高中數(shù)學(xué)人教A版必修四15【教學(xué)設(shè)計(jì)】《1 .5 產(chǎn)Asin（①x+o）的圖象》

《1.5產(chǎn)Asin（①x+o）的圖象》

第一課時(shí)

一、講什么批注［yl］：宋體小四加粗

1.教學(xué)內(nèi)容：

批注：宋體小四加粗

（1）概念原理：y=Asin（〃zr+0）的圖象。［y2］

（2）思想方法：元的思想、坐標(biāo)法。

（3）能力素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、直觀想象。］批注［y3］：正文主體使用宋體五號(hào)

2.內(nèi)容解析：

“丫=八§皿（3+8）的圖象（1）”是新課標(biāo)人教A版《數(shù)學(xué)》必修4第一章第五節(jié)第二

課時(shí)，是《三角函數(shù)》這一章的核心內(nèi)容之一，引導(dǎo)學(xué)生研究“函數(shù)丫=4立11（8+0）的

圖象”是使然。要研究它就得探索每一個(gè)參數(shù)0、A對(duì)其影響，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)元的思想

和坐標(biāo)法是自然。函數(shù)y=Asin（的+夕）是解決實(shí)際問題的重要模型，研究函數(shù)

y=Asin（3+°）的性質(zhì)又必須研究它的圖象，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和直觀想象能力素養(yǎng)是

必然。

二、為何講

1.教學(xué)目標(biāo)：

（1）引導(dǎo)學(xué)生探索。、/、A對(duì)y=Asin（ox+e）圖象變化的影響，理解具體函數(shù)

y=Asin（s:+0）圖象之間變化的數(shù)學(xué)原理。

（2）通過各個(gè)參數(shù)的研究，以及函數(shù)丁二45m（5+0）解析式與圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，

使學(xué)生領(lǐng)會(huì)元的思想和坐標(biāo)法。

（3）通過本節(jié)課的（1）中內(nèi)容研究與學(xué)習(xí)，以及（2）中思想與方法的掌握，培養(yǎng)學(xué)生

的數(shù)學(xué)建模和直觀想象能力。

2.目標(biāo)解析:

借助信息技術(shù)研究探索0、①、人對(duì)），=44!1（5+8）圖象的影響，同時(shí)結(jié)合具體函

數(shù)圖象的變化，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)元的思想，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力。理解函數(shù)），=sinx與

y=Asin（5+0）圖象間的變換關(guān)系，運(yùn)用并領(lǐng)會(huì)坐標(biāo)法，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

本節(jié)課的重點(diǎn)是通過探索0、co、A對(duì)函數(shù)y=Asin（s+e）圖象的影響，領(lǐng)會(huì)元的思想，

培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的能力。

三、怎樣講

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)問題：

如何讓學(xué)生理解夕、0、A對(duì)函數(shù)y=Asin（（yx+e）圖象的影響，以及與幾何變換中

的伸縮變換、平移變換之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是本節(jié)課的第一個(gè)教學(xué)問題。

一節(jié)課除了讓學(xué)生研究三種參數(shù)對(duì)函數(shù)y=Asin（s:+0）圖象的影響，還要讓學(xué)生掌握

背后的多種思想方法，培養(yǎng)多個(gè)能力索養(yǎng)，這是第二個(gè)教學(xué)問題。

而通過引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)手段解決這兩個(gè)教學(xué)問題的有效途徑。

2.教學(xué)支持條件：

學(xué)生學(xué)完三種正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)后，來研究函數(shù)>=44。（3：+8）的圖

象，讓學(xué)生理解各類三角函數(shù)），=Asin（?x+e）之間的聯(lián)系是順利進(jìn)行本節(jié)課教學(xué)的不可

缺少的支持條件。借助圖形計(jì)算器動(dòng)手操作探究其幾何變換，可以使學(xué)生充分理解夕、切、

A對(duì)y=Asin（〃zr+0）圖象的影響,因此為學(xué)生準(zhǔn)備人手一臺(tái)TLNspireCAS（便于學(xué)生操

作），老師使用幾何畫板或超級(jí)畫板（便于演示）。

（-）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【問題1】物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移s與時(shí)間，的關(guān)系為s=Asin（&+°）

（r>0,A>0,口>0）,它與函數(shù)y=sinx有何關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生從物理學(xué)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，研究?般性的數(shù)學(xué)模型三角函

數(shù)丁=45也（的十0）;通過問題及后面的師生活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，感

受客觀世界中的周期現(xiàn)象，體會(huì)研究函數(shù)y=Asin（如+0）的必要性和重要性，引起學(xué)生

的興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲。

【師生活動(dòng)】

(I)老師提問函數(shù)s=Asin(/y，+o)與函數(shù)y=sinx的解析式有何關(guān)系，學(xué)生回答；

接著提問現(xiàn)實(shí)生活中存在哪些可以用函數(shù)y=Asin(5+e)來刻畫的周期現(xiàn)象，學(xué)生思考

并舉例。

(2)師生看完模擬的簡(jiǎn)諧振動(dòng)后，再?起聽其函數(shù)的聲音，利用幾何畫板聽

y=Asin(@x+°)函數(shù)的聲音，感受①、4對(duì)聲音的影響。

【問題2］在同一坐標(biāo)系中，畫出y=sinx,y=sin(x+—),y=sin(x-X)的簡(jiǎn)

44

圖，思考y=sin(x±—)與y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

4.

［設(shè)計(jì)意圖］引導(dǎo)學(xué)生借助圖形計(jì)算器TI-NspireCAS探索并理解0對(duì)y=sin"+0)圖

象的影響。其次要求學(xué)生理性地弄清問題的本質(zhì)，從理論上說明其平移的依據(jù)，事實(shí)上，我

們把函數(shù)y=sin(x+-)圖象上的任意一點(diǎn)設(shè)為戶(x',/),其對(duì)應(yīng)的函數(shù))，=sinx上的點(diǎn)

4

為Pfr,。),則有G+'=x,y'=y，故有=x-乙,y,=y?由此可知點(diǎn)P(My')是

44

由點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)減小-個(gè)單位得到，即函數(shù)y=sin(x+色)的圖象是由函數(shù)y=sinx

4'4

上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)四個(gè)單位而得到。

4

【師生活動(dòng)】

(1)引導(dǎo)學(xué)生借助圖形計(jì)算器TI-NspircCAS畫)，=$皿1，y=sin(x+-),

4

y=sin(x-C)的簡(jiǎn)圖，討論y=sin(x土色)Vy=sinx的圖象有什么關(guān)系。

44

(2)然后借助圖形計(jì)算器TI-NspireCAS研究y=sinx,)，=sin(x+。)的圖象關(guān)系，

學(xué)生通過插入變量°,移動(dòng)游標(biāo)改變其值，探索與發(fā)現(xiàn)，然后師生討論并得出夕對(duì)

y=sin(x+e)圖象的影響的結(jié)論。

【問題3】y=sin3xy=sin(gx)與y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生探索并理解口對(duì))=411(8)圖象的影響。其次要求學(xué)生理性地

弄清問題的本質(zhì)，從理論上說明其橫向收縮的依據(jù)。

【師生活動(dòng)】

(1)引導(dǎo)學(xué)生借助圖形計(jì)算器TI-NspireCAS畫y=sin3x、y=sin(gx)與y=sinx

的簡(jiǎn)圖，討論它們圖象之間有什么關(guān)系。

(2)借助圖形計(jì)算器TI-NspireCAS研究y=sinx,y=sin(以r)的圖象關(guān)系，學(xué)生通

過插入變量移動(dòng)游標(biāo)改變其值，探索與發(fā)現(xiàn)，然后師生討論并得出①對(duì)y=sin(?x)圖

象的影響的結(jié)論。

7T17T

【問題4】y-sin(3x---)、y=sin(-x---)與y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

434

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生探索并理解切對(duì)y=sin(8+0)圖象的影響。

【師生活動(dòng)】

(1)借助圖形計(jì)算器TI-NspireCAS研究y=sin犬，y=sin(④r+。)的圖象關(guān)系，學(xué)

生通過插入變量①、9,移動(dòng)游標(biāo)改變其值，探索與發(fā)現(xiàn)，然后師生討論并得出外。對(duì)

y=sin(s+⑺圖象的影響的結(jié)論。

(2)練1用幾何變換的方法畫出》=5皿(；工一?)和y=sin(2x+()的圖象，然后用

借助圖形計(jì)算器TI-NspireCAS驗(yàn)證。

TTTT

【問題5]y=3sin(2x+y),y=35由(2X一彳)與y=sinx的圖象有什么關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生探索并理解A對(duì))，=Asin(血十°)圖象的影響.其次要求學(xué)生

理性地弄清問題的本質(zhì)，從理論上說明其橫向收縮的依據(jù)。

【師生活動(dòng)】

(1)借助圖形計(jì)算器TI-NspireCAS研究y=sinx,y=Asin(wx+夕)的圖象關(guān)系，學(xué)生

通過插入變量A,移動(dòng)游標(biāo)改變其值，探索與發(fā)現(xiàn)，然后師生討論并得出A對(duì)

y=Asin(@x+0)圖象的影響的結(jié)論。

（2）練2用幾何變換的方法畫出丁=!$皿（'工±色）的圖象，然后用借助圖形計(jì)算器

234

TI-NspireCAS驗(yàn)證。

四、講怎樣

1.教學(xué)反思：

略

2.目標(biāo)檢測(cè)：

完成《1.5產(chǎn)Asin（cox+0）的圖象⑴同步練習(xí)》。

第二課時(shí)

一、講什么：'批注[y4]:宋體小四加粗

1.教學(xué)內(nèi)容：

（1）概念原理：y=Asin（〃zx+e）的圖象。

（2）思想方法：化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想。

（3）能力素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模。

2.內(nèi)容解析：

“y=Asin（w+0）的圖象（1）”是新課標(biāo)人教A版《數(shù)學(xué)》必修4第一章第五節(jié)第二

課時(shí)，是《三角函數(shù)》這一章的核心內(nèi)容之一，三角函數(shù)了=/^①（5+0）是解決實(shí)際問

題的重要模型。本節(jié)課借助信息技術(shù)繼續(xù)探索由），=sinx圖象得到丁二40!1（3+0）圖象

的各種方法過程，使學(xué)生體會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想以及數(shù)形結(jié)合思想，

建立與物理知識(shí)的聯(lián)系，了解常數(shù)A、。、夕與振幅、周期、頻率、相位、初相等物理量

的關(guān)系，并培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等能力。

二、為何講

1.教學(xué)目標(biāo)：

（I）使學(xué)生了解常數(shù)A、S、°與振幅、周期、頻率、相位、初相等物理量的關(guān)系。

（2）通過引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握由y=sinx圖象得到丫二人$出（3+0）圖象的各種方法，

使學(xué)生體會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想，以及數(shù)形結(jié)合思想。

（3）通過本節(jié)課的（1）、（2）研究與學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等能力。

2.目標(biāo)解析：

通過物理中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的復(fù)習(xí)，使學(xué)生可以建立與物理知識(shí)的聯(lián)系，了解常數(shù)A、0、（p

與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期、頻率、相位等物理量的關(guān)系。通過引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握由y=sinx

圖象得到y(tǒng)=4sin（@v+e）圖象的六種方法，使學(xué)生體會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的

化歸思想，通過應(yīng)用例題的設(shè)置，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核

心素養(yǎng)。

其中，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握由曠=$3/圖象得到丁=人0也（5+o）圖象的各種

方法，使學(xué)生體會(huì)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想。

三、怎樣講

（-）教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)問題：

如何讓學(xué)生從新認(rèn)識(shí)幾何變換中的伸縮變換、平移變換與振幅變化、周期變化、相位變

化的對(duì)應(yīng)關(guān)系。探索并掌握由y=sinx圖象得到丫=4411（5+0）圖象的各種方法，而通

過引導(dǎo)學(xué)生借助信息技術(shù)手段實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)幾何變換是解決這一教學(xué)問題的有效途徑。

2.教學(xué)支持條件：

上節(jié)課已經(jīng)簡(jiǎn)單研究函數(shù)y=Asin（5+0）的圖象，并使學(xué)生理解了°、A對(duì)

y=Asin（Gx+°）圖象的影響，使得繼續(xù)探索與發(fā)現(xiàn)由y=sinx圖象得到

y=Asin（&x+e）圖象的各種方法提供了必要與重要的條件。借助圖形計(jì)算器動(dòng)手操作探

究其幾何變換，從而使學(xué)生在一節(jié)課內(nèi)探索出所有方法，以及理解幾何變換和物理量變化之

間的關(guān)系成為可能，因此為學(xué)生準(zhǔn)備人手一臺(tái)TI-NspireCAS,老師使用超級(jí)畫板。

（二）教學(xué)過程設(shè)計(jì)

【問題I】你能回憶一下物理中描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)關(guān)系嗎？振幅、周期、頻率、相位、

初相等概念與A、0、°有何關(guān)系？

【設(shè)計(jì)意圖】通過一個(gè)輕松的問題，讓學(xué)生建立與物理知識(shí)的聯(lián)系，了解常數(shù)A、①、

0與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的某些物理量的關(guān)系。

【師生活動(dòng)】學(xué)生I可顧相關(guān)的物理知識(shí)，解釋振幅、周期、頻率、相位、初相等概念與A、

3、0的關(guān)系。老師說明函數(shù)曠=Asin3xr+夕）（A>0,G>0）中，A叫做函數(shù)的振幅,

T=竺為函數(shù)的周期，f='=色為頻率，ox+e稱為相位，當(dāng)x=0時(shí)的相位9稱為

(DT2n

初相。老師再一次讓學(xué)生聽函數(shù)y=Asin(5+e)(4>0,G>0),并改變其中的參數(shù)，感

受不同頻率與振幅聲音的異同。

【問題2］怎樣由函數(shù)y=sinx變換得到函數(shù))，=3sin(2x+1)的圖象？你能否用多

種方法進(jìn)行變換？并說明出由函數(shù)j=sinx圖象變換得到函數(shù)

y=Asin(6yx+e)(A>0,3>0)圖象的變化規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖】在上一節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主理性地研究此問題，讓學(xué)生自主獲

取問題的答案，可借助于信息技術(shù)工具進(jìn)行探索與發(fā)現(xiàn)。并在此基礎(chǔ)上作如下歸納：

變換方法一：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象：再把正弦曲線y=sinx向左(右)平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin(x+p)的圖象;然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，

(0

得到函數(shù)'=g1(5+G的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，這時(shí)的曲

線就是函數(shù)y=Asin(/x+0)的圖象。

變換方法二：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象；再把正弦曲線y=sinx各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的?!?倍得到函數(shù)y=sinox的圖象；然后把曲線向左(右)平移|義卜個(gè)單位長(zhǎng)度，得

(DCD

到函數(shù)y=sin(Gx+⑼的圖象；最后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，這時(shí)的曲線

就是函數(shù)>=Asin(〃>+0)的圖象。

變換方法三:先畫出函數(shù))，=sinx的圖象；再把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，

得到函數(shù))，=Asinx的圖象；正弦曲線)，=4$桁工向左(右)平移|9卜個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

函數(shù)y=Asin(x+G的圖象：然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，最后這時(shí)的曲

3

線就是函數(shù)y=Asin(3+°)的圖象。

變換方法四：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象；再把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，

得到函數(shù)丫=4$皿彳的圖象；再把正弦曲線y=Asinx各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腖倍得到

CD

函數(shù)y=sinox的圖象；然后把曲線向左（右）平移|?|個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)的曲線就是函

（0

數(shù)），=Asin（g+e）的圖象。

變換方法五：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象；再把正弦曲線），=sinx向左（右）平移|°|

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sinG+Q的圖象；然后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，

得到函數(shù)》=4$析6:+夕）的圖象；最后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，倍，這時(shí)的曲

（0

線就是函數(shù)y=Asin（Gx+Q）的圖象。

變換方法六：先畫出函數(shù)y=sinx的圖象；再把正弦曲線y=sinx各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)?/p>

原來的-!■倍得到函數(shù)），=sins的圖象：然后把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得

（0

到函數(shù)y=Asin（ox）的圖象：最后把曲線向左（右）平移送|個(gè)單位長(zhǎng)度，這時(shí)的曲線就

G）

是函數(shù)y=Asin（〃zr+e）的圖象。

TT

【師生活動(dòng)】學(xué)生先動(dòng)手用圖形計(jì)算器畫出了=麻51和y=3sin（2x+1）的圖象，然

后思考如何通過三種變換且不限定順序，使丁=5m入的圖象得到），=3sin（2x+g）的圖象？

然后師生一起總結(jié)各種方法（一共六種），并分析最易錯(cuò)的是先橫坐標(biāo)伸縮變換后水平平移

變換。

【問題3】怎樣由函數(shù)y=3sin（2x+1）變換得到函數(shù)y=sinx的圖象？是否也可以有

六種方法得到？并說明出由函數(shù)y=sinx圖象變換得到函數(shù)

y=Asin（69x+（p）｛A>0,6?>0）圖象的變化規(guī)律。

【設(shè)計(jì)意圖】在前一問題的研究基礎(chǔ)上，讓學(xué)生自主理性地研究此問題，讓學(xué)生自主獲

取問題的答案，并在此基礎(chǔ)上依然得到六種方法，因?yàn)榭v坐標(biāo)的伸縮變換放在哪一步都不造

成困難，所以只列出其中兩種方法：

變換方法一：先把函數(shù)），=Asin（@x+*）的圖象，上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹叮?/p>

A

得到函數(shù)丫=$皿（5+夕）的圖象；再把正弦曲線y=sin（ox+G上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的。倍，得到函數(shù)〉=$皿（工+9）的圖象；然后使曲線的各點(diǎn)向右（左）平移|°|個(gè)單位

長(zhǎng)度，最終得到函數(shù)y=sin工的圖象。

變換方法二：先把函數(shù)），=Asin（3+e）的圖象，上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腖倍，

A

得到函數(shù)丁=5皿（的+0）的圖象；再把正弦曲線y=sin（3+在上各點(diǎn)向右（左）平移

|2|個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)〉=$抽（5）的圖象：然后使曲線的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?

co

倍，最終得到函數(shù)y=sinx的圖象。

1T

【師生活動(dòng)】學(xué)生已經(jīng)用圖形計(jì)算器畫出y=sin/和y=3sin（2x+1）的圖象，然后思

考如何通過三種變換且不限定順序，使y=3sin（2x+1）的圖象得到y(tǒng)=sinx的圖象？并

用圖形計(jì)算器新建一頁，觀察改變丁=Asin（5+e）中的三個(gè)參數(shù)變量驗(yàn)證自己的想法，

或者幫助自己思考。然后師生一起分析得出依然一共六種方法。

練1選擇題：

1.要得到函數(shù)y=J^sinx的圖象，只需將函數(shù)y=J5cos（2工一?）的圖象上所有的

點(diǎn)（）

人橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平行移動(dòng)J個(gè)單位長(zhǎng)度