2024-2025學年IBHL數(shù)學AI模擬試卷：數(shù)據(jù)分析與建模難題解答

2024-2025學年IBHL數(shù)學AI模擬試卷：數(shù)據(jù)分析與建模難題解答一、數(shù)據(jù)分析與應用要求：運用所學的數(shù)據(jù)分析方法，對給出的數(shù)據(jù)進行處理和分析，得出合理的結(jié)論。1.請閱讀以下數(shù)據(jù)，并回答問題：-以下是一組某城市居民年消費支出數(shù)據(jù)（單位：元）：2000,2500,3000,3500,4000,4500,5000,5500,6000,6500,7000,7500,8000,8500,9000。（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。（2）繪制這組數(shù)據(jù)的莖葉圖。（3）根據(jù)數(shù)據(jù)，判斷該城市居民年消費支出的一般水平。2.某公司為了了解員工的工作效率，對20名員工的工作時長（單位：小時）進行了調(diào)查，數(shù)據(jù)如下：7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26。（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)。（2）判斷這組數(shù)據(jù)是否呈正態(tài)分布，并說明理由。（3）根據(jù)數(shù)據(jù)，分析員工的工作效率。二、概率與統(tǒng)計推斷要求：運用所學的概率和統(tǒng)計推斷方法，對給出的數(shù)據(jù)進行處理和分析，得出合理的結(jié)論。1.某班有30名學生，其中男生18名，女生12名。現(xiàn)從該班隨機抽取3名學生，求以下概率：（1）抽取的3名學生中至少有1名女生的概率。（2）抽取的3名學生中都是女生的概率。2.某公司對生產(chǎn)的電子元件進行了抽樣檢測，檢測結(jié)果如下：-100個元件中有5個不合格。-200個元件中有8個不合格。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷該批電子元件的質(zhì)量是否合格。（2）如果從該批電子元件中隨機抽取1個元件，求其不合格的概率。三、線性回歸與預測要求：運用所學的線性回歸方法，對給出的數(shù)據(jù)進行處理和分析，得出合理的結(jié)論。1.某城市近5年的GDP（單位：億元）和人口數(shù)量（單位：萬人）如下：-2019年：GDP為5000億元，人口為300萬人。-2020年：GDP為5200億元，人口為320萬人。-2021年：GDP為5400億元，人口為340萬人。-2022年：GDP為5600億元，人口為360萬人。-2023年：GDP為5800億元，人口為380萬人。（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，建立GDP與人口數(shù)量的線性回歸模型。（2）預測2024年該城市的GDP和人口數(shù)量。四、概率分布與期望值要求：根據(jù)所給的概率分布，計算期望值和相關(guān)概率。1.某班學生參加數(shù)學競賽，成績分布如下：-優(yōu)秀（90-100分）：概率為0.2-良好（80-89分）：概率為0.3-中等（70-79分）：概率為0.4-及格（60-69分）：概率為0.1（1）計算該班學生數(shù)學競賽成績的期望值。（2）如果隨機抽取一名學生，求其成績?yōu)閮?yōu)秀的概率。2.拋擲一枚公平的六面骰子，求以下概率：（1）擲出的點數(shù)為奇數(shù)的概率。（2）連續(xù)擲兩次，兩次擲出的點數(shù)之和為7的概率。五、假設(shè)檢驗要求：運用所學的假設(shè)檢驗方法，對給出的數(shù)據(jù)進行處理和分析，得出合理的結(jié)論。1.某品牌手機在廣告中宣稱其電池續(xù)航能力平均為300小時。為了驗證這一說法，隨機抽取了10部手機進行測試，得到以下數(shù)據(jù)（單位：小時）：295,310,280,320,298,305,285,325,300,310。（1）假設(shè)手機電池續(xù)航能力的總體標準差為σ=20小時，使用0.05的顯著性水平進行假設(shè)檢驗。（2）根據(jù)檢驗結(jié)果，判斷該品牌手機電池續(xù)航能力的廣告宣傳是否合理。六、時間序列分析要求：運用所學的時間序列分析方法，對給出的數(shù)據(jù)進行處理和分析，得出合理的結(jié)論。1.某城市近10年的年降水量（單位：毫米）如下：500,550,480,530,510,540,520,560,530,510。（1）繪制該城市年降水量的時間序列圖。（2）根據(jù)時間序列圖，分析該城市年降水量的變化趨勢。（3）如果需要預測未來一年的年降水量，你會采用哪種時間序列分析方法？請簡要說明理由。本次試卷答案如下：一、數(shù)據(jù)分析與應用1.（1）平均數(shù)：(2000+2500+3000+3500+4000+4500+5000+5500+6000+6500+7000+7500+8000+8500+9000)/15=5600元。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間的數(shù)為5000元。眾數(shù)：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為6000元。（2）莖葉圖：莖：2|葉：000莖：3|葉：000莖：4|葉：000莖：5|葉：000莖：6|葉：000莖：7|葉：000莖：8|葉：000莖：9|葉：000（3）根據(jù)數(shù)據(jù)，該城市居民年消費支出的一般水平為5000元左右。2.（1）平均數(shù)：(7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25+26)/20=16.5小時。中位數(shù)：將數(shù)據(jù)從小到大排列，位于中間的數(shù)為16小時。眾數(shù)：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為16小時。（2）這組數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布，因為數(shù)據(jù)分布較為均勻，且平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)接近。（3）根據(jù)數(shù)據(jù)，員工的工作效率較高，平均工作時長為16.5小時。二、概率與統(tǒng)計推斷1.（1）至少有1名女生的概率為1-(1-0.2)^3=0.848。（2）都是女生的概率為0.2^3=0.008。2.（1）根據(jù)抽樣結(jié)果，不合格元件的比例為(5+8)/(100+200)=0.13，因此該批電子元件的質(zhì)量不合格。（2）不合格的概率為0.13。三、線性回歸與預測1.（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，建立GDP與人口數(shù)量的線性回歸模型：y=0.8x+300其中，y表示GDP，x表示人口數(shù)量。（2）預測2024年該城市的GDP和人口數(shù)量：GDP=0.8*380+300=6440億元人口數(shù)量=380萬人四、概率分布與期望值1.（1）期望值=(90*0.2+85*0.3+75*0.4+65*0.1)=78分。（2）成績?yōu)閮?yōu)秀的概率為0.2。2.（1）擲出的點數(shù)為奇數(shù)的概率為(1/2)^2=0.25。（2）連續(xù)擲兩次，兩次擲出的點數(shù)之和為7的概率為(1/6)^2=0.027。五、假設(shè)檢驗1.（1）假設(shè)檢驗的統(tǒng)計量為：z=(樣本均值-總體均值)/(總體標準差/√樣本容量)z=(300-300)/(20/√10)=0由于統(tǒng)計量z=0，且p值大于0.05，因此不能拒絕原假設(shè)，即該品牌手機電池續(xù)航能力的廣告宣傳合