江蘇省南京2024-2025高三數(shù)學(xué)上學(xué)期10月六校聯(lián)合調(diào)研考試試題

江蘇省南京2024-2025高三上學(xué)期10月六校聯(lián)合調(diào)研

數(shù)學(xué)試題

2024.10

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1,已知集合A={)'l)'=2rwR},8={x|y=ln(x+l)},則—8=()

A.(-1,4-co)B.0C.RD.(0,-BX))

【答案】D

【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)值域和對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求出集合A,8,然后由交集運(yùn)算可得.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，＞4=(0,+oo),

由工+1＞0得工＞一1,所以8=(-1,+co),

所以AC3=(0,+8)C(-1,+8)=(0,+8).

故選：D

2.設(shè){〃”}是等比數(shù)列，且/+6+《=2,則4+%+/=()

A.12B.24C.30D.32

【答案】D

【分析】依據(jù)已知條件求得q的值，再由4+%+4=/(4+/+的)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列{?！▆的公比為q,則4+%+%=4(l+4+d)=l，

a2+/+4=44+4/=qg(]+g+g2)=g=2,

因此，4+/+4=49'+446+4/=qg50+g+g2)=夕5=32.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.下列求導(dǎo)正確的是）

/

A.兀［（2x+l）［'=2（2x+l）

A.sinx-sin—=cosx-sin—B.

I6j6

C(小2"二焉

D.（2'+/）'=2，+2x

【答案】c

【分析】依據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式，及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，進(jìn)行運(yùn)算即可推斷選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,sinx-sin^二（sinx）'-卜in/）=cosx?故A錯(cuò)誤；

對(duì)7B,依據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，

［（2x+l）［'=2（2x+l）（2x+l）'=4（2x+l）,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,（log,X）=----,故C正確：

xln2

對(duì)子D,（2X+x2）Z=（2V/+（x2/=rIn2+2x?故D錯(cuò)誤.

故選：C.

4.已知角a終邊.上有一點(diǎn)P（sin皂,cos型），則兀-a是（）

66

A.第一象限角B.其次象限角C.第三象限角D.第四象限角

【笞案】C

5兀

【分析】依據(jù)二-所在象限可推斷點(diǎn)尸所在象限，然后依據(jù)對(duì)稱性可得.

6

【詳解】因?yàn)槎嗍瞧浯蜗笙藿?，所以sin2>0,cos2<0,

666

所以點(diǎn)P在第四象限，即角。為第四象限角，

所以一a為第一象限角，所以兀一。為第三象限角.

故選：C

5.已知直線/：/U-y-4+l=0和圓C:f+y2—4）,二。交于兩點(diǎn)，則|A目的最小值為（：）

A.2B.72C.4D.2及

【答案】D

【分析】求出直線/過定點(diǎn)（U）,再利用弦長(zhǎng)公式即可得到最小值.

【詳解】/；/l（A-1）->H-1=0,令x=l,則y=l,所以直線/過定點(diǎn)（1,1）,

當(dāng)工=1,），=1得|2+］2一4乂1=一2<0,則（11）在圓內(nèi)，則直線/與圓必有兩交點(diǎn)，

因?yàn)閳A心（0,2）到直線/的距離d<7（1-0）2+（1-2）2=6,所以|4網(wǎng)=2房方>272.

故選：D.

6.已知樣本數(shù)據(jù)3%+l,3X2+\,3X3+1,3X4+1,3X5+1,3%+1的平均數(shù)為16,方差為9,則另一組

數(shù)據(jù)為，X2,X3,x4,x5,乙，12的方差為（）.

【答案】C

【分析】由均值、方差性質(zhì)求數(shù)據(jù)巧，x2,當(dāng)，聲，&，4的平均數(shù)、方差，應(yīng)用平均數(shù)、方差公式求新數(shù)

據(jù)方差.

【詳解】設(shè)數(shù)據(jù)七，x2,與，/，/，%的平均數(shù)為無，方差為

]6\6

由35+1=16,9s2=9，得x=wZ%=5，s"=:>,（X,-5）2=1,

6/=16r=i

則王，x2,七，5，勺，4，12的平均數(shù)為5x6+12=6,

6666

/關(guān)為-6）“+（12—6）X（X1—5—1）~+36-5）“-2，（無-5）+1x6+36

力至內(nèi)/=ii=i，=i，=i

7-7-7

Z（N-5）2?22％+102_65-2-2X6X+102_48

___________izJ______=n=T,

-777

故選：c

7.已知定義在R上的偶函數(shù)/"）滿意+則下列說法正確的是（）

B.函數(shù)/（X）的一個(gè)周期為2

C./（2023）=0

D.函數(shù)“X）的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

【答案】c

【分析】依據(jù)已知等式推斷函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)推斷函數(shù)的周期，最終逐一推斷即可.

【詳解】??"。7）=—/（1+力，函數(shù)””關(guān)于點(diǎn)（1,0）中心對(duì)稱，因此選項(xiàng)D不正確:

又因?yàn)楹瘮?shù)"X）為偶函數(shù),所以f（—）=/（"，

由f(-x)=-f(l+x)=/(x+2)=-J(T)=—f(x)n/(x+4)=/(x),

所以函數(shù)/(x)的周期為4,所以選項(xiàng)B不正確：

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)是周期為4的偶函數(shù)，

所以嗚卜.同

因此選項(xiàng)A不正確;

在f(l-x)=-/(l+x)中，令x=(),得f(l)=O,

因?yàn)楹瘮?shù)〃力的周期為4,??.42023)=/(3)=/(-1)=/(1)=0,因此選項(xiàng)c正確，

故選：c

8.已知點(diǎn)M,N是拋物線y=4/上不同的兩點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，且滿意NMFN=1,弦MN的中點(diǎn)Q

到直線的距離記為d，若不等式|MAf之義/恒成立，則之的取值范圍()

16

A.(一8,0]B.(YO,2]

C.(f1+及]D.(-oo,3]

【答案】D

【分析】令I(lǐng)M/1=。,1橋|二〃，利用余弦定理表示出弦的7的長(zhǎng)，再利用拋物線定義結(jié)合梯形中位線定理表

示2d，然后利用均值不等式求解作答.

【詳解】在△MRV中，令|知6|二。,|冊(cè)|二乩由余弦定理得

|MN『=|MFf+\NF\1-2\MF\-\NF\cosNMFN,

貝ij有

明顯直線=是拋物線)，=41的準(zhǔn)線，過M,P,N作直線/的垂線，垂足分別為AB,C,如圖,

而P為弦MV的中點(diǎn)，依為梯形M4CN的中位線，由拋物線定義知,

6/=|PB|=-(|A7X|+|?/C|)=-(?+Z?),

22

22

Aa+b+ab4",4/4r

因此d2a2+b2^laba2^-b2+2aba?。、，

工+—+22J-----+2

bcia

當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)取等號(hào)，又不等式|MN「N/ld2恒成立，等價(jià)于竺[恒成立，則243,

所以之的取值范圍是（Y,3].

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾

何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則

可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍.

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求

全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得。分，部分選對(duì)的得2分.請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.

z+3

9.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意——=-i,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

Z-1

A.z為純虛數(shù)B.z的虛部為2i

C.在復(fù)平面內(nèi)，5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于其次象限D(zhuǎn).|z|=V5

【答案】ABC

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z,再對(duì)選項(xiàng)一一推斷即可得出答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+0i,由三二二-i得z+3=-i（z—1）,

z—1

i-3_(i-3)(l-i)_i-i2-3+3i_4i-2

7+T-(i+i)(i-i)~~-1故A錯(cuò)誤;

2

z的虛部為2,故B錯(cuò)誤；

復(fù)立面內(nèi)，5對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（-1,-2）,N對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故C錯(cuò)誤;

|z|二J（—24+1=6故D正確.

故選：ABC.

10.已知向量〃=（一1,3）,〃=（尤2）,且（。-2力）_La,則（）

A.b=（1,2）B.^2a—b=25

C.向量〃與向量/7的夾角是45D.向量〃在向量人上的投影向量坐標(biāo)是（1,2）

【答案】ACD

【分析】依據(jù)向量垂直的坐標(biāo)公式求出向量〃推斷A,利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算推斷B,利用數(shù)量積的夾角坐標(biāo)公

式求解推斷C,利用數(shù)量積的幾何意義求解推斷D.

【詳解】因?yàn)橄蛄俊ǘā?,3）,〃=（X,2）,所以0一必二（—1—2》,一1）,

由-得1+2工一3=0,解得x=l,所以〃二（1,2）,故A正確；

又=3,4）,所以2：」=（（-3）:+42=5,故B錯(cuò)誤；

設(shè)向量〃與向量匕的夾角為6,因?yàn)椤?（-1,3）,）=（1,2）,

ab5V2

所以8nd麗=7^=丁又°"58?！?45’

即向量〃與向量匕的夾角是45，枚C正確：

abb5b（、

向曾Q在向量〃上的投影向量坐標(biāo)是下「爪|=忑.網(wǎng)=〃=（1'2），故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/（力=5m5+6（：056冰（3>0）,下列說法正確的是（）

A.函數(shù)/（X）的值域?yàn)閇-2,2]

27r

B.若存在使得對(duì)X/xeR都有/（%）4/（力工/（七），則此一引的最小值為——

（1）

（1~

C.若函數(shù)/（工）在區(qū)間一%,三上單調(diào)遞增，則力的取值范圍為0,-

VIJI2

(I32

【答案】ACD

【分析】化簡(jiǎn)/（"的解析式，依據(jù)三角函數(shù)的值域、最值、周期、單調(diào)性、極值點(diǎn)等學(xué)問對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從

而確定正確答案.

【詳解】已知函數(shù)/（x）=2sin[3x+g],可知其值域?yàn)閇—2,2],故選項(xiàng)A正確；

I3）

若存在sR,使得對(duì)X/xeR都有/（內(nèi)）4/（”《/（工2），

T

所以W一司的最小值為耳=’7r,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤：

71,兀,?兀

函數(shù)””的單調(diào)遞增區(qū)間為2E-—<69X+—<2E+一

232

2ATI-—2ATI+-

xe66(kg,

coCD

_,5兀

6<--

,令2=（）,則0C口工3，，0的取值范圍為（o,；,故選項(xiàng)C正確;

所以《co~6

2

2/CK+—

______

CD3

若函數(shù)/（X）在區(qū)間（0,兀）上恰有3個(gè)極值點(diǎn)和2個(gè)零點(diǎn)，&工+^￡K,〃譏+^

J\JJ

故選：ACD

12.已知函數(shù)"x）=lnx_"wR）,則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。>0時(shí)，/（力在（1,+8）上單調(diào)遞增

3

B.若/（x）的圖象在x=2處的切線與直線工+2），-5二0垂直，則實(shí)數(shù)。二

C.當(dāng)一1<〃<0時(shí)，/（X）不存在極值

D.當(dāng)。>0時(shí)，/（%）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)不多，且中2=1

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,利用導(dǎo)數(shù)即可推斷；對(duì)于B,依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可推斷：對(duì)于C,取。=一！，依據(jù)導(dǎo)數(shù)推

2

斷此時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，說明極值狀況，即可推斷：對(duì)于D,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理說明/（X）有且

僅有兩個(gè)零點(diǎn)玉玉，繼而由/(x)=0可推出了0,即可證明結(jié)論，即可推斷.

【詳解】因?yàn)?(x)=]nx-半￥(〃WR),定義域?yàn)閧x|x＞。且xwl},

所w+品,

對(duì)二A,當(dāng)。＞0時(shí)，r(x)＞0,所以.f(x)在(0,1)和(L+8)上單調(diào)遞增，故A正確;

對(duì)二B,因?yàn)橹本€x+2y-5=0的斜率為一

2

又因?yàn)?(戈)的圖象在x=2處的切線與直線x+2)，-5=0垂直,

故令r(2)=g+2a=2,解得〃=故B正確:

對(duì)7C,當(dāng)一1＜。＜0時(shí)，不妨取a=一工,

2

1x~—3x+1

則ra)=x(x-l)2x(x-l)2，

令r(x)=0,則有f_3x+i=0,解得玉=|_乎也='|+*，

仍

當(dāng)0,1-3

時(shí)，/qx)＞。，/3在o,—上單調(diào)遞增:

22J

303_V5)(3x/5

當(dāng)XE2+V時(shí)，ra)<o,/(x)在上分別單調(diào)遞減;

22不2一32，，'i~T

所以此時(shí)函數(shù)有極值，故C錯(cuò)誤;

對(duì)亍D,由A可知，當(dāng)。＞0時(shí)，”力在(0J)和(L+8)上單調(diào)遞增,

當(dāng)工>1時(shí)，/(e“)=〃一。(1+-^

Ie-I/ea-l

3fi+,

21(3K1乂e+l)

/付向)=3。+1-414

3a(e3a+,-l)-a(e3a+,+1)2a(e3a+,-2)

>>0,

e3a+,-1e3fl+,-1

所以/(X)在(1,+8)上有一個(gè)零點(diǎn),

又因?yàn)楫?dāng)0<x<l時(shí)，f{Q'a)=-a-a{\+-^_i)=^Z7>0，

vei/ei

3+I

/—“')=—3a—1—即/+x9_JA=_3a—[(+亡2P而^、

3fl+,3a+，

1+e3Al(3a+l)(l-e)+?(e+l

=-3a-\-a——r-r

l-e3a+,l-e3a+,

3?(l-e3a+,)+?(e3fl+,4-l)

—l-e3<,+,

4a-2ae^2a(2…)

=-------------=-----------<0,

l-e3u+,e3a+,-l

所以/(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)，

所以/(“有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于(。，1)和。，+8)內(nèi)；

設(shè)0<再<I<玉，

令/(x)=0,則有hrv_a(x+l)=0,

x—1

4（X+1）

=-[\nx一一——^]=0，

x-1

所以/（》）二°的兩根互為倒數(shù)，所以%工2=1，故D正確?

故選：ABD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)學(xué)問的應(yīng)用，綜合性較，解答的難點(diǎn)在于選項(xiàng)D的推斷，要結(jié)合函數(shù)的

單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，難就難在計(jì)算量較大并且計(jì)算困難，證明時(shí)，要留意推出

=進(jìn)而證明結(jié)論

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在（x+2）5（1—y）4的綻開式中，/）產(chǎn)的系數(shù)為.

【答案】240

【分析】利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式即可.

【詳解】在(x+2)s的綻開式中，y的系數(shù)為C>22=40；

在(1一)，『的綻開式中，V的系數(shù)為c；.r=6；

所以在(犬+2)’(1-)，)4的綻開式中，xb2的系數(shù)為C；.22(^=240；

故答案為：240

14.2024年杭州亞運(yùn)會(huì)招募志愿者，現(xiàn)從某高校的6名志愿者中隨意選出3名，分別擔(dān)當(dāng)語言服務(wù)、人員引導(dǎo)、

應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能擔(dān)當(dāng)語言服務(wù)工作，則不同的選法共有種.

【答案】80

【分析】應(yīng)用排列組合學(xué)問及計(jì)數(shù)原理可得答案.

【詳解】先從甲、乙之外的4人中選取I人擔(dān)當(dāng)語言服務(wù)工作，

再?gòu)氖Ｏ碌?人中選取2人分別擔(dān)當(dāng)人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，

則K同的選法共有C；A；=4x5x4=80種.

故答案為：80.

2x—2,x>—1

15.已知/(x)=<若a<b,f(a)=f(b),則實(shí)數(shù)。一》的取值范圍是

eA,x<-l

【答案】卜8，-：-3

【分析】作出函數(shù)圖象，設(shè)/(〃)=/(?=，，數(shù)形結(jié)合可知，的范圍，。一沙轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求

最值即可.

【詳解】作函數(shù)/“)圖象，如圖，

設(shè)f(a)=/S)=z,則0<Y1，

e

2e+l

'：a<b,:.a<-\,\<b<------,

2e

又,."(〃)=e"=，,/(〃)=27?-2=f,

「.〃=In+2),

:.a-2b=\nt-t-2

設(shè)g(1)=In/__2,0

當(dāng)■時(shí)，，a)>o,函數(shù)KQ)為增函數(shù),

/..?(/)<=Ini-i-2=-i-3,

\e)eee

即實(shí)數(shù)〃一3的取值范圍是卜叫-1-3]

故答案為：(-^4-3]

16.在正三棱錐4-3C。中，底面△3CO的邊長(zhǎng)為4,E為A。的中點(diǎn)，AB八CE,則以。為球心，AD為

半徑的球截該棱錐各面所得交線長(zhǎng)為.

【答案】—^―71

3

【分析】首先證明AC,A民AO兩兩垂直，再求出所對(duì)應(yīng)的圓心隹，則計(jì)算出其弧長(zhǎng)，即可得到交線長(zhǎng).

【詳解】記CD中點(diǎn)為凡作AOJ"平面BC。，垂足為。，

由正三棱錐性質(zhì)可知，。為正三角形BCO的中心，所以。在B廣上,

因?yàn)镃Du平面8CQ,所以AO_LC￡),

由正三角形性質(zhì)可知，BFLCD,

又8bcAO=O，BF,AOu平面A80,

所以COJ_平面430,

因?yàn)?Wu平面A8O,所以A3J_CO,

又CE±AB,CEcCD=C,CE,CDu平面ACD,

所以A8/平面AC。，

因?yàn)锳Cu平面AC。，所以AC_LA3

由正三楂錐性質(zhì)可知，AC,AB,AD兩兩垂直，且A3=AC=AD,則AD=號(hào)二2血，

如圖，易知以。為球心，A。為半徑的球截該棱錐各面所得交線，是以。為圓

心，A。為半徑的三段圓弧，

則/AOC=/4O3=2,ZBDC=-f

43

兀兀兀

則其圓心角分別為一，一，一，

443

所以其交線長(zhǎng)為4x2&+烏x2應(yīng)+巴x2&=之叵，

4433

故答案為工：；.

3

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用線面垂直的判定與性質(zhì)得到ACA8,A。

兩兩垂直，再求出所對(duì)應(yīng)的三段弧長(zhǎng)即可得到交線長(zhǎng).

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛q｝的前幾項(xiàng)和為s“，且滿意2%=%+15,59=81.

（1）求數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式：

（2）若數(shù)列出｝滿意"=；：晨/新，求數(shù)列仇｝的前2〃項(xiàng)和耳.

【答案】（1）an=2n-i

,9M+,-9

⑵2n2-n+---------

8

【分析】（1）利用等差數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式即可得解；

（2）利用分組求和差，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可得解.

【小問1詳解】

（1）設(shè)數(shù)列等差數(shù)列｛q｝的公差為乩

因?yàn)镾g=81,所以外"；為）=9%=81，則％=9,

因?yàn)?a5=%+15,即18=&+15,所以。2=3,

所以d=——幺=---=2,q=a,—d=1,

5-23

所以q,=l+(〃-l)x2,gpan=2n-1.

【小問2詳解】

因出』方〃"一七兒，〃為為奇數(shù)偶由數(shù)z'〃所一)以2拄為-1,〃偶為奇數(shù)數(shù)，

所以A”=0+32)+(5+34)+—+(4〃—3+3~")

=(1+5+???+4〃一3)+(32+34斗,??+32”)

〃(1+4〃一3)?32x0-9")

21-9

2〃2-〃+噩心

8

18.已知函數(shù)/(x)=2\/5sinxsin('|'+x-2cosxsin~~~x+L

(1)求函數(shù)/(x)的最值；

(2)設(shè)/8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,若/(A)=2,6=2,且

2sinB+sinC=>/7sinA，求的面積.

【答案】(1)最大值為2,最小值為一2

(2)上叵或立

23

【分析】(1)把/(x)化為“一角一函數(shù)”的形式：先用誘導(dǎo)公式把角化為x,再用二倍角公式把二次項(xiàng)化為一次項(xiàng)，

同時(shí)把角化為2x,最終用幫助角公式把函數(shù)名化為正弦，即可求匕函數(shù)的最值：

(2)先求出角A,由余弦定理得到關(guān)于凡。的方程，再由正弦定理把已知的方程化簡(jiǎn)為含ac的方程，聯(lián)立方程

組即可解出4。的值，再代入三角形的面積公式即可.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)=2>/5sinxsin巳+大-2cosxsin--x+1

=2>/3sinxcosx-2cos2x+l=>/3sin2x-cos2x

=2sin2x-—j,

\6)

所以/(x)的最大值為2,最小值為-2.

【小問2詳解】

結(jié)合(1)可知f(A)=2sin2A-y—2,所以sin2,A--=-1.

I6k6

7T711\7T

因?yàn)?€(0,萬)，所以2A-—G

6\66；

71

則5

22222

.-E/H,b+c-a4+c-a1

由余弦定理得cosA=--------------=-------------=—

2bc4c2

化簡(jiǎn)得〃2=c2—2c+4①.

又2sinB+sin。=J7sinA，由正弦定理可得28+c=，即4+c=J7a②.

結(jié)合①@得。==3或。=21/Z,c=2

33

Q|H.c11.A3后02L.A百

。=3時(shí)，SAliC=-bcsxnA=—?,§時(shí)，S*8c?=]/，csinA=彳?

綜上，”5C的面積為述或立.

23

19.在三棱錐S-4AC中.AA4C是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面SAC_L平面人NC，SA=SC=243.M、

N分別為AB、SB的中點(diǎn).

（1）證明：AC1SB；

（2）求二面角N—CM—“正弦值的大小.

【答案】（1）證明見解析

⑵述

3

【分析】（I）取AC得中點(diǎn)。，得SO1AC,BOJ.AC，可知AC_L平面S5O,進(jìn)而得結(jié)論;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面CMN與平面A/8C的法向量，依據(jù)向量的夾角公式求解.

【小問1詳解】

取AC得中點(diǎn)。，連接S。，08,

?；SA=SC，AB=BCf:.SOLAC,BOJ.AC，

又so,BO交于點(diǎn)o,SOu平面S3。，BOu平面S60，

于是可知ACJ_平面SBO,

又SBu平面S5O，.?.ACJLSB；

【小問2詳解】

???立面S4CJ,平面A8C，平面S4c1平面A3C=AC，SOu平面SAC,SOLAC，

???50_1_平面43。，

以。A為X軸，08為），軸，0S為z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一用2,

那么B(0,2A/3,0),C(-2,0,0),S(0Q2及),/W(l,Ao),N(0幣收),

.??CM=(3,6,0),MN=(-1,OJ2),

設(shè)〃=（x,y,z）為平面CMN的一個(gè)法向量,

CM-n=3x+\/3y=0廣r~

那么，l，取z=1，那么x=V2,y=->/6,

MN-n=—x+V2z=0

???〃二(6-疝1),

又0s=（0,0,2夜）為平面M8C一個(gè)法向量,

...cos（〃，OS）==|.Sin（〃，0》=—，

“3

即二面角N—GW—8的正弦值為迪.

3

20.為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)活動(dòng)，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲旱地龍舟”和項(xiàng)目

8”袋鼠接力跳”.甲、乙兩班每班分成兩組，每組參與一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級(jí)對(duì)抗賽.每一個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目均實(shí)行五局三

2

勝制（即有一方先勝3局即獲勝，競(jìng)賽結(jié)束），假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為在項(xiàng)目8中甲班每

一局獲勝的概率為g，且每一局之間沒有影響.

（1）求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率：

（2）設(shè)甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

64

【答案】（1）—

81

（2）分布列見解析，—

162

【分析】（I）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事務(wù)A,利用獨(dú)立事務(wù)的乘法公式求解即可；

（2）先算出“甲班在項(xiàng)目3中獲勝”的概率，然后利用獨(dú)立事務(wù)的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望

【小問1詳解】

記”甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事務(wù)4,

'，3333[3）334⑶⑴381

64

所以甲班在項(xiàng)目八中獲勝的概率為一

81

【小問2詳解】

記”甲班在項(xiàng)目8中獲勝”為事務(wù)以

則「(研9+得曲+5?4

X的可能取值為0,1,2,

則P（X=（））=P（AB）=P（A）咽=晶=強(qiáng)

P（X=2）=尸（砌=尸⑷尸（B）嚕x；=6,

o1Zo1

p（x=1）=1—P（X=0）—P（X=2）=g.

所以x的分布列為

X012

1732

P

162~281

E（X）=0x

162281162

所以甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為型2

162

21.已知函數(shù)/*）=（4+l）lnx+ar2+l

(I)探討函數(shù)/(數(shù)的單調(diào)性:

(2)設(shè)QV-1.假如對(duì)隨意占,工2W(°，+8)，|/(七)一/(/)|24,一/2b求4的取值范圍.

【答案】(1)當(dāng)?shù)?時(shí)，/'3)>(),故兒I)在(0,+8)單調(diào)增加；當(dāng)狂一1時(shí)，f\x)<0,故JU)在(0,+00)

單調(diào)削減；當(dāng)一IVaVO時(shí)，7U)在(0，J宇)單調(diào)增加，在,+8)

（2）a<-2

【詳解】（1）4T）的定義域?yàn)椋?,+8）,f（%）=—+lax=2aX""1

XX

當(dāng)於0時(shí)，f'(x)>0,故兀t)在(0,+8)單調(diào)增加:

當(dāng)它一1時(shí)，f\x)<0,故段)在(0,+8)單調(diào)削減;

當(dāng)一IV"VO時(shí)，令/(x)=o,解得下尺.當(dāng)日0,

耐，f\x）>0;

卜8)時(shí)，f\x)<0,故4V)在(0,)單調(diào)增加，在(I8)單調(diào)削減.

(2)不妨假設(shè)即力：2.由于g一2,故危)在(0,+8)單調(diào)削減.

所以|/(內(nèi))―/(%)|24百一WI等價(jià)于

/(X2)_/(XI)N4xi—4x2',即7(X2；+4,V2>/(X!)4-4片.

人，、”、“EI，/、。+1c,2加+4x+a+1

令式X)=/(.M)+4X,則