初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊 第5章《分式與分式方程》綜合測試卷（含解析）

第5章《分式與分式方程》綜合測試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．若關(guān)于x的方程1x?1+mx?2=A．?32或?1 B．C．?32或?2或0 D．?322．若x是整數(shù)，則使分式8x+22x?1的值為整數(shù)的x值有（

A．2 B．3 C．4 D．53．甲杯中盛有m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍(lán)墨水，從甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時(shí)（

）A．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少B．甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多C．甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同D．甲杯中混入的藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定4．已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xA．12 B．14 C．727 5．甲、乙兩位同學(xué)周末相約去游玩，沿同一路線從A地出發(fā)前往B地，甲、乙分別以不同的速度勻速前行乙比甲晚0．5h出發(fā)，并且在中途停留1h后，按原來速度的一半繼續(xù)前進(jìn)．此過程中，甲、乙兩人離A地的路程s（km）與甲出發(fā)的時(shí)間t（h）之間的關(guān)系如圖．下列說法：①A，B兩地相距24km；②甲比乙晚到B地1h；③乙從A地剛出發(fā)時(shí)的速度為72km/h；④乙出發(fā)1714h與甲第三次相遇．其中正確的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．關(guān)于x的方程x+1x=a+1a的兩個(gè)解為x1=a，x2=1a，x+2x=a+2A．x1=a，x2=2C．x1=a，x2=107．對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a、b，我們規(guī)定符號(hào)Min{a，b}表示a、b中的較小的值，如Min{2，4}＝2，按照這個(gè)規(guī)定，方程Min{1x，2x}＝3xA．1 B．2 C．1或2 D．1或－28．對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，我們定義：fx,y①f2,3②f1,3③若afb,?c=bfa,?c其中說法正確的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)9．某工程，甲隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是乙、丙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的a倍，乙隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是甲、丙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的b倍，丙隊(duì)獨(dú)做所需天數(shù)是甲、乙兩隊(duì)合做所需天數(shù)的c倍，則1a+1+1A．1 B．2 C．3 D．410．已知關(guān)于x的分式方程2x+3x?2=kx?2x+3+3的解滿足?4<x<?1，且A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．零 D．無法確定二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．已知非零實(shí)數(shù)x，y滿足y=xx+1，則x?y+3xyxy12．任意兩個(gè)和不為零的數(shù)a、b、c滿足ab+c=ba+c=13．已知三個(gè)數(shù)x，y，z滿足xyx+y=?2，zyz+y=34，14．若關(guān)于x的不等式組12x?1<4?x24x+a≥?3有且僅有2個(gè)偶數(shù)解，且使得關(guān)于y的分式方程3y15．若正數(shù)a，b，c滿足abc1，a+1b=3,b+116．甲、乙兩列客車的長分別為150米和200米，它們相向勻速行駛在平行的軌道上，已知甲車上某乘客測得乙車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是10秒，那么乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是秒．三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．(1)判斷方程6?41?x=2x與(2)已知關(guān)于x，y的二元一次方程y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”，求正整數(shù)m的值．18．（6分）【提出問題】已知m>n>0，a>0，分式nm的分子、分母都加上a后，所得分式n+am+a的值與【觀察發(fā)現(xiàn)】觀察下列式子：23<2+13+1,23【探究驗(yàn)證】（1）對(duì)于2323∵a>0，∴?a<0，∴?a33+a∴2（2）由（1）我們可猜想nm與n+am+a的大小關(guān)系是：nm【拓展思考】（3）若n>m>0，a>0時(shí)，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，請寫出正確的式子；【方法應(yīng)用】（4）已知甲、乙兩船同時(shí)從A港出發(fā)航行，設(shè)甲、乙兩船在靜水中的速度分別為v1、v2，水流速度為v0v1>v2>v019．（8分）已知：M=x+1(1)當(dāng)x>0時(shí)，判斷M?N與0的關(guān)系，并說明理由；(2)設(shè)y=2+x①代入M，N，化簡得②若y是正整數(shù)，則整數(shù)x的值為_______．20．（8分）某商店要運(yùn)一批貨物，租用甲、乙兩車運(yùn)送．若兩車合作，各運(yùn)12趟才能完成，需支付運(yùn)費(fèi)共4800元；若甲、乙兩車單獨(dú)運(yùn)完這批貨物，則乙車所運(yùn)趟數(shù)是甲車的2倍；已知乙車每趟運(yùn)費(fèi)比甲車少200元．（1）分別求出甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)；（2）若單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物，需運(yùn)多少趟；（3）若同時(shí)租用甲、乙兩車，則甲車運(yùn)x趟，乙車運(yùn)y趟，才能運(yùn)完此批貨物，其中x、y均為正整數(shù)，設(shè)總運(yùn)費(fèi)為w（元），求w與x的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出w的最小值．21．（10分）已知，關(guān)于x的分式方程a2x+3(1)當(dāng)a=2，b=1時(shí)，求分式方程的解；(2)當(dāng)a=1時(shí)，求b為何值時(shí)，分式方程a2x+3(3)若b=0，a為正整數(shù)，分式方程a2x+3?b?x22．（10分）觀察下列各式：x≠01x11(1)從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫下面的空格：1x(2)用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)1x=m，分解因式：m7(3)已知1+2+22+23+24+25+223．（12分）對(duì)于兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)m、n，分式(x?m)(x?n)x的值為零，則x=m或x=n，又因?yàn)?x?m)(x?n)x=x2?(m+n)x+mnx=x+mn(1)方程x+6x=7有兩個(gè)解，分別為x(2)關(guān)于x的方程x+m?nmnx=m+4mn?n2mn的兩個(gè)解分別為x1，x2，若x1與(3)關(guān)于x的方程3x+n2?n3x?1=2n的兩個(gè)解分別為x1，24．（12分）為了推進(jìn)五育并舉，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，各校積極建設(shè)勞動(dòng)實(shí)踐基地．某校有一塊長方形勞動(dòng)實(shí)踐基地，長為2a?2m，寬為am（(1)去年實(shí)踐基地收獲500kg(2)今年從該基地中截取出一個(gè)邊長為am的正方形地塊，用來種植A類蔬菜，而剩余土地用來種植B類蔬菜，最終收獲A類蔬菜300kg，B類蔬菜(3)該校打算將原勞動(dòng)基地進(jìn)行擴(kuò)建，計(jì)劃將長增加14m，寬增加am，若擴(kuò)建后的長方形基地面積是原來的整數(shù)倍，求整數(shù)參考答案一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．D【分析】本題考查了分式方程的無解問題，正確理解分式方程的無解的含義是解答本題的關(guān)鍵．此分式方程無解的含義包含兩種情況，其一是使得分母為零的根，是原方程的增根，在去分母后，將使分母為零的根分別代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程無解，即方程左邊為零，右邊不為零，可求得m的值．【詳解】去分母，得x?2+m(x?1）整理得(1+m)x=3m+4，當(dāng)x=1時(shí)，1+m=3m+4，解得m=?3當(dāng)x=2時(shí)，2(1+m)=3m+4，解得m=?2；當(dāng)m=?1時(shí)，3m+4≠0，方程無解；綜上所述，滿足題意的m的值為?32或?2或故選D．2．C【分析】先將假分式8x+22x?1分離可得出4+62x?1【詳解】解：8x+2由題意可知，2x?1是6的整數(shù)約數(shù)，∴2x?1=1,2,3,6,?1,?2,?3,?6解得：x=1,3其中x的值為整數(shù)有：x=0,1,?1,2共4個(gè)．故選：C．3．C【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相應(yīng)墨水的比例，進(jìn)而得到混入相應(yīng)墨水的質(zhì)量，比較即可．【詳解】甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：乙杯中紅墨水的比例為am+a，藍(lán)墨水的比例為m再從乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是a-a?am+a=ma乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是a?mm+a=ma∵①=②∴故選C．4．A【分析】把zx+y+xy+z+yz+x=11兩邊加上3，變形可得x+y+zx+y【詳解】解：∵z∴1+z即x+y+zx+y∴1而1x+y∴14∴x+y+z=12．故選：A．5．D【分析】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，以及分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)與圖象中的信息，結(jié)合時(shí)間、路程、速度三者之間的關(guān)系和追擊問題的等量關(guān)系，對(duì)上述說法一一分析，即可解題．【詳解】解：由圖知甲、乙兩位同學(xué)最終停下來時(shí)，離A地的路程s（km）最大為24km∴①正確，由圖知乙到B地時(shí)t=2h，甲到B地時(shí)t=3h，3?2=1（∴②正確，∵乙比甲晚0．5h出發(fā)，并且在中途停留1h后，按原來速度的一半繼續(xù)前進(jìn)．設(shè)乙從A地剛出發(fā)時(shí)的速度為2xkm/h由圖知乙在中途停留前已走12km，則停留后行駛路程為24?12=12（km），總的行駛時(shí)間為2?0.5?1=0.5（h有122x+12∴乙從A地剛出發(fā)時(shí)的速度為2×36=72（kmh∴③正確，根據(jù)圖象可知，甲的速度為24÷3=8乙在途中停留1h后，二者第三次相遇，乙中途停留前運(yùn)動(dòng)時(shí)間為∵乙的第二個(gè)拐點(diǎn)時(shí)間為1272+0.5+1=5由圖知第三次相遇在第二個(gè)拐點(diǎn)之后，即第三次相遇時(shí)間大于第二個(gè)拐點(diǎn)時(shí)間，設(shè)乙繼續(xù)前進(jìn)t小時(shí)后二者相遇，根據(jù)題意得：8×解得t=故第三次相遇為乙出發(fā)后1∴④正確．綜上所述，正確的有①②③④，共4個(gè)．故選：D．6．D【分析】由于x+10x?1=a+10a?1可化為(x?1)+10x?1=(a?1)+10【詳解】∵x+∴(x?1)+∴上述方程有解x?1=a?1及x?1=即x=a及x=所以原方程的解為x1=a故選：D7．B【分析】分類討論1x與2【詳解】解：當(dāng)1x>2去分母得：2=3-x，解得：x=1（不符合題意，舍去）；當(dāng)1x<2去分母得：1=3-x，解得：x=2，經(jīng)檢驗(yàn)x=2是分式方程的解，故選B．8．B【分析】根據(jù)定義新運(yùn)算的規(guī)則，逐一進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而得出結(jié)論即可．【詳解】解：∵fx,y∴f2,3∵fx,y∴f=1+=175∵afb,?c∴a1∴ab+acbc∴a2b+a無法得到ab+ac=2bc；故③錯(cuò)誤；綜上：正確的有1個(gè)；故選B．9．A【分析】本題主要考查了分式方程在工程問題中的應(yīng)用及分式的加法運(yùn)算，分別設(shè)出甲、乙、丙單獨(dú)做完成工程所需天數(shù)，利用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率解答即可，熟練掌握分式方程在工程問題中的應(yīng)用并能靈活運(yùn)用工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率列出方程是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需x天、y天、z天，根據(jù)題意得，x=a?1由此得出a=xy+xzyz，a+1=xy+yz+xz同理可得1b+1=xz∴1a+1故選：A．10．A【分析】本題考查了解分式方程、有理數(shù)的平方．首先解分式方程可得k=36?x?32，再根據(jù)分式方程的解滿足?4<x<?1，可得k的取值范圍，再根據(jù)k為整數(shù)，確定k的值的情況，再根據(jù)【詳解】解：解關(guān)于x的分式方程2x+3x?2去分母得：2x+3x+3移項(xiàng)得：2x+3x+3提公因式得：x+32x+3去括號(hào)、合并同類項(xiàng)得：x+3?x+9整理得:k=36?x?3∵?4<x<?1∴?7<x?3<?4，∴16<x?3∴?49<?x?3∴36?49<36?x?3∴?13<k<20，又∵x?2x+3∴x≠2和?3，∴k=36?x?32≠35∵k為整數(shù)且?13<k<20，∴k≠?13和20，∴?13<k<20中符合條件的k值共有12個(gè)負(fù)數(shù)和19個(gè)正數(shù)，∴符合條件的所有k值的乘積為正數(shù)．故選：A．二．填空題11．4【分析】由條件y=xx+1變形得，x-y=【詳解】由y=xx+1得：xy+y=x，即x-y∴x?y+3xy故答案為：412．8或?1【分析】根據(jù)ab+c=ba+c=ca+b【詳解】解：設(shè)ab+c則a+b=ck，b+c=ak，a+c=bk，∴a+b+b+c+a+c=ka+b+c∴2a+b+c當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，k=2，a+bb+c當(dāng)a+b+c=0時(shí)，a+bb+c故答案為：8或?1．13．?4【分析】由給定的三個(gè)等式可得其倒數(shù)x+yxy=?12，z+yzy=43，【詳解】解：∵xyx+y=?2，zyz+y∴x+yxy=?12，∴1x+1y=?①+②+③，得：2x∴1x∵xy+yz+zxxyz∴xy+yz+zxxyz∴xyzxy+yz+zx故答案為：?4．14．?9【分析】本題考查根據(jù)不等式組的解集的情況以及分式方程的解得情況求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵是正確的求出不等式組的解集和分式方程的解．根據(jù)不等式組有且僅有2個(gè)偶數(shù)解，求出的取值范圍，再根據(jù)y的分式方程有整數(shù)解，求出滿足條件的整數(shù)的值，然后計(jì)算即可．【詳解】解：由12得x<3x≥?∴?a+3∵不等式組有且僅有2個(gè)偶數(shù)解，∴偶數(shù)解為：2，0，∴?2<?a+3∴?3≤a<5，∵3yy?1解得y=1?a∵方程的解為整數(shù)，∴1?a2為整數(shù)，且1?a∵?3≤a<5，∴a的值為：?3或1或3，∴滿足條件所有整數(shù)a的乘積為：?3×1×3=?9．故答案為：?9．15．11【分析】計(jì)算a+1bb+1c【詳解】解：解法一：因?yàn)閍+==abc+a+c+=所以3×17×c+解得c+1故答案為：1125解法二：由abc=1a+1b因此17?b=3b?1，b=9由此可得a=259，所以c+故答案為：112516．7.5【分析】坐在甲車上的某乘客看見乙車駛過窗口，此時(shí)路程為乙車的長度，速度為甲乙兩車速度之和；坐在乙車上的乘客看見甲車駛過窗口，此時(shí)路程為甲車長度，速度為兩人速度之和．等量關(guān)系為：乙車長度÷坐在甲車上的乘客看見乙車駛過窗口的時(shí)間=甲車長度÷坐在乙車上的乘客看見甲車駛過窗口所用的時(shí)間，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是x秒由題意知，200解得x=7.5經(jīng)檢驗(yàn)，x=7.5是原方程的解∴乙車上的乘客看見甲車在他窗口外經(jīng)過的時(shí)間是7.5秒故答案為：7.5．三．解答題17．（1）解：方程6?4(1?x)=2x與方程3x?1x+2解方程6?4(1?x)=2x得x=?1，解方程3x?1x+2x=?1，檢驗(yàn)：x=?1是該分式方程得解．∴方程6?4(1?x)=2x與方程3x?1x+2（2）解：∵y=mx+6和y=x+4m是“相伴方程”．∴mx+6=x+4mx=∵x，y，m均為整數(shù)，∴m?1=±1，∴m1又∵m為正整數(shù)∴m=2或m=318．解：（2）nmnm?n+am+a=n(m+a)?m(n+a)m(m+a)∵m>n>0，a>0，∴n?m<0，m+a>0，∴a(n?m)m(m+a)<0，即∴nm（3）不成立，正確的應(yīng)該是nm理由如下：根據(jù)（2）可得nm?n+a∵n>m>0，a>0，∴n?m>0，m+a>0，∴a(n?m)m(m+a)>0，即∴nm（4）當(dāng)返回為順?biāo)畷r(shí)，t1=vt====2∵v1∴t1?t2=當(dāng)返回為逆水時(shí)，t1=vt====∵v1∴t1?t2=所以當(dāng)返回為順?biāo)畷r(shí)，乙船先返回，當(dāng)返回為逆水時(shí)，甲船先返回．19．（1）當(dāng)x>0時(shí)，M?N>0．理由如下：∵M(jìn)=x+1∴M?N=x+1∵x>0，∴x2>0，∴x2∴x2∴M?N>0．（2）①依題意，得：y=2+x故答案為：4x+1②∵y=4x+1，且y>0，x，∴y可以取1，2，3，4．當(dāng)4x+1=1時(shí)，解得x=3，符合；當(dāng)4x+1=2時(shí)，解得x=1，符合；當(dāng)4x+1=3時(shí)，解得x=1當(dāng)4x+1=4時(shí)，解得x=0，符合．綜上所述：當(dāng)y為正整數(shù)時(shí)，x的值是0或1或3．故答案為：0或1或320．解：（1）設(shè)甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為m元、n元，根據(jù)題意得：m?n=200解得：m=300n=100答：甲、乙兩車每趟的運(yùn)費(fèi)分別為300元、100元．（2）設(shè)單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)a趟，則乙車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)2a趟．根據(jù)題意得：12(解得：a＝18．經(jīng)檢驗(yàn)a＝18是原方程的解，答：單獨(dú)租用甲車運(yùn)完此批貨物需運(yùn)18趟．（3）由題意得：x18∴y＝36﹣2x則W＝300x+100y＝300x+100（36﹣2x）＝100x+3600（0＜x＜18）．∵100＞0，∴W隨著x的增大而增大．當(dāng)x＝1時(shí)，w有最小值，w的最小值為3700．21．（1）解：把a(bǔ)=2，b=1代入分式方程a2x+3得：22x+3方程兩邊同時(shí)乘以2x+3x?5得：2x?5去括號(hào)得：2x移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：10x=?2，系數(shù)化為1得：x=?1檢驗(yàn)：把x=?15代入所以原分式方程的解是x=?1（2）解：把a(bǔ)=1代入分式方程a2x+3得：12x+3方程兩邊同時(shí)乘以2x+3x?5得：x?5?去括號(hào)得：x?5+2x移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：11?2bx=3b?10①當(dāng)11?2b=0時(shí)，即b=11②當(dāng)11?2b≠0時(shí)，x=3b?10x=?32時(shí)，分式方程無解，即3b?1011?2bx=5時(shí)，分式方程無解，即3b?1011?2b=5，綜上所述，b=112或b=5時(shí)，分式方程（3）解：把b=0代入分式方程a2x+3得：a2x+3方程兩邊同時(shí)乘以2x+3x?5得：ax?5整理得：x=5a?15∵x=5a?15a+10=5?65a+10∴a+10必為65的因數(shù)，a+10≥