2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)40直接證明與間接證明數(shù)學(xué)歸納法理含解析新人教版

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)40干脆證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，a，b為正實(shí)數(shù)，A＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，B＝f(eq\r(ab))，C＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，則A，B，C的大小關(guān)系為(A)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A解析：因?yàn)閑q\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)≥eq\f(2ab,a＋b)，又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在R上是單調(diào)減函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))≤f(eq\r(ab))≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2ab,a＋b)))，即A≤B≤C.2．若a、b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是(B)A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D.eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)解析：在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0.∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．3．①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的肯定值都小于1，用反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根x1的肯定值大于或等于1，即假設(shè)|x1|≥1.以下正確的是(D)A．①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B．①與②的假設(shè)都正確C．①的假設(shè)正確；②的假設(shè)錯(cuò)誤D．①的假設(shè)錯(cuò)誤；②的假設(shè)正確解析：反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論，對(duì)于①，其結(jié)論的反面是p＋q>2，所以①不正確；對(duì)于②，其假設(shè)正確．4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是(C)A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：由題意知eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a2?a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0?－2a2＋ac＋c2<0?2a2－ac－c2>0?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.5．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>2n＋1，n的第一個(gè)取值應(yīng)是(C)A．1B．2C．3D．4解析：∵n＝1時(shí)，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；n＝2時(shí)，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不成立；n＝3時(shí)，23＝8,2×3＋1＝7,2n>2n＋1成立．∴n的第一個(gè)取值應(yīng)是3.6．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，給出下列條件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出：“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件是(C)A．②③ B．①②③C．③ D．③④⑤解析：若a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b>1.但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對(duì)于③，即a＋b>2.則a，b中至少有一個(gè)大于1，反證法：假設(shè)a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2沖突，因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個(gè)大于1.二、填空題7．設(shè)a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，則a，b的大小關(guān)系為a<b.解析：a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，明顯，eq\r(6)<eq\r(7).∴a<b.8．用反證法證明命題“若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿意a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，則a，b，c，d中至少有一個(gè)是非負(fù)數(shù)”時(shí)，第一步要假設(shè)結(jié)論的否定成立，那么結(jié)論的否定是：a，b，c，d全是負(fù)數(shù)．解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒有”，故結(jié)論的否定是“a，b，c，d中沒有一個(gè)是非負(fù)數(shù)，即a，b，c，d全是負(fù)數(shù)”．9．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上的項(xiàng)為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.解析：當(dāng)n＝k時(shí)左端為1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的項(xiàng)為(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.三、解答題10．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}中隨意不同的三項(xiàng)都不行能成為等比數(shù)列．解：(1)解：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2))．(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設(shè)數(shù)列{bn}中存在三項(xiàng)bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比數(shù)列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))．∴(q2－pr)＋eq\r(2)(2q－p－r)＝0.∵p，q，r∈N*，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0.))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))2＝pr，即(p－r)2＝0.∴p＝r，與p≠r沖突．∴假設(shè)不成立，即數(shù)列{bn}中隨意不同的三項(xiàng)都不行能成等比數(shù)列．11．(2024·河北八校一模)已知f(n)＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))(n∈N*)，g(n)＝2(eq\r(n＋1)－1)(n∈N*)．(1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，分別比較f(n)與g(n)的大小(干脆給出結(jié)論)；(2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝2(eq\r(2)－1)，f(1)>g(1)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝1＋eq\f(1,\r(2))，g(2)＝2(eq\r(3)－1)，f(2)>g(2)，當(dāng)n＝3時(shí)，f(3)＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))，g(3)＝2，f(3)>g(3)．(2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))>2(eq\r(n＋1)－1)(n∈N*)．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，上面已證．②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，猜想成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))>2(eq\r(k＋1)－1)．則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(k))＋eq\f(1,\r(k＋1))>2(eq\r(k＋1)－1)＋eq\f(1,\r(k＋1))＝2eq\r(k＋1)＋eq\f(1,\r(k＋1))－2；而g(k＋1)＝2(eq\r(k＋2)－1)＝2eq\r(k＋2)－2，下面轉(zhuǎn)化為證明：2eq\r(k＋1)＋eq\f(1,\r(k＋1))>2eq\r(k＋2).只要證：2(k＋1)＋1＝2k＋3>2eq\r(k＋2k＋1)即可，需證：(2k＋3)2>4(k＋2)(k＋1)，即證：4k2＋12k＋9>4k2＋12k＋8，此式明顯成立，所以，當(dāng)n＝k＋1時(shí)猜想也成立．綜上可知：對(duì)n∈N*，猜想都成立，即1＋eq\f(1,\r(2))＋eq\f(1,\r(3))＋…＋eq\f(1,\r(n))>2(eq\r(n＋1)－1)(n∈N*)成立．12．已知f(x)＝eq\r(1＋x2)，a≠b，則|f(a)－f(b)|與|a－b|的大小關(guān)系為(B)A．|f(a)－f(b)|>|a－b|B．|f(a)－f(b)|<|a－b|C．|f(a)－f(b)|＝|a－b|D．不確定解析：|f(a)－f(b)|＝|eq\r(1＋a2)－eq\r(1＋b2)|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a2－b2,\r(1＋a2)＋\r(1＋b2))))＝eq\f(|a＋b||a－b|,\r(1＋a2)＋\r(1＋b2))<eq\f(|a＋b||a－b|,|a|＋|b|)≤eq\f(|a－b||a|＋|b|,|a|＋|b|)＝|a－b|，所以|f(a)－f(b)|<|a－b|，故選B.13．設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋eq\f(1,1＋x)，x∈[0,1]，證明：(1)f(x)≥1－x＋x2；(2)eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).證明：(1)因?yàn)?－x＋x2－x3＝eq\f(1－－x4,1－－x)＝eq\f(1－x4,1＋x)，由于x∈[0,1]，有eq\f(1－x4,1＋x)≤eq\f(1,x＋1)，即1－x＋x2－x3≤eq\f(1,x＋1)，所以f(x)≥1－x＋x2.(2)由0≤x≤1得x3≤x，故f(x)＝x3＋eq\f(1,x＋1)≤x＋eq\f(1,x＋1)＝x＋eq\f(1,x＋1)－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝eq\f(x－12x＋1,2x＋1)＋eq\f(3,2)≤eq\f(3,2)，所以f(x)≤eq\f(3,2).由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，又因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(19,24)>eq\f(3,4)，所以f(x)>eq\f(3,4).綜上，eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(3,2).eq\a\vs4\al(尖子生小題庫(kù)——供重點(diǎn)班學(xué)生運(yùn)用，一般班學(xué)生慎用)14.已知兩個(gè)半徑不等的圓盤疊放在一起(有一軸穿過它們的圓心)，兩圓盤上分別有相互垂直的兩條直徑將其分為四個(gè)區(qū)域，小圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為x1，x2，x3，x4，大圓盤上所寫的實(shí)數(shù)分別記為y1，y2，y3，y4，如圖所示．將小圓盤逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)i(i＝1,2,3,4)次，每次轉(zhuǎn)動(dòng)90°，記Ti(i＝1,2,3,4)為轉(zhuǎn)動(dòng)i次后各區(qū)域內(nèi)兩數(shù)乘積之和，例如T1＝x1y2＋x