貴州省遵義市高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題

遵義市2023~2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1．考試開始前，請(qǐng)用黑色簽字筆將答題卡上的學(xué)校，姓名，班級(jí)，考號(hào)填寫清楚，并在相應(yīng)位置粘貼條形碼．2．客觀題答題時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆答題，若需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮輕輕擦拭干凈后再選涂其它選項(xiàng)；主觀題答題時(shí)，請(qǐng)用黑色簽字筆在答題卡相應(yīng)的位置答題；在規(guī)定區(qū)域以外的答題不給分；在試卷上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè).故選：B2.命題：，的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】全稱命題的否定是將任意改為存在并否定原結(jié)論，即可得答案.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，故原命題的否定為.故選：C3.不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先移項(xiàng)，通分，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，即可求解.【詳解】，即，解得：，所以不等式的解集為.故選：B4.已知，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由，即.故選：A5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由不等式性質(zhì)及充分、必要性定義判斷條件間的關(guān)系.【詳解】由，即，充分性成立，由，若，顯然，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.定義在R上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】由題意得到，令得，，求出答案.【詳解】由題意得，，中，令得，，故.故選：B7.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是（）A. B.2C D.3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求最值，注意等號(hào)成立條件.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以目標(biāo)式最小值為.故選：C8.已知，則下列正確是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)可得且，，構(gòu)造研究單調(diào)性，進(jìn)而得到，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，且，，令，且在上單調(diào)遞增，所以，即，故，B錯(cuò)，D對(duì)；若時(shí)，，則，存在使成立，此時(shí)，A錯(cuò).若，顯然與矛盾，C錯(cuò)；故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將方程變形得到，進(jìn)而構(gòu)造判斷單調(diào)性為關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.遵義市某校高一年級(jí)甲，乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測試（100分制）成績?nèi)缜o葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.甲、乙的中位數(shù)都是83 B.甲的方差小于乙的方差C.甲、乙同學(xué)成績的極差分別是17和20 D.甲的分位數(shù)是80、乙的分位數(shù)是83【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)莖葉圖求甲乙的中位數(shù)、方差、極差，結(jié)合百分?jǐn)?shù)求法求甲的分位數(shù)、乙的分位數(shù)，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由莖葉圖知：甲數(shù)據(jù)為，乙數(shù)據(jù)為，甲乙中位數(shù)分別，，A錯(cuò)；甲的平均值，乙的平均值，故甲的方差，故乙的方差，所以甲的方差小于乙的方差，B對(duì)；甲乙的極差分別為，，C對(duì)；由，甲的分位數(shù)為，由，乙的分位數(shù)為，D錯(cuò).故選：BC10.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最大值為8 D.的最小值為4【答案】AB【解析】【分析】由基本不等式及“1”的代換求、的最值，由基本不等式求得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求的最值，由且求范圍，即可判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)且，，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A對(duì)；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B對(duì)；，而，整理有，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)；，而，故，D錯(cuò).故選：AB11.不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的3個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出2個(gè)小球，記事件：取出的兩個(gè)球是一個(gè)紅球一個(gè)白球，事件：兩個(gè)球中至少一個(gè)白球，事件：兩個(gè)球均是紅球，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】應(yīng)用列舉法寫出隨機(jī)取出2個(gè)小球的事件，根據(jù)題設(shè)描述列舉對(duì)應(yīng)事件，由古典概型的概率求法求概率.【詳解】記3個(gè)紅球?yàn)椋?個(gè)白球?yàn)?，隨機(jī)取出2個(gè)小球的事件如下，，所以，事件對(duì)應(yīng)事件有，概率為，A對(duì)；事件對(duì)應(yīng)事件有，概率為；事件對(duì)應(yīng)事件有，概率為；其中對(duì)應(yīng)事件有，概率為，B錯(cuò)；對(duì)應(yīng)事件有，概率為，C對(duì)；顯然，D錯(cuò).故選：AC12.已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn) B.存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)至少有5個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn) D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義，解方程，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)，判斷A；首先令，求得或，結(jié)合函數(shù)的圖象，討論的值，即可判斷實(shí)根個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，得，不成立，所以在區(qū)間無零點(diǎn)，所以函數(shù)無零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；令，即，即或，如圖，畫出函數(shù)的圖象，如圖，當(dāng)有2個(gè)根，時(shí)，無論為何值時(shí)，都不存在3個(gè)實(shí)數(shù)根，所以不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)至少有5個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；如上圖，當(dāng)時(shí)，，所以，無解，只有當(dāng)有2個(gè)根，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，故C正確；如上圖，當(dāng)時(shí)，，，有1個(gè)解，有2個(gè)解，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確；故選：CD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：首先求得或，再根據(jù)函數(shù)的圖象，結(jié)合的取值，利用數(shù)形結(jié)合判斷零點(diǎn)各數(shù).三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)型函數(shù)的定點(diǎn)的知識(shí)求得正確答案.詳解】當(dāng)，即時(shí)，，所以定點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：14.函數(shù)的定義域?yàn)開________________________．【答案】【解析】【分析】由對(duì)數(shù)的性質(zhì)有，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，即可求定義域.【詳解】由題設(shè)，即，故函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：15.設(shè)函數(shù)，若，則_________．【答案】【解析】【分析】由分段函數(shù)各區(qū)間對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性及已知條件求得，進(jìn)而結(jié)合解析式求目標(biāo)式函數(shù)值.【詳解】由在上遞增且值域?yàn)?，在上遞增且值域?yàn)?，又，故，即，可得，所?故答案為：16.已知函數(shù)，則的解集為_____________________．【答案】【解析】【分析】由解析式得，即關(guān)于對(duì)稱，再應(yīng)用定義求證上單調(diào)性，結(jié)合對(duì)稱性及不等式有，即可求解集.【詳解】由，則，所以關(guān)于對(duì)稱，當(dāng)，令，則，而，所以，即在上遞增，根據(jù)對(duì)稱性知：在上遞減，由，則，即，所以，即，可得，故不等式解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)解析式求得，并確定區(qū)間單調(diào)性為關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.計(jì)算下列各式：（1）；（2）．【答案】（1）15（2）0【解析】【分析】（1）利用分式指數(shù)冪和根式的運(yùn)算公式，即可化簡求值；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，和換底公式，即可求解.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式，.18.設(shè)全集，集合，集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分表示的集合；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）陰影部分表示的集合為，分別求解兩個(gè)集合，求解集合的運(yùn)算；（2）由題意可知，根據(jù)包含關(guān)系，比較端點(diǎn)值，即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，解得：，即，則或，所以陰影部分表示的集合為；【小問2詳解】由（1）可知，若，則，，所以，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.《全面加強(qiáng)和改進(jìn)新時(shí)代學(xué)校體育工作的意見》中指出：“逐步完善‘健康知識(shí)+基本運(yùn)動(dòng)技能+專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能’的學(xué)校體育教學(xué)模式，教會(huì)學(xué)生科學(xué)鍛煉和健康知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生掌握跑、跳、投等基本運(yùn)動(dòng)技能和足球、籃球、排球、田徑、游泳、體操、武術(shù)、冰雪運(yùn)動(dòng)等專項(xiàng)運(yùn)動(dòng)技能．健全體育鍛煉制度，廣泛開展普及性體育運(yùn)動(dòng)，定期舉辦學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)或體育節(jié)，組建體育興趣小組、社團(tuán)和俱樂部，推動(dòng)學(xué)生積極參與常規(guī)課余訓(xùn)練和體育競賽．合理安排校外體育活動(dòng)時(shí)間，著力保障學(xué)生每天校內(nèi)、校外各1個(gè)小時(shí)體育活動(dòng)時(shí)間，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成終身鍛煉的習(xí)慣，加強(qiáng)青少年學(xué)生軍訓(xùn)．”某市為了解高中生周末體育鍛煉時(shí)間的情況，通過隨機(jī)調(diào)查獲得了3000名學(xué)生的周末體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)按照，，，，，，分成7組，并得到如下頻率分布直方圖．（1）估計(jì)該市高中生周末體育鍛煉的平均時(shí)間（每組數(shù)據(jù)用該組中點(diǎn)值代表）；（2）為了解本市高中生周末體育鍛煉時(shí)間規(guī)劃情況，采用分層抽樣的方法從體育鍛煉時(shí)間在中抽取6人，再從6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談，求抽取的2人中恰有1人鍛煉時(shí)間在的概率．【答案】（1）分鐘（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率和為1，求的值，再根據(jù)平均數(shù)公式，即可求解；（2）首先求兩個(gè)區(qū)間的人數(shù)，再按照古典概型概率公式，即可求解.【小問1詳解】由頻率和為1，得，解得：,該市高中生周末體育鍛煉的平均時(shí)間為.所以該市高中生周末體育鍛煉的平均時(shí)間為分鐘；【小問2詳解】頻率在和的頻率之比為，則采用分層抽樣的方法從體育鍛煉時(shí)間在中抽取6人，則在抽取4人，抽取2人，設(shè)區(qū)間中的4人分別為，區(qū)間中的2人分別為，則抽取2人包含的樣本空間為，，共包含15個(gè)基本事件，其中恰有1人鍛煉時(shí)間在，包含的樣本為，，共包含8個(gè)基本事件，所以抽取的2人中恰有1人鍛煉時(shí)間在的概率.20.正安縣是中國白茶之鄉(xiāng)．在飲用中發(fā)現(xiàn)，茶水的口感與水的溫度有關(guān)．經(jīng)實(shí)驗(yàn)表明，用100℃的水泡制，待茶水溫度降至60℃時(shí)，飲用口感最佳．某實(shí)驗(yàn)小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間012345水溫℃1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從100℃經(jīng)過后溫度變?yōu)椤?，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③．（1）從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實(shí)驗(yàn)的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；（2）根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到）；（3）考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，求進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為多少．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）選模型②，且；（2）；（3）約為10℃.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及增長率，根據(jù)一次函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定模型，再結(jié)合數(shù)據(jù)求解析式；（2）令，利用指對(duì)數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求結(jié)果；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的值域，即可確定進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫.【小問1詳解】由表格數(shù)據(jù)知：函數(shù)單調(diào)遞減且遞減速度逐漸變慢，故模型①③不符合，選模型②，則，即，可得，所以且.【小問2詳解】令，則.所以泡好的白茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間為.【小問3詳解】由，即，所以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫約為10℃.21.已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，①求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】21.22.①；②【解析】【分析】（1）首先設(shè)，再利用函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)，即可求解函數(shù)的解析式；（2）①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，比較對(duì)稱軸和定義域端點(diǎn)值，即可求解；②首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡不等式，結(jié)合單調(diào)性，化簡不等式為，在實(shí)數(shù)，使成立，結(jié)合判別式，即可求解.【小問1詳解】時(shí)，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，因?yàn)楹瘮?shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，所以的解析式為；【小問2詳解】①因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，即；②因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，不等式，根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，得，所以，整理，存在實(shí)數(shù)，使不等式成立，所以，即，得：.22.已知函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，設(shè)函數(shù)，且對(duì)任意都有恒成立．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)定義求得，則，結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)得，再根據(jù)已知得為偶函數(shù)，由偶函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)n，