滬科版初三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié) (二)

初三數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

I.二次函數(shù)的概念:一般地，形如尸渡+法+c（a,b,c是常數(shù)，"0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這

里需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類似，二次項(xiàng)系數(shù)而人c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)

數(shù).

2.二次函數(shù)y=o?+瓜+c的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.

⑵〃，〃，c是常數(shù)，〃是二次項(xiàng)系數(shù)，。是一次項(xiàng)系數(shù)，。是常數(shù)項(xiàng).

二、二次函數(shù)的基本形式

I.二次函數(shù)基本形式：j的性質(zhì):

a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

4的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x>0IbJ,），隨X的增人而增人：x<0時(shí)，隨

4>0向上(0,0)y軸

x的增大而減小；x=。時(shí)，y有最小值0.

x>0時(shí)，），隨x的增大而減??；x<0時(shí)，）：隨

fl<0向下(0,0)y軸

x的增大而增大；X=0時(shí)，y有最大值0.

2.y=ad+c的性質(zhì):

上加下減。

〃的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x>0時(shí)，），隙x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨

a>0向上(0,c)y軸

x的增大而減?。还?0時(shí)，y有最小值c.

x〉0時(shí)，），隨x的增大而減?。粁<0時(shí)，》隨

a<0向下(0,c)y軸

x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值c.

3.y=〃（x-/?）2的性質(zhì):

左加右減。

a的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x>〃時(shí)，），隨K的增大而增大；x<〃時(shí)，），隨

00向上（八。）X=h

x的增大而減小；x=〃時(shí)，y有最小值0.

〃時(shí)，y隨xft勺增大而減??；x<〃時(shí)，），隨

”0向下(/?,0)X=h

工的增大而增大；x=〃時(shí)，），有最大值0.

4.），=〃（工一人）2+女的性質(zhì):

。的符號開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

x＞力時(shí)，），隨X的增大而增大；x＜〃時(shí)，），隨

”0向上X=h

3,k)x的增大而減??；x=〃時(shí)，y有最小值

X〉/1時(shí)，y隨工的增大而減小；時(shí)，），隨

a<0向下（陽無）X=h

x的增大而增大；x=〃時(shí)，），有最大值k.

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟：

方法一：⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式），=〃（“-，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)（人〃）：

⑵保持拋物線y=ad的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到他，4）處，具體平移方法如下：

向上（Q0）【或向下伏＜0）】平移|&|個(gè)單位I---------

y=ax----------------------------------y=ax2+k

向右（力＞0）【或左S＜0）】

向右（力【或左（力

向右S＞0）【或左（人〈0）］平移因個(gè)單位＞0）＜0）］

平移陽個(gè)單位平移四個(gè)單位

向上（Q0）【或下伏＜0）】

平移I川個(gè)單位

產(chǎn)。（小力）2卜

向上（Q0）【或下（k0）】平移固個(gè)單位~力尸二人戶十人

2.平移規(guī)律

在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“力值正右移，負(fù)左移；攵值正上移，負(fù)下移

概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”.

方法二：

（Dy=+/?x+c沿y軸平移:向上（下）平移機(jī)個(gè)單位，），=。工2+人工+。變成

y=ax1+bx+c+m(或y=ar2+bx+c-m)

（2）y=ax2+/?x+c沿軸平移：向左（右）平移/??個(gè)單位，y=ax2+Z?x+c變成

y=a(x+m)2+b(x+m)+c(或y=a(x-m)2+b(x-in)+c)

四、二次函數(shù)），=與y=ax2+Zzx+c的比較

從解析式上看，y=a（x-與），=aP+A+c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前

1

HFIb2,h,Aac—b

.者，即y(=ax+\—4a+c---b-----其中力=——,k=---------.

[2aJ4a

五、二次函數(shù)），=ad+Zu+c圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法；利用配方法將二次函數(shù)y=十幾十?；癁轫旤c(diǎn)式九尸十人,確定其開口方向、

對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與），軸

的交點(diǎn)（O，c、）、以及（0,c）關(guān)于對稱軸對?稱的點(diǎn)（2〃，c）、與x軸的交點(diǎn)（百，0）,（王，（））（若與x軸

沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)）.

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與），軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)丁=0^+法+。的性質(zhì)

L當(dāng)”。時(shí)，拋物線開口向上,對稱軸為…金頂點(diǎn)坐標(biāo)為局，叫

當(dāng)一（時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)時(shí)，），隨x的增大而增大；當(dāng)…今時(shí)，），有最小

值處上

4a

2.當(dāng)。<0時(shí)，拋物線開口向下，對稱軸為x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為土土也當(dāng)x<_2時(shí)，y隨

2a2a4a2a'

x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)一以時(shí)，y有最大值上詈?

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

I.一般式：y=ax2+bx+c（a,b?c為常數(shù)，a/0）；

2.頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2+k（a>h,2為常數(shù)，a*0）；

3.兩根式：y=?（x-xl）（x-x!）（。工0,%，%是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式/可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只

有拋物線與x軸有交點(diǎn)，即〃2-4改20時(shí)，拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式

的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)。

二次函數(shù)），=a^+bx+c中，。作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然0Ho.

（1）當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，。的值越大，開口越小，反之。的值越小，開口越大；

（2）當(dāng)〃<0時(shí)，拋物線開口向下，。的值越小，開口越小，反之。的值越大，開口越大.

總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，。的正負(fù)決定開口方向，時(shí)的大小決定開口的大小.

2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)。確定的前提下，0決定了拋物線的對稱軸.

⑴在〃>0的前提下，

Ao

當(dāng)〃〉0時(shí),-即拋物線的對稱軸在y軸左惻;

2W匕

O

當(dāng)〃=0時(shí),-五即拋物線的對稱軸就是），軸；

當(dāng)/,<0時(shí)-，-A>o,即拋物線對稱軸在），軸的右惻.

2a

（2）在〃<0的前提下，結(jié)論剛好與.上述相反，即

當(dāng)〃〉0時(shí)，-—>0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè):

2a

O

當(dāng)/?=()時(shí),-即拋物線的對稱軸就是），軸;

當(dāng)〃<（）時(shí)，一_L〈0,即拋物線對稱軸在y軸的左［則.

2a

總結(jié)起來，在。確定的前提下，〃決定了拋物線對稱軸的位置.

?！ǖ姆柕呐卸ǎ簩ΨQ軸工=-2在），軸左邊則?！?gt;o,在），軸的右側(cè)則H?<O,概括的說就是

2a

“左同右異”

總結(jié)：

3.常數(shù)項(xiàng)c

（1）當(dāng)時(shí)，拋物線與丁軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正：

⑵當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與,，軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與），軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0：

（3）當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與），軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與），軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來，。決定了拋物線與），軸交點(diǎn)的位置.

總之，只要〃，〃，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.

二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根

據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：

1.己知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點(diǎn)式；

3.已知拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；

4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

1.關(guān)于x軸對稱

丁=加+Z?x+c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是y=-ax2-bx-c；

y=a（x-0）2+k關(guān)于x軸對稱后，得至I」的解析式是），=一。（工一人）2—公

2.關(guān)于），軸對稱

y=ax2+Z?x+c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=cvc-bx+c；

y=a（x-h）2+k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是y=a（x+/?/+Z；

3.關(guān)于原點(diǎn)對稱

y=ax2+bx+c關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-ax2+bx-c；

y="x―廳+%關(guān)于原點(diǎn)對稱后，得至lj的解析式是y=—〃（x+萬丫一女；

4.關(guān)于頂點(diǎn)對稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

），=奴2+hx+c關(guān)于頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是尸一/_bx+c_^_.

y=?（x-//）2+k關(guān)丁頂點(diǎn)對稱后，得到的解析式是y=-q（大一/7）2十%.

5.關(guān)于點(diǎn)（〃?，〃）對稱

y=?（x-/z）2關(guān)于點(diǎn)（"?，〃）對稱后，得到的解析式是y=-々（％+力-2〃?）~+2〃一k

根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此同永遠(yuǎn)不變.求

拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原

拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，

然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

I.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程方2+bx+C=0是二次函數(shù)y=ar+法+c當(dāng)函數(shù)值y=0時(shí)的特殊情況.

圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

①當(dāng)△=〃-4ac＞0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)4（百，0）,B（±，0）（工1*W），其中的西，々是一元二次

方程加'十+c=0（。戶0）的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x2-x）|=.

②當(dāng)八=0時(shí)，圖象與/軸只有一個(gè)交點(diǎn)；

③當(dāng)△＜（）時(shí)，圖象與X軸沒有交點(diǎn).

V當(dāng)。＞0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有＞＞（）；

2'當(dāng)。＜0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實(shí)數(shù)，都有.y＜0.

2.拋物線），=公2+〃x+c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,c）；

3.一次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程：

⑵求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

（3）根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)），=ar?+公+。中。，b,。的符號，或由二次函數(shù)中a,b,c的符號

判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo)，或三知與x軸的一

個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ar2+展+4。工0）本身就是所含字母x的二次函數(shù)；

下面以a＞0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

A>0拋物線與X軸有二次三項(xiàng)式的值可正、一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根

兩個(gè)交點(diǎn)可零、可負(fù)

A=0拋物線與X軸只二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

有一個(gè)交點(diǎn)

A<0拋物線與X軸無二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

交點(diǎn)

二次函數(shù)圖像參考:

十一、函數(shù)的應(yīng)用

‘剎車距離

二次函數(shù)應(yīng)用,何時(shí)獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型

1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：

已知以x為自變量的二次函數(shù)），=（加一2）x2+〃，一加一2的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，則m的值是

2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查

兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù))，二丘+人的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)>=丘2+〃_￥—1的圖像大致是()

3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選

拔性的綜合題，如：

已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點(diǎn)，對稱軸為x=求這條拋物線的解析式。

4.考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：

3

已知拋物線y=ad+br+c(aWO)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是一弓

(1)確定拋物線的解析式；(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).

5.考杳代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項(xiàng)壓軸題。

【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

例1(1)二次函數(shù))，=or2+w+c的圖像如圖1,則點(diǎn)M(瓦￡)在()

a

A.第一象限B.第二象限C.第三象限3.第四象限

(2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a^O)的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當(dāng)x=l

和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.

例2.已知二次函數(shù)y=ax、bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,0)>(xi,0),且1<XK2,與y軸的正半軸的交

點(diǎn)在點(diǎn)(0,2)的下方.下列結(jié)論：①a<b<0；②2a+c>0；③4a+c<0；④2a-b+l>0,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

答案：D

會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個(gè)根為〉:二-2,且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線

x=2,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()

A(2,-3)B.(2,1)C(2,3)I).(3,2)

答案：C

例4、如圖(單位：m),等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿百線L向正方形移動(dòng)，直到AB與CD重合.設(shè)

x秒時(shí)，三角形與正方形重疊部分的面積為yn『.

(1)寫出y與x的關(guān)系式；

(2)當(dāng)x=2,3.5時(shí)，y分別是多少？

(3)當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí),

三角形移動(dòng)了多長時(shí)間？求拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)、

對稱軸.

例5、已知拋物線y二—x2+x--.

22

（1）用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對?稱軸.

（2）若該拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,求線段AB的長.

【點(diǎn)評】本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，笫（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的

關(guān)系.

例6、”已知函數(shù)），=4/十加+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c,-2）,

求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無法辨認(rèn)的文字。

（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請寫出求解過程，

并畫出二次函數(shù)圖象；若不能，請說明理由。

（2）請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。

點(diǎn)評：對于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)

論“函數(shù)圖象的對稱軸是x=3”當(dāng)作已知來用，再結(jié)合條件”圖象經(jīng)過點(diǎn)A（c,一2）”，就可以列出兩個(gè)

方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第（2）小題，只要給

出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添

加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)

的坐標(biāo)等。

［解答］（1）根據(jù)一區(qū)的圖象經(jīng)過點(diǎn)人（c,-2）,圖象的對稱軸是x=3,

1,,c

—c~+hc+c=-2,

2

得1b0

----r=3,

解得,

所以所求二次函數(shù)解析式為y=^x2-3x^2.圖象如圖所示。

（2）在解析式中令y=0,得g/-3x+2=0,解得區(qū)=3+仆,8=3-右.

所以可以填“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3+石,0）”或“拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是

（3-底0）.

令x=3代入解析式，得y二—|,

所以拋物線y=1x2-3x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

所以也可以填拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,-2）等等。

2

函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實(shí)背景理解函數(shù);

將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。

用二次函數(shù)解決最值問題

例1已知邊長為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點(diǎn)

P,使矩形PNDM有最大面積.

【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué)

生的綜合應(yīng)用能力.同時(shí)，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.

例2某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的FI銷售量y（件）之間的關(guān)系

如下表：

X（元）152030???

y（件）252010???

若口銷售量y是銷售價(jià)x的一次函數(shù).

（1）求出日銷售量y（件）與銷售價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？

口54+〃=25,

【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.貝〃解得k=-1,b二40,即一次函數(shù)表達(dá)

2k+b=2O

式為y=-x+40.

（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為w元

w=（x-10）（40-x）=-X2+50X-400=-（X-25）2+225.

產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每口獲得最大銷售利澗為225元.

【點(diǎn)評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)

某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最省）”的設(shè)問中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）

問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.

二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題

一、選擇題

1.二次函數(shù)y=f-4工一7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（2,-11）B.（-2,7）C.（2,11）D.（2,-3）

2.把拋物線》=-2/向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是（）

A.y——2（x+l）~B.y——2（x—1）~C.y——2A'+1I）,y——2——1

k

3.函數(shù)了二日2—4和），=-（/:HO）在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的（）

X

4.已知二次函數(shù)y=依2+笈+4。工0）的圖象如圖所示,則下列結(jié)論：①a,b同號;②

當(dāng)x=|和x=3時(shí)，函數(shù)值相等;③4。+〃=0④當(dāng)），=—2時(shí)，x的值只能取0.其中正

確的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.已知二次函數(shù)y二依？+Z?x+c（awO）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（T,-3.2）及部分圖象（如圖）,

由圖象可知關(guān)于元的一元二次方程小+bx+c=（）的兩個(gè)根分別是玉=1.3和占=

（）

A.-1.3B.-2.3C.-0.3I）.-3.3

6.已知二次函數(shù)y=依?+及+。的圖象如圖所示，則點(diǎn)（g0c）在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限I）.第四象限

2

7.方程2"-爐二一的正根的個(gè)數(shù)為（）

x

A.()個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè).3個(gè)

8.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-l,0),與y軸交于點(diǎn)C,且0C=2.則這條拋物線的解析式為

A.y=j^-x-2B.y=-f+x+2

C.y=￡-x-2或y=+工+2D.y=-x2-x-2^y=jC+x+2

二、填空題

9.二次函數(shù)y=x2+hx+3的對稱軸是太=2,則8=______.

10.已知拋物線y=-2（x+3）2+5,如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是.

11.一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：①圖象過點(diǎn)（一1,2）,②當(dāng)XV0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;

滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是（只寫一個(gè)即可）。

12.拋物線），=23-2）2-6的頂點(diǎn)為口已知直線），=—心+3過點(diǎn)C,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的

三角形面積為“

13.二次函數(shù)y=2/-4x—1的圖象是由），=2x2+法+c的圖象向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位

得到的，則b=,c=o

14.如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地

方，橋的高度是（兀取3.14）.

三、解答題：

15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x+3=0,圖象經(jīng)過（1,-6）,且與y軸的交點(diǎn)為（0,-1）.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；C

（2）當(dāng)x為何值時(shí),這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為o?

（3）當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值），隨x的增大而增大？AZ--------才------

第15題圖

16.某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h（米）和時(shí)間t（秒）符合關(guān)系式〃=（0<tW2）,其中重

力加速度g以10米/秒2計(jì)算.這種爆竹點(diǎn)燃后以vo=2O米/秒的初速度上升，

（1）這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？

（2）在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由.

17.如圖，拋物線）=/+法-。經(jīng)過直線丁二工一3與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交

點(diǎn)A、B,此拋物線與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,拋物線頂點(diǎn)為1）.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使5刖改：SMS=5:4的點(diǎn)P

的坐標(biāo)。

18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代俏是指廠家先免費(fèi)提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行

結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）.當(dāng)每噸售價(jià)為260元時(shí)，月銷售量為45噸.該建材店為提高經(jīng)營利潤，

準(zhǔn)備采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價(jià)每下降10元時(shí)，月銷售量就會(huì)增加7.5

噸.綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用10。元.設(shè)每噸材料售價(jià)為x（元）,

該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）.

（1）當(dāng)每噸售價(jià)是240元時(shí)，計(jì)算此時(shí)的月銷售量；

（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價(jià)應(yīng)定為每噸多少元？

（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大時(shí)，月銷售額也最大你認(rèn)為對嗎？請說明理由.

相似三角形基本知識

知識點(diǎn)一；放縮與相似形

1.圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)。

2.把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是相似的圖形，或者就說是相似性。

注意：⑴相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位宜、顏色、大小無關(guān)。

⑵相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。

⑶我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.

⑷若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例一一全等形.

3.相似多邊形的性質(zhì):如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊

的長度成比例。

注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對應(yīng)邊的長度的比值是1.

知識點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)

（1）有關(guān)概念

1、比：選用同一長度單位顯得兩條線段。a、b的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比是a：b=m：

a_m

n（或人〃）

2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。

說明：求兩條線段的比時(shí)，對這兩條線段要用同一單位長度。

3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如冷

a_c

4、比例外項(xiàng)：在比例了d（或a：b=c：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。

a_c

5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例不一，（或a：b=c：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。

。_C

6、第四比例項(xiàng)：在比例E一力（或a：b=c：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。

a_b

7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為廠7（或a:b=b:c時(shí)，我們把b用做a和d的比

例中項(xiàng)。

8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即

；二三（或a：b=c：d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求襄段比時(shí)，紋段也

ba

位黑統(tǒng),,單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）

（2）比例性質(zhì)

ad=be

1.基本性質(zhì)：hd（兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）

2.合比性質(zhì)：f=三=字=手（分子加（減）分母，分母不變）

bdbd

注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間

b-a_d-c

發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如：@=￡=1ac.

bda-b_c-d

a+bc+cl

3.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.）

,acein,.「八、，。+c+e+…a

如果一=-=-=,,,=—（zb+d+f+,,,+//^0）,那么-----------------=—.

bdfn〃+"/+???+〃b

注意：（i）此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)k法”，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法.

（2）應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零.

（3）可利用分式性質(zhì)將連等式的每個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立.

知識點(diǎn)三：黃金分割

1）定義:在線段相上，點(diǎn)C把線段A4分成兩條線段AC和4cse>8C）,如果把二"，即AC?二ABxBC,

ABAC

那么稱線段被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)。叫做線段八E的黃金分割點(diǎn)，4c與48的比叫做黃金比。

其中4。二A8^0.618AB。

2

2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).

BD=-AB

作法：①過點(diǎn)B作BDLAB,使2；

②連結(jié)AD,在DA上截取DE=DB；

③在AB上截取AC=AE,則點(diǎn)C就是所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：

AC=BC_邪-\

"AB~~AC~2.（只要求記?。?/p>

3）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。

知識點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理

（一）平行線分線段成比例定理

1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比.

例.已知11〃12〃1力

cFL

.ABDE—ABDE*

可得「；=——或寺，

BCEFACDF

2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.

ADApRDPCAF）Ap

由DE〃BC可得：叱=把或叱=與或"=空.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛，條件是平

DBECADEAABAC

行.

3.推論的逆定理：如果?條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比例.那么這

條直線平行于三角形的第三邊.（即利用比例式證平行線）

4.定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對

應(yīng)成比例.

5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另

一條直線上截得的線段也相等。

★★★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理

定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應(yīng)成比例。

幾何語言AABE中BD/7CE

ABAD±_±

JBCDE簡記：下下

ABADBC_DE±_±1—1

歸納：ACAE和4。4E推廣：類似地還可以得到全全和全全

★★★三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.

★★★三角形一邊的平行線的判定定理

三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線

平行于三角形的第三邊.

三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三

邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.

★★★平行線分線段成比例定理

1.平行線分線段成比例定理：

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

DEBCEFABDE

用符號語言表示:ADZ/BEZ/CF,

BC~EF'~AC~~DF'~AC~~DF

2.平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所

截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.

ADUBEnCF

用符號語言表示：

DE=DF

重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.

重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍.

知識點(diǎn)三：相似三角形

1、相似三角形

1）定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。

幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。

兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。

兩個(gè)等邊三角形一定相似。

兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。

補(bǔ)充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；

2）性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。

3）相似比：兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。

如△A8C與AOE尸相似，記作相似比為k。

4）判定：①定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似，

②三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

二角形相似的判定定理，

判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩

個(gè)三角形相似.簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.（此定理用的最多）

判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾

角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.

判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這

兩個(gè)三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.

直角三角形相似判定定理：

①.斜動(dòng)與一條直角功對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。

②.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三

角形也相似。

相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.

②相似三角形對應(yīng)氤對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相似比（對應(yīng)邊的比）.

③相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的平方.

2、相似的應(yīng)用：位似

1）定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖

形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。

需注意：①位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不

一定是位似圖形。

②兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。

③兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的?側(cè)。

④位似比就是相似比。

2）性質(zhì)：①位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。

②位似圖形是一種特殊的相似圖形，它乂具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似

中心的距離等于位似比（相似比）。

③每對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行。

0

圖2

直角三角形的性質(zhì)

I、直角三角形的兩個(gè)銳角互余

可表示如下：ZC=90°=>ZA+ZB=90°

2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。

ZA=30°

可表示如下：〔=>BC=—AB

I2

ZC=90°J

3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

NACB=90°[

可表示如下：==>CD=-AB=BD=AD

2

D為AB的中點(diǎn)J

4、勾股定理

直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方，即/+;?=/

5、攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中

項(xiàng)，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項(xiàng)

ZACB=90°CCDr=AD?BD

=AC2=AD?AB

J

CD±ABlBd=BD?AB

6、常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得:

AB?CD=AC?BC

DB

二、直角三角形的判定

1、有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形°

2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a,b,c有關(guān)系。2+〃2=。2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。

三、銳角三角函數(shù)的概念（3?8分）

1、如圖，在aABC中，ZC=90°

①銳角A的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦,記為sinA,即

NA的對邊a

sinA=

斜邊

②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦,記為cosA,即

NA的鄰邊b

cosA=

斜邊c

③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切,記為tanA,即NA的鄰邊

NB的對邊

NA的對邊a

NA的鄰邊b

④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做NA的余切，記為cotA,即cot4=幺婆粵二匚

NA的對邊a

2、銳角三角函數(shù)的概念

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做NA的銳角三角函數(shù)

3、一些特殊角的三角函數(shù)值

0J

三角函數(shù)0°30°60