人教B版高一暑假作業(yè)8立體幾何初步

人教B版高一暑假作業(yè)8：立體幾何初步一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(2024·山東省菏澤市·其他類型)下面四個條件中，能確定一個平面的條件是(

)A.空間任意三點(diǎn) B.空間兩條直線 C.兩條平行線 D.一條直線和一個點(diǎn)2.(2024·廣東省·單元測試)下列幾何體中是棱柱有(

)

A.5個 B.4個 C.3個 D.2個3.(2023·山東省聊城市·月考試卷)一梯形的直觀圖是如圖所示的等腰梯形，且直觀圖O′A′B′C′的面積為1，則原梯形的面積為(

)

A.1 B.2 C.2 D.4.(2023·河北省·其他類型)《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.若陽馬以如圖所示的正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以正六棱柱的側(cè)棱為垂直于四棱錐底面的側(cè)棱，則陽馬的個數(shù)為(

)

A.16 B.24 C.12 D.45.(2024·廣東省·單元測試)攢尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．如圖所示的建筑屋頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面(過圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面)是底邊長為6?m，頂角為2π3的等腰三角形，則該屋頂?shù)膫?cè)面積約為(

)

A.6πm2 B.63πm6.(2024·浙江省杭州市·其他類型)已知A，B，C為球O的球面上的三個點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓，若⊙O1的面積為4π，AB=BC=AC=OO1A.64π B.48π C.36π D.32π7.(2024·新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市·期中考試)如圖，點(diǎn)A，B，C，M，N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則下列各圖中，不滿足直線MN//平面ABC的是(

)A. B.

C. D.8.(2023·安徽省黃山市·期末考試)如圖，四邊形ABCD為矩形，AD=2AB，E是BC的中點(diǎn)，將△BAE沿AE翻折至△PAE的位置(點(diǎn)P?平面AECD)，設(shè)線段PD的中點(diǎn)為F.則在翻折過程中，下列推斷不正確的是(

)

A.CF//平面AEP

B.CF的長度恒定不變

C.AE⊥DP

D.異面直線CF與PE所成角的大小恒定不變二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.(2023·浙江省·期中考試)已知A，B，C表示不同的點(diǎn)，l表示直線，α，β表示不同的平面，則下列推理正確的是(

)．A.l?α,A∈l?A?α

B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB

C.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α

D.A∈α,A∈l,l?α?l∩α=A10.(2024·福建省·期中考試)如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1A.直線A1C1與AD1為異面直線 B.A1C1//平面ACD11.(2023·山東省·其他類型)端午節(jié)是中華民族的傳統(tǒng)節(jié)日之一，而粽子是端午節(jié)不可缺少的傳統(tǒng)美食.粽子是中國歷史文化積淀最深厚的傳統(tǒng)食品之一，其主要材料是糯米、餡料，一般用箬葉包裹而成，形狀多樣，主要有角粽、塔粽、長粽、三角粽、四角粽、枕頭粽等，其中塔粽的形狀可以近似看成一個四棱錐.現(xiàn)有一個塔粽P?ABCD，下列說法錯誤的是(

)A.在塔粽P?ABCD中，若PA=PC，PB=PD，且AC∩BD=O，E，F(xiàn)分別為PA，PB的中點(diǎn)，則EF⊥PO

B.若塔粽P?ABCD是所有棱長均為a(a>0)的正棱錐，現(xiàn)需要在這個塔粽內(nèi)部放入一個牛肉丸子(牛肉丸子的形狀近似地看成球)，則這個牛肉丸子的最大體積為36?5312πa3

C.若塔粽P?ABCD的底面是邊長為3的菱形，且∠ABC=2π3，E為BC的中點(diǎn)，∠PDA=π2，PD=2，若銳二面角P?AD?B的大小為π6，則直線PB與平面ABD所成角的大小為π6

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2024·安徽省安慶市·月考試卷)在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為棱CC1，13.(2024·廣東省·單元測試)設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若V1V214.(2023·全國·月考試卷)如圖所示，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB//CD，∠DCB=90°，AB=AD=AA1=2DC，Q為棱CC1?①對于任意的點(diǎn)Q，都有AP//RQ;?②對于任意的點(diǎn)Q，四邊形APQR不可能為平行四邊形;?③存在點(diǎn)Q，使得直線BC//平面APQR．

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(2021·陜西省咸陽市·期中考試)(本小題13分)

如圖所示△A′B′C′是用斜二測畫法作出的水平放置的△ABC的直觀圖，已知M為AB的中點(diǎn)，設(shè)M在A′B′上對應(yīng)的點(diǎn)為M′，在圖上標(biāo)出點(diǎn)M′的位置，并求A′M′:M′B′的值．

16.(2024·安徽省·單元測試)(本小題15分)

已知α、β、γ是三個平面，α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c

(1)若a∩b=O，求證：a、b、c三線共點(diǎn)；

(2)若a//b，試判斷直線a與直線c的位置關(guān)系，并證明你的判斷．

17.(2023·吉林省長春市·期中考試)(本小題15分)

如圖所示，今有一正方體木料ABCD?A1B1C1D1，其中E，F(xiàn)分別是AB，CB的中點(diǎn)，要過D18.(2024·浙江省·單元測試)(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC//平面PAD,BC=12AD，∠ABC=90°，E是PD的中點(diǎn)．

(1)求證：BC//AD；

(2)求證：平面PAB⊥平面PAD；

(3)若M是線段CE上任意一點(diǎn)，試判斷線段AD上是否存在點(diǎn)N，使得MN//平面PAB19.(2024·江西省上饒市·模擬題)(本小題17分)

如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為(1)過BG作該正方體的截面，使得該截面與平面C1EF(2)設(shè)M，N分別為棱AB，BC上一點(diǎn)，M，N與B均不重合，且MN=C1F，求三棱錐B?1.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查確定平面的基本事實(shí)及推論，解題的關(guān)鍵是要對確定平面的基本事實(shí)及推論理解透徹，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)確定平面的基本事實(shí)和推論逐一判斷即可得解．【解答】

解：對于A：當(dāng)這三個點(diǎn)共線時經(jīng)過這三點(diǎn)的平面有無數(shù)個，故A錯．

對于B：當(dāng)這兩條直線是異面直線時，則根據(jù)異面直線的定義可得這對異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，故B錯．

對于C：根據(jù)確定平面的基本事實(shí)的推論可知兩條平行線可唯一確定一個平面，故C對；

對于D：此點(diǎn)在此直線上時有無數(shù)個平面經(jīng)過這條直線和這個點(diǎn)，故D錯．

故選C．2.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．

利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征判定即可．【解答】解：棱柱的結(jié)構(gòu)特征有三方面：有兩個面互相平行；其余各面是平行四邊形；這些平行四邊形面中，每相鄰兩個面的公共邊都互相平行.當(dāng)一個幾何體同時滿足這三方面的結(jié)構(gòu)特征時，這個幾何體才是棱柱.很明顯，幾何體②④⑤均不符合，僅有①③符合，故選D．3.【答案】D

【解析】【分析】此題考查了平面圖形的直觀圖的畫法與應(yīng)用問題，掌握斜二測畫法的作圖規(guī)則是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則將圖還原，平面圖是一個直角梯形，從而可求出其面積．【解答】解：把該梯形的直觀圖還原為原來的梯形，如圖所示，

設(shè)原來梯形的上底為a，下底為b，高為?，則直觀圖中等腰梯形的高為?′因?yàn)橹庇^圖的面積為12所以12所以原梯形的面積為2故選：D4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查棱柱和棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題．

由棱柱的結(jié)構(gòu)特征和陽馬的結(jié)構(gòu)特征求出答案．【解答】

解：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，以正六棱柱下底面的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的內(nèi)接矩形共3個，而每個矩形可以形成4個不同的陽馬，

所以陽馬的個數(shù)是12．

同理，以上底面中的矩形為底面的情況下也有12個陽馬，因此共有24個不同的陽馬．

故選B．5.【答案】B

【解析】【分析】本題主要考查錐體的幾何性質(zhì)以及側(cè)面積求法，空間想象能力等知識，屬于基礎(chǔ)題．

由題意分別求得錐體的底面圓的半徑和母線，然后計(jì)算其側(cè)面積即可．【解答】

解：作出該圓錐截面如圖，由已知可知，該圓形攢尖的底面圓半徑r=3m，母線l=rsinπ3=26.【答案】A

【解析】【分析】本題考查球的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)，球的表面積公式，屬基礎(chǔ)題．

由題意可得圓O1【解答】解：由圓O1的面積為4π=πr2，故圓O∵AB=BC=AC=OO1，則三角形ABC是正三角形，由正弦定理：ABsin60?由R2=r2+OO12，得球故選A．7.【答案】D

【解析】【分析】本題考查空間中線面平行的判定定理，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)正方體的性質(zhì)相應(yīng)作出完整的截面，然后根據(jù)正方體的性質(zhì)及線面平行的判定即可得解．【解答】

解：對于A，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得MN//EF//AC，可得直線MN//平面ABC，能滿足；

對于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方體的性質(zhì)可得MN//BF，可得直線MN//平面ABC，能滿足；

對于C，作出完整的截面ABCD，由正方體的性質(zhì)可得MN//BD，可得直線MN//平面ABC，能滿足；

對于D，作出完整的截面，可得MN在平面ABC內(nèi)，不能得出平行，不能滿足．

故選：D．8.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了空間線面位置關(guān)系的判定、三角形中位線定理、余弦定理、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

取AD的中點(diǎn)M，連接MF，MC交ED于N，利用三角形中位線定理、面面平行的判定定理即可判斷A；由∠GFH=∠PAE(定值)，F(xiàn)M=12AP(定值)，MC=AE(定值)，結(jié)合余弦定理即可判斷B；由AB=BE，可得AE⊥ED，假設(shè)AE⊥DP，進(jìn)而可得AE⊥PE，與AE不垂直于PE相矛盾判斷C；由B知△MFC在翻折過程中形形狀不會發(fā)生變化，∠NFC【解答】

解：取AD的中點(diǎn)M，連接MF，MC交ED于N，

對于A.由題意可知N為ED的中點(diǎn)，所以FM//AP，F(xiàn)N//PE，根據(jù)面面平行的判定易證平面PAE//平面MFC，故A正確；

對于B.因?yàn)椤螰MC=∠PAE(定值)，F(xiàn)M=12AP(定值)，MC=AE(定值)，在△MFC中由余弦定理可知CF的長是定值，故B正確；

對于C.若AB=BE，則MA=ME=MD，所以∠AED=90°，即AE⊥ED，若AE⊥DP，又DE∩DP=D，則有AE⊥面PED，所以有AE⊥PE，這與AE不垂直于PE相矛盾，故C錯誤；

對于D.由B知△MFC在翻折過程中形形狀不會發(fā)生變化，面點(diǎn)N的位置也不會發(fā)生變化，所以∠NFC不變，又易證FN//PE，所以∠NFC是異面直線CF與PE所成的角，則異面直線CF與PE所成角的大小恒定不變，故D正確．

故本題選9.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查平面的基本性質(zhì)，考查空間直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

對于A：由點(diǎn)A可能在面α內(nèi)，也可能不在面α內(nèi).可以判斷；對于B：利用公理2判斷；對于C：利用公理1判斷；對于D：A∈α,A∈l說明直線與平面有公共點(diǎn)，又l?α，所以l∩α=A，即可判斷．【解答】

解：對于A：l?α,A∈l，則點(diǎn)A可能在面α內(nèi)，也可能不在面α內(nèi).故A錯誤；對于B：為公理2得A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB，可判斷面面相交.故B正確；對于C：為公理1得A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α，可判斷出線在面內(nèi).故C正確；對于D：A∈α,A∈l說明直線與平面有公共點(diǎn)，又l?α，所以l∩α=A.故D正確．故選：BCD．10.【答案】ABC

【解析】【分析】本題考查三棱錐體積的求法，正方體外接球的表面積，異面直線的判斷，線面平行的判定，屬于中檔題．

判斷兩條直線是否是異面直線判斷A；易得A1C1//AC，由直線與平面平行的判定定理判斷B；正方體的外接球的半徑為2【解答】

解：已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2．

對于A，因?yàn)锳1C1?平面A1B1C1D1，又直線AD1與平面A1B1C1D1交于點(diǎn)D1，

D1?A1C1，故直線A1C1與AD1沒有交點(diǎn)，

故直線A1C1與AD1為異面直線，故A正確；

對于B，易得11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，考查球的切接問題，二面角問題，屬于中檔題．

對于選項(xiàng)A，只有當(dāng)點(diǎn)O同時是線段AC和線段BD的中點(diǎn)時，才有PO⊥EF，即可判斷；

對于選項(xiàng)B，只有當(dāng)牛肉丸子內(nèi)切于塔粽時，牛肉丸子的體積才最大，利用等體積法求得內(nèi)切球半徑，再由球的體積公式即可判斷；

對于選項(xiàng)C，作PK⊥DE于點(diǎn)K，可知∠PBK是直線PB與平面ABD所成角的平面角，∠PDE是銳二面角P?AD?B的平面角，結(jié)合已知即可判斷;

對于選項(xiàng)D，設(shè)側(cè)棱PD的中點(diǎn)為M，對點(diǎn)S在線段DM與MP上移動兩種情況分類討論，結(jié)合線面平行的判定定理即可得結(jié)論．【解答】

解：對于選項(xiàng)A，只有當(dāng)點(diǎn)O同時是線段AC和線段BD的中點(diǎn)時，才有PO⊥平面ABCD，也才有PO⊥EF，

而題設(shè)條件并沒有說點(diǎn)O同時是線段AC和線段BD的中點(diǎn)，∴不能得到PO⊥EF，故A選項(xiàng)錯誤;

對于選項(xiàng)B，由題意知，只有當(dāng)牛肉丸子內(nèi)切于塔粽時，牛肉丸子的體積才最大，

設(shè)塔粽的體積為V、表面積為S表、底面積為S底、高為?，牛肉丸子的半徑為R，

則V=13S表R，又∵V=13S底?，∴S表R=S底?，∴(3+1)a2R=a2?，∴R=?3+1，

又∵?=22a，∴R=6?24a，

∴牛肉丸子的最大體積為V1=43πR3=36?5212πa3，故B選項(xiàng)錯誤；

對于選項(xiàng)C，過點(diǎn)P在平面PDE內(nèi)作PK⊥DE于點(diǎn)K，連接BK(如圖)，

由題意易知PD⊥AD，DE⊥AD，

∵PD、DE?平面PDE，PD∩DE=D，

∴AD⊥平面PDE，PK?平面PDE，故AD⊥PK，

又AD、DE?平面ABCD，AD∩DE=D

∴PK⊥平面ABCD，

∴BK為BP在平面ABCD內(nèi)的射影，

∴∠PBK是直線PB與平面ABD所成角的平面角，又PD⊥AD，DE⊥AD，

∴∠PDE是銳二面角P?AD?B的平面角，

故∠PDE=π6，又∵PD=2，∴DK=3，PK=1，

在等邊△BCD中，DE=332，

在Rt△BEK中，∵KE=32，BE=32，∴BK=3，

在Rt△PKB中，tan∠PBK=PKBK=33，

∴∠PBK=π6，∴直線PB與平面ABD所成的角的大小為π6.故C選項(xiàng)正確;

對于選項(xiàng)D，設(shè)側(cè)棱PD的中點(diǎn)為M，

(1)當(dāng)點(diǎn)S在線段DM上移動時(點(diǎn)S異于D)，則在側(cè)棱PD上存在點(diǎn)F，使BF//平面ACS，

此時S為DF的中點(diǎn)，即DSDF=12，理由如下：

設(shè)AC∩BD=O，連接SO，易知O為BD的中點(diǎn)，當(dāng)DSDF=12時，OS//BF，12.【答案】5【解析】【分析】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．【解答】

解：如圖連結(jié)AM，AD′．

由于MD′?//BN，

則∠AMD′即為異面直線AM與BN所成的角，

設(shè)AB=2，

則MD′=5，AD′=22，AM=313.【答案】3【解析】【分析】本題考查正方體和圓錐的體積和表面積，屬較易題．

不妨設(shè)V1=27，V2=9π，根據(jù)體積和表面積公式分別求出【解答】解：不妨設(shè)V1=27，V2=9π，

故V1=a3=27，即a=3，

所以S1=6a2=54．

又V2=114.【答案】?①?②?③

【解析】【分析】本題考查線線平行，線面平行的的判定，屬于中檔題．

根據(jù)線線平行和線面平行的判定定理方法，逐項(xiàng)判定真假即可，【解答】

解：∵AB//CD，AA1//DD1，

且AB∩AA1=A，CD∩DD1=D，，CD、DD1?平面CDD1C1，

∴平面ABB1A1//平面CDD1C1，

∵平面APQR∩平面ABB1A1=AP，平面APQR∩平面CDD1C1=RQ，∴AP//RQ，故①正確；

∵四邊形ABCD是直角梯形，AB//CD，∴平面BCC1B1與平面ADD1A1不平行．

∵平面APQR∩平面BCC1B115.【答案】解：由斜二測畫法知，M為AB的中點(diǎn)，設(shè)M在A′B′上對應(yīng)的點(diǎn)為M′，

故M′是A′B′的中點(diǎn)，

故A′M′:M′B′=1

【解析】本題考查直觀圖與斜二測畫法，屬于基礎(chǔ)題．

由斜二測畫法知，M為AB的中點(diǎn)，設(shè)M在A′B′上對應(yīng)的點(diǎn)為M′，故M′是A′B′的中點(diǎn)，

故A′M′:M′B′=1．16.【答案】解：(1)證明：∵a∩b=O，∴O∈a，O∈b，

∵α∩β=a，a∩γ=b，∴α?β，b?γ，∴O∈β，O∈γ，

又∵β∩γ=c，∴O∈c，即O∈a，O∈b，O∈c，

∴a、b、c三線共點(diǎn)．

(2)解：a//c．

證明如下：

∵α∩β=a，α∩γ=b，a//b，∴a?γ，b?γ，

又∵a//b，∴a//γ，

又∵a?β，β∩γ=c，∴a//c．

【解析】本題考查三線共點(diǎn)的證明，考查兩直線平行的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題．

(1)由已知O∈a，O∈b，O∈β，O∈γ，由β∩γ=c，得O∈c，由此能證明a、b、c三線共點(diǎn)．

(2)由已知a?γ，b?γ，a//γ，從而得到a//c．17.【答案】解：畫法：連接EF，交DC的延長線于點(diǎn)P，交DA的延長線于點(diǎn)O，

連接D1P交CC1于點(diǎn)M，連接D1O交AA1于點(diǎn)N；

連接MF，NE．

則D1M，MF，F(xiàn)E【解析】本題主要考查幾何體中的截面問題，考查了學(xué)生的分析能力與空間想象能力，屬基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意作延長線依次連接正方體棱長上的點(diǎn)即可得木工師傅所要鋸的截面．18.【答案】解：(1)證明：∵BC//平面PAD，BC?平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以BC//AD．

(2)證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面P