝1與y軸相切于原點(diǎn)，但D＝2>0，故選A.4．(2024·重慶一中一模)直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．無法確定答案A解析方法一：圓x2＋y2＝9的圓心為(0，0)，半徑為3，直線mx－y＋2＝0恒過點(diǎn)A(0，2)，而02＋22＝4<9，所以點(diǎn)A在圓的內(nèi)部，所以直線mx－y＋2＝0與圓x2＋y2＝9相交．故選A.方法二：求圓心到直線的距離，從而判定．5．(2015·山東)一條光線從點(diǎn)(－2，－3)射出，經(jīng)y軸反射后與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，則反射光線所在直線的斜率為()A．－eq\f(5,3)或－eq\f(3,5) B．－eq\f(3,2)或－eq\f(2,3)C．－eq\f(5,4)或－eq\f(4,5) D．－eq\f(4,3)或－eq\f(3,4)答案D解析由光的反射原理知，反射光線的反向延長(zhǎng)線必過點(diǎn)(2，－3)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為k，則反射光線所在直線的方程為y＋3＝k(x－2)即kx－y－2k－3＝0，又因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切，所以eq\f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1?12k2＋25k＋12＝0?k＝－eq\f(4,3)，或k＝－eq\f(3,4)，故選D項(xiàng)．6．已知圓C關(guān)于x軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，且被y軸分成兩段弧，弧長(zhǎng)之比為2∶1，則圓的方程為()A．x2＋(y±eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3) B．x2＋(y±eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(1,3)C．(x±eq\f(\r(3),3))2＋y2＝eq\f(4,3) D．(x±eq\f(\r(3),3))2＋y2＝eq\f(1,3)答案C解析方法一：(解除法)由圓心在x軸上，則解除A，B，再由圓過(0，1)點(diǎn)，故圓的半徑大于1，解除D，選C.方法二：(待定系數(shù)法)設(shè)圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，圓C與y軸交于A(0，1)，B(0，－1)，由弧長(zhǎng)之比為2∶1，易知∠OCA＝eq\f(1,2)∠ACB＝eq\f(1,2)×120°＝60°，則tan60°＝eq\f(|OA|,|OC|)＝eq\f(1,|OC|)，所以a＝|OC|＝eq\f(\r(3),3)，即圓心坐標(biāo)為(±eq\f(\r(3),3)，0)，r2＝|AC|2＝12＋(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3).所以圓的方程為(x±eq\f(\r(3),3))2＋y2＝eq\f(4,3)，選C.7．(2024·保定模擬)過點(diǎn)P(－1，0)作圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的兩條切線，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A，B，則過點(diǎn)A，B，C的圓的方程是()A．x2＋(y－1)2＝2 B．x2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝1答案A解析P，A，B，C四點(diǎn)共圓，圓心為PC的中點(diǎn)(0，1)，半徑為eq\f(1,2)|PC|＝eq\f(1,2)eq\r(（1＋1）2＋22)＝eq\r(2)，則過點(diǎn)A，B，C的圓的方程是x2＋(y－1)2＝2.8．直線xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ與圓(x－1)2＋y2＝4的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能答案B解析圓心到直線的距離d＝eq\f(|sinθ－2－sinθ|,\r(sin2θ＋cos2θ))＝2.所以直線與圓相切．9．(2013·山東，理)過點(diǎn)(3，1)作圓(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0答案A解析如圖，圓心坐標(biāo)為C(1，0)，易知A(1，1)．又kAB·kPC＝－1，且kPC＝eq\f(1－0,3－1)＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2.故直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，故選A.另解：易知P，A，C，B四點(diǎn)共圓，其方程為(x－1)(x－3)＋(y－0)(y－1)＝0，即x2＋y2－4x－y＋3＝0.又已知圓為x2＋y2－2x＝0，∴切點(diǎn)弦方程為2x＋y－3＝0，選A.10．(2024·湖南師大附中月考)已知圓x2＋(y－1)2＝2上任一點(diǎn)P(x，y)，其坐標(biāo)均使得不等式x＋y＋m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．[－3，＋∞) D．(－∞，－3]答案A解析如圖，圓應(yīng)在直線x＋y＋m＝0的右上方，圓心C(0，1)到l的距離為eq\f(|1＋m|,\r(2))，切線l1應(yīng)滿意eq\f(|1＋m|,\r(2))＝eq\r(2)，∴|1＋m|＝2，m＝1或m＝－3(舍去)．從而－m≤－1，∴m≥1.11．(2024·福建福州質(zhì)檢)若直線x－y＋2＝0與圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為()A．－1 B．0C．1 D．6答案B解析聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－3）2＋（y－3）2＝4，,x－y＋2＝0，))消去y，得x2－4x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝3.∴A(1，3)，B(3，5)．又C(3，3)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2，0)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0，2)．∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－2×0＋0×2＝0.12．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為()A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3答案C解析設(shè)直線上一點(diǎn)P，切點(diǎn)為Q，圓心為M，則|PQ|即為切線長(zhǎng)，MQ為圓M的半徑，長(zhǎng)度為1，|PQ|＝eq\r(|PM|2－|MQ|2)＝eq\r(|PM|2－1)，要使|PQ|最小，即求|PM|最小，此題轉(zhuǎn)化為求直線y＝x＋1上的點(diǎn)到圓心M的最小距離，設(shè)圓心到直線y＝x＋1的距離為d，則d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)，∴|PM|最小值為2eq\r(2)，|PQ|＝eq\r(|PM|2－1)＝eq\r(（2\r(2)）2－1)＝eq\r(7)，選C.13．以直線3x－4y＋12＝0夾在兩坐標(biāo)軸間的線段為直徑的圓的方程為________．答案(x＋2)2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(25,4)解析對(duì)于直線3x－4y＋12＝0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－4.即以兩點(diǎn)(0，3)，(－4，0)為端點(diǎn)的線段為直徑，則r＝eq\f(\r(32＋42),2)＝eq\f(5,2)，圓心為(－eq\f(4,2)，eq\f(3,2))，即(－2，eq\f(3,2))．∴圓的方程為(x＋2)2＋(y－eq\f(3,2))2＝eq\f(25,4).14．從原點(diǎn)O向圓C：x2＋y2－6x＋eq\f(27,4)＝0作兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q，則圓C上兩切點(diǎn)P，Q間的劣弧長(zhǎng)為________．答案π解析如圖，圓C：(x－3)2＋y2＝eq\f(9,4)，所以圓心C(3，0)，半徑r＝eq\f(3,2).在Rt△POC中，∠POC＝eq\f(π,6).則劣弧PQ所對(duì)圓心角為eq\f(2π,3).弧長(zhǎng)為eq\f(2,3)π×eq\f(3,2)＝π.15．若直線l：4x－3y－12＝0與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB內(nèi)切圓的方程為________．答案(x－1)2＋(y＋1)2＝1解析由題意知，A(3，0)，B(0，－4)，則|AB|＝5.∴△AOB的內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(3＋4－5,2)＝1，內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為(1，－1)．∴內(nèi)切圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝1.16．一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，求此圓的方程．答案x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0解析方法一：∵所求圓的圓心在直線x－3y＝0上，且與y軸相切，∴設(shè)所求圓的圓心為C(3a，a)，半徑為r＝3|a|.又圓在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，圓心C(3a，a)到直線y＝x的距離為d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋12)).∴有d2＋(eq\r(7))2＝r2.即2a2＋7＝9a2，∴a＝±1.故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法二：設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為eq\f(|a－b|,\r(2)).∴r2＝(eq\f(|a－b|,\r(2)))2＋(eq\r(7))2.即2r2＝(a－b)2＋14.①由于所求的圓與y軸相切，∴r2＝a2.②又因?yàn)樗髨A心在直線x－3y＝0上，∴a－3b＝0.③聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9.故所求的圓的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.方法三：設(shè)所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半徑為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0.由圓與y軸相切，得Δ＝0，即E2＝4F.④又圓心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))到直線x－y＝0的距離為eq\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2))，由已知，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－\f(D,2)＋\f(E,2)|,\r(2))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(7))2＝r2，即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)．⑤又圓心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))在直線x－3y＝0上，∴D－3E＝0.⑥聯(lián)立④⑤⑥，解得D＝－6，E＝－2，F(xiàn)＝1或D＝6，E＝2，F(xiàn)＝1.故所求圓的方程是x2＋y2－6x－2y＋1＝0或x2＋y2＋6x＋2y＋1＝0.17．(2024·杭州學(xué)軍中學(xué)月考)已知圓C：x2＋y2＋2x＋a＝0上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：mx＋y＋1＝0對(duì)稱．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求圓C的方程．答案(1)m＝1(2)x2＋y2＋2x－3＝0解析(1)圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝1－a，圓心C(－1，0)．∵圓C上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l：mx＋y＋1＝0對(duì)稱，∴直線l：mx＋y＋1＝0