模板09 函數(shù)解題模板（解析版）

函數(shù)函數(shù)解題方法指導(dǎo)解題方法指導(dǎo)一、怎樣解一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題一次函數(shù)y=kx+b(k,b是常數(shù),k≠0)的圖象是一條直線當(dāng)k>0時(shí),其圖象一定經(jīng)過第一、三象限,y隨x的增大而增大，這時(shí)直線由左至右上升當(dāng)k<0時(shí)，其圖象一定經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而減小,這時(shí)直線由左至右下降。例題演練例題演練例題1（2021·北京中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到．（1）求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）由一次函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位長度得到可得：一次函數(shù)的解析式為；（2）由題意可先假設(shè)函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則由（1）可得：，解得：，函數(shù)圖象如圖所示：∴當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)的k表示直線的傾斜程度可得當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)在第一象限，此時(shí)就不符合題意，綜上所述：．例題2（2021·甘肅九年級(jí)一模）小龍根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探索，下面是小龍的研究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完成：（1）列表，找出與的幾對(duì)對(duì)應(yīng)值；…-3-2-1012……73135…其中：的值是______；（2）請(qǐng)?jiān)诮o定的平面直角坐標(biāo)系圖中描出（1）中所找出的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，并畫出函數(shù)的圖象；（3）寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：________________________________________．【答案】（1）5；（2）見解析；（3）圖象關(guān)于軸對(duì)稱（答案不唯一）【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，=5∴故答案為：5；（2）的函數(shù)圖象如圖所示，（3）①圖象關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減??；③函數(shù)有最小值1；④圖象形狀是兩條射線，當(dāng)時(shí)，圖象位于一象限；當(dāng)時(shí)，圖象位于二象限；故答案為：圖象關(guān)于軸對(duì)稱（答案不唯一）．例題3（2021·江蘇連云港·九年級(jí)二模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)也在該直線上，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，直線BC交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)E坐標(biāo)為．（1）的值為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（3）晶晶有個(gè)想法：“設(shè)．由點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱易得，而與四邊形DCEO拼接后可看成，這樣求S便轉(zhuǎn)化為直接求的面積．”但經(jīng)反復(fù)演算，發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)通過計(jì)算解釋她的想法錯(cuò)在哪里？【答案】（1）-3，；（2）；（3）見解析【詳解】（1）∵點(diǎn)在直線上∴∴∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，3）（2）∵直線與軸交于點(diǎn)∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-12，0）設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為，由題意得解之得∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為．（3）由（2）直線AC的函數(shù)表達(dá)式為，令x=0，得．∴直線AC與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．而點(diǎn)E坐標(biāo)為，∴點(diǎn)E不在直線AC上，即點(diǎn)A、C、E不在同一條直線上．∴．解題方法指導(dǎo)解題方法指導(dǎo)二、怎樣解反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題反比例函數(shù)y=(k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線。當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第一、三象限,在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時(shí),雙曲線的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限,在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大.反比例函數(shù)圖象的位置和函數(shù)的增減性,都是由常數(shù)k的符號(hào)決定的反過來,由雙曲線所在位置和函數(shù)的增減性，也可以推斷出k的符號(hào).例題演練例題演練例題1（2021·湖北襄陽·九年級(jí)一模）九年級(jí)某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進(jìn)一步研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，探究過程如下：（1）寫出自變量x的取值范圍；（2）畫函數(shù)圖象；列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中____________；x…－3－2－1123…y…12442m…描點(diǎn)畫圖：利用所給的網(wǎng)格，建立平面直角坐標(biāo)系，描出表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)圖象；（3）通過觀察圖象，寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)：①____________；②____________．【答案】（1）；（2）；見解析；（3）①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，②無論x取何值，函數(shù)值恒大于0【詳解】解：（1）自變量的取值范圍為：；（2）把代入得，；該函數(shù)的圖象如下：（3）①當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，②無論x取何值，函數(shù)值恒大于0.例題2（2021·江蘇）（1）畫出反比例函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象回答：（2）當(dāng)時(shí)，的值；（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍；（4）當(dāng)且時(shí)，的取值范圍．【答案】（1）見解析，（2）；（3）；（4）或．【詳解】（1）列表如下：x-4-2-1124124-4-2-1如圖即為所求：（2）由圖象可知：x=2時(shí)，y=-2．（3）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，-4＜y≤-1．（4）由圖象可知：當(dāng)且時(shí)，或．例題3（2021·河南九年級(jí)一模）若一個(gè)函數(shù)當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)表達(dá)式不同，我們稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)，下面我們參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法，探究分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，探究過程如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整．（1）列表：x…0123…y…m12101n…其中，__________，__________．（2）描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值y為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示，請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象．（3）研究函數(shù)并結(jié)合圖象與表格，回答下列問題：①點(diǎn)，在函數(shù)圖象上，則________，_______；（填“＞”，“＝”或“＜”）②當(dāng)函數(shù)值時(shí)，求自變量x的值；【答案】（1），2；（2）見解析；（3）①＜，＜；②或或【詳解】解：（1）代入得，，∴，把代入中得，，∴，故答案為：，2；（2）如圖所示：（3）①由圖象可知A與B在上，y隨x的增大而增大，所以；C與D在上，所以；故答案為：＜，＜；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，有，∴或，當(dāng)時(shí)，時(shí)，有，∴，故或或；解題方法指導(dǎo)解題方法指導(dǎo)三、怎樣解反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題此類題目主要是求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)或根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求兩個(gè)函數(shù)的解析式，以及根據(jù)兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)求有關(guān)不等式的解集.解此類題的依據(jù)有:①函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式;②不等式的解集就是其所對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象上滿足條件的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合.例題1（2021·重慶字水中學(xué)九年級(jí)一模）在初中階段的函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象研究函數(shù)性質(zhì)的過程．我們對(duì)函數(shù)圖像與性質(zhì)進(jìn)行探究，下表是該函數(shù)y與自變量x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)解答下列問題：x…0…y…m0n…（1）求該函數(shù)的解析式，并寫出自變量x的取值范圍．（2）表中m的值為____，n的值為____．（3）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，畫出該函數(shù)的圖像，并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)；___________________________________________________________________．（4）直接寫出關(guān)于x的不等式的解集是__________．（如果取近似值，誤差不超過0.2）．【答案】（1）見解析；（2），-6；（3）x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；（4）x≤?1或≤x≤2【詳解】解：（1）由表格得，，在函數(shù)上，將，代入，得：，解得：，該函數(shù)解析式為：，，，即自變量取任意實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，故答案為：，；（3）圖象如圖，時(shí)，隨的增大而增大，故答案為：時(shí)，隨的增大而增大；（4）由圖象可知，不等式的解集為：或．，故答案為：或．例題2（2021·湖北九年級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線（）與雙曲線（）相交于第一、三象限內(nèi)的，兩點(diǎn)．（1）求雙曲線和直線的解析式；（2）若將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到直線，當(dāng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出此時(shí)直線的解析式．【答案】（1），；（2）或或【詳解】解：（1）把代入（）可得，∴雙曲線為，把點(diǎn)代入得，解得，∴，把，代入，可得，解得，∴直線為；（2）當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線為；當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線為；當(dāng)直線與雙曲線相切于點(diǎn)時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線為，∵經(jīng)過點(diǎn)，∴，∴，∴，令，整理得，，則，解得，∴直線為，綜上，直線的解析式為或或．例題3（2021·江蘇）如圖，正比例函數(shù)y＝kx的圖像與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖像交于點(diǎn)A（a，4）．點(diǎn)B為x軸正半軸上一點(diǎn)，過B作x軸的垂線交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)C，交正比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D．（1）求a的值及正比例函數(shù)y＝kx的表達(dá)式．（2）若CD＝6，求△ACD的面積．【答案】（1）a=2，y=2x；（2）6【詳解】解：（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中，得，．點(diǎn)坐標(biāo)為，再把代入正比例函數(shù)的表達(dá)式中，得，，則正比例函數(shù)表達(dá)式為．（2）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．，即，解得：，（不合題意，舍去）．即，則點(diǎn)到的距離為，故．解題方法指導(dǎo)解題方法指導(dǎo)四、怎樣解二次函數(shù)解析式的確定問題用待定系數(shù)法可求二次函數(shù)的解析式，根據(jù)不同條件選擇不同的設(shè)法.(1)設(shè)一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0):若已知二次函數(shù)圖象上的三點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為一般式，然后列出關(guān)于a,b,c的三元一次方程組求解.(2)設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0):若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0),通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為交點(diǎn)式,將已知條件代入，求出待定系數(shù),最后將解析式化為一般形式。(3)設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0):若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸與最大值(最小值),通常設(shè)二次函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式，然后代入另一點(diǎn)的坐標(biāo)，即可列出關(guān)于a的一元一次方程，最后將所求出的拋物線的解析式化為一般形式.例題演練例題演練例題1（2021·浙江九年級(jí)其他模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是，與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)的坐標(biāo)是．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)并直接寫出直線的函數(shù)關(guān)系式．（2）作一條平行于軸的直線交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，與直線于點(diǎn)．若點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，且，求的取值范圍．【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的函數(shù)關(guān)系式為；（2）【詳解】解：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：a+2-3=0，解得a=1，故拋物線的表達(dá)式為y=x2-2x-3=(x-1)2-4，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）；對(duì)于y=x2-2x-3，令x2-2x-3=0，解得x=-1或3，令x=0，則y=-3，故點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，-3），設(shè)直線CD的表達(dá)式為y=kx+b，則，解得，故直線CD的表達(dá)式為y=x-3；（2）∵r＜m≤n，∴直線在點(diǎn)D的下方、點(diǎn)A的上方（不能過點(diǎn)D，可以過點(diǎn)A），當(dāng)y=-4時(shí)，即-x-3=-4，解得x=-1，故-1≤r＜0，由拋物線的對(duì)稱性知，點(diǎn)M、N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，故(m+n)=1，所以m+n=2，∴1≤m+n+r＜2．例題2（2019·云南九年級(jí)二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+c的圖象與x軸交于A（1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l是拋物線的對(duì)稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）如圖，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)F'恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1）把點(diǎn)A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2﹣2x+c，得，解之得，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣1，4）；（2）設(shè)直線BE的解析式為y＝kx+m，把B（﹣3，0），E（﹣1，4）代入得，，解得，∴直線BE的解析式為y＝2x+6，設(shè)點(diǎn)F（0，m），∵拋物線y