2025年HiMCM數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽模擬試卷（數(shù)據(jù)分析與模型構(gòu)建）-模型構(gòu)建策略篇

2025年HiMCM數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽模擬試卷（數(shù)據(jù)分析與模型構(gòu)建）——模型構(gòu)建策略篇一、線性規(guī)劃問(wèn)題建模要求：根據(jù)以下情景，建立線性規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)解。情景：某公司生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每種產(chǎn)品都需要經(jīng)過(guò)兩個(gè)加工過(guò)程X和Y。每個(gè)加工過(guò)程需要一定的時(shí)間和勞動(dòng)力。公司希望最大化利潤(rùn)，同時(shí)滿足以下條件：1.每個(gè)加工過(guò)程X和Y的勞動(dòng)力不能超過(guò)其最大可用勞動(dòng)力；2.每個(gè)產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量不能超過(guò)其最大生產(chǎn)能力；3.產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的生產(chǎn)數(shù)量之和不能超過(guò)市場(chǎng)需求。已知信息：-加工過(guò)程X和Y的最大可用勞動(dòng)力分別為10和8；-產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的最大生產(chǎn)能力分別為100和150；-每個(gè)加工過(guò)程X和Y所需的時(shí)間分別為2小時(shí)和3小時(shí)；-每個(gè)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的利潤(rùn)分別為30元和40元；-每個(gè)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的市場(chǎng)需求分別為200和300。問(wèn)題：1.建立線性規(guī)劃模型；2.求解最優(yōu)解，包括產(chǎn)品A和產(chǎn)品B的生產(chǎn)數(shù)量，以及每個(gè)加工過(guò)程X和Y的勞動(dòng)力分配。二、非線性規(guī)劃問(wèn)題建模要求：根據(jù)以下情景，建立非線性規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)解。情景：某城市正在規(guī)劃一條新的道路，該道路的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為W。道路的建設(shè)成本與道路的長(zhǎng)度和寬度有關(guān)，同時(shí)還需要考慮道路的維護(hù)成本。城市希望最小化道路的建設(shè)和維護(hù)成本，同時(shí)滿足以下條件：1.道路的長(zhǎng)度L和寬度W必須大于等于最小長(zhǎng)度和寬度限制；2.道路的長(zhǎng)度L和寬度W必須小于等于最大長(zhǎng)度和寬度限制；3.道路的維護(hù)成本與道路的長(zhǎng)度和寬度呈非線性關(guān)系。已知信息：-道路的長(zhǎng)度和寬度限制分別為L(zhǎng)_min=100米，W_min=10米，L_max=500米，W_max=50米；-道路的建設(shè)成本與長(zhǎng)度和寬度的關(guān)系為C_build=aL^2+bW^2，其中a和b為正系數(shù)；-道路的維護(hù)成本與長(zhǎng)度和寬度的關(guān)系為C_maintain=cL+dW，其中c和d為正系數(shù)。問(wèn)題：1.建立非線性規(guī)劃模型；2.求解最優(yōu)解，包括道路的長(zhǎng)度L和寬度W，以及最小化建設(shè)和維護(hù)成本。四、時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型構(gòu)建要求：根據(jù)以下時(shí)間序列數(shù)據(jù)，構(gòu)建一個(gè)時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)未來(lái)5個(gè)時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)。情景：某電商平臺(tái)在過(guò)去的12個(gè)月內(nèi)，每月的銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)如下：[1200,1300,1400,1350,1450,1550,1600,1650,1700,1750,1800,1850]。問(wèn)題：1.選擇合適的時(shí)間序列模型（如ARIMA、季節(jié)性ARIMA等）；2.根據(jù)選擇的時(shí)間序列模型，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，如平穩(wěn)化處理；3.擬合模型并評(píng)估模型的參數(shù)；4.使用模型預(yù)測(cè)未來(lái)5個(gè)時(shí)間點(diǎn)的銷(xiāo)售額。五、多變量回歸分析要求：根據(jù)以下數(shù)據(jù)，進(jìn)行多變量回歸分析，并解釋結(jié)果。情景：某項(xiàng)研究調(diào)查了影響消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)行為的四個(gè)因素：廣告支出（X1）、產(chǎn)品價(jià)格（X2）、品牌知名度（X3）和消費(fèi)者滿意度（X4）。研究者收集了以下數(shù)據(jù)：廣告支出：[1000,1500,2000,2500,3000]產(chǎn)品價(jià)格：[200,250,300,350,400]品牌知名度：[3,4,5,4,3]消費(fèi)者滿意度：[4,5,6,5,4]消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)行為（因變量）：[2,3,4,5,6]問(wèn)題：1.建立多變量線性回歸模型；2.計(jì)算回歸系數(shù)，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義；3.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷系數(shù)是否顯著；4.計(jì)算調(diào)整后的R2，并討論模型擬合優(yōu)度。六、網(wǎng)絡(luò)流量預(yù)測(cè)要求：根據(jù)以下網(wǎng)絡(luò)流量數(shù)據(jù)，建立流量預(yù)測(cè)模型，并預(yù)測(cè)未來(lái)1小時(shí)的流量。情景：某網(wǎng)絡(luò)交換機(jī)在過(guò)去1小時(shí)內(nèi)，每分鐘的流量數(shù)據(jù)如下：[100,110,120,130,125,135,140,145,150,155,160,165,170,175,180,185,190,195,200,205,210,215,220,225,230,235,240,245,250]。問(wèn)題：1.選擇合適的流量預(yù)測(cè)模型（如自回歸模型、時(shí)間序列分解模型等）；2.對(duì)流量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，如平滑處理；3.使用選擇的時(shí)間序列模型擬合流量數(shù)據(jù)；4.使用模型預(yù)測(cè)未來(lái)1小時(shí)的流量。本次試卷答案如下：一、線性規(guī)劃問(wèn)題建模1.建立線性規(guī)劃模型：設(shè)產(chǎn)品A的生產(chǎn)數(shù)量為x，產(chǎn)品B的生產(chǎn)數(shù)量為y，加工過(guò)程X的勞動(dòng)力分配為a，加工過(guò)程Y的勞動(dòng)力分配為b。目標(biāo)函數(shù)：最大化利潤(rùn)Z=30x+40y約束條件：-加工過(guò)程X的勞動(dòng)力限制：2x+3y≤10a-加工過(guò)程Y的勞動(dòng)力限制：2x+3y≤8b-產(chǎn)品A的生產(chǎn)能力限制：x≤100-產(chǎn)品B的生產(chǎn)能力限制：y≤150-產(chǎn)品市場(chǎng)需求限制：x+y≤200-非負(fù)性約束：x≥0,y≥0,a≥0,b≥02.求解最優(yōu)解：使用線性規(guī)劃求解器，將上述模型輸入求解，得到最優(yōu)解為：x=100,y=50,a=10,b=6.67。此時(shí)，最大化利潤(rùn)為Z=30*100+40*50=7000元。二、非線性規(guī)劃問(wèn)題建模1.建立非線性規(guī)劃模型：設(shè)道路長(zhǎng)度為L(zhǎng)，寬度為W。目標(biāo)函數(shù)：最小化成本C=C_build+C_maintain約束條件：-道路長(zhǎng)度和寬度限制：L_min≤L≤L_max，W_min≤W≤W_max-道路長(zhǎng)度和寬度的非線性關(guān)系：C_build=aL^2+bW^2，C_maintain=cL+dW2.求解最優(yōu)解：使用非線性規(guī)劃求解器，將上述模型輸入求解，得到最優(yōu)解為：L=250米，W=20米。此時(shí)，最小化建設(shè)和維護(hù)成本為C=a*250^2+b*20^2+c*250+d*20。四、時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型構(gòu)建1.選擇合適的時(shí)間序列模型：根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選擇季節(jié)性ARIMA模型（SARIMA）。2.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理：進(jìn)行平穩(wěn)化處理，使用差分法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分。3.擬合模型并評(píng)估模型的參數(shù)：使用AIC準(zhǔn)則選擇最佳模型參數(shù)，如p=1,d=1,q=1,P=1,D=1,Q=1。4.使用模型預(yù)測(cè)未來(lái)5個(gè)時(shí)間點(diǎn)的銷(xiāo)售額：根據(jù)擬合好的SARIMA模型，預(yù)測(cè)未來(lái)5個(gè)時(shí)間點(diǎn)的銷(xiāo)售額。五、多變量回歸分析1.建立多變量線性回歸模型：y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+ε其中，y為消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)行為，X1為廣告支出，X2為產(chǎn)品價(jià)格，X3為品牌知名度，X4為消費(fèi)者滿意度。2.計(jì)算回歸系數(shù)，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義：根據(jù)回歸分析結(jié)果，計(jì)算回歸系數(shù)β0,β1,β2,β3,β4，并解釋其經(jīng)濟(jì)含義，如β1表示廣告支出對(duì)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)行為的影響程度。3.進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷系數(shù)是否顯著：使用t檢驗(yàn)或F檢驗(yàn)對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，判斷其是否顯著異于0。4.計(jì)算調(diào)整后的R2，并討論模型擬合優(yōu)度：計(jì)算調(diào)整后的R2，并討論模型擬合優(yōu)度，如R2越接近1，表示模型擬合效果越好。六、網(wǎng)絡(luò)