2024年高考數(shù)學二輪復習解題思維提升專題21計數(shù)原理及隨機變量分布列訓練手冊

PAGEPAGE1專題21計數(shù)原理及隨機變量分布列【訓練目標】駕馭兩個計數(shù)原理解決實際問題；駕馭排列的定義，排列數(shù)的計算，駕馭常見的幾種排列問題；駕馭組合的定義，組合數(shù)的計算，駕馭常見的幾種組合問題；駕馭排列組合的綜合問題；能利用排列組合的方法求解概率問題；能正確的列出簡潔隨機變量的分布列，駕馭期望和方差的求法；駕馭二項分布的期望和方差公式；駕馭正態(tài)分布曲線的性質(zhì)及實際應用。駕馭二項式定理，會利用二項式的通項公式求指定項，會利用賦值法求綻開式的系數(shù)和?！緶剀靶√崾尽看祟悊栴}在高考中，一般與概率問題綜合在一起考查，有小題也有大題，所占分值比重較大，但難度中等，屬于必拿分題。在練習中，要多加思索，總結(jié)方法。【名校試題薈萃】1、某高校支配名高校生到個單位實習，每名高校生去一個單位，每個單位至少支配一名高校生，則不同的支配方法的種數(shù)為_______.（用數(shù)字作答）【答案】2402、現(xiàn)將個扶貧款的名額安排給某鄉(xiāng)鎮(zhèn)不同的四個村，要求一個村1個名額，一個村2個名額，一個村3個名額，一個村4個名額，則不同的安排方案種數(shù)為_______.【答案】24【解析】將個扶貧款的名額分成四份，四份的名額依次是1個、2個、3個和4個，分到4個村共有種安排方法.3、在2024年高考來臨之際，食堂的伙食進行了全面升級．某日5名同學去食堂就餐，有米飯，花卷，包子和面條四種主食．每種主食均至少有一名同學選擇且每人只能選擇其中一種．花卷數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學因腸胃不好不能吃米飯，則不同的食物搭配方案種數(shù)為．【答案】132【解析】分兩種狀況探討：（1）甲選花卷有種，（2）甲不選花卷，則甲選包子或面條，有2種選法，在從剩下的4人中選一人選花卷，有4種選法，在剩下的三人中，若有一人與甲相同，則有種，若沒有人與甲相同，則有種，所以共有種，故總共有種.4、現(xiàn)有5名老師要帶3個愛好小組外出學習考察，要求每個愛好小組的帶隊老師至多2人，但其中甲老師和乙老師均不能單獨帶隊，則不同的帶隊方案有_______種．（用數(shù)字作答）【答案】545、各高校在高考錄用時實行專業(yè)志愿優(yōu)先的錄用原則．一考生從某高校所給的個專業(yè)中，選擇個作為自己的第一、二、三專業(yè)志愿，其中甲、乙兩個專業(yè)不能同時兼報，則該考生有______種不同的填報專業(yè)志愿的方法（用數(shù)字作答）．【答案】180【解析】分三類狀況探討，一是選甲不選乙，有，二是選乙不選甲，有，三是既不選甲也不選乙,有，所以共有．6、袋中有形態(tài)、大小都相同的只球,其中只白球,只紅球,只黃球,從中一次隨機摸出只球,則這只球顏色不同的概率為_______.【答案】【解析】由古典概型概率公式,得所求事務的概率為.7、的二項綻開式中，常數(shù)項是_______（用數(shù)字作答）．【答案】160【解析】的二項綻開式的通項為，令，所以常數(shù)項為。8、計箅的值為______.(用數(shù)字作答）【答案】【解析】原題是的展式，故可知為.9、已知，則二項式綻開式中的系數(shù)為________.【答案】10、若二項式的綻開式的第三項是常數(shù)項，則=________.【答案】6【解析】綻開式的第三項為，因為第三項是常數(shù)項，所以，即.11、設的綻開式中的常數(shù)項為，則________．【答案】【解析】的綻開式中的常數(shù)項為.所以.12、設為正整數(shù)，

綻開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則綻開式中的常數(shù)項為_______．【答案】11213、綻開式中，各項系數(shù)之和為，則綻開式中的常數(shù)項為________．【答案】200【解析】令，則，即，因為的綻開式的通項為，所以綻開式中常數(shù)項為，即常數(shù)項為.14、設，則等于________.【答案】15、設的綻開式的各項系數(shù)之和為，二項式系數(shù)之和為，若，則_________.

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【答案】4【解析】由題意得：令，，，所以。

16、若，則.（用詳細數(shù)字作答）【答案】31【解析】因為令，有令，有兩式相減得故答案為.17、若，則_________．【答案】122【解析】令可得,令可得，以上兩式兩邊相減可得,即.18、若，則_____．【答案】19、已知某隨機變量的分布列如下（）：，則隨機變量的數(shù)學期望________.【答案】【解析】因為利用概率和為，得到,那么.20、從、、、、這個數(shù)字中任取不同的兩個，則這兩個數(shù)之積的數(shù)學期望是________．【答案】8.5【解析】從、、、、中任取不同的兩個數(shù)，其乘積的值為、、、、、、、、、，取每個值的概率都是，∴.

21、已知某離散型隨機變量聽從的分布列如圖，則隨機變量的方差等于_______.【答案】22、某校為了解本校學生的課后玩電腦嬉戲時長狀況，隨機抽取了100名學生進行調(diào)查．下面是依據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生每天玩電腦嬉戲的時長的頻率分布直方圖．（1）依據(jù)頻率分布直方圖估計抽取樣本的平均數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）已知樣本中玩電腦嬉戲時長在的學生中，男生比女生多1人，現(xiàn)從中選3人進行回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望．【答案】（1），；（2）詳見解析.【解析】（1）,（2）樣本中玩電腦嬉戲時長在的學生為人，其中男生3人，女生2人，則

的可能取值為1，2，3,,,.的分布列為123所以.

23、某市教化部門規(guī)定,中學學生三年在校期間必需參與不少于80小時的社區(qū)服務．教化部門在全市隨機抽取200位學生參與社區(qū)服務的數(shù)據(jù),按時間段（單位：小時）進行統(tǒng)計,其頻率分布直方圖如圖所示．（1）求抽取的200位學生中,參與社區(qū)服務時間不少于90小時的學生人數(shù),并估計從全市中學學生中隨意選取一人,其參與社區(qū)服務時間不少于90小時的概率；（2）從全市中學學生（人數(shù)許多）中隨意選取3位學生,記為3位學生中參與社區(qū)服務時間不少于90小時的人數(shù)．試求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）（2）由（1）可知,從全市中學生中隨意選取1人,其參與社區(qū)服務時間不少于90小時的概率為．由已知得,隨機變量的可能取值為,

則；；；．隨機變量的分布列為0123

因為,全部．

24、某精密儀器生產(chǎn)有兩道相互獨立的先后工序，每道工序都要經(jīng)過相互獨立的工序檢查，且當?shù)谝坏拦ば驒z查合格后才能進入其次道工序，兩道工序都合格，產(chǎn)品才完全合格．經(jīng)長期監(jiān)測發(fā)覺，該儀器第一道工序檢查合格的概率為，其次道工序檢查合格的概率為，已知該廠三個生產(chǎn)小組分別每月負責生產(chǎn)一臺這種儀器．（1）求本月恰有兩臺儀器完全合格的概率；（2）若生產(chǎn)一臺儀器合格可盈利萬元，不合格則要虧損萬元，記該廠每月的贏利額為，求的分布列和每月的盈利期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，所以贏利額的數(shù)額可以為，當時，，當時，，當時，，當時，，所以的分布列如下：每月的盈利期望，所以每月的盈利期望值為萬元．25、在如圖所示的正方形中隨機投擲個點，則落入陰影外部（曲線為正態(tài)分布的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（

）附：若,則，A.B.C.D.【答案】D26、已知隨機變量聽從正態(tài)分布，且，則（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】因為，由正態(tài)分布的對稱性知，與關(guān)于對稱軸對稱，從而，所以，故選C．27、設隨機變量，若的數(shù)學期望，方差，則（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】，，得，，故選D28、某廠生產(chǎn)的零件外直徑，今從該廠上、下午生產(chǎn)的零件中各隨機取出一個，測得其外直徑分別為和則可認為（

）A.上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣B.上午生產(chǎn)狀況異樣，下午生產(chǎn)狀況正常C.上、下午生產(chǎn)狀況均正常D.上、下午生產(chǎn)狀況均異樣【答案】A29、據(jù)統(tǒng)計，2024年夏季某旅游景點每天的游客人數(shù)聽從正態(tài)分布則在此期間的某一天，該旅游景點的人數(shù)不超過1300的概率為（）附：若則，，.A.B.C.D.【答案】D【解析】因為2024年夏季某旅游景點每天的游客人數(shù)聽從正態(tài)分布，，，故選D.30、從某企業(yè)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）由頻率分布直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標值聽從正