2025年春人教版數(shù)學(xué)九年級下冊課件 27.2.3 相似三角形應(yīng)用舉例

第二十七章

相似27.2相似三角形27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例新課導(dǎo)入你看過或聽過解密埃及金字塔的故事嗎？你知道古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯是怎樣求出金字塔的高度的嗎？探究新知據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個相似三角形，來測量金字塔的高度.

1如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.解：太陽光是平行光線，因此∠BAO=∠EDF．又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF．

因此金字塔的高度為134m.

(1)本例中是如何構(gòu)造相似三角形求高的？太陽光是平行光線,金字塔的影子和木棍的影子在同一時(shí)刻的投影可以構(gòu)成兩個相似的三角形，相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比.(2)在太陽光下，如何利用影長求物體高度，你能從中得出什么結(jié)論？表達(dá)式：物1高：物2高=影1長：影2長測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決.如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q

和S，使點(diǎn)P，Q，S

共線且直線PS與河垂直，接著在過點(diǎn)S

且與PS

垂直的直線a

上選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)T，確定PT

與過點(diǎn)Q

且垂直PS

的直線b

的交點(diǎn)R．已測得QS=45m，ST=90m，QR=60m，請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算河寬PQ．

2PRQSbTa

PQ×90=(PQ+45)×60.解得PQ=90(m).因此，河寬大約為90m.解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，PRQSbTa∴△PQR∽△PST.

(1)構(gòu)造相似三角形求河寬，至少需要測量幾個數(shù)據(jù)？至少需要測量三個數(shù)據(jù)，PRQSbTaQS，

ST，

QR的三個數(shù)據(jù).(2)利用全等能求河寬嗎？請?jiān)O(shè)計(jì)出具體方案．PQaORbS如圖，我們可以在河對岸選定一個目標(biāo)點(diǎn)P，在近岸取點(diǎn)Q

，連接點(diǎn)P，Q，使直線PQ

與河垂直，接著在垂直PQ

的直線a

上取點(diǎn)O、R．使點(diǎn)O是線段QR的中點(diǎn)，過點(diǎn)R做垂直于直線a的直線b，連接OP，并延長直線OP交直線b于點(diǎn)S.由此△OPQ≌△OSR，河寬PQ=SR.ASA知識歸納1．同一時(shí)刻的太陽光線下，物高與影長成比例．2．利用相似三角形解決問題的基本方法是：構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)求解．例題與練習(xí)例1

如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個人估計(jì)自己眼睛距離地面1.6m，她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路

l從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端C

了?(1)(2)分析：如圖(1)，設(shè)觀察者眼睛的位置(視點(diǎn))為點(diǎn)F，畫出觀察者的水平視線FG，F(xiàn)G交AB，CD于點(diǎn)H，K.視線FA，F(xiàn)G的夾角∠AFH

是觀察點(diǎn)A

的仰角.類似地，∠CFK

是觀察點(diǎn)C

時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū)域Ⅰ和Ⅱ都在觀察者看不到的區(qū)域(盲區(qū))之內(nèi).(1)(2)解：如圖(2)，假設(shè)觀察者從左向右走到E點(diǎn)時(shí)，她的眼睛的位置點(diǎn)E與兩棵樹的頂端A，C恰在一條直線上.

解得EH=8（m）由此可見，當(dāng)她與左邊較低的樹的距離小于8m時(shí)，就不能看到右邊較高的樹的頂點(diǎn)C了.∴△AEH∽△CEK.∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD.例2

九年級(1)班課外活動小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度，已知標(biāo)桿高度CD＝3m，標(biāo)桿與旗桿的水平距離BD＝15m，人的眼睛與地面的高度EF＝1.6m，人與標(biāo)桿CD的水平距離DF＝2m，求旗桿AB的高度．解：由已知得CG∥AH，∴△CGE∽△AHE，∴AH＝11.9(m)

∴AB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)．答：旗桿AB的高度為13.5m.

例3

如圖，花叢中有一路燈桿AB.在燈光下，小明在點(diǎn)D處的影長DE＝3m，沿BD方向行走到點(diǎn)G，DG＝5m，這時(shí)小明的影長GH＝5m．如果小明的身高為1.7m，求路燈桿AB的高度．(精確到0.1m)解:根據(jù)題意，得AB⊥BH，CD⊥BH，F(xiàn)G⊥BH.在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB⊥BH，CD⊥BH，∴CD∥AB，∴△CDE∽△ABE，

答：路燈桿AB的高度約為6.0m.又∵CD＝FG＝1.7m，解得BD＝7.5m．將BD＝7.5m代入①，得AB＝5.95m≈6.0m.

課堂小結(jié)1．測量不能直接測量的物體的高度：2．測量不能直接測量的兩點(diǎn)間的距離：3．把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型.通常用同一時(shí)刻物高與影長成比例解決．通常構(gòu)造相似三角形求解．隨堂檢測1．教材P41練習(xí)第1，2題．2．如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5m有一棵樹，在北岸邊每隔50m有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15m的點(diǎn)P處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為_____m.22.53．如圖，為了測量一棵樹CD的高度，測量者在點(diǎn)B處立一根高為2m的標(biāo)桿，觀測者站在點(diǎn)F處時(shí)，觀測者的眼睛E與標(biāo)桿頂A和樹頂C在同一條直線上，若測量得到BD＝6.4m，F(xiàn)B＝1.6m，EF＝1.6m，求樹的高度．解:過點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，交AB于