二次函數(shù)解答題綜合之其他問題歸納練2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁二次函數(shù)解答題綜合之其他問題歸納練2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)平行于軸的直線交該拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為，若，求的值；(3)坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，以線段為邊向上作正方形．①若，求正方形的邊與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，若正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)到軸的距離之差為時(shí)，求的值．2．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)頂點(diǎn)為P，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交與點(diǎn)C．(1)求；(2)點(diǎn)E、點(diǎn)F分別在x軸上，且（不重合），連接，直線交拋物線與Q、R兩點(diǎn)，直線是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，有請(qǐng)證明．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，且過點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點(diǎn)是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為．點(diǎn)、是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的上方），且，連接，．當(dāng)線段的長度取得最大值時(shí)，求的最大值；(3)如圖2，直線上有一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，連接，．將拋物線關(guān)于軸對(duì)稱得到新拋物線，點(diǎn)為新拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，并任選其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出求解過程．4．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，若菱形滿足軸，則稱該菱形為“標(biāo)準(zhǔn)可放縮菱形”．拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)交．(1)求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；(2)若菱形的頂點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，點(diǎn)I恰好落在拋物線上，求點(diǎn)I的坐標(biāo)以及此時(shí)菱形的面積；(3)如圖②，已知拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，其中，直線與拋物線對(duì)稱軸右側(cè)的曲線分別交于點(diǎn)P，Q，且P，Q兩點(diǎn)分別與“標(biāo)準(zhǔn)可放縮菱形”的頂點(diǎn)G，I重合．①求m的值；②線段的長為______．5．如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將線段先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到線段．若拋物線關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線，將平移后與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)恰好將線段三等分，求拋物線平移的方式和距離；(3)已知點(diǎn)，線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向左平移，同時(shí)拋物線以每秒1個(gè)單位長度的速度向下平移，秒后，若拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．6．已知拋物線（為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，異于頂點(diǎn)的點(diǎn)在拋物線上，作直線交軸于點(diǎn)．(1)求此拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)；(2)如圖，當(dāng)，且時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在軸的正半軸上，且在線段上時(shí)，試探究的取值范圍．7．已知分別是關(guān)于自變量x的函數(shù)，點(diǎn)在的圖象上，點(diǎn)在的圖象上．定義：我們把稱為與的“m界距離”．例如：若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則把2稱為與的“2界距離”．(1)若，求與的“界距離”；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，的圖象如圖所示；①設(shè)與，的“m界距離”為d，求d與m的表達(dá)式，并寫出m的取值范圍；②連接，以為邊作正方形（點(diǎn)按逆時(shí)針順序排列），當(dāng)與有交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．8．如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸為直線．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將線段先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到線段．若拋物線關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線，將平移后與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)恰好將線段三等分，求拋物線平移的方式和距離；(3)已知點(diǎn)，，線段以每秒1個(gè)單位長度的速度向左平移，同時(shí)拋物線以每秒1個(gè)單位長度的速度向下平移，秒后，若拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍．9．已知，如圖1，為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，過定點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)）．(1)若，則求直線的解析式；(2)若，試探究在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明原因；(3)如圖2，分別過點(diǎn)作與拋物線均有唯一公共點(diǎn)的直線，直線的交點(diǎn)為，若，求的值．10．如圖1，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為F，對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)．(1)求b的值；(2)連接，P為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接，過點(diǎn)A作的垂線交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)M，連接，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為．①直接寫出k的值；②如圖2，點(diǎn)P，Q均為二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限的圖象上），若，直線是否平行于？請(qǐng)說明理由．11．如圖1，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖2，點(diǎn)是線段上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，請(qǐng)問線段是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖3．點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作線段（點(diǎn)在直線下方），若，若線段與拋物線有交點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．12．已知拋物線，拋物線，圖象與圖象組合成圖象．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，①求圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值；②點(diǎn)在圖象上，求的值；(2)已知，，當(dāng)此圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，確定的取值范圍．(3)若圖象有且只有4個(gè)點(diǎn)到軸的距離等于5時(shí)，直接寫出的取值范圍．13．如圖1，拋物線與一次函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，連接OA，OB．(1)當(dāng)，時(shí)，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)若，作，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為______．(3)如圖2，若，設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作x軸垂線交AO延長線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)D．①求證：；②連接CE，交OD于點(diǎn)F，請(qǐng)判斷直線BF與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．14．綜合與探究：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的動(dòng)點(diǎn)（不包括點(diǎn)A，點(diǎn)C）．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，且在直線AB上方，求面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，過原點(diǎn)O作直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n．求的值．15．拋物線，與x軸交于點(diǎn)和，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，P是線段上方拋物線上一點(diǎn)，連接，交線段于點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)隨之停止，將線段繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，直接寫出當(dāng)一邊與平行時(shí)t的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《二次函數(shù)解答題綜合之其他問題?歸納練2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考》參考答案1．(1)對(duì)稱軸為直線，(2)(3)①；②【分析】（1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸公式，對(duì)于拋物線，其中，，可求出對(duì)稱軸．因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，先求出點(diǎn)坐標(biāo)（令），再根據(jù)對(duì)稱性求出點(diǎn)坐標(biāo)．（2）通過作輔助線平行于軸，利用平行線分線段成比例得到，進(jìn)而求出的值，確定點(diǎn)坐標(biāo)，最后將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式求出．（3）①當(dāng)時(shí)，先確定拋物線、、點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到正方形頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷是否在拋物線上，再求出所在直線解析式，聯(lián)立拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)．②當(dāng)時(shí)，根據(jù)與橫坐標(biāo)相同及確定是拋物線與交點(diǎn)，結(jié)合時(shí)情況判斷、與拋物線無交點(diǎn)，設(shè)出拋物線與、交點(diǎn)、，根據(jù)兩個(gè)交點(diǎn)到軸距離之差求解．【詳解】（1）解：拋物線解析式為，拋物線對(duì)稱軸為直線，在中，當(dāng)時(shí)，，，過點(diǎn)作軸的平行線交該拋物線于點(diǎn)，關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，；（2）解：過點(diǎn)作平行于軸，交軸于點(diǎn)，則與對(duì)稱軸平行，設(shè)對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)為點(diǎn)，將點(diǎn)代入中，得，解得，（3）解：①當(dāng)時(shí)，拋物線解析式為，，，將代入得點(diǎn)落在拋物線上所在直線解析式為，令，解得或，正方形的邊與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為②點(diǎn)與點(diǎn)橫坐標(biāo)都為，且拋物線與的交點(diǎn)為；由①知，當(dāng)時(shí)，邊與拋物線的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，拋物線開口變大，正方形邊長變小，邊與拋物線沒有交點(diǎn)．當(dāng)正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)拋物線與分別交于，如圖，與這兩個(gè)交點(diǎn)到軸的距離之差為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，，，解得（舍去）或；綜上所述，【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，包括對(duì)稱軸公式的應(yīng)用，函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法．同時(shí)涉及到平行線分線段成比例定理，以及利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解函數(shù)解析式中的參數(shù)．解題關(guān)鍵在于熟練運(yùn)用二次函數(shù)的基本性質(zhì)，通過合理作輔助線構(gòu)建比例關(guān)系，結(jié)合圖形特點(diǎn)分析點(diǎn)與函數(shù)的位置關(guān)系，準(zhǔn)確求解坐標(biāo)及參數(shù)值．2．(1)(2)直線過定點(diǎn)，證明見解析【分析】（1）對(duì)于二次函數(shù)，分別令，，求出，，，從而得到，，，，．過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，根據(jù)的面積求出，從而在中，根據(jù)正弦的定義即可求解；（2）由二次函數(shù)可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為．將拋物線及各點(diǎn)向左平移1個(gè)單位長度，向上平移4個(gè)單位長度．可得平移后對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線的解析式為，，設(shè)，，由，得到，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)，點(diǎn)，由方程組得，因此，．求出直線的解析式為，直線的解析式為，因此，，又，，即可得到，得到，因此直線的解析式為，即直線過定點(diǎn)，再由平移即可得到原直線過定點(diǎn)．【詳解】（1）解：連接對(duì)于二次函數(shù)，令，則，解得，，∴，，令，則，∴，∴，，，．過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∴，即，∴，∴在中，．（2）解：直線過定點(diǎn)．證明如下：∵二次函數(shù)，∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為，將拋物線及各點(diǎn)向左平移1個(gè)單位長度，向上平移4個(gè)單位長度，如圖所示，∴平移后的二次函數(shù)為，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，直線的解析式為，，，設(shè)，，∴，即，設(shè)直線的解析式為，點(diǎn)，點(diǎn)，由方程組得，∵點(diǎn)，點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，∴，是方程的解，∴，，由點(diǎn)可得直線的解析式為，∵點(diǎn)在直線上，∴，即，由點(diǎn)可得直線的解析式為，∵點(diǎn)在直線上，∴，即，∵點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，∴，，∴，∵，∴，∴，∴直線的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，，即直線過定點(diǎn)，∵點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度，向下平移4個(gè)單位長度，得到點(diǎn)，∴原直線過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，銳角三角函數(shù)值，圖象的平移，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，分式的運(yùn)算等，掌握?qǐng)D象的平移變化是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)(3)和，過程見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解拋物線表達(dá)式即可；（2）先求得點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得及直線的表達(dá)式為，過P作軸交直線于H，則可得，當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，的長度最大；設(shè)，則，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，將線段向下平移一個(gè)單位，得到，連接，此時(shí)，由由三角形的三邊關(guān)系可得，由兩點(diǎn)坐標(biāo)距離公式求得即可；（3）先求得,進(jìn)而利用勾股定理及其逆定理得到，設(shè)，，則，，利用正切定義得到，，推導(dǎo)出，進(jìn)而求得；利用關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)得到新拋物線的表達(dá)式為，設(shè)，分當(dāng)Q在x軸上方時(shí)和當(dāng)Q在x軸下方時(shí)兩種情況，分別利用正切定義列方程求解即可．【詳解】（1）解：將、代入中，得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，由得，，∴，，當(dāng)時(shí)，，則，，∴；設(shè)直線的表達(dá)式為，則，解得，∴直線的表達(dá)式為，如圖1，過P作軸交直線于H，則，∵，∴，當(dāng)?shù)拈L度最大時(shí)，的長度最大；設(shè)，則，∴，∵，，∴當(dāng)時(shí)，最大，即的長度最大，此時(shí)；∵，∴將線段向下平移一個(gè)單位，得到，連接，此時(shí)，∴，當(dāng)G在的延長線上時(shí)取等號(hào)，∵,∴的最大值為；（3）解：∵直線上有一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，∴當(dāng)時(shí)，，則,∵，，∴，，，∴，∴，設(shè)，，則，，∴，，下面推導(dǎo)與、的關(guān)系，如圖，已知矩形中，，，，設(shè)，，，，則，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故，將拋物線關(guān)于軸對(duì)稱得到新拋物線，則新拋物線的表達(dá)式為，設(shè)，當(dāng)Q在x軸上方時(shí)，，整理，得，解得，（舍去），此時(shí)；當(dāng)Q在x軸下方時(shí)，，整理，得，解得，（舍去），此時(shí)，綜上，滿足條件的Q坐標(biāo)為和．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平移性質(zhì)、解直角三角形、最值問題等知識(shí)，理解題意，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．4．(1)(2)，菱形的面積為或，菱形的面積為(3)①②【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，解直角三角形，菱形的性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵：（1）待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；（2）分點(diǎn)在上方和下方，兩種情況進(jìn)行討論求解即可；（3）①設(shè)直線與軸分別交于點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，作交的延長線于點(diǎn)，求出，平行線的性質(zhì)推出，求出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出的值；②根據(jù)的值，得到直線和拋物線的解析式，進(jìn)而求出的坐標(biāo)，求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)交，∴，把，代入，得：，解得：，∴；（2）∵，∴當(dāng)時(shí)，解得：，∴，∴，∵菱形，軸，∴，軸，當(dāng)菱形的頂點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，點(diǎn)I恰好落在拋物線上時(shí)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，如圖，作軸，則：，∴設(shè)，∴，，∴，∴，即：，∵點(diǎn)I恰好落在拋物線上，∴，解得：或（舍去），∴，∴菱形的面積為：；②當(dāng)點(diǎn)在下方時(shí)，如圖，同理可得：，∴，解得：或（舍去），∴，∴菱形的面積為：；綜上：，菱形的面積為或，菱形的面積為；（3）①設(shè)直線與軸分別交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵P，Q兩點(diǎn)分別與“標(biāo)準(zhǔn)可放縮菱形”的頂點(diǎn)G，I重合，如圖，作交的延長線于點(diǎn)，∴軸，，∴，∴，∴設(shè)，，則：，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，把代入，得：，∴；②由①可知：直線的解析式為：，拋物線的解析式為：，聯(lián)立，解得：或（舍去），∴；聯(lián)立，解得：或（舍去），∴，∴．5．(1)(2)將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟悉掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法運(yùn)算求解即可；（2）先求出關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線，再設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，代點(diǎn)運(yùn)算求解即可；（3）設(shè)秒后，點(diǎn)，，分析當(dāng)恰好在拋物線上時(shí)和當(dāng)恰好在拋物線上時(shí)的取值，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，解得，∴拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令，則，解得，，∴，，∵將線段先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度，得到線段，∴平移后的，，∴線段的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為，，∵，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向下，∴關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向上，∴，∵與的交點(diǎn)為：，，∴的對(duì)稱軸為：，∴則設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，將代入，得，∴，∵，，∴將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度；（3）秒后，點(diǎn)，，拋物線的表達(dá)式為，令時(shí)，得，則與拋物線所截線段長小于6，如圖1，當(dāng)恰好在拋物線上時(shí)，則，化簡得，解得，（舍去），如圖2，當(dāng)恰好在拋物線上時(shí)，則，化簡得，解得，（舍去），∴的取值范圍為．6．(1)(2)(3)t的取值范圍是：或【分析】（1）先求解頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再求解頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；（2）如圖，過作軸的平行線交軸于，交對(duì)稱軸于，可得，證明，而，可得，即，求解直線為：，當(dāng)時(shí)，，再進(jìn)一步求解即可；（3）由點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合，可得，．求解，如圖，拋物線從圖1的位置向左平移到圖3的位置前，t的值在逐漸減小，且點(diǎn)B沿y軸向上移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)B與O重合時(shí)，．可得，（舍）．如圖3，當(dāng)點(diǎn)A，B，D重合時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)最高點(diǎn)．再進(jìn)一步求解即可.【詳解】（1）解：∵拋物線（為常數(shù)）的頂點(diǎn)為，∴，∴，∴頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：（2）解：∵，如圖，過作軸的平行線交軸于，交對(duì)稱軸于，∴，∴，而，∴，即，∵，，∴，，設(shè)直線為：，∴，解得：，∴直線為：，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（3）解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合，∴，．當(dāng)，則．∴，如圖，拋物線從圖1的位置向左平移到圖3的位置前，t的值在逐漸減小，且點(diǎn)B沿y軸向上移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)B與O重合時(shí)，．解得，（舍）．如圖3，當(dāng)點(diǎn)A，B，D重合時(shí)，點(diǎn)B到達(dá)最高點(diǎn)．此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴．解得．∴t的取值范圍是：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求解一次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵.7．(1)3(2)①當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②或【分析】（1）分別求出兩個(gè)函數(shù)自變量為的函數(shù)值即可得到答案；（2）①先求出，則當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，分別求出時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，再根據(jù)定義求解即可；②分圖2-1，圖2-2，圖2-3，圖2-4四種情形，分別求出臨界情形下m的值即可得到答案．【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，在中，當(dāng)時(shí)，，∴與的“界距離”為；（2）解：①聯(lián)立，解得或，∴，由函數(shù)圖象可得，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在中，當(dāng)時(shí)，在中，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；②如圖2-1所示，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)與一定沒有交點(diǎn)，不符合題意；如圖2-2所示，當(dāng)，且點(diǎn)M恰好在拋物線的圖象上時(shí)，∴此時(shí)點(diǎn)Q和點(diǎn)M關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∵拋物線對(duì)稱軸為直線，∴倍的點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，∴，解得或（舍去）；如圖2-3所示，當(dāng)，且點(diǎn)N恰好在拋物線的圖象上時(shí)，同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為，即，∴，∴，∴，解得，∵當(dāng)和時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合，∴，∴當(dāng)時(shí)，與有交點(diǎn)；如圖2-4，當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)M恰好在拋物線的圖象上時(shí)，同理可得倍的點(diǎn)Q到對(duì)稱軸的距離，∴，解得或（舍去）；∴當(dāng)時(shí)，與有交點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，與有交點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，正方形的性質(zhì)，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)值等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．8．(1)(2)將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出，，由平移的性質(zhì)求出，，再求出線段的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為，，結(jié)合題意求出關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線，設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，將代入，求出，即可求解；（3）求出拋物線的表達(dá)式為，分恰好在拋物線上時(shí)，恰好在拋物線上時(shí)，兩種情況討論即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，解得，拋物線的表達(dá)式為；（2）解：令，解得，，，，平移后的，，線段的三等分點(diǎn)的坐標(biāo)為，，關(guān)于軸對(duì)稱得到拋物線，則設(shè)平移后的拋物線表達(dá)式為，將代入，得，，，，將拋物線先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度；（3）解：秒后，點(diǎn)，，拋物線的表達(dá)式為，令時(shí)，得，則與拋物線所截線段長小于6．如圖1，當(dāng)恰好在拋物線上時(shí)，則，化簡得，解得，（舍去），如圖2，當(dāng)恰好在拋物線上時(shí)，則，化簡得，解得，（舍去），的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、求最大距離、圖像的平移等，熟悉二次函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．9．(1)(2)存在，或或(3)4或5【分析】（1）將代入，求出k即可；（2）先求出定點(diǎn)，聯(lián)立拋物線和直線，得到，則，由得到，則，那么直線，，，，則，再按照對(duì)角線分三種情況，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)求解；（3）設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線得到一元二次方程，則，設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立得到，由點(diǎn)作與拋物線均有唯一公共點(diǎn)，則，，那么直線，同理可得直線，聯(lián)立兩直線求得，則，由，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式求解即可．【詳解】（1）解：存在，理由如下：由題意得將代入得：，解得：，∴直線的解析式為：；（2）解：由得，∵直線過定點(diǎn)，∴，解得：，∴，聯(lián)立得：，∴，∴，∵，∴，解得：，∴直線，∴，，，∴，∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，①為對(duì)角線時(shí)，，∴，∴；②為對(duì)角線時(shí)，則，∴，直線∴，，∴；③為對(duì)角線時(shí)，則，∴，∴，，∴，綜上所述：存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或；（3）解：設(shè)，聯(lián)立得：，∴，∴，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得：，∵點(diǎn)作與拋物線均有唯一公共點(diǎn)，∴，，∴直線，同理可得直線，∴聯(lián)立得：，解得：，∴，∴，∵，∴，整理得：，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與直線的交點(diǎn)問題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等知識(shí)點(diǎn)，難度大，計(jì)算復(fù)雜．10．(1)(2)或(3)①1；②，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意可得對(duì)稱軸為直線，據(jù)此根據(jù)對(duì)稱軸計(jì)算公式求解即可；（2）求出二次函數(shù)解析式為，則可求出，則直線解析式為；再求出；當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，設(shè)交y軸于H，可證明，則可求出直線解析式為，聯(lián)立，解得或，則此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；再由對(duì)稱性求出點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)的坐標(biāo)即可得到答案；（3）①設(shè)交y軸于T，由（2）可得，，則，據(jù)此可證明，則是等腰直角三角形，可得，再利用待定系數(shù)法即可求出答案；設(shè)直線分別與x軸交于R、S，證明，得到，設(shè)直線解析式為，直線解析式為，，可求出直線解析式為，直線解析式為；聯(lián)立，可得，同理可得；求出，得到直線解析式為；再求出直線解析式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)，∴對(duì)稱軸為直線，∴，∴；（2）解：如圖所示，連接，∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)，∴，∴二次函數(shù)解析式為，在中，當(dāng)時(shí)，解得或，∴，設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為；在中，當(dāng)時(shí)，，∴；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，設(shè)交y軸于H，∵，，∴，∴，∴可設(shè)直線解析式為，∴，∴，∴直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；由對(duì)稱性可知，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；（3）解：①設(shè)交y軸于T，由（2）可得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②，理由如下：如圖所示，設(shè)直線分別與x軸交于R、S，∵，∴，∴，設(shè)直線解析式為，直線解析式為，，∴，，∴，，∴直線解析式為，直線解析式為；聯(lián)立得，∴，∴，∴；同理可得；由（3）①得直線解析式為，聯(lián)立，解得或，∴，同理可得直線解析式為；設(shè)直線解析式為，∴，解得，∴直線解析式為，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，解（2）的關(guān)鍵在于證明（點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)），解（3）的關(guān)鍵在于求求出直線解析式，進(jìn)而求出直線解析式．11．(1)(2)最大值是，(3)或【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，解直角三角形等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)三角函數(shù)得到，得到當(dāng)最大時(shí)，的值最大，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可；（3）設(shè)，則，根據(jù)線段與拋物線有交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，的值要大于等于點(diǎn)N的縱坐標(biāo)，小于等于點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，據(jù)此列出不等式組求解即可．【詳解】（1）解：把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入到中，得，解得，∴拋物線解析式為；（2）解：∵，，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴∴直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于E，交于點(diǎn)，設(shè)，則，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)最大，為，當(dāng)時(shí)，，∴；（3）解：設(shè)，則，即∵線段與拋物線有交點(diǎn)，∴在中，當(dāng)時(shí)，，解得或∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的取值范圍是或．12．(1)①此函數(shù)的最小值為；②的值為或；(2)或時(shí)函數(shù)與線段有一個(gè)交點(diǎn)；(3)或．【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）①分別求出兩個(gè)函數(shù)的最小值，再比較大小即可；②將分別代入函數(shù)解析式，求出的值即可；（2）根據(jù)題意得到公共點(diǎn)在上，分兩種情況：當(dāng)與相切時(shí)，當(dāng)與相交時(shí)，分別計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意，只需求軸下方的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)即可，分兩種情況：時(shí)，求出；時(shí)，，求出．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，：，，時(shí)，最小值為，：，，時(shí)，最小值為，圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為；②，，，當(dāng)在上時(shí)，，解得，；當(dāng)在時(shí)，，解得或（舍去），的值為或；（2）解：，，圖象與線段只有一個(gè)公共點(diǎn)，如圖，公共點(diǎn)在上，，對(duì)稱軸為直線，令，當(dāng)與相切時(shí)，則，，，解得或（舍去）；當(dāng)與相交時(shí)，交點(diǎn)在之間，如圖所示：當(dāng)時(shí)，，，，綜上所述，或時(shí)函數(shù)與線段有一個(gè)交點(diǎn)；（3）解：兩拋物線的對(duì)稱軸為直線，當(dāng)時(shí)，如圖1，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，或（舍去），當(dāng)時(shí)，如圖2，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，或（舍去），綜上所述，或．13．(1)，(2)1(3)①見解析；②直線BF與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)【分析】（1）把，代入，得，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式，得方程組，求解即可；（2）設(shè)直線交y軸于C，根據(jù)，得出點(diǎn)P在以為直徑的圓上，過點(diǎn)P作于D，則當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，又因?yàn)椋纯汕蠼?；?）①先求出，從而得到，再聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：，求解得到，，然后用待定系數(shù)法求得直線解析式為，從而求得，即可求得，即可得出結(jié)論；②先證明，得到，從而求得，再用待定系數(shù)法求得直線解析式為，聯(lián)立函數(shù)解析式得，化簡整理得，根據(jù)，得出方程有兩相等實(shí)數(shù)根，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．即可得出答案．【詳解】（1）解：把，代入，得聯(lián)立，解得：，，∴，．（2）解：設(shè)直線交y軸于C，如圖，∵∴∴點(diǎn)P在以為直徑的圓上，過點(diǎn)P作于D，∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，∵，∴，∴最大，即點(diǎn)P到y(tǒng)軸距離的最大值為1．故答案為：1．（3）①證明：∵，∴當(dāng)，，∴∵∴聯(lián)立得：，解得：，，∴，，設(shè)直線解析式為，把代入，得∴∴直線解析式為∵軸于D，∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)與點(diǎn)B橫坐標(biāo)相同，把代入，得∴∵∴，∴；②解：如圖，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)直線解析式為，把，代入，得，解得，∴直線解析式為，聯(lián)立，得，∴，即，，∴方程有兩相等實(shí)數(shù)根，∴直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．即直線BF與拋物線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．【點(diǎn)睛】本題屬二次函數(shù)綜合題目，主要考查二次函數(shù)圖象性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，圓周角定理的推論，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，一元二次方程根的判別式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．(1)；(2)面積的最大值是，點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)．【分析】本