浙教版七年級下冊數(shù)學(xué)舉一反三系列 專題71 期中期末專項復(fù)習(xí)之平行線十八大（學(xué)生版）

專題7.1平行線十八大考點

【浙教版】

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】.....................................................1

【考點2三線八角中的截線問題】...............................................................2

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】.....................................................4

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】............................................................6

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】.........................................................7

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】.....................................................9

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】........................................................10

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】.........................................12

【考點9平行線的運(yùn)用（單一輔助線）】........................................................14

【考點10平行線的運(yùn)用（多條輔助線）】........................................................16

【考點11平行線在折疊問題的運(yùn)用】.............................................................18

【考點12平行線在三角尺中的運(yùn)用】............................................................19

【考點13平行線中的規(guī)律問題】................................................................21

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】................................................................23

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】..................................................................25

【題型16圖形的平移】.........................................................................26

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】................................................................27

【題型18利用平移解決實際問題】..............................................................28

力“浮一又三

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】

【例1】（2022?河南新鄉(xiāng)?七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.Z1和N2是同旁內(nèi)角B.Z1和N3是對頂角

C.N3和N4是同位角D.Z1和N4是志錯角

【變式1-1］（2022?青海?中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了"三線八角〃圖形，如圖所示（兩大

拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角

B.同位角、內(nèi)錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內(nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

【變式1-2］（2022?河北保定?七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是（）

B.N2與N3是內(nèi)錯角

C./人與/8是同旁內(nèi)角

D.NA與N3是同位角

【變式1-3］（2022?河南?商水縣希望初級中學(xué)七年級期末）如圖所示，同位角有0對，內(nèi)錯角有力對，同旁

【考點2三線八角中的截線問題】

【例2】（2022?四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級期末）如圖，已知N1和/2是內(nèi)錯角，則下列表述正確的是

()

D

E

A./1和/2是由直線4。、4c被CE所截形成的

B./1和/2是由直線％。、AC被B。所載形成的

C.N1和N2是由直線04、OB被CE所載形成的

D./1和/2是由直線。人、。4被AC所載形成的

【變式2-1】（2022?山東濟(jì)寧?七年級期末）如圖，"8。與""是（）形成的內(nèi)錯角

A.直線、被直線所截B.直線、被直線所截

jDm4r4nDAAA

C.直線“°、被直線所截D.直線“、”被直線所截

【變式2-2］（2022?甘肅?隴西縣鞏昌中學(xué)七年級期末）如圖，N2與N3是直線、—被第三條直線

所截形成的.

【變式2-3］（2022?全國?七年級）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出:

⑴直線C。和被直線AC所截構(gòu)成的內(nèi)錯角.

⑵直線CQ和AC被直線AQ所截構(gòu)成的同位角.

（3）直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進(jìn)行證明】

【例3】（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知：求證:

"（,）.

LA=/BED.、

.

"（己知），

.麗）=”（等量代換）

—M—（）,

.??出二〃（）.

【變式3-1］（2022?黑龍江?遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期末）如圖所示，ABlCD,

宜線七戶分別交4B,CD

于點G,H,是NO//G的平分線.

（1）如果G"是/8GE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和4N的位置關(guān)系;

ABWD

證明:

zBGE=（兩直線平行，同位角相等.）

?「GM是/8GE的平分線,

HN是乙Q，G的平分線

?*?

zMGE=ZNHG（等量代換）

「.GM和"N的位置關(guān)系是,（）.

⑵如果GM是/AG”的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）

⑶如果GM是N8G”的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的

位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想不必證明.

【變式3-2]（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖已知：4/CD,CI^EF,AE平分N8AC,AC±CE,有

以下結(jié)論：①A8IIEF：②2/1-Z4=90°：③2/3-Z2=180°：④/3+：Z4=135%其中，正確的結(jié)論有.（填

序號）

1

【變式3-3]（2022?廣東?廣州市第四中學(xué)七年級期末）如圖1,在四邊形ABC。中，40sqZ/4=ZC.

(1)求證：ZB=ND;

（2）如圖2,點E在線段人。上，點G在線段人。的延長線上，連接BG,4AEB=24G,求證：BG是NEBC

的平分線;

（3）如圖3,在⑵的條件下，點E在線段A。的延長線上，NEOC的平分線?！苯?G于點兒若NA8E=66。,

求NBHD的度數(shù).

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】

【例4】（2022?河南洛陽?七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板”3繞中點。上下轉(zhuǎn)動，立柱”與

地面垂直，當(dāng)橫板48的A端著地時，測得4°40=28：則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可

以轉(zhuǎn)動的角度為（）

A.28°B.56°C.62°D.84°

?1=7S*

【變式4-1］（2022?山東臨沂?七年級期末）如圖將木條s〃與。釘在一起，.要使木條。與〃平

行，木條a順時針旋轉(zhuǎn)了35°,N2是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【變式4-2］（2022?云南昆明?七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊8C,

在同一條直線上，現(xiàn)將三角板。七尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)E尸第一次與平行時，r的度數(shù)是（

A

E

A.15°B.30°C.45°D.75°

【變式4-3］（2022?湖南永州?七年級期末）如圖，直線現(xiàn)將一個含30。角的直角三角板的銳角頂點8放

在直線’2上，將三角板繞點8旋轉(zhuǎn)，使直角頂點。落在人與‘2之間的區(qū)域，邊A，與直角”相交于點°,若

"1=35：則圖中的42的值為（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】

【例5】（2022?湖南?測試?編輯教講五七年級期末）如圖，己知/1=NC,Z2=Z3,FGJ_AC于G,你能說明

8。與4C互相垂直嗎？

E12

G

3

BC

【變式5-1］（2022?安徽合肥?七年級期末）請補(bǔ)充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù).

如圖，已知"〃叫￡F1SC,￡1=^2.試證明：AD1BC,

解：因為“〃8A（已知），

所以“=血。（

).

因為“=.（已知），

所以（等量代換），

所以（）.

所以乙EK'=（兩直線平行，同位角相等）

因為EFJ.8C（已知），

LEFB=90°

所以

所產(chǎn)zwjnr—次qn*（等量代換），

所以（垂直的定義）.

【變式5-2】（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，.1",垂足為"，"=30?-8=60,

（1）從"與8c平行嗎？為什么？

（2）根據(jù)題中的條件，能判斷A"與,。平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們

平行（不必說明理由）.

【變式5-3］（2022?全國?七年級）已知：直線MMPQ被A8所截，且MMIPQ,點C是線段/IB上一定點,

點D是射線AN上一?動點，連接CD.

⑴在圖1中過點。作CE_LCO,與射線BQ交于E點.

①依題意補(bǔ)全圖形；

②求證：ZAQC+NBEC=90°；

⑵如圖2所示，點?是射線6Q上一動點，連接CRZDCF=CL,分別作NNQC與N。尸。的角平分線交于

點G,請用含有a的代數(shù)式來表示NQGP,并說明理由.

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】

【例6】（2022?福建福州?七年級期末）如圖，在△4SC中，點。，七分別在48,AC上，點尸,G在BC上,

EF與QG交于點。，"+"=18°：4=7

⑴判斷OE與8c的位置關(guān)系，并證明;

，、甘UED+Z.EFC=118'什/‘

⑵若，求的度數(shù).

【變式6-1］（2022?河南溪河?七年級期末）己知：如圖,ZA=ZADE,ZC=ZE.

（1）若NEOC=3NC,求NC的度數(shù)：

（2）判斷BE與CO的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式6-2】（2022?廣東湛江?七年級期末）如圖所示，已知射線由1?！?"a4”^。：E、F在CB上,

且滿足"08="°8,.平分"”根據(jù)上述條件，解答下列問題：

OCWAB

(l)i正明:

（2）求"喝度數(shù);

⑶若平行移動4B,那么408C：4°FC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由.

【變式6-3］（2022?北京密云?七年級期末）已知：點C是NAOB的04邊上一點（點C不與點。重合），

點D是NAOB內(nèi)部一點，射線CQ不與。8相交.

（1）如圖1,/408=90。，ZOCD=120°,過點。作射線。E,使得OE〃CD.（其中點E在NAOB內(nèi)部）.

①依據(jù)題意，補(bǔ)全圖1;

②直接寫出NBOE的度數(shù).

⑵如圖2,點F是射線。8上一點，且點F不與點。重合，當(dāng)〃.二雙。""e"、，過點尸作射線

FH,使得H7〃C。（其中點”在NAOB的外部），用含0的代數(shù)式表示NOCO與NBF”的數(shù)量關(guān)系，并證

明.

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

【例7】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線ABII直線CD,光線EF經(jīng)

過鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線GH.光線反射時，Z1=Z2,Z3=Z4,下列結(jié)論：①直線EF平

行于直線GH；②NFGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③NBFE的角平分線所在的直線垂直于N4

的角平分線所在的直線；④當(dāng)CD繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是

（）

X—￡

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③

【變式7-1］（2022?江蘇宿遷?七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和

被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡匕一束光線4°射在其中一

塊MN上，經(jīng)另外一塊NF反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平行，請給予證明

MA

NC

【變式7-2］（2022?浙江杭州?七年級期末）（1）若組成乙1和乙之的兩條邊互相平行，且“是"的2倍小15：

求”的度數(shù).

（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁"始終平行于4瓦“與上拉桿CF形成的主柱

垂直于地面，通過調(diào)整和后拉桿的位置來調(diào)整籃筐的高度.當(dāng)'時，點”，D,8在同一直

線上，求段的度數(shù).

G__H

AB

【變式7-3]（2022?湖南?師大附口梅溪湖中學(xué)七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線"BIICD）

如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自力逆時針旋轉(zhuǎn)至P8便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線自QD

逆時針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視.設(shè)燈P轉(zhuǎn)動的速度是10度/秒，

燈Q轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心.

（1）若把燈P自力轉(zhuǎn)至PB,或者燈Q自Q。轉(zhuǎn)至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的

時間;

（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，求NPMQ；

（3）在兩燈同時開啟后的35秒內(nèi)，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？

（備用圖）

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

[?8]（2022?河北唐山?七年級期末）己知三角形ABC,"皿交直線"8于點區(qū)"MB交直線北于點》

BCB

圖1備用圖

⑴如圖1,若點尸在邊8c上，直接寫出44c與的數(shù)量關(guān)系；

OZ

⑵若點尸在邊的延長線上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，乂有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由.

【變式8-1］（2022?湖北襄陽?七年級期末）如圖，已知0是射線AM上一動點（不與點A重合），

BC,BD分別平分NABP與NPBN,分別交射線AM于點C,D.

⑴鏟4=50：求“80的度數(shù)；

（2）在點尸的運(yùn)動過程中，/8以與/8D4的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，

請求出NBPA與NBDA的數(shù)量關(guān)系；

⑶當(dāng)點P運(yùn)動到使NAC8=/ABQ時，探究NABC與NDBN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式8-2】（2022?安徽合肥?七色級期末）已知：宜線碼8,經(jīng)過直線”上的定點「的直線"交C”于點

.點同在點°右側(cè)，點*的左側(cè)時，連接滿足"「"二

，點，為直線上的兩點，目

,C//\P

OMN

F

圖1圖2

⑴如圖】，若由=25：MP=5°：直接寫出“”的度數(shù)為：______.

⑵如圖2,射線為"PE的角平分線，用等式表示乙丫。。與

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

，點。在線段AC上，DA8C交A8于點石，點

【變式8-3］（2022?湖北孝感?七年級期末）在三角形ABC中

尸在線段上（點尸不與點A,E,8重合），連接。尸，過點。作FG'F"交射線C8于點G.

⑴如圖1,點尸在線段8E上,

①用等式表示/EQ"與N8G”的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

?、诤笕缪輬D，求證：UBC+￡BFG-Z.EDF=90°

⑵當(dāng)點尸在線段AE上時，依題意，在圖2中補(bǔ)全圖形，請直接用等式表示/E。/與/8G/的數(shù)量關(guān)系,

不需證明.

【考點9平行線的運(yùn)用（單一輔助線）】

4811c"，點P、。分別在A8、CO上，在兩直線間取一點E.

【例9】（2022?四川德陽?七年級期末）已知:

/4\*“囪4七、T

(1)如圖1,求證：#=UPE+ACQ“E；

⑵將線段EQ沿。C平移至FG,乙CGF的平分線和乙4PE的平分線交于直線A3、內(nèi)部一點從

①如圖2,若‘""I求/勺度數(shù);

②如圖3,若點/在直線AB、CO內(nèi)部，且P/平分的E連接小，若&=E請直接寫

出山與〃的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

【變式9-1]（2022?廣東梅州?八年級期末）已知：N4OB=0（0。<°<90。）,一塊三角板CDE中，ZCED

=90。，ZCDE=30°,將三角板Q9E如圖所示放置，使頂點C落在06邊上，經(jīng)過點。作直線MNIIOB交

OA邊于點M,且點M在點。的左側(cè).

D

/F―\/E//\/E

°CB0FC3

圖1圖2

⑴如圖1,若CEIIOA,EF11MN,NNDE=45°,求0的度數(shù)；

⑵若NMOC的平分線。尸交OB邊于點凡如圖2,當(dāng)。尸IIOA,且°=60。時，證明：CEIIO八.

【變式9?2】(2022?峽西西安?八年級期末)在綜合與實踐課上，同學(xué)們以“一個含30。的直角三角尺和兩條

平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動如圖1，已知兩直線且必力和直角三角形ABC,LBCA=9°\的°=30：

(1)在圖1中，Z1=46°,求N2的度數(shù)；

(2)如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線。向上平移，并把N2的位置改變，發(fā)現(xiàn)‘2-'1"120：說明理由；

⑶競賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,當(dāng)AC平分/用/時，此時

發(fā)現(xiàn)N1與/2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請寫出/1與/2的數(shù)量關(guān)系并證明.

【變式9-3](2022?遼寧葫蘆島?七年級期末)如圖1,點A在直線MN上，點B在直線sr上，點C在MM

ST之間，且滿足NMAC+N4CB+/SBC=360。.

M---夫---------NM--------NM--------

N

〉一

S-------------------------TS——----------TS——J-----------T

BBB

圖1圖2圖3

⑴證明：MM巴

（2）如圖2,若N4CB=60。,ADKB,點E在線段BC上,連接4E,且NDAE=2NCBT,試判斷NCAE與NCAN

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3,若NAC8=45。，點E在線段8c上，連接4E,若/MAE=4/CBT,直接寫出NCAE：NCAN的

值.

【考點10平行線的運(yùn)用（多條輔助線）】

【例I?！浚?022?云南普洱?七年級期末）已知三角板A/C中，N/MC'=6CT,N3=30",ZC-90tf,長方形

DEFG中,DE//GF.如圖（1）,若將三角板A8C的頂點A放在長方形的邊6上，8C與。石相交于點M,

ABLDE于點、N.

⑵若將三角板人按圖（2）所示方式擺放（人4與。f不垂直），請你猜想NEWC與的數(shù)量關(guān)系？

并說明理由.

⑶請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究NBAG與/8M。的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【變式10-1】（2022?湖北武漢?七年級期末）直線'KE,8E-EC是一條折線段，80平分”8E

，、…廿8PKE-LBEC+LDCE=180-

⑴如圖1,若，求證：；

（2）C。平分直線BP,CQ交于點F.

/RFr/RFr

①如圖2,寫出和的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②當(dāng)點￡在直線相，CQ之間時，若=直接寫出?,的大小.

【變式10-2】（2022?廣東?新豐縣教育局教研室七年級期末）細(xì)觀察，找規(guī)律.

①圖①中的+”產(chǎn)度.

②圖②中的+"?+“3=度.

③圖③中的“+從+乂+認(rèn)=度.

④圖④中的“I++“3+乙&+“5=度.

⑤第⑩個圖中的“I+A4?+Uy+…+=度.

⑥鏟個圖中的從+-+4+...+=度.

①圖甲中4、用'。的數(shù)量關(guān)系是.

②圖乙中代〃，"，"的數(shù)量關(guān)系是.

③圖丙中T〃，一"，里加，”的數(shù)量關(guān)系是

【變式10-3】（2022?北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)分校七年級期天）已知，如圖1,射線PE分別與直線A8,

CO相交于E、F兩點,NPFQ的平分線與直線"相交于點M,射線PM交CQ于點N,設(shè)NPFM=a°,^EMF

v'80-2a

=C。，且mv+|6-40|=0

圖1圖2圖3

（l）a=，B=;直線A4與。。的位置關(guān)系是；

（2）如圖2,若點G、〃分別在射線和線段上，且NMGH=NPNF,試找出NBWN與N之間存

在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：

⑶若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3）,分別與AB、CO相交于點M/和點N/時，作

4"跖

NPM1B的角平分線M1Q與射線根相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中g(shù)的值是否改變？若不變，請求出

其值；若變化，請說明理由.

【考點11平行線在折疊問題的運(yùn)用】

【例II】（2022?山東濰坊?七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊'""SC,則翻折角41

與一定滿足的關(guān)系是（）

C

匚二^__陵二

AB

A—2Z2B—+〃=9。.一―2=3。D.2z.l-3z.2=30°

【變式11-1】（2022?山東?滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級期末）如圖,四邊形A6CO中，點M、N分別在

AB.BC上,將ABM/V沿MN翻折，得△FMN,若M/llAD,FNTTDC.則NB=（）

D

A.60°B.70°C.80°D.90°

【變式11-2】（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，ZACB=90°,將三角形ABC向下翻折,

使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DEIIBC.

【變式11-3】（2022?江蘇,常州市第二十四中學(xué)七年級期末）在A4BC中，NBAC=90。，點。是8c上一點,

將AA8D沿A。翻折后得到△/1&）,邊AE交BC于點F.

（備用圖）

⑴如圖①，當(dāng)A￡_L4C時，寫出圖中所有與N8相等的角：:所有與/C相等的

角：?

（2）若/C-Z8=50°,ZBAD=x°'l0<.\<45）.

①求NB的度數(shù);

②是否存在這樣的X的值，使得廠中有兩個角相等.若存在，并求X的值；若不存在，請說明理由.

【考點12平行線在三角尺中的運(yùn)用】

【例12】（2022?浙江寧波?七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，?邊重合，,

△MC=30：接著如圖2保持三角板'S'不動，將三角板'°。繞著點C按順時針以每秒15°的速度旋轉(zhuǎn)。夕后

停止.在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間秒時，三角板'8有一條邊與三角板力BC的一條邊

恰好平行.

rE

【變式12-1]（2022?河北?青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點L與點“重

合，8。邊與“邊都在直線'上，若直線MMMC,且經(jīng)過點2則=.

【變式12-2】（2022?四川達(dá)州?八年級期末）一副三角板AOE和A8C按如圖1所示放置，點B在斜邊A。

上，其中NE=N84C=90。，ND=45。,ZC=30°.現(xiàn)將三角板ADE固定不動，三角板ABC繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)""<"<L,使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2,當(dāng)N加￡）=15。時，BC1DE,則/BAD

其他所有可能符合條件的度數(shù)為.

C

DBA

圖1圖2

【變式12-3】（2022?江蘇蘇州?七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，石在AC

上，=4=60：乙。=45[小明將々。石從圖中位置開始，繞點'按每秒'的速度順

時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第秒時，邊48與邊DE平行.

【考點13平行線中的規(guī)律問題】

【例13】（2022?山東泰安?期末）如圖，ASK。，點七為兩直線之間的一點

，一⑸廿HAE=35°"CE=2(r1UEC=

(1)如圖1,若，，貝nI」.

血E+LAEC+LECD=360*

⑵如圖2,試說明,

⑶①如圖3,若用AE的平分線與的平分線相交于點R判斷與"FC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由:

LBAF^LFAE"）CF—dCE“

②如圖4,若設(shè)‘。一°""請直接用含m、的代數(shù)式表示”的度數(shù).

【變式13-1】（2022?山東煙臺?七年級期末）問題情境：

如圖1,ABWCD,/以6=130。，ZPCD=120°.求N4PC的度數(shù).小明的思路是：過P作。EIIA4,通過

平行線性質(zhì)，可得/APC=Z-APE+ZCP￡=50o+60°=110°.

問題解決：

（1）如圖2,ABWCD,直線/分別與48、CD交于點M、N,點尸在直線/上運(yùn)動，當(dāng)點尸在線段MN上

運(yùn)動時（不與點W、N重合），ZPAB=a,ZPCD=p,判斷N4PC、a＞。之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運(yùn)動時.請直接寫出NAPC、a、8之間的

數(shù)最關(guān)系；

（3）如圖3,ABWCO,點。是A3、CO之間的一點（點夕在點4C右側(cè)），連接以、PC,NZMP和NDCP

的平分線交于點Q.若NAPC=116。，請結(jié)合（2）中的規(guī)律，求N4QC的度數(shù).

圖1圖2圖3

（1）如圖①，已知圖中“，”43之間有什

【變式13-2]（2022.四川?樹德中學(xué)七年皴期末）

么關(guān)系？

（2）如圖②，已知48設(shè)0,圖中*1-2,*3,々之間有什么關(guān)系？

（3）如圖③,已知他CD請直接寫出圖中41,42,*3,Z.445之間的關(guān)系

（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

【變式13-3】（2022?北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級期末）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計了一種折疊紙

條的游戲.如圖1，紙條的一組對邊PNIIQM（紙條的長度視為可延伸），在PN,QM上分別我一點A,B,

使得NABM=@如圖2,將紙條作第一次折疊，使8M與BA在同一條直線上，折痕記為8%.

解決下面的問題:

（1）聰明的小白想計算當(dāng)a=9（T時，/8比八的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問題，請幫他補(bǔ)全

問題并求解：如圖3,PNIIQM,A,B分別在PMQM上，且NABM=90。，由折疊：叫平分,

BMIIR】N,求/8比\的度數(shù).

M'

（2）聰穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿AR1折置紙條（如圖4）,是否有可

能使_LBR]？如果能，請直接寫出此時。的度數(shù)；如果不能，請說明理由.

（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當(dāng)0。＜失90。時，將圖2汜為第一次折錢；將紙條展開，作第二次折

疊，使8M與BRi在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使8M與BR2在

同一條直線上,折痕記為BR3；...以此類推.

①第二次折疊時，/時義=（用。的式子表示）；

②第n次折疊時，/叫'=（用.和n的式子表示）.

RU坪

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】

【例14]（2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校七年級期末）將兩個等邊三角形（每個內(nèi)角都等于60。）如圖1

疊放在一起，現(xiàn)將ACDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為°（旋轉(zhuǎn)角°,＜窗＜36。清探究下列問題：

⑴如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足0"、<°Q一<60"時，請寫出NBC。與NACE的關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60時，請寫出NBCE與/A。。的關(guān)系，并說明理由;

⑶當(dāng)OE//3c時請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【變式14-1】（2022?福建泉州?七年級期末）現(xiàn)有一塊含300角的直角三角板其直角頂點°在直線?上,

將三角板4°%著點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn),2的度數(shù)（。?<“<360）.

請你解決下列問題：

⑴當(dāng),2的度數(shù)為多少時，'BW（不必說理）；

⑵如右圖，作4cL于點C,3D11于點0,試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角（不包含該圖

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明.

【變式14-2】（2022?河南?漂河市郊城區(qū)哪城初級中學(xué)七年級期末）如圖1,已知PQ'M"，點A,B分別在

“四網(wǎng)上，且HINTS,，射線.同繞點人順時針旋轉(zhuǎn)至.便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是〃秒），射線”

繞點及順時針旋轉(zhuǎn)至可便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是〃。/秒）、旦〃滿足S-3|+（bT）-=°,

圖1

n=b=

(1)_____________

⑵如圖2,兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒（,<60），兩條旋轉(zhuǎn)射線交于點c,過C作8LAC交PQ

于點，求用“與用CD的數(shù)量關(guān)系;

⑶若射線8F先旋轉(zhuǎn)20秒，射線'V才開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線"旋轉(zhuǎn)時間為/秒J<16°）,若旋轉(zhuǎn)中A"11”

求/的值.

【變式14-3】（2022?浙江湖州?七年級期末）如圖1,已知直線制嗎"MN=6°,射線ME從MA出發(fā),

繞點以每秒。度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)”‘后立即以相同的速度返回，到達(dá)“°后繼續(xù)改變方向，

繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線NF從發(fā)，繞點"以每秒5度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達(dá)N3后停止運(yùn)動,

|4a+b=17

此時"E也同時停止運(yùn)動.其中“滿足方程組13a-2b=1°.

⑴求巴"的值;

⑵若先運(yùn)動30秒，然后ME一起運(yùn)動，設(shè)“￡運(yùn)動的時間為,,當(dāng)運(yùn)動過程中時，求'的值；

⑶如圖2,若ME與心同時開始轉(zhuǎn)動，在ME第一次到達(dá)“0之前，"E與仃交于點［過點「作PQ工盟區(qū)于點

0,交直線48于點4則在運(yùn)動過程中，若設(shè)4VME的度數(shù)為團(tuán)，請求出小力、的度數(shù)（結(jié)果用含小的代數(shù)式

表示）.

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】

【例15】（2022春?浙江湖州?七年級統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（）

①方向盤的轉(zhuǎn)動；②打氣筒打氣時，活塞的運(yùn)動；③鐘擺的擺動；④汽車雨刷的運(yùn)動

A.①②B.②③C,①②④D.②

【變式15-1】（2022春?重慶壁山七年級校聯(lián)考期中）今年4月，被稱為“豬兒蟲〃的璧山云巴正式運(yùn)行.云

巴在軌道上運(yùn)行可以看作是（）

A.對稱B.旋轉(zhuǎn)C.平移D.跳躍

【變式15-2】（2022春?湖北宜昌,七年級統(tǒng)考期末）如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時

從點A出發(fā)爬到點從只考慮路徑、時間、路程等因素，下列結(jié)論正確的為（）

A.乙比甲先到B.甲比乙先到

C.甲和乙同時到D.無法確定哪只螞蟻先到

【變式15-3】（2022春?廣