傾斜角與斜率

第二章《直線和圓的方程》2.1.1傾斜角與斜率【劃重點(diǎn)】1．了解直線的斜率和傾斜角的概念.2．理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3．了解斜率公式的推導(dǎo)過(guò)程，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).【例題詳解】一、直線的傾斜角例1(1)過(guò)兩點(diǎn)和的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直線的斜率公式計(jì)算即可求出.【詳解】斜率，傾斜角為，，．故選：D(2)直線的傾斜角為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】利用直線與軸垂直即可求得答案【詳解】因?yàn)橹本€與軸垂直，故直線的傾斜角為故選：C跟蹤訓(xùn)練1(1)直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可.【詳解】直線；；故選：C(2)下列圖形中，對(duì)直線的傾斜角與斜率描述正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角定義及傾斜角與斜率的關(guān)系可以判斷.【詳解】對(duì)于:傾斜角為鈍角,且,則,與已知矛盾,故錯(cuò)誤;對(duì)于:傾斜角定義:軸正向與直線向上的方向之間所成的角為傾斜角,傾斜角錯(cuò)誤,故錯(cuò)誤;對(duì)于:傾斜角為鈍角,且,則,,故正確;對(duì)于:傾斜角定義:軸正向與直線向上的方向之間所成的角為傾斜角,傾斜角錯(cuò)誤,故錯(cuò)誤;故選:.二、直線的斜率例2(1)下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線的傾斜角越大，它的斜率越大； B．兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也相等；C．任何一條直線都有唯一的斜率； D．任何一條直線都有唯一的傾斜角．【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率概念分別判斷即可.【詳解】對(duì)于:直線的傾斜角,,所以錯(cuò)誤；對(duì)于:兩直線的傾斜角相等為,斜率不存在,所以錯(cuò)誤；對(duì)于:當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)直線斜率不存在，所以錯(cuò)誤；對(duì)于:任何一條直線都有唯一的傾斜角．所以正確.故選：.(2)已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率公式列式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，，可得直線的斜率為，可得.故選：C跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖，直線l的斜率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖中求出直線l的傾斜角，再根據(jù)斜率公式求出直線l的斜率.【詳解】如圖，直線l的傾斜角為30°，tan30°，所以直線l的斜率為.故選：B.(2)直線過(guò)點(diǎn)，，則直線的斜率為_(kāi)_____，傾斜角為_(kāi)_____.【答案】1/【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的定義求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，，所以直線的斜率，由斜率可得傾斜角為，故答案為：；三、斜率與傾斜角的變化關(guān)系例3(1)如圖，已知直線的斜率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題圖，利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角分別為，由題圖知，直線的傾斜角為鈍角，.又直線的傾斜角均為銳角，且，，.故選：D.(2)設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，由圖可得的范圍，即可得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則有，，作出()的圖象，如圖所示：由此可得.故選：A.(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，即可得答案.【詳解】由題意經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，可知，且，解得，即實(shí)數(shù)m的范圍是，故選：C跟蹤訓(xùn)練3(1)已知直線l的斜率為，則直線l的傾斜角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，為銳角，所以．故選：C(2)若直線的斜率為，傾斜角為且，則的取值范圍是_________________.【答案】【分析】直接利用斜率和傾斜角的關(guān)系來(lái)得答案.【詳解】，且，或，即的取值范圍是.故答案為：.四、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍例4(1)已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合圖形以及傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】直線的斜率分別為,結(jié)合圖形可知：直線過(guò)點(diǎn)且與線段相交時(shí)，，故選：B(2)已知兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與線段有交點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別求出點(diǎn)與線段端點(diǎn)所成直線的斜率，即可得直線的斜率范圍，再由傾斜角與斜率關(guān)系求傾斜角范圍即可求解.【詳解】由題意：如下圖所示：所以，，則，若直線的傾斜角，則，所以，故選：.跟蹤訓(xùn)練4(1)直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍.【詳解】直線化為，由題可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，解得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，解得，若直線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，則有或，即.故選：A(2)已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示點(diǎn)與與直線的斜率取值范圍，先求出與點(diǎn)連線斜率，再結(jié)合題意即可得出答案.【詳解】解：∵，∴可得為點(diǎn)與與直線的斜率取值范圍，如圖所示：∴與點(diǎn)連線斜率為，與點(diǎn)連線斜率為，∴可得斜率取值范圍為．故選:A．【課堂鞏固】1．以下四個(gè)命題，正確的是（

）A．若直線l的斜率為1，則其傾斜角為45°或135°B．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為銳角C．若直線的傾斜角存在，則必有斜率與之對(duì)應(yīng)D．若直線的斜率存在，則必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)【答案】D【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的概念依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：直線的斜率為1，則直線的傾斜角為，故A錯(cuò)誤；B：過(guò)點(diǎn)A、B的直線的斜率為，即(為直線的傾斜角)，則為鈍角，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，該直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；D：若直線的斜率存在，則必存在對(duì)應(yīng)的傾斜角，故D正確.故選：D.2．已知直線的斜率為,則的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)斜率和傾斜角之間的關(guān)系即可得傾斜角.【詳解】解:因?yàn)樾甭蕿?,設(shè)直線傾斜角為,,所以,即.故選:D3．已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，該直線的傾斜角為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)表示直線斜率求出直線的斜率，再由斜率的定義即可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，，所以直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故選：C.4．若直線l的斜率k=2，又過(guò)一點(diǎn)(3，2)，則直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（

）A．(0，4) B．(4，0)C．(0，4) D．(2，1)【答案】B【分析】利用斜率公式逐個(gè)驗(yàn)證即可【詳解】對(duì)于A，，不符合題意；對(duì)于B，，所以B正確；對(duì)于C，，不符合題意；對(duì)于D，，不符合題意，故選：B5．若過(guò)點(diǎn)，的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)斜率公式求得斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率，又因?yàn)橹本€的傾斜角為銳角，所以，解得.故選：C6．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】畫(huà)出坐標(biāo)系，連接，結(jié)合斜率變化可知，，聯(lián)立斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)直線l的傾斜角為，，則，，∵直線l與連接，的線段總有公共點(diǎn)，∴，即，∴．故選：A．7．已知點(diǎn)，，若點(diǎn)在線段AB上，則的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，分別求出，，根據(jù)表示直線的斜率即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍是，故選：A.8．已知、，若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段有交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出圖形，數(shù)形結(jié)合可得出直線的斜率的取值范圍.【詳解】過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，如圖所示：設(shè)直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）時(shí)，直線的傾斜角逐漸增大，此時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的傾斜角逐漸增大，此時(shí).綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故選：D.9．已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，為的邊上一動(dòng)點(diǎn)，則直線斜率的變化范圍是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】作出圖象，求出的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.【詳解】如圖所示，，因?yàn)闉榈倪吷弦粍?dòng)點(diǎn)，所以直線斜率的變化范圍是.故選：D.10．若正方形一邊對(duì)角線所在直線的斜率為，則兩條鄰邊所在直線斜率分別為_(kāi)_____，______.【答案】【分析】建立直角坐標(biāo)系，由已知可設(shè)，根據(jù)圖象結(jié)合正方形的性質(zhì)可知，兩條鄰邊所在直線的傾斜角分別為，，根據(jù)兩角和與差的正切公式，以及直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】正方形OABC中，對(duì)角線OB所在直線的斜率為，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對(duì)角線OB所在直線的傾斜角為，則，由正方形性質(zhì)可知，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，故，.故答案為：；.11．已知三點(diǎn)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.【答案】6【分析】依題意可得，根據(jù)斜率公式計(jì)算可得.【詳解】解：因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，解得；故答案為：12．直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，則的斜率為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)已知兩點(diǎn)求斜率，以及直線斜率計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)所以直線的斜率為所以直線的傾斜角為又因?yàn)橹本€的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，所以直線的傾斜角為，所以的斜率為故答案為：.13．直線過(guò)點(diǎn)，且與以、為端點(diǎn)的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．【答案】【分析】作出圖形，求出、，觀察直線與線段的交點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線的傾斜角的變化，可得出直線的取值范圍.【詳解】如下圖所示：設(shè)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）的過(guò)程中，直線的傾斜角為銳角，此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)（不包括點(diǎn)）移動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，直線的傾斜角為鈍角，此時(shí)，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故答案為：.14．已知，，三點(diǎn).(1)若直線的傾斜角為135°，求的值.(2)是否存在，使得三點(diǎn)共線？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)存在，使得三點(diǎn)共線，【分析】（1）根據(jù)題意得，再解方程即可得答案；（2）根據(jù)三點(diǎn)共線時(shí)，列方程求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)椋?，直線的傾斜角為135°所以，，解得故的值為（2）解：因?yàn)?，，三點(diǎn).所以，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，即，解得所以，存在，使得三點(diǎn)共線，【課時(shí)作業(yè)】1．直線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出直線的傾斜角，求出其正切值，即斜率，進(jìn)而可得出傾斜角.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，由已知可得直線的斜率，又，所以?xún)A斜角是，故選：B.2．若直線l的斜率為，則該直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)斜率的定義求解.【詳解】由定義：斜率，其中為直線l的傾斜角，，又；故選：C.3．若直線的傾斜角為α，則α為（

）A．0 B． C． D．不存在【答案】C【分析】為常數(shù)，所以直線的傾斜角為，得出結(jié)果.【詳解】解：為常數(shù)，所以直線的傾斜角為.故選：C4．傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由傾斜角和兩點(diǎn)坐標(biāo)分別表示出斜率，由此可構(gòu)造方程求得的值.【詳解】直線斜率，.故選：C.5．已知直線的斜率為，直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合正切的二倍角公式，可得答案.【詳解】由直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，由直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，設(shè)直線的傾斜角為，則，，，解得或，由傾斜角的取值范圍為，則，故直線的斜率為.故選：C.6．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】直線的傾斜角是鈍角，則斜率小于0，列不等式解實(shí)數(shù)m的范圍【詳解】直線的傾斜角是鈍角，則直線斜率，解得或．故選：D．7．已知直線過(guò)點(diǎn)，且不過(guò)第四象限，則直線的斜率的最大值是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】由直線不過(guò)第四象限，可畫(huà)出所有符合要求的直線，觀察可得.【詳解】如圖，，，只有當(dāng)直線落在圖中所示位置時(shí)才符合題意，故.故直線的斜率的最大值為2．故選：A.8．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線，且直線與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫(huà)出坐標(biāo)系，連接，，，結(jié)合斜率變化可知，，聯(lián)立斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】由題知，直線的傾斜角為，則，，，且直線與連接點(diǎn)，的線段總有公共點(diǎn)，如下圖所示，則，即，.故選：B9．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解【詳解】可看作與的斜率，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以的取值范圍為，故選：A10．已知直線的斜率不存在，且，則直線的斜率為_(kāi)__________.【答案】0【分析】由直線的傾斜角結(jié)合垂直關(guān)系得出直線的斜率.【詳解】直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為0，則斜率為0故答案為：011．若直線的斜率為，則直線的傾斜角的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意可得直線的斜率，令直線的傾斜角為，則，解得，故答案為：12．線段AB，其中，，過(guò)定點(diǎn)作直線l與線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是______.【答案】【分析】計(jì)算，，得到范圍.【詳解】，，，故，，兩點(diǎn)之間橫坐標(biāo)不包含，故直線l的斜率的取值范圍是.故答案為：13．已知實(shí)數(shù)