高考總復(fù)習(xí)核按鈕 數(shù)學(xué) 綜合教案 第九章 統(tǒng)計(jì)（教用）

/第九章統(tǒng)計(jì)9.1隨機(jī)抽樣與統(tǒng)計(jì)圖表課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計(jì)報(bào)表和年鑒、社會(huì)調(diào)查、試驗(yàn)設(shè)計(jì)、普查和抽樣、互聯(lián)網(wǎng)等.2.了解總體、樣本、樣本量的概念，了解數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.3.通過(guò)實(shí)例，了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.會(huì)計(jì)算樣本均值和樣本方差，了解樣本與總體的關(guān)系.4.通過(guò)實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.結(jié)合具體實(shí)例，掌握分層隨機(jī)抽樣的樣本均值和樣本方差.5.在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問(wèn)題.6.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.總體、個(gè)體、樣本調(diào)查對(duì)象的全體（或調(diào)查對(duì)象的某些指標(biāo)的全體）稱為總體，組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象（或每一個(gè)調(diào)查對(duì)象的相應(yīng)指標(biāo)）稱為個(gè)體.根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.在抽樣調(diào)查中，從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本，樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本容量，簡(jiǎn)稱樣本量.2.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（1）特點(diǎn)：逐個(gè)抽取，且每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等.本章主要研究不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.（2）常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.（3）適用范圍：個(gè)體性質(zhì)相似，無(wú)明顯層次，且個(gè)體數(shù)量較少，尤其是樣本容量較少.3.分層隨機(jī)抽樣（1）定義：一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.（2）適用范圍：總體可以分層，且層與層之間有明顯區(qū)別，而層內(nèi)個(gè)體差異較小.（3）平均數(shù)的計(jì)算：各層抽樣比乘各層平均數(shù)的和.4.統(tǒng)計(jì)圖表（1）常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布表、頻率分布直方圖等.（2）頻率分布直方圖.①畫(huà)頻率分布直方圖的五個(gè)步驟：求極差、決定組距與組數(shù)、將數(shù)據(jù)分組、列頻率分布表、畫(huà)頻率分布直方圖.②頻率分布直方圖的特點(diǎn)：各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率；各小長(zhǎng)方形的面積的總和等于1.常用結(jié)論1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣及按比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的.2.按比例分配的分層（兩層）隨機(jī)抽樣中,若第一、二層的樣本容量分別為m,n,平均數(shù)分別為x,y,則樣本平均數(shù)為mx自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）調(diào)查一款新能源汽車的最大續(xù)航里程，宜采用全面調(diào)查.（）（2）從高三年級(jí)1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，抽取的50名學(xué)生是一個(gè)樣本.（）（3）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān).（）（4）在分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān).（）（5）在頻率分布直方圖中,縱軸表示頻率.（）【答案】（1）×（2）√（3）×（4）×（5）×2．某校有男生700名、女生400名.為了解男、女學(xué)生在空間想象能力方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取110名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.宜采用的抽樣方法是（）A.抽簽法 B.隨機(jī)數(shù)法C.分層隨機(jī)抽樣法 D.以上抽樣方法均可【答案】C【解】最適合采用的是分層隨機(jī)抽樣法.故選C.3．（教材題改編）某城市收集并整理了該市2024年1月份至10月份每月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.已知該市每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩個(gè)變量具有較好的線性關(guān)系，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A.每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩個(gè)變量正相關(guān)B.10月份的最高氣溫不低于5月份的最高氣溫C.月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月份D.最低氣溫低于0℃【答案】D【解】由題圖，可得當(dāng)最低氣溫較高時(shí)，最高氣溫也較高，故A正確.10月份的最高氣溫不低于20℃，而5月份的最高氣溫低于20℃，故B正確.從各月的溫差看，1月份的溫差最大，故C正確.最低氣溫低于0℃的月份是1,2,4三個(gè)月份，故D錯(cuò)誤.故選4．某校為了解高一年級(jí)學(xué)生的體育健康標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試（簡(jiǎn)稱“體測(cè)”）成績(jī)的分布情況，從該年級(jí)學(xué)生的體測(cè)成績(jī)（規(guī)定滿分為100分）中，隨機(jī)抽取了80名學(xué)生的成績(jī)，并進(jìn)行分組：[50,60),[60,70)，[70,80),[80【答案】0.020【解】由題意，得10×(0.01+a+核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一隨機(jī)抽樣例1（1）【多選題】某學(xué)生社團(tuán)有男生32名、女生24名，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為7的樣本.某次抽樣結(jié)果為抽到3名男生和4名女生，則（）A.這次抽樣可能采用的是抽簽法B.這次抽樣不可能采用隨機(jī)數(shù)法C.這次抽樣不可能是按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣D.這次抽樣中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率（2）【多選題】某學(xué)校高三年級(jí)共有900人，其中男生500人.現(xiàn)采用按性別比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從中抽取了容量為90的樣本.經(jīng)計(jì)算,得男生樣本身高（單位:cm）的平均數(shù)為170，女生樣本身高的平均數(shù)為161.下列說(shuō)法正確的是（）A.男、女生被抽到的人數(shù)分別為50，40B.女生甲被抽到的概率為4C.估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生身高的平均數(shù)為166D.若用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從900人中抽取9人，則這9人的身高均值比上述90人的身高均值更接近總體平均值【點(diǎn)撥】①當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，多用分層隨機(jī)抽樣.②不論哪種抽樣方法，每個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的.③在比例分配分層隨機(jī)抽樣中,若第一、二層的樣本容量分別為m,n,平均數(shù)分別為x,y,則樣本平均數(shù)為mx【答案】（1）AC（2）AC【解析】（1）【解】總體中個(gè)體數(shù)不多，此次抽樣可能采用的是抽簽法或隨機(jī)數(shù)法，故A正確，B錯(cuò)誤.若按性別比例分配，則抽得的男、女生應(yīng)分別為4人、3人，故C正確.在隨機(jī)抽樣中，每名男生被抽到的概率和每名女生被抽到的概率均相等，故D錯(cuò)誤.故選AC.（2）【解】由題意，得抽樣比例為90900=110，故男生被抽到的人數(shù)為110×500=50；女生被抽到的人數(shù)為90?50=40，故A正確.女生甲被抽到的概率為40900?500=110，故B錯(cuò)誤.樣本均值為50變式1．（1）總體由編號(hào)為1，2，3，?，89，90的90個(gè)個(gè)體組成，現(xiàn)用隨機(jī)數(shù)法選取30個(gè)個(gè)體.利用僅顯示1～8 44 2 17 8 95 57 4 55 6 88 831 47 7 21 76 33 50 63（2）【多選題】已知某地區(qū)有小學(xué)生120000人，初中生75000人，高中生55000人.當(dāng)?shù)亟逃块T為了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視率，按小學(xué)生、初中生、高中生進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，抽取一個(gè)容量為2000的樣本，得到小學(xué)生、初中生、高中生的近視率分別為30%，70%，A.從高中生中抽取了460人B.每名學(xué)生被抽到的概率為1C.估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)生總體的平均近視率為60D.估計(jì)高中學(xué)生的近視人數(shù)約為44000【答案】（1）57（2）BD【解析】（1）【解】按序舍掉重復(fù)的8和超過(guò)編號(hào)范圍的95，可知，前5個(gè)個(gè)體編號(hào)為8，44，2，17,57.故填57.（2）【解】學(xué)生總?cè)藬?shù)為120000+75000+55000=250000.高中生抽取2000×55000250000=440（人），故A錯(cuò)誤.每名學(xué)生被抽到的概率為2000250000=1125，故B正確.估計(jì)該地區(qū)中小學(xué)生總體的平均近視率為120000250000×0.3考點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)圖表例2【多選題】某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)．各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠．該保險(xiǎn)公司對(duì)5個(gè)險(xiǎn)種的參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下三個(gè)統(tǒng)計(jì)圖，則（）圖3A.18?B.30周歲以上的參保人群約占參?？?cè)巳旱?0C.54周歲以上的參保人數(shù)最少D.丁險(xiǎn)種更受參保人青睞【解】由題圖1，得54周歲及以上的參保人數(shù)比例為1?30%?33%?20%=17%，占比最少.其余年齡段的參保人數(shù)均比18?29周歲人群參保人數(shù)多.由題圖2，得20%×對(duì)于B，由題圖1，得30周歲以上的參保人群約占參?？?cè)巳旱?0%，故B錯(cuò)誤對(duì)于D，由題圖3，得丁險(xiǎn)種參保人群約占參保總?cè)巳旱?5%，所以最受青睞，故D正確.故選ACD【答案】ACD【點(diǎn)撥】扇形圖常被用來(lái)描述各類數(shù)據(jù)占總數(shù)的比例，折線圖常被用來(lái)描述數(shù)據(jù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)，條形圖和直方圖常被用來(lái)描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)和頻率.統(tǒng)計(jì)圖表，除了上述教材中出現(xiàn)過(guò)的外，莖葉圖、雷達(dá)圖、等高條形圖等也在高考中出現(xiàn)過(guò).變式2．（1）【多選題】如圖是2018—A.2018?2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值逐年遞增，B.2018?C.2018?2022D.2018?2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的極差為（2）【多選題】人均消費(fèi)支出是社會(huì)需求的主體，是拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的直接因素，是體現(xiàn)居民生活水平和質(zhì)量的重要指標(biāo).2022年一季度和2023年一季度我國(guó)居民人均消費(fèi)支出分別為6393元和6738元.圖1、圖2分別為2022年一季度和2023年一季度居民人均消費(fèi)支出構(gòu)成分布圖，則（）A.2022年一季度和2023年一季度居民食品煙酒人均消費(fèi)支出均超過(guò)人均總消費(fèi)支出的30B.2023年一季度居民食品煙酒、衣著、居住各項(xiàng)人均消費(fèi)支出占比較上年同期均有所降低C.2023年一季度居民人均交通通信支出低于上年同期人均交通通信支出D.2023年一季度居民人均消費(fèi)支出比上年同期增長(zhǎng)約5.4【答案】（1）ACD（2）AD【解析】（1）【解】顯然A正確，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，2018?2022年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值增長(zhǎng)速度的平均數(shù)為6.7%+6.0%+2.2%+8.4%+3.0%5=5.26%，故C正確.對(duì)于D，2018（2）【解】對(duì)于A，2022年一季度和2023年一季度居民食品煙酒人均消費(fèi)支出分別占人均總消費(fèi)支出的32.6%，31.6%，故A正確.對(duì)于B，2022年一季度居民居住人均消費(fèi)支出占人均總消費(fèi)支出的22.5%，2023年一季度居民居住人均消費(fèi)支出占人均總消費(fèi)支出的23.2%，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，2022年一季度居民人均交通通信支出為6393×12.4%≈793（元），2023年一季度居民人均交通通信支出為6738×12.2%≈822（元），故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，考點(diǎn)三頻率分布直方圖例3某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量（單位：m3未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0[0.1[0.2[0.3[0.4[0.5[0.6頻數(shù)13249265使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0[0.1[0.2[0.3[0.4[0.5頻數(shù)151310165（1）在下圖中作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m（3）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年大約能節(jié)省多少水?（一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)用這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值代替）【解】（1）頻率分布直方圖如圖所示.（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后,50天的日用水量小于0.35m3的頻率為故該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3（3）該家庭未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量的平均數(shù)為x1該家庭使用了節(jié)水龍頭后,50天日用水量的平均數(shù)為x2估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年大約能節(jié)省水(0.48【點(diǎn)撥】①在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形的面積之和為1.②在頻率分布直方圖中，縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，而不是頻率，不要和條形圖混淆.變式3．（1）某校抽取100名學(xué)生測(cè)身高（單位：cm），其中身高最大值為186，最小值為154.根據(jù)身高數(shù)據(jù)繪制頻率分布直方圖，組距為5，且第一組下限為153.5，則組數(shù)為_(kāi)___.（2）【多選題】某研究性學(xué)習(xí)小組為了解某校2000名學(xué)生參加2024年暑期社會(huì)實(shí)踐的情況，隨機(jī)抽取了一個(gè)容量為N的樣本，對(duì)學(xué)生某一天社會(huì)實(shí)踐的時(shí)間（單位：min）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.已知樣本中位于區(qū)間[60A.aB.NC.估計(jì)該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為74D.估計(jì)全校社會(huì)實(shí)踐時(shí)間在60min【答案】（1）7（2）ABC【解析】（1）【解】極差為186?154=32，組距為5，且第一組下限為153.5，32（2）【解】由(0.01+2a+0.045+0.005)×10=1，得a=0.020，故A正確.因?yàn)闃颖局形挥趨^(qū)間[60,70)的有20人，所以20N=0.2，即N=100，故B正確.平均數(shù)為0.1×55+0.2×65+課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．為了解高一學(xué)生的身體發(fā)育情況，打算在高一年級(jí)10個(gè)班中隨機(jī)抽取2個(gè)班，在這2個(gè)班的所有學(xué)生中按男、女生比例抽取樣本.恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ㄊ牵ǎ〢.先用抽簽法，再用隨機(jī)數(shù)法B.先用分層隨機(jī)抽樣法，再用隨機(jī)數(shù)法C.兩次抽取均用分層隨機(jī)抽樣法D.先用抽簽法，再用分層隨機(jī)抽樣法【答案】D【解】先從高一年級(jí)10個(gè)（少數(shù)）班級(jí)中抽取2個(gè)，宜用抽簽法.再?gòu)牟町愝^大的男、女生中按比例抽取學(xué)生，適合使用分層隨機(jī)抽樣法.故選D.2．某單位老年、中年、青年員工分別有80人、100人、120人.現(xiàn)采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取30人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況，則應(yīng)從青年員工中抽取（）A.8人 B.10人 C.12人 D.18人【答案】C【解】由題意，可得抽取的30人中，青年員工有12080+100+120×303．某校采用分層隨機(jī)抽樣方法，從高一、高二、高三學(xué)生中分別抽取90名、100名、120名，對(duì)餐廳服務(wù)進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到高一年級(jí)的好評(píng)率為90%，高二年級(jí)的好評(píng)率為93%，高三年級(jí)的好評(píng)率為A.91% B.92% C.93%【答案】C【解】該校學(xué)生對(duì)餐廳服務(wù)的好評(píng)率為90故選C.4．《黃帝內(nèi)經(jīng)》中十二時(shí)辰養(yǎng)生法認(rèn)為子時(shí)的睡眠對(duì)一天至關(guān)重要（子時(shí)是指23點(diǎn)到次日凌晨1點(diǎn)）.相關(guān)數(shù)據(jù)表明，入睡時(shí)間越晚，沉睡時(shí)間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對(duì)早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示，則（）A.睡眠指數(shù)在區(qū)間[60B.早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間[80C.早睡人群睡眠指數(shù)的極差比晚睡人群睡眠指數(shù)的極差小D.晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間[60【答案】B【解】因?yàn)闆](méi)有給出樣本量，所以不能從占比來(lái)判斷人數(shù)，故A錯(cuò)誤.早睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間[80,90)內(nèi)，晚睡人群睡眠指數(shù)主要集中在區(qū)間[50,60)內(nèi)，早睡人群睡眠指數(shù)的極差和晚睡人群睡眠指數(shù)的極差的大小無(wú)法確定，故C錯(cuò)誤.故選B.5．從某中學(xué)隨機(jī)選取100名學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）繪制成頻率分布直方圖.若要從身高在[150,160),[160A.7人 B.8人 C.9人 D.10人【答案】B【解】由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得a=0.025，所以身高在[150,160由題意，知從身高在[170,180]內(nèi)的學(xué)生中選取32×456．[2023年上海春季高考卷]如圖為2018—2021年2018—A.從2018年開(kāi)始，2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大B.從2018年開(kāi)始，進(jìn)出口總額逐年增大C.從2018年開(kāi)始，進(jìn)口總額逐年增大D.從2018年開(kāi)始，2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小【答案】C【解】顯然A,B正確.2020年相對(duì)于2019的進(jìn)口總額減少，故C錯(cuò)誤.2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大，而2020年相對(duì)于2019年的增量比2019年相對(duì)于2018年的增量小，且計(jì)算增長(zhǎng)率時(shí)前者的分母更大，故2020年的增長(zhǎng)率一定最小，故D正確.故選C.7．[2021年全國(guó)甲卷改]【多選題】為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中正確的是（）A.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間【答案】ABD【解】該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶的比率估計(jì)值為0.02+0.04=0.06=6該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)值為0.04+0.02×3=0.10該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為0.10+0.14+0.20×2由對(duì)稱性（以7.5為對(duì)稱軸），并進(jìn)行割補(bǔ)，可知平均值超過(guò)7（大致在7.5附近），故C錯(cuò)誤.直接計(jì)算亦可.故選ABD.8．某校高二年級(jí)為選拔參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生組織了一次考試，最后選出13名男生和7名女生，這20名學(xué)生的考試成績(jī)?nèi)缜o葉圖所示（單位：分）.學(xué)校規(guī)定：成績(jī)不低于130分的人到A班培訓(xùn)，低于130分的人到B班培訓(xùn).若用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從到A班的人和到B班的人中共選取5人，則5人中到A班的有____人.【答案】2【解】由題意，結(jié)合題圖，知這20名學(xué)生有8人到A班培訓(xùn)，12人到B班培訓(xùn).所以5人中到A班的有820×5=9．為了解某中學(xué)女生的視力情況，對(duì)該校女生的視力進(jìn)行了一次測(cè)量，所得數(shù)據(jù)整理后列出了頻率分布表如下：組別[0.85[0.95[1.05[1.15[1.25[1.35合計(jì)頻數(shù)1420158mM頻率0.020.080.400.300.16nN（1）求表中m，n，M，N的值；（2）將下列頻率分布直方圖補(bǔ)充完整；（3）利用組中值計(jì)算女生視力的平均值.【解】（1）由頻率分布表，得1M=0.02所以m=所以n=250（2）[1.05,1.15)對(duì)應(yīng)矩形的高為0.40.1（3）女生視力的平均值為0.02×【綜合運(yùn)用】10．為了解某校初中學(xué)生的近視情況，按年級(jí)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生進(jìn)行視力檢測(cè).已知初一、初二、初三年級(jí)分別有800名、600名、600名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A.C80040(C600C.(C80030)2【答案】A【解】按年級(jí)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取初一學(xué)生40名，初二、初三學(xué)生各30名.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可知不同的抽樣結(jié)果共有C80040(C60030)11．某養(yǎng)豬場(chǎng)定購(gòu)了一批仔豬，從中隨機(jī)抽查了100頭仔豬的體重（單位：斤）.經(jīng)數(shù)據(jù)處理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中體重最輕的14頭仔豬的體重的頻數(shù)分布表如下所示.為了將這批仔豬分欄喂養(yǎng)，需計(jì)算頻率分布直方圖中的一些數(shù)據(jù)，其中a+體重22242627282931頻數(shù)1123322A.0.144 B.0.152 C.0.76 D.0.076【答案】B【解】由題意,得c+d=14?2100×15=12．【多選題】某校為更好地支持學(xué)生的個(gè)性化發(fā)展，開(kāi)設(shè)了學(xué)科拓展類、創(chuàng)新素質(zhì)類、興趣愛(ài)好類三種類型的校本課程，每位學(xué)生從中選擇一門課程學(xué)習(xí).現(xiàn)對(duì)該校4000名學(xué)生的選課情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖1，并按類型用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取2%A.抽取的樣本容量為4000B.該校學(xué)生中對(duì)興趣愛(ài)好類課程滿意的約有700人C.若抽取的學(xué)生中對(duì)創(chuàng)新素質(zhì)類課程滿意的有24人，則aD.該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的有1000人【答案】BD【解】對(duì)于A，抽取的樣本容量為4000×2%=80，故對(duì)于B，該校學(xué)生中對(duì)興趣愛(ài)好類課程滿意的約有4000×35%×50%=700（人對(duì)于C，80×40%×a%=24，解得a對(duì)于D，由圖1，知該校學(xué)生中選擇學(xué)科拓展類課程的頻率為1?35%?40%=25%，則4000×25%=1000（13．某班按座位將學(xué)生分為兩組，第一組18人，第二組27人.現(xiàn)按組采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，再?gòu)倪@5人中安排兩人去打掃衛(wèi)生，則這兩人來(lái)自同一組的概率為_(kāi)_____.【答案】25【解】第一組抽取5×1818+27=2（人），第二組抽取這兩人來(lái)自同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C22+C3214．某公司招聘銷售員，提供了兩種日工資結(jié)算方案.方案一：每日底薪120元，每銷售一單提成2元.方案二：每日底薪200元，銷售的前50單沒(méi)有提成，從第51單開(kāi)始，每完成一單提成4元.該公司記錄了銷售員的每日人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)季度的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為[25,35),[35,45),[45（1）求頻率分布直方圖中a的值.（2）若僅從人均日收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為新聘銷售員做出日工資方案的選擇，并說(shuō)明理由.（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）（3）假設(shè)該銷售員選擇了你在（2）中所選的方案，已知公司現(xiàn)有銷售員400人，他希望自己的收入在公司中處于前40名，求他每日的平均業(yè)務(wù)量至少應(yīng)達(dá)多少單？【解】（1）由題圖，得(0.005×3（2）每日人均業(yè)務(wù)量的平均值為(30方案一中人均日收入為120+方案二中人均日收入為200+(62?（3）因?yàn)?0÷400=0.1由題圖，得前5組的頻率和為(0.005前6組的頻率和為0.8+設(shè)該銷售員每日的平均業(yè)務(wù)量為x.因?yàn)?.8<0.9<0.95，所以(x?75)×【拓廣探索】15．某單位員工按年齡分為老、中、青三組，其人數(shù)之比為1:6:【答案】70【解】從老年職工組中抽取20×110設(shè)老年職工組共有n人，則甲、乙二人均被抽到的概率為C22Cn2=1所以該單位共有員工72×20=9.2用樣本估計(jì)總體課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.2.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.3.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.4.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.百分位數(shù)（1）第p百分位數(shù)的定義：一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有(100（2）計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟：第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù);第2步，計(jì)算i=n×p%;第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i2.眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)（1）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).（2）中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到小）的順序排列，處在中間位置的數(shù)（或中間兩個(gè)數(shù)的平均值）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).（3）平均數(shù)：如果n個(gè)數(shù)x1，x2，?，xn，那么x=一般地，對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述，可以用平均數(shù)、中位數(shù)；而對(duì)分類型數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的描述，可以用眾數(shù).3.方差與標(biāo)準(zhǔn)差（1）方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：一組數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn，用x表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為1n∑ni=1(（2）總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差：如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為Y1，Y2，?,YN，總體平均數(shù)為Y，則總體方差S2=1N∑Ni=1(Yi?Y)2;如果總體的常用結(jié)論1.頻率分布直方圖中，最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以對(duì)應(yīng)小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.若數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn的平均數(shù)為x，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1+a,mx自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不太受極端值的影響，因而平均數(shù)總是接近中位數(shù).（）（2）若樣本量n=（3）一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以是一個(gè)或幾個(gè)，中位數(shù)也具有相同的結(jié)論.（）（4）在頻率分布直方圖中,最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是眾數(shù).（）（5）如果一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去同一個(gè)非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)改變，方差不變.（）【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）√2．在某次聯(lián)考的閱卷工作中，質(zhì)檢老師隨機(jī)抽取了10份試卷，對(duì)某題的閱卷評(píng)分進(jìn)行了復(fù)查，得分記錄分別為13，17，11，9，12，15，10，8，10，7，則這組樣本數(shù)據(jù)的（）A.極差為11分 B.眾數(shù)為10.5分C.平均數(shù)為11分 D.中位數(shù)為10.5分【答案】D【解】將得分從小到大排列為7,8,9,10,10,11,12,13,15,17，故A,B錯(cuò)誤,D正確.平均數(shù)為13+17+11+9+12+153．[2021年新課標(biāo)Ⅱ卷]【多選題】下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本x1,x2,?,A.樣本x1,x2,?,xn的標(biāo)準(zhǔn)差 B.樣本x1,x2C.樣本x1,x2,?,xn的極差 D.樣本x1,x2【答案】AC【解】標(biāo)準(zhǔn)差和極差符合要求.故選AC.4．（教材題改編）一個(gè)容量為20的樣本，其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,15,17,17,18,18，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為_(kāi)_.【答案】14.5【解】因?yàn)?5%×20=15，所以第75核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一總體百分位數(shù)的估計(jì)例1（1）“雙減”政策實(shí)施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書(shū)館借書(shū)數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下：借書(shū)數(shù)量/本5678910頻數(shù)/人58131194則這50名學(xué)生的借書(shū)數(shù)量的上四分位數(shù)是（）A.8 B.8.5 C.9 D.10（2）某大型聯(lián)考有16000名學(xué)生參加，已知所有學(xué)生成績(jī)的第60百分位數(shù)是515分，則成績(jī)不低于515分至少有（）A.6000人 B.6240人 C.6300人 D.6400人【點(diǎn)撥】第p百分位數(shù)的計(jì)算步驟（在頻率分布直方圖中）：先確定第p百分位數(shù)所在的區(qū)間[a,b),再確定小于a和不小于b的數(shù)據(jù)所占的百分比f(wàn)a%,【答案】（1）C（2）D【解析】（1）【解】由50×75%=37.5，得上四分位數(shù)為借書(shū)數(shù)量從小到大排序后的第38個(gè)數(shù).又5+8+（2）【解】成績(jī)不低于515分的至少有16000×(1?60%)=6400（變式1．（1）某果園種植了100棵蘋果樹(shù)，從中隨機(jī)抽取的12棵果樹(shù)的產(chǎn)量（單位：kg）分別為：242536272832202629302633據(jù)此預(yù)計(jì)，該果園的總產(chǎn)量為_(kāi)___kg，第75百分位數(shù)為kg.（2）某省全省聯(lián)考后，教育部門在該省高三學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000名學(xué)生，對(duì)他們的化學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則估計(jì)該省學(xué)生此次化學(xué)成績(jī)的第75百分位數(shù)為（）A.79.5分 B.82.5分 C.81分 D.82分【答案】（1）2800；31（2）B【解析】（1）【解】x=112×(24+25+36+27+28+32+20+26（2）【解】由題圖，知分?jǐn)?shù)在[40,80)內(nèi)的頻率為(0.005+0.015+0.020+0.030)×10=0.7，在[40,90考點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)例2【多選題】某大學(xué)共有15000名學(xué)生，為了解學(xué)生書(shū)籍閱讀量的情況，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1000名，統(tǒng)計(jì)他們2024年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量，由此估計(jì)該校學(xué)生本年度閱讀書(shū)籍?dāng)?shù)量的情況.下列估計(jì)正確的是（注：同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）（）A.估計(jì)該校學(xué)生2024年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量的眾數(shù)為6B.估計(jì)該校學(xué)生2024年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量的中位數(shù)為6.6C.估計(jì)該校學(xué)生2024年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量的平均數(shù)為6.76D.估計(jì)該校學(xué)生2024年閱讀的書(shū)籍?dāng)?shù)量的第60百分位數(shù)為7.6【解】由題圖，知眾數(shù)在[4,8]內(nèi)，所以眾數(shù)是6，故A正確.中位數(shù)x∈[4,8]，所以0.06×4+0.1×(x?4第60百分位數(shù)約為4+0.6?0.240.1×4×4=【答案】ABD【點(diǎn)撥】①頻率分布直方圖中求中位數(shù)，一般先確定中位數(shù)所在的區(qū)間，再利用“0.5?較低累積頻率=（x?區(qū)間左端點(diǎn)值）×區(qū)間縱坐標(biāo)”，求得變式2．（1）某班學(xué)生A，B在高三8次月考的化學(xué)成績(jī)用莖葉圖表示如圖，其中學(xué)生A成績(jī)的平均數(shù)與學(xué)生B成績(jī)的眾數(shù)相等，則m=____（2）（教材題改編）平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān)．下面四個(gè)頻率分布直方圖中，最能說(shuō)明平均數(shù)大于中位數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】（1）5（2）A【解析】（1）【解】由題意，得73+79+82+（2）【解】對(duì)于B,D，直方圖形狀對(duì)稱，所以平均數(shù)和中位數(shù)相等.A中圖形在右邊拖“邊尾”，C中圖形在左邊“拖尾”，故A正確.故選A.考點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)例3某果園試種了A，B兩個(gè)品種的桃樹(shù)各10棵，并在桃樹(shù)成熟掛果后統(tǒng)計(jì)了這20棵桃樹(shù)的產(chǎn)量（單位：kg）如下表.記A，B兩個(gè)品種各10棵產(chǎn)量的平均數(shù)分別為x和y，方差分別為s12和A/kg60504060708070305090B/kg40605080805060208070（1）分別求這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù).（2）求x，y，s12，（3）果園要大面積種植這兩種桃樹(shù)中的一種，依據(jù)以上計(jì)算結(jié)果分析選種哪個(gè)品種更合適?并說(shuō)明理由.【解】（1）這10棵A品種桃樹(shù)的產(chǎn)量從小到大分別為30，40，50，50，60，60，70，70，80，90.所以極差為90?30=這10棵B品種桃樹(shù)的產(chǎn)量從小到大分別為20，40，50，50，60，60，70，80，80，80.所以極差為80?20=（2）x=y=s1s2（3）由（1）,知這兩個(gè)品種產(chǎn)量的極差和中位數(shù)都相等.由（2）,知x>y，所以A品種桃樹(shù)平均產(chǎn)量高，波動(dòng)小，所以應(yīng)選種A品種桃樹(shù).【點(diǎn)撥】①標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動(dòng)與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.②方差公式可變形為s2變式3．[2023年全國(guó)乙卷]某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行10次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，y試驗(yàn)序號(hào)i12345678910伸縮率x545533551522575544541568596548伸縮率y536527543530560533522550576536記zi=xi?yi(i=1,2（1）求z，s2（2）判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高（如果z≥【解】（1）zi=xi?故s2（2）由（1），知z=11，2s課時(shí)作業(yè)知能提升【鞏固強(qiáng)化】1．一組觀察值4，3，5，6出現(xiàn)的次數(shù)分別為3，2，4，2，則樣本平均數(shù)約為（）A.4.55 B.4.6 C.12.5 D.1.64【答案】A【解】樣本平均數(shù)為4×3+3×2．?dāng)?shù)據(jù)7,3,6,5,10,14,9,8,12的第60百分位數(shù)為（）A.14 B.9.5 C.9 D.8【答案】C【解】數(shù)據(jù)從小到大依次排列為：3,5,6,7,8,9,10,12,14，共9個(gè)數(shù)據(jù).因?yàn)?×60%=5.4，所以第60百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)據(jù)，即為9.3．已知數(shù)據(jù)x1，x2，?，x20的極差為4，方差為2，則數(shù)據(jù)3x1+5A.4，2 B.4，18 C.12，2 D.12，18【答案】D【解】新數(shù)據(jù)的極差是原數(shù)據(jù)極差的3倍，所以新數(shù)據(jù)的極差為4×新數(shù)據(jù)的方差是原數(shù)據(jù)方差的32倍，所以新數(shù)據(jù)的方差為2×32=4．學(xué)校準(zhǔn)備從41名喜愛(ài)數(shù)學(xué)的學(xué)生中，選拔出20名學(xué)生組成“強(qiáng)化訓(xùn)練班”，為此進(jìn)行了一次選拔考試，考試后這些學(xué)生的成績(jī)各不相同.小軍已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己能否進(jìn)入“強(qiáng)化訓(xùn)練班”，他需要知道這41名學(xué)生成績(jī)的（）A.方差 B.中位數(shù) C.眾數(shù) D.平均數(shù)【答案】B【解】把這41名學(xué)生的成績(jī)按從大到小的順序排列，取成績(jī)靠前的20名學(xué)生入選，即成績(jī)?cè)谥虚g的數(shù)之前的20名學(xué)生入選.當(dāng)這41個(gè)成績(jī)按從大到小的順序排列時(shí)，中間的數(shù)即中位數(shù).若小軍的成績(jī)大于中位數(shù)，則可以判斷他能進(jìn)入“強(qiáng)化訓(xùn)練班”；否則，不能.故選B.5．平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖兩種分布形態(tài)中，a,b,c,d分別對(duì)應(yīng)平均數(shù)和中位數(shù)之一，則可能的對(duì)應(yīng)關(guān)系是（）A.a為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)B.a為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù)C.a為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)D.a為平均數(shù)，b為中位數(shù)，c為中位數(shù)，d為平均數(shù)【答案】A【解】在頻率分布直方圖中，中位數(shù)兩側(cè)小矩形的面積相等，平均數(shù)是每組數(shù)據(jù)的中間值乘頻率再相加之和，結(jié)合兩個(gè)頻率分布直方圖，得a為中位數(shù)，b為平均數(shù)，c為平均數(shù)，d為中位數(shù).故選A.6．已知數(shù)據(jù)x1,x2,x3,?,x10，且滿足x1A.平均數(shù) B.中位數(shù) C.極差 D.方差【答案】A【解】原數(shù)據(jù)的極差為x10?x1，新數(shù)據(jù)的極差為原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為x5+x去掉x1，x10后，數(shù)據(jù)波動(dòng)性變小，可能變大的是平均數(shù)，比如1,3,4,5,6,7,8,9,11,12，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6.6，去掉1和12后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為538>6.6.故選7．【多選題】在某市初三年級(jí)舉行的一次體育統(tǒng)考中，共有500人參加考試.為了解考生的成績(jī)情況，抽查了n位考生的成績(jī)，根據(jù)所得數(shù)據(jù)作出如圖所示的頻率分布直方圖.若樣本中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[50A.nB.估計(jì)該市考生成績(jī)的眾數(shù)為72C.估計(jì)該市考生成績(jī)的第70百分位數(shù)為75D.估計(jì)該市考生成績(jī)的平均數(shù)為70.6【答案】AD【解】由頻率分布直方圖，可知x=110?(0.004+0.01+0.03由頻率分布直方圖，可知樣本的眾數(shù)為75，則估計(jì)該市考生成績(jī)的眾數(shù)為75，故B錯(cuò)誤.樣本中考生成績(jī)的第70百分位數(shù)為70+10×0.70?0.460.86?0.46=樣本中考生成績(jī)的平均數(shù)為55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×8．有一種花的植株高度的頻率分布直方圖如圖所示，則這種花的植株高度的眾數(shù)約為cm，中位數(shù)約為_(kāi)_cm.（精確到0.1）【答案】45；45.8【解】由頻率分布直方圖，知頻率最大的區(qū)間為[40,50)因?yàn)?0×(0.005+0.010)=0.15<0.5設(shè)中位數(shù)為x，則0.15+(解得x≈45.89．某市計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)x（單位：t）.一位居民的月用水量不超過(guò)x的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出x的部分按議價(jià)收費(fèi).為了解居民用水情況，通過(guò)隨機(jī)抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：t）.將數(shù)據(jù)按[0,1),[1,2)，（1）求直方圖中a，b的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民月均用水量的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）.（2）設(shè)該市有40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2t（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)xt，估計(jì)【解】（1）由頻率分布直方圖,可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+該市居民月均用水量的平均數(shù)估計(jì)為x=（2）由頻率分布直方圖，可得樣本中月均用水量不超過(guò)2t的頻率為0.04所以全市40萬(wàn)居民中月均用水量不低于2t的人數(shù)約為40（3）由頻率分布直方圖,知月均用水量不超過(guò)6t的頻率為1?0.02?0.04?0.06=0.88，月均用水量不超過(guò)5t的頻率為0.88?0.15=0.73【綜合運(yùn)用】10．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理得下表.畝產(chǎn)量[900[950[1000頻數(shù)61218畝產(chǎn)量[1050[1100[1150頻數(shù)302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000【答案】C【解】顯然A,B錯(cuò)誤.對(duì)于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為1200?900=300(kg)，最小為1150?對(duì)于D，平均值估計(jì)為1100×(6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175)=1067（或第1組和第611．已知P：x1，x2，x3，?，x8的平均數(shù)與中位數(shù)相等,Q：x1，x2，A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解】由x1，x2，x3，?，x8是等差數(shù)列，得平均數(shù)為x1+x2+x3+?+若數(shù)據(jù)是1,1,1,3,3,5,5,5，則平均數(shù)和中位數(shù)相等，但x1，x2，x3，?，x8不是等差數(shù)列.所以P不是Q的充分條件.綜上，P是Q的必要不充分條件.12．【多選題】某高校組織全體學(xué)生參加一主題知識(shí)測(cè)試，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績(jī)（單位：分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì).按成績(jī)分成[50,60),[60根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.這200名學(xué)生成績(jī)的極差介于35至45之間B.這200名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)小于中位數(shù)C.從200名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其成績(jī)不低于70分的概率估計(jì)為0.7D.從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，在這兩名學(xué)生成績(jī)都不低于70分的條件下，恰有一名學(xué)生成績(jī)?cè)赱70,【答案】BCD【解】對(duì)于A，因?yàn)?00?50=50，90?60=30，所以這200名學(xué)生成績(jī)的極差介于30至題圖左“拖尾”，故B正確.對(duì)于C，因?yàn)檫@200名學(xué)生中成績(jī)不低于70分的學(xué)生所占比例為1?10×(0.01+0.02對(duì)于D，記“從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名，這兩名學(xué)生成績(jī)都不低于70分”為事件A，“這兩名學(xué)生中恰有一名學(xué)生成績(jī)?cè)赱70,80)內(nèi)由C，可知P(A)=0.72=0.49，P(AB)=C2113．[2023年上海卷]現(xiàn)有某地一年四個(gè)季度的GDP（億元），第一季度GDP為232億元，第四季度GDP為241億元，四個(gè)季度的GDP逐季度增長(zhǎng)，且中位數(shù)與平均數(shù)相同，則該地這一年的GDP為_(kāi)_億元.【答案】946【解】設(shè)第二季度GDP為x億元，第三季度GDP為y億元，則232<因?yàn)橹形粩?shù)與平均數(shù)相同，所以x+y2=232+x+y+2414，14．某電子產(chǎn)品制造企業(yè)為了提升生產(chǎn)效率，對(duì)現(xiàn)有的一條電子產(chǎn)品生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級(jí)改造.為了分析改造的效果，該企業(yè)質(zhì)檢人員從該條生產(chǎn)線所生產(chǎn)的電子產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了1000件，檢測(cè)產(chǎn)品的某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值.根據(jù)檢測(cè)數(shù)據(jù)得到下表（單位：件）.質(zhì)量指標(biāo)值[25[35[45[55[65[75[85產(chǎn)品/件6010016030020010080（1）估計(jì)這組樣本的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)x和方差s2（2）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，{x}表示不小于x的最小整數(shù)，s精確到個(gè)位，an=5?{x?ns5}【解】（1）x=s2（2）由s2=241a1=5該抽樣數(shù)據(jù)落在[45,75]又a2b2該抽樣數(shù)據(jù)落在[30,90]所以不能判定生產(chǎn)線的技術(shù)改造成功.【拓廣探索】15．從2，3，4，5，6，7，8，9中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)比m大的概率為14.若m為上述數(shù)據(jù)中的第x百分位數(shù)，則xA.50 B.60 C.70 D.80【答案】C【解】由題意，知7≤m<8.又m是百分位數(shù)，所以m由百分位數(shù)的定義，知8×解得62.5<x≤75.僅C符合題意.專題突破22基本數(shù)字特征研究核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一基本數(shù)字特征例1（1）【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn，其平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差分別記為a1,b1,c1,d1.由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1,y2,?,yn，其中A.a2=2C.c2=4（2）已知一組正數(shù)x1,x2,x3,x4,x5的方差為s2=15∑5A.4 B.5 C.6 D.7【點(diǎn)撥】①一組數(shù)據(jù)x1,x2,?,xn變?yōu)閗x1+b，kx2+b【答案】（1）AD（2）B【解析】（1）【解】由yi=2xi+2026，得a2=2a1+2026，b2=2b1+（2）【解】由s2=15∑5i=1xi2?x2，可得變式1．（1）[2021年新課標(biāo)Ⅰ卷]【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，?，yA.兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的極差相同（2）若一組數(shù)據(jù)a1,a2,?,a10的平均數(shù)為3，方差為11，則a12【答案】（1）CD（2）200【解析】（1）【解】對(duì)于A,E(y)=E(x+c)=E(x)+c,且c≠0，故平均數(shù)不相同，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若第一組中位數(shù)為xi，則第二組中位數(shù)為yi（2）【解】110[a12考點(diǎn)二分層樣本的均值與方差例2【多選題】某市提出“保證中小學(xué)生每天一小時(shí)校園體育活動(dòng)”的倡議.在某次調(diào)研中，甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生一周的運(yùn)動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下表.學(xué)校人數(shù)平均運(yùn)動(dòng)時(shí)間方差甲校2000103乙校300082記這兩個(gè)學(xué)校學(xué)生一周運(yùn)動(dòng)的總平均時(shí)間為x，方差為s2A.x=8.7 B.x=8.8 C.【解】x=20005000×10+3000【答案】BC【點(diǎn)撥】①一般地，如果已知第一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是m，平均數(shù)和方差分別為x和sx2，第二組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是n，平均數(shù)和方差分別為y和sy2，那么總樣本平均數(shù)z=mm變式2．據(jù)統(tǒng)計(jì)某市學(xué)生的男、女生人數(shù)比為2:3，為了調(diào)查該市學(xué)生每天睡眠時(shí)長(zhǎng)（單位：h）的情況，按照男、女生人數(shù)比用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取樣本.根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得男生每天睡眠時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為7.3，方差為2，女生每天睡眠時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為6.8，方差為【解】由題意，知x1=7.3，s12因?yàn)樵撌袑W(xué)生的男、女生人數(shù)比為2:3，所以設(shè)男、女生人數(shù)分別為2a，估計(jì)該市學(xué)生每天睡眠時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為7.3×方差為2a2a考點(diǎn)三變動(dòng)樣本的數(shù)字特征例3【多選題】已知互不相同的20個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為s12，平均數(shù)為x1;去掉的兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為s22，平均數(shù)為x2；原樣本數(shù)據(jù)的方差為A.剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變B.xC.剩下18個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的22D.10【解】設(shè)20個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為x1,x2,x3,?,x20，則剩下的18個(gè)樣本數(shù)據(jù)為x2,x中位數(shù)不變，故A正確.對(duì)于B,x1=118(x2+x3+?+x19)，對(duì)于C，因?yàn)?8×22%=3.96，20×22%=4.4，所以剩下的18個(gè)數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的22%對(duì)于D，因?yàn)閤=x1=x2，所以s12=118(x22+x3【答案】ABD【點(diǎn)撥】①刪掉樣本數(shù)據(jù)（不全相等）中與平均值相等的數(shù)據(jù)后，極差不變，標(biāo)準(zhǔn)差變大，中位數(shù)不確定.②刪掉樣本數(shù)據(jù)（不全相等）中的最小值和最大值后，中位數(shù)不變，平均數(shù)不確定，極差、標(biāo)準(zhǔn)差變小或不變.變式3．（1）[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]【多選題】有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中xA.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，xB.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，xC.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，xD.x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x（2）已知某8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)5，此時(shí)這9個(gè)數(shù)的平均數(shù)為x，方差為s2A.x=5,s2>3 B.x=5,s2<3【答案】（1）BD（2）B【解析】（1）【解】取x1=1，x2=x3=x4=x5=2，x6=9，則x2,x3,x4,x5的平均數(shù)等于2，標(biāo)準(zhǔn)差為0;x1,x2,?,x6的平均數(shù)等于3，標(biāo)準(zhǔn)差為663，故A，C均錯(cuò)誤.將x1,x2,?,x6按從小到大的順序進(jìn)行排列，易知x2,x3,x4,x5的中位數(shù)與x1,x2,x3,?,（2）【解】x=5,s2=1考點(diǎn)四實(shí)際應(yīng)用中的推斷問(wèn)題例4某環(huán)保局對(duì)轄區(qū)內(nèi)甲、乙兩個(gè)地區(qū)的環(huán)境治理情況進(jìn)行檢查督導(dǎo).若連續(xù)10天，每天空氣質(zhì)量指數(shù)（單位：μg/甲地區(qū)：平均數(shù)為80，方差為40.乙地區(qū)：平均數(shù)為50，眾數(shù)為40.據(jù)此推斷甲、乙兩地的環(huán)境治理達(dá)標(biāo)情況.【解】設(shè)每天的空氣質(zhì)量指數(shù)為xi(i=1對(duì)于甲地區(qū)，由110∑10i=1對(duì)于乙地區(qū)，若有8天的空氣質(zhì)量指數(shù)為40，有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為150，有1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為30，滿足題意，但此時(shí)乙地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).若有8天的空氣質(zhì)量指數(shù)為40，有2天的空氣質(zhì)量指數(shù)為90，滿足題意，此時(shí)乙地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo).所以乙地區(qū)的環(huán)境治理是否達(dá)標(biāo)無(wú)法判斷.綜上，甲地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo)，乙地區(qū)無(wú)法判斷.【點(diǎn)撥】統(tǒng)計(jì)推斷關(guān)鍵在于利用基本統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行邏輯推理,常用技巧有特值法、極限法等,重在考查數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).變式4．在例4的條件下，若又有丙、丁地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數(shù)據(jù)特征如下，試推斷丙、丁兩地的環(huán)境治理達(dá)標(biāo)情況.丙地區(qū)：中位數(shù)為50，極差為60.丁地區(qū)：極差為10，80%【解】對(duì)于丙地區(qū)，若第1天的空氣質(zhì)量指數(shù)為110，另外9天的空氣質(zhì)量指數(shù)為50，滿足題意，但此時(shí)丙地區(qū)的環(huán)境治理不達(dá)標(biāo).若丙地區(qū)10天的數(shù)據(jù)為90，50，50，50，50，50，50，40，40，30，滿足題意，此時(shí)丙地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo).所以丙地區(qū)的環(huán)境治理是否達(dá)標(biāo)無(wú)法判斷.對(duì)于丁地區(qū)，若最大值超過(guò)100，則根據(jù)極差為10，知最小值超過(guò)90，這與80%綜上，丙地區(qū)無(wú)法判斷，丁地區(qū)的環(huán)境治理達(dá)標(biāo).課時(shí)作業(yè)知能提升1．演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分（不全相等），評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，一定不變的數(shù)字特征是（）A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差【答案】A【解】平均數(shù)可能變化，方差與極差必定變化，不變的只有中位數(shù).故選A.2．已知數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的平均數(shù)、中位數(shù)、方差分別為a1，b1，c1（其中a1≠b1），數(shù)據(jù)1?3x1，A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解】由題意，知a2=1?3a1，b2=13．為了解某班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，利用分層隨機(jī)抽樣抽取了一個(gè)10人的樣本，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表.可估計(jì)全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分和方差分別為（）性別學(xué)生數(shù)平均分方差男生6804女生4752A.77.5，9.2 B.77.5，11 C.78，9.2 D.78，11【答案】C【解】可估計(jì)全班學(xué)生數(shù)學(xué)的平均分為80×35+75×254．已知一組正數(shù)x1，x2，x3，x4的方差為s2=14(A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解】設(shè)正數(shù)x1，x2，x3，x則方差s2=14[(x1?m)2+(x5．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).根據(jù)如下各項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷出一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為2，方差為2.4 B.中位數(shù)為3，方差為1.6C.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2 D.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2【答案】A【解】對(duì)于A，若5次結(jié)果中有6，則方差s2>1所以當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確.對(duì)于B，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為3,3,3,5,6時(shí)，中位數(shù)為3，平均數(shù)為4，則方差s2=15[(3對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為2,2,3,5,6時(shí)，中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)數(shù)為1,1,2,5,6時(shí)，中位數(shù)為2，平均數(shù)為3，故D錯(cuò)誤.故選A.6．【多選題】已知一組數(shù)據(jù)x1，x2，?，x11A.中位數(shù)不變 B.平均數(shù)不變 C.方差變大 D.方差變小【答案】ABC【解】對(duì)于A，原數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x6，去掉x6后的中位數(shù)為12(x5+x對(duì)于B，原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為x=111(x1對(duì)于C，D，原數(shù)據(jù)的方差為s2去掉x6后的方差為s02=110[(x1?x6)2+(x27．已知一組數(shù)據(jù)共10個(gè)數(shù)（10個(gè)數(shù)不全相等），方差為s12，增加一個(gè)數(shù)后得到一組新數(shù)據(jù)，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，方差為s22，則s12s22=____【答案】1110【解】設(shè)這10個(gè)數(shù)據(jù)為x1,x2,x3,?,x10，平均值為m設(shè)第11個(gè)數(shù)據(jù)為y.由題意，知111(∑10i=1xi+y)=m，所以y=8．[2024年上海春季高考卷改編]將136箱水果分為一級(jí)果和二級(jí)果，其中一級(jí)果102箱，二級(jí)果34箱.（1）隨機(jī)抽取兩箱水果，求恰好抽到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱的概率.（2）按水果級(jí)別采用分層隨機(jī)抽樣抽取8箱水果，求一級(jí)果和二級(jí)果各抽取多少箱.（3）抽取若干箱水果，其中一級(jí)果共120個(gè)，單果質(zhì)量的平均數(shù)為301g，方差為598；二級(jí)果48個(gè)，單果質(zhì)量的平均數(shù)為245【解】（1）設(shè)事件A為“恰好抽到一級(jí)果和二級(jí)果各一箱”.樣本空間的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n=C1362=136×135（2）因?yàn)?02:34=3:（3）設(shè)一級(jí)果的平均質(zhì)量為x，方差為sx2，二級(jí)果的平均質(zhì)量為y，方差為sy2，總體樣本的平均質(zhì)量為z，方差為s2，則x=301所以z=s2估計(jì)這136箱水果中單果的平均質(zhì)量為1021369.3成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析課程標(biāo)準(zhǔn)有的放矢1.結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.2.結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性.3.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件.4.針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).5.通過(guò)實(shí)例，理解2×6.通過(guò)實(shí)例，了解2×必備知識(shí)溫故知新【教材梳理】1.成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性（1）變量的相關(guān)關(guān)系.①相關(guān)關(guān)系：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.②分類：正相關(guān)與負(fù)相關(guān).③線性相關(guān)：一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們稱這兩個(gè)變量線性相關(guān).如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān).（2）樣本相關(guān)系數(shù).①樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式.r=②r令x′=(x′其中x′i=xi則r=1nx′?y③樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)：當(dāng)r>0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).當(dāng)|r|越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度2.一元線性回歸模型及其應(yīng)用（1）一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì).設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1),(x2,y2),我們把y=bx+a.稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的b,a叫做（2）回歸分析.①殘差：對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的y稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差.②刻畫(huà)回歸效果的方式：一是殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型比較合適，帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高；二是殘差平方和法，∑ni=1(yi?yi)2稱為殘差平方和，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好；三是用決定系數(shù)3.列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）2×2列聯(lián)表：一般地，假設(shè)兩個(gè)分類變量X和Y，它們的取值為{0XY合計(jì)Y=Y=X=aba+X=cdc+合計(jì)a+b+n=a（2）獨(dú)立性檢驗(yàn).①χχ2=n②獨(dú)立性檢驗(yàn).H0：P(Y當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X當(dāng)χ2<xα?xí)r，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0這種利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ常用結(jié)論1.經(jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(x2.計(jì)算b時(shí)，也常用公式b=自主評(píng)價(jià)牛刀小試1．判斷下列命題是否正確，正確的在括號(hào)內(nèi)畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.（1）散點(diǎn)圖無(wú)法判斷兩個(gè)變量是否相關(guān).（）（2）兩個(gè)變量的樣本相關(guān)系數(shù)越小,它們的相關(guān)性越弱.（）（3）經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1,y（4）在一元線性回歸模型中，決定系數(shù)R2（5）χ2【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√（5）×2．[2024年天津卷]下列圖中，線性相關(guān)系數(shù)最大的是（）A. B.C. D.【答案】A【解】A中，散點(diǎn)分布比較集中，且大體接近某一條直線，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關(guān)，|r|值相比于其他選項(xiàng)中更接近1.故選A3．（教材題改編）在利用χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)判斷兩個(gè)分類變量X與YA.χ2越大，“X與YB.χ2越小，“X與YC.χ2越接近于0，“X與YD.χ2越大，“X與Y【答案】B【解】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想，知χ2越小，變量有關(guān)系的可信程度越小，故B正確.故選B4．【多選題】已知變量x，y之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.7x+1.05，且變量x2345y2.53m4.5A.m=4 B.變量x，C.可預(yù)測(cè)當(dāng)x=10時(shí)，y約為9.05 D.當(dāng)x【答案】AB【解】由題意，知x=2+3+4+54=3.5，則y=0.7×3.5+1.05=3.5.又y=2.5+3+m+4.54=10核心考點(diǎn)精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性例1（1）（教材題改編）對(duì)兩組數(shù)據(jù)x，y和v，u分別進(jìn)行回歸分析，得到散點(diǎn)圖如圖所示.求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別是y=b1x+a1A.b1b2>0 B.?1（2）[2020年全國(guó)Ⅱ卷]某沙漠經(jīng)過(guò)治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1∑20i=1yi=①求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘地塊數(shù)）；②求成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi,③根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說(shuō)明理由.附：樣本相關(guān)系數(shù)r=2≈【點(diǎn)撥】①除了樣本相關(guān)系數(shù)外，散點(diǎn)圖也可以判斷兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系.點(diǎn)分布在從左下角到右上角的區(qū)域時(shí)，兩個(gè)變量呈現(xiàn)正相關(guān)；點(diǎn)分布在從左上角到右下角的區(qū)域時(shí)，兩個(gè)變量呈負(fù)相關(guān).②經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，一般當(dāng)b>0時(shí)，兩變量正相關(guān)；當(dāng)【答案】（1）D（2）①【解】由已知，得樣區(qū)內(nèi)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)y=120②成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(xi,y③分層隨機(jī)抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣.理由如下：由②，知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).【解析】（1）【解】由散點(diǎn)圖，可知x與y負(fù)相關(guān)，v與u正相關(guān)，則b1<0，b2>0，0<r2<1，故A,B錯(cuò)誤.圖形中點(diǎn)(x,y)比(v,u)更加集中在一條直線附近，則|r1變式1．（1）[2024年上海卷]已知沿海地區(qū)氣溫和海水表層溫度相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，對(duì)此描述正確的是（）A.沿海地區(qū)氣溫高，海水表層溫度就高B.沿海地區(qū)氣溫高，海水表層溫度就低C.隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì)D.隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢(shì)（2）[2022年全國(guó)乙卷]某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m2）和材積量（單位：m樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積x0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量y0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算,得∑10i=1x①估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量.②求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）.③現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為186m利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值.附：樣本相關(guān)系數(shù)r=∑n【答案】（1）C（2）①【解】設(shè)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為x，平均一棵的材積量為y.根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得x=y=②由題意，知r==0.2474=0.0134③設(shè)總根部橫截面積和為X，總材積量為Y，則XY=x故該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為1209m【解析】（1）【解】因?yàn)檠睾５貐^(qū)氣溫和海水表層溫度相關(guān)，且樣本相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，所以隨著沿海地區(qū)氣溫由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢(shì).故選C.考點(diǎn)二回歸模型及其應(yīng)用命題角度1經(jīng)驗(yàn)回歸方程及其應(yīng)用例2（1）某中學(xué)的數(shù)學(xué)課堂教改采用了“探究題型-強(qiáng)化訓(xùn)練-檢測(cè)效果”的模式，并記錄了某學(xué)生的探究題型時(shí)間t（單位：h）與檢測(cè)效果y的數(shù)據(jù)如表所示.探究題型時(shí)間t1234567檢測(cè)效果y2.93.33.64.44.85.25.9①據(jù)統(tǒng)計(jì)表明，y與t之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)用樣本相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明（若|r|≥0.75，則認(rèn)為y②建立y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)該學(xué)生探究題型8h附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+a樣本相關(guān)系數(shù)r=y=4.3，∑7i=（2）某科技公司對(duì)近十年來(lái)高科技研發(fā)投入情況分析調(diào)研，其研發(fā)投入y（單位：億元）的統(tǒng)計(jì)圖如圖1所示，其中年份代碼x=1，2，圖1現(xiàn)用兩種模型A：y=bx+圖2yt∑10∑10∑10∑10752.2582.54.512028.67表中ti=x①根據(jù)圖2，比較模型A，B的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說(shuō)明理由.②根據(jù)①中所選模型，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程及該公司2030年高科技研發(fā)投入y的預(yù)報(bào)值（回歸系數(shù)精確到0.01）.附：b=∑n【點(diǎn)撥】①線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的重要應(yīng)用是進(jìn)行估計(jì).②求線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟：第一步，列表；第二步，計(jì)算x，y，∑ni=1xiyi，∑ni=【答案】（1）①【解】因?yàn)閠=∑7所以r=1428×7.08≈0.99②由題意，設(shè)y=b=又a=所以y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=當(dāng)t=8時(shí)，y=（2）①【解】應(yīng)選擇模型B.理由如下.由于模型B的殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，且?guī)顓^(qū)域的寬度比模型A的帶狀區(qū)域?qū)挾日?，所以模型B的擬合精度更高，經(jīng)驗(yàn)回歸方程的預(yù)報(bào)精度相應(yīng)越高，故選模型B比較合適.②根據(jù)模型B，令t=x，則研發(fā)投入y與t可用線性回歸模型來(lái)擬合，設(shè)則d=28.674.5則y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=2030年，即x=16時(shí)，所以該公司2030年高科技研發(fā)投入y的預(yù)報(bào)值為86.15億元.變式2．（1）下表提供了某廠進(jìn)行技術(shù)改造后生產(chǎn)產(chǎn)品過(guò)程中的產(chǎn)能x（單位：t）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（單位：t標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).x/t3456y/t3.5455.5①繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖分析x,y的相關(guān)程度.②求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=③已知該廠技術(shù)改造前100t產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90t標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)②中求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，預(yù)測(cè)該廠技術(shù)改造后,100t附：b=∑n（2）某市開(kāi)展“安全隨我行”活動(dòng)，交警部門在某個(gè)交通路口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10天騎電動(dòng)自行車未佩戴頭盔的人數(shù)y（人）與天數(shù)x（天）的情況.對(duì)統(tǒng)計(jì)得到的樣本數(shù)據(jù)(xx?y?Y∑10∑10∑105.58.71.930138579.75表中Yi=lny①依據(jù)散點(diǎn)圖，推斷y=bx+a與y=②依據(jù)①的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù),求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.【答案】（1）①【解】繪制散點(diǎn)圖如下，可知x,y的相關(guān)程度較高.②依題意，得x?=4.5,y?=4.5,∑4i=1x③當(dāng)x=100時(shí),y=71.35，即改造后預(yù)測(cè)100t所以預(yù)測(cè)該廠改造后,100t產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低了18.65（2）①【解】依據(jù)散點(diǎn)圖，可以推斷y=ebx+a更適合作為y②由Yi=lny依題意，得b=a=所以Y=?0.3x+3.55，即y關(guān)于命題角度2決定系數(shù)與殘差例3某種農(nóng)作物可以生長(zhǎng)在灘涂和鹽堿地，將海水稀釋后對(duì)其進(jìn)行灌溉.某實(shí)驗(yàn)基地為了研究海水濃度x(%)對(duì)畝產(chǎn)量y海水濃度x34567畝產(chǎn)量y0.570.530.440.360.30殘差e?0.010.02mn0繪制散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，可以用一元線性回歸模型擬合y與x的相關(guān)關(guān)系，用最小二乘法計(jì)算得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=?（1）求a，m,n的值；（2）計(jì)算決定系數(shù)R2（精確到0.01附：殘差ei=y其中∑5【答案】（1）【解】因?yàn)閤=y=15×(0.57所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=?所以y3m=y4n=（2）∑5所以決定系數(shù)R2【點(diǎn)撥】用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)擬合效果，R變式3．（1）【多選題】在實(shí)際應(yīng)用中，用經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中的yA.隨機(jī)誤差e的方差σ2越小，用bx+aB.決定系數(shù)R2C.殘差平方和∑nD.對(duì)于n個(gè)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1,y1)，(x2,y（2）【多選題】某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x（單位：萬(wàn)元）與銷售量y（單位：萬(wàn)件）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示.廣告支出費(fèi)用x2.22.64.05.35.9銷售量y3.85.47.011.612.2根據(jù)表中的數(shù)據(jù),可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=2.27x+A.第三個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的殘差eB.在該回歸模型對(duì)應(yīng)的殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在傾斜的帶狀區(qū)域中C.該模型擬合效果較好D.用該經(jīng)驗(yàn)回歸方程可以很準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)廣告費(fèi)用為20萬(wàn)元時(shí)的銷售量【答案】（1）BCD（2）AC【解析】（1）【解】隨機(jī)誤差e的方差σ?2越小，用bx+a預(yù)報(bào)真實(shí)值y的精度越高，故A錯(cuò)誤.R2越接近1，一元線性回歸模型的擬合效果越好，故B正確.殘差平方和∑ni=1(yi?yi（2）【解】由題意，得x=2.2+2.6+4.0+5.3+5.95=4,y=3.8+5.4+7.0+11.6+12.25考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)例4[2023年全國(guó)甲卷]一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選40只小白鼠，隨機(jī)地將其中20只分配到試驗(yàn)組，另外20只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量（單位：g）．試驗(yàn)結(jié)果如下：對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.527.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.836.237.3 40.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.018.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.925.128.2 32.336.5（1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；（2）①求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表;組別體重增加量<m≥m對(duì)照組試驗(yàn)組②由①中的列聯(lián)表，根據(jù)小概率值α=附：χ2α0.1000.0500.010xa2.7063.8416.635【答案】（1）【解】試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為120（2）①依題意，可知這40只小白鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，所以m=組別體重增加量<m≥m對(duì)照組614試驗(yàn)組146②零假設(shè)為H0:小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量沒(méi)有差異.χ2=40×(6【點(diǎn)撥】①獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：第一步，假設(shè)兩個(gè)分類變量X與Y沒(méi)有關(guān)系；第二步，計(jì)算出χ2的值；第三步，把χ變式4．[2024年全國(guó)甲卷]某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：車間產(chǎn)品總計(jì)優(yōu)級(jí)品合格品不合格品甲車間2624050