2024-2025年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案學(xué)案新人教A版選修2-3

PAGEPAGE13.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用[教材研讀]預(yù)習(xí)教材P91～96，思索以下問題1．分類變量與列聯(lián)表分別是如何定義的？2．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是怎樣的？[要點(diǎn)梳理]1．與列聯(lián)表相關(guān)的概念(1)分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量．(2)列聯(lián)表：①列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．②一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為：YXy1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d2.等高條形圖等高條形圖與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列表數(shù)據(jù)的頻率特征．3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想(1)定義：利用隨機(jī)變量K2來(lái)推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系\”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．(2)公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的詳細(xì)做法：①依據(jù)實(shí)際問題的須要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k.③假如k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α；否則，就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)覺足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．[自我診斷]推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)1．分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念．()2．列聯(lián)表頻率分析法、等高條形圖可初步分析兩分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)中K2取值則可通過統(tǒng)計(jì)表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大?。?)3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法就是反證法．()[答案]1.×2.√3.×題型一用等高條形圖分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系，分別對(duì)病人組和比照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：組別陽(yáng)性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736比照組92837總計(jì)383573試畫出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和比照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系？[思路導(dǎo)引]依據(jù)表中數(shù)據(jù)，畫出等高條形圖，由圖形進(jìn)行分析．[解]等高條形圖如圖所示：其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和比照組樣本中尿棕色素為陽(yáng)性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與比照組相比，尿棕色素為陽(yáng)性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性有關(guān)系．(1)推斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系的兩種常用方法①利用數(shù)形結(jié)合思想，借助等高條形圖來(lái)推斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)是推斷變量相關(guān)的常見方法．②一般地，在等高條形圖中，eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差越大，兩個(gè)分類變量有關(guān)系的可能性就越大．(2)利用等高條形圖推斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的步驟[跟蹤訓(xùn)練]在調(diào)查的480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲，分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法來(lái)推斷色盲與性別是否有關(guān)？你所得到的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？[解]依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：色盲不色盲總計(jì)男38442480女6514520總計(jì)449561000依據(jù)列聯(lián)表作出相應(yīng)的等高條形圖，如圖所示．從等高條形圖來(lái)看，男性患色盲的頻率要高一些，因此直觀上可以認(rèn)為色盲與性別有關(guān)．依據(jù)列聯(lián)表中所給的數(shù)據(jù)可以有a＝38，b＝442，c＝6，d＝514，a＋b＝480，c＋d＝520，a＋c＝44，b＋d＝956，n＝1000，由公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(1000×38×514－6×4422,480×520×44×956)≈27.1>10.828.因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為色盲與性別是有關(guān)的．題型二用2×2列聯(lián)表分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系思索：下面是2×2列聯(lián)表.y1y2總計(jì)x1332154x2a1346總計(jì)b34100則表中a，b處的值應(yīng)為多少？提示：a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66.為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語(yǔ)的愛好有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對(duì)外語(yǔ)有愛好的有138人，無(wú)愛好的有98人，文科對(duì)外語(yǔ)有愛好的有73人，無(wú)愛好的有52人．能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的愛好有關(guān)”？[解]依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：理科文科總計(jì)有愛好13873211無(wú)愛好9852150總計(jì)236125361依據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k＝eq\f(361×138×52－73×982,211×150×236×125)≈1.871×10－4.因?yàn)?.871×10－4<2.706，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下，不能認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的愛好有關(guān)”．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟(1)確定分類變量，獲得樣本頻數(shù)，得到列聯(lián)表．(2)依據(jù)實(shí)際問題的須要確定容許推斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.(3)利用公式K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)計(jì)算隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k0.(4)作出推斷．假如k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過α，否則就認(rèn)為在犯錯(cuò)誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y的關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)覺足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．[跟蹤訓(xùn)練]在探討某種藥物對(duì)“H1N1”病毒的治療效果時(shí)，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到以下數(shù)據(jù)，對(duì)150只動(dòng)物服用藥物，其中132只動(dòng)物存活，18只動(dòng)物死亡，比照組150只動(dòng)物進(jìn)行常規(guī)治療，其中114只動(dòng)物存活，36只動(dòng)物死亡．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2)試問該種藥物對(duì)治療“H1N1”病毒是否有效？[解](1)2×2列聯(lián)表如下：存活數(shù)死亡數(shù)總計(jì)服用該藥物13218150未服該藥物11436150總計(jì)24654300(2)由(1)知K2＝eq\f(300×132×36－114×182,246×54×150×150)≈7.317>6.635.故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為該種藥物對(duì)“H1N1”病毒有治療效果．eq\a\vs4\al(題型三獨(dú)立性檢驗(yàn))某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的狀況，采納分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)(單位：小時(shí))．(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)依據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率．(3)在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)．請(qǐng)完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)\”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879[解](1)300×eq\f(4500,15000)＝90，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．(2)由頻率分布直方圖得2×(0.150＋0.125＋0.075＋0.025)＝0.75，所以該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率的估計(jì)值為0.75.(3)由(2)知，300位學(xué)生中有300×0.75＝225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)，75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4個(gè)小時(shí)．又因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生的，90份是關(guān)于女生的，所以每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別的列聯(lián)表如下：平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表男生女生總計(jì)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4個(gè)小時(shí)453075每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4個(gè)小時(shí)16560225總計(jì)21090300結(jié)合列聯(lián)表可算得K2的觀測(cè)值k＝eq\f(300×22502,75×225×210×90)＝eq\f(100,21)≈4.762>3.841.有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．(1)獨(dú)立性檢驗(yàn)問題是常與統(tǒng)計(jì)、概率相結(jié)合，解題時(shí)肯定要仔細(xì)審題，找出各數(shù)據(jù)的聯(lián)系．(2)解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，肯定要依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論．[跟蹤訓(xùn)練]某中學(xué)將100名高一新生分成水平相同的甲、乙兩個(gè)“平行班”，每班50人．陳老師采納A，B兩種不同的教學(xué)方式分別在甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行教改試驗(yàn)．為了解教學(xué)效果，期末考試后，陳老師分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，作出莖葉圖如圖．記成果不低于90分者為“成果優(yōu)秀”.(1)在乙班樣本的20個(gè)個(gè)體中，從不低于86分的成果中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽出的兩個(gè)均“成果優(yōu)秀”的概率；(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出列聯(lián)表，并推斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成果優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．[解](1)由題意知本題是一個(gè)等可能事務(wù)的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事務(wù)是從不低于86分的成果中隨機(jī)抽取兩個(gè)包含的基本領(lǐng)件是：(86,93)，(86,96)，(86,97)，(86,99)，(86,99)，(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15種結(jié)果，符合條件的事務(wù)數(shù)(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10種結(jié)果，依據(jù)等可能事務(wù)的概率得到P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).(2)由已知數(shù)據(jù)得甲班乙班總計(jì)成果優(yōu)秀156成果不優(yōu)秀191534總計(jì)202040依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k＝eq\f(40×1×15－5×192,6×34×20×20)≈3.137，由于3.137>2.706，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為：“成果優(yōu)秀”與教學(xué)方式有關(guān)．1.本節(jié)課的重點(diǎn)是用2×2列聯(lián)表、等高條形圖分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系以及獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．本節(jié)課要重點(diǎn)駕馭的規(guī)律方法(1)用等高條形圖分析兩個(gè)分類變量間的關(guān)系，見典例1；(2)用2×2列聯(lián)表分析兩個(gè)分