2024-2025學年中考數(shù)學二輪復習專題-特殊平行四邊形中作圖問題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年中考數(shù)學二輪復習專題——特殊平行四邊形中作圖問題1．“數(shù)學探究小組”研究如下問題：如圖1，點是矩形內(nèi)一點，求作一個四邊形，使得四邊形的四邊分別等于，并且兩條對角線互相垂直．小組成員小杰提出了如下的作法：①過點作并截??；②分別連接．那么四邊形就是所求作的四邊形．(1)請判斷小杰的作法是否正確，并說明理由；(2)如圖2，請根據(jù)上述信息提出一個類似問題：點是菱形內(nèi)一點，求作一個四邊形，使得___________，并且___________；（請作出圖形并簡要說明作法）2．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點均在格點（網(wǎng)格線的交點）上．(1)將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到線段，請作出線段．(2)用無刻度的直尺作出的中點（不寫作法，保留作圖痕跡）．(3)在上述條件下，連接，請直接寫出的長．3．如圖，在中，尺規(guī)作圖步驟如下：①作的平分線，交于點；②作的垂直平分線，分別交，于點，．(1)步驟①中作角平分線的作圖依據(jù)是_____；A．

B．

C．

D．(2)請將步驟②中的圖形補充完整（保留作圖痕跡）；(3)連接，，求證：四邊形為菱形．4．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為，每個小正方形的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫出圖形．(1)在圖①中以線段為一邊，畫一個菱形，周長為，面積為；(2)在圖②中以EF為一邊，畫一銳角為，面積為的平行四邊形；(3)請直接寫出（）中的周長為______．5．如圖所示，在中，，為斜邊上的中線．(1)用無刻度的直尺和圓規(guī)在下方作，使得，在射線交截取，連接（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)請判斷四邊形的形狀，并說明理由．6．如圖1，四邊形是矩形，，，動點從點出發(fā)，沿方向以每秒個單位長度勻速運動，當點運動到點時，點停止運動，設(shè)運動時間為秒．(1)尺規(guī)作圖：沿過點的直線將矩形折疊，使得點與點重合，在圖1中作出該折痕；(2)在（1）的條件下，該折痕分別與，相交于點，點，連接，，求四邊形的周長；(3)過點作的垂線，是否存在某一時間，使得該直線被矩形的邊所截得的線段長為，若存在，求的值，若不存在，說明理由．7．作圖與驗證：在平行四邊形中，，求作菱形，使點、分別在、邊上（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）方法一：以點為圓心，長為半徑畫弧交于點，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點；連接并延長交于點，連接，則所得四邊形是菱形．方法二：連接，分別以、為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于、兩點；作直線，分別與、、交于、、三點；連接、，則四邊形是菱形．任務(wù)：(1)“方法一”中，判別四邊形是菱形的數(shù)學依據(jù)是___________________________．(2)在圖②中，根據(jù)“方法二”的作圖方法，使用直尺和圓規(guī)補全圖形（保留作圖痕跡）；(3)寫出“方法二”的推理過程．8．如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．正方形的四個頂點都是格點，E點是格點，且在邊上．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)畫格點F，并連且，使，且；(2)在線段上畫一點M，連接，使；(3)直接寫出（2）中線段的長度為_______．9．圖①、圖②、圖③分別是的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A、B均在格點上，僅用無刻度的直尺在下列網(wǎng)格中按要求作圖，所畫圖形的頂點均在格點上，保留作圖痕跡(1)在圖①中，畫一個以為對角線的菱形；(2)在圖②中，畫一個以為斜邊的等腰直角；(3)在圖③中，畫一個面積為7的四邊形，且有一個內(nèi)角為．10．如圖，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別為與邊的中點，動點P從點B出發(fā)，沿折線運動，到達點D后停止運動．連接，設(shè)點P的運動路程為x，的面積為y．(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)在直角坐標系中畫出y與x的函數(shù)圖象，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；(3)結(jié)合函數(shù)圖象，當函數(shù)y滿足時，寫出x的取值范圍（誤差不超過0.2）．11．如圖，四邊形是矩形．(1)在圖1中作對角線的垂直平分線，分別交于點M、N，垂足為點（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)在（1）中，連接和，求證：四邊形是菱形；(3)如圖2，點在矩形的邊上，且，延長到點，使，連接．若，，則四邊形的面積為多少？12．已知是菱形的對角線．(1)如圖1，以為圓心，適當長度為半徑作弧，交于點，連接．求證：四邊形是菱形．(2)尺規(guī)作圖：在圖2中作正方形，其中在上（保留作圖痕跡，不寫作法）．13．如圖，中，為銳角，．點E為邊上一點，點F為平面內(nèi)一點，且四邊形為菱形．(1)在圖1中，請利用無刻度的直尺和圓規(guī)，作出菱形（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，且的面積為16，則菱形的邊長為_____．14．定義：若等邊三角形的三個頂點都在一個正方形的邊上，則稱該三角形為這個正方形的內(nèi)接正三角形．任務(wù)1：如圖1，已知正方形，是的中點，請作出，使得是正方形的內(nèi)接正三角形；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）任務(wù)2：如圖2，已知是正方形的內(nèi)接正三角形，點，，分別在，，上，是的中點，連接．求證：；任務(wù)3：已知正方形的邊長為4，求該正方形的最大內(nèi)接正三角形的面積．15．圖①、圖②均是7×7的正方形網(wǎng)格、每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上．只用無刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作圖，保留必要的作圖痕跡．(1)在圖①中，作出以為邊的正方形；(2)在圖②中，作出的中線；(3)在圖①中畫出正方形的一條對稱軸，使它與平行．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2024-2025學年中考數(shù)學二輪復習專題——特殊平行四邊形中作圖問題》參考答案1．(1)小杰的作法正確，理由見解析(2)四邊形的四邊分別等于、、、，兩條對角線相等，圖和作法見解析【分析】本題考查了矩形和菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)證明四邊形和四邊形都是平行四邊形，即可得到答案；（2）先根據(jù)（1）提出類似問題，再過點作分別交、于點、，并截??；2．分別連接、．利用菱形的性質(zhì)，以及平行四邊形的判定和性質(zhì)，即可證明四邊形就是所求作的四邊形．【詳解】（1）解：小杰的作法正確，理由如下：四邊形是矩形，，，，，，，，，，四邊形和四邊形都是平行四邊形，，，四邊形就是所求作的四邊形．（2）解：如圖2，點是菱形內(nèi)一點，求作一個四邊形，使得四邊形的四邊分別等于、、、，并且兩條對角線相等．作法：1．過點作分別交、于點、，并截取；2．分別連接、．那么四邊形就是所求作的四邊形．理由如下：四邊形是菱形，，，，，，，∴，四邊形和四邊形都是平行四邊形，，，四邊形就是所求作的四邊形．故答案為：四邊形的四邊分別等于、、、，兩條對角線相等．2．(1)作圖見詳解(2)作圖見詳解(3)【分析】本題主要考查網(wǎng)格與勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握以上知識，數(shù)形結(jié)合分析是關(guān)鍵．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)平行四邊形的對角線相互平分作圖即可；（3）運用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，作圖如下，（2）解：如圖所示，取格點，得到四邊形是平行四邊形，∴對角線的交點即為中點；（3）解：∵，，，∴．3．(1)D(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定方法求解；（2）根據(jù)尺規(guī)基本作圖-作線段的垂直平分線作出圖形即可；（3）根據(jù)垂直平分線段，得，再證明四邊形是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，由作圖可知：，，又∵，∴，∴，即是的平分線．∴在所作圖的步驟中①得到角平分線的依據(jù)是；故答案為：D；（2）解：如圖，直線即為所求，（3）證明：如圖，平分，，垂直平分線段，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查尺規(guī)基本作圖-作角平分線、作線段垂直平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定與性質(zhì)．熟練掌握尺規(guī)基本作圖和菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析(3)【分析】（）根據(jù)菱形的性質(zhì)畫圖即可；（）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)畫圖即可；（）求出的邊長，進而求出周長即可；本題考查了畫菱形和平行四邊形，勾股定理，平行四邊形的周長，掌握菱形和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖①所示，四邊形即為所求；（2）解：如圖②所示，四邊形即為所求；（3）解：由圖可得，，，∴的周長，故答案為：．5．(1)見解析；(2)菱形，理由見解析．【分析】本題考查作圖-復雜作圖，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：菱形，理由如下：，為斜邊上的中線．，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為菱形．6．(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，作出的垂直平分線，即可求解；（2）先證明，得出得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)垂直平分，即可證明四邊形是菱形，進而在中，勾股定理求得，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)求得周長，即可求解；（3）分情況討論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得的長，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵沿過點的直線將矩形折疊，使得點與點重合，∴∴∴∴四邊形是平行四邊形，∵垂直平分，∴，∴四邊形是菱形，∵四邊形是矩形，∴，設(shè)，∵，，∴，在中，∴解得：，即∴四邊形的周長為（3）解：如圖所示，當在上∵，∴，又∵四邊形是矩形，，，∴，∴，∴，，依題意，，∴，，∴，如圖所示，當在上，同理可得，則，∴，綜上所述，或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，作垂線，垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．7．(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)見解析(3)見解析【分析】（1）由菱形的判定定理進行判斷，即可得到答案；（2）根據(jù)題意作出圖形即可；（3）由作圖可知，是的垂直平分線，得到，，證明，得到，推出四邊形是平行四邊形，然后結(jié)合，即可證明四邊形是菱形．【詳解】（1）解：在平行四邊形中，，，由作圖可得：，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，四邊形是菱形的數(shù)學依據(jù)是有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故答案為：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）如圖，四邊形即為所求；（3）證明：由作圖可知，是的垂直平分線，，，在平行四邊形中，，，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．【點睛】本題考查了菱形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出圖形．8．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，勾股定理，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）把線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段即可；（2）取格點,連接交于點N，連接并延長交于點,則點M即為所作；（3）設(shè)，再利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖,點即為所求；（2）如圖，點即為所求；由（1）作圖可得，，，又∵是矩形，∴垂直平分，∴，又∵，∴，∴；（3）設(shè)則，在中，，即，解得：，故答案為：．9．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查網(wǎng)格作圖、菱形的性質(zhì)，熟練掌握網(wǎng)格作圖、菱形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，畫以為對角線的菱形即可．（2）根據(jù)題意，畫以為斜邊的等腰直角即可．（3）根據(jù)題意，畫一個面積為7的四邊形，且有一個內(nèi)角為即可．【詳解】（1）如圖，菱形即為所作；（2）如圖，等腰直角即為所作；（3）如圖，四邊形即為所作；（答案不唯一）10．(1)(2)函數(shù)圖象見解析，該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)的最大值為3(3)【分析】（1）分兩種情況：當點在上運動時，當點在上運動時，結(jié)合梯形、三角形面積公式即可求解；（2）結(jié)合（1）中解析式即可畫出函數(shù)圖象，然后根據(jù)圖象得出函數(shù)的性質(zhì)；（3）求出時對應(yīng)的x的值，然后觀察圖象找出時所對應(yīng)的自變量的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，，點和分別為與邊的中點，∴，，，設(shè)點的運動路程為，當點在上運動時，即時，，∴的面積，當點在上運動時，即時，如圖，，∴的面積，

綜上，；（2）解：函數(shù)圖象如圖所示，由圖象可知：函數(shù)的最大值為3；（3）解：當時，即或，解得：或，由圖象可知：當函數(shù)滿足，的取值范圍為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正確理解題意，利用梯形、三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．11．(1)圖見解析(2)證明見解析(3)20【分析】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、菱形的判定、平行四邊形的判定、矩形的性質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定和矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）分別以點為圓心，以大于的長為半徑畫弧，四弧交于兩點，過兩點作直線可得線段的垂直平分線，由此即可得；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，最后根據(jù)菱形的判定即可得證；（3）先證出四邊形是平行四邊形，再求出，然后利用平行四邊形的面積公式計算即可得．【詳解】（1）解：由題意，作圖如下：．（2）證明：如圖，連接和，∵四邊形是矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，，∴（等腰三角形的三線合一），∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．（3）解：∵四邊形是矩形，，∴，，∵，∴，即，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，，∴，在中，，∴平行四邊形的面積為．12．(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，尺規(guī)作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形和菱形的判定．（1）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，證明四邊形為平行四邊形，再證明四邊形為菱形即可；（2）連接，交于點O，以點O為圓心，為半徑畫弧，交于點M、N，連接、、、，則四邊形即為所求．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：∵四邊形為菱形，∴，，根據(jù)作圖可知：，∴，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形；（2）解：連接，交于點O，以點O為圓心，為半徑畫弧，交于點M、N，連接、、、，則四邊形即為所求作的正方形．∵四邊形為菱形，∴，，根據(jù)作圖可知：，∴，∴、互相垂直平分，且相等，∴四邊形為正方形．13．(1)見解析(2)【分析】本題考查作圖—復雜作圖，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．（1）作線段的垂直平分線交于點，以為圓心，為半徑作弧交于點，連接，，四邊形即為所求；（2）過點作于點．利用面積法求出，設(shè)，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可．【詳解】（1）如圖中，四邊形即為所求；（2）過點作于點．∵的面積，∴，∴，設(shè)，則有，解得．答：菱形的邊長為．14．任務(wù)1：見解析；任務(wù)2：見解析；任務(wù)3：【分析】（1）以為圓心，以正方形的邊長為半徑畫弧，交于點，連接，即為所求；（2）連接，，三線和一結(jié)合正方形的