甘肅省白銀市九中2025年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

甘肅省白銀市九中2025年數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，，則p等于A． B． C． D．2．對(duì)于不重合的兩個(gè)平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β其中，可以判定α與β平行的條件有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)3．從1、2、3、4、5、6中任取兩個(gè)數(shù)，事件：取到兩數(shù)之和為偶數(shù)，事件：取到兩數(shù)均為偶數(shù)，則（）A． B． C． D．4．已知圓柱的軸截面的周長(zhǎng)為，則圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．5．一物體在力（單位）的作用下沿與力相同的方向，從處運(yùn)動(dòng)到處（單位，則力所做的功為（）A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦6．組合數(shù)恒等于（）A． B． C． D．7．已知樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)集合為，樣本中心點(diǎn)為，且其回歸直線方程為，則當(dāng)時(shí)，的估計(jì)值為（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．同時(shí)拋擲一顆紅骰子和一顆藍(lán)骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記“紅骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于4”為事件A，“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”為事件B，則（）A． B． C． D．10．已知，，若包含于，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，若，則的大小關(guān)系正確的是A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，則面積的最小值為_(kāi)_______．14．若角滿足，則＝_____；15．已知一組數(shù)據(jù)6,7,8，，的平均數(shù)是8，且，則該組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)______.16．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則的模是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）對(duì)一批產(chǎn)品的內(nèi)徑進(jìn)行抽查，已知被抽查的產(chǎn)品的數(shù)量為200，所得內(nèi)徑大小統(tǒng)計(jì)如表所示：（Ⅰ）以頻率估計(jì)概率，若從所有的這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3個(gè)，記內(nèi)徑在的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）已知被抽查的產(chǎn)品是由甲、乙兩類機(jī)器生產(chǎn)，根據(jù)如下表所示的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，是否有的把握認(rèn)為生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器種類與產(chǎn)品的內(nèi)徑大小具有相關(guān)性．參考公式：，（其中為樣本容量）．0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）如圖，三棱柱ABC-中，⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，C=4，D為BC的中點(diǎn)（I）求證：AC⊥平面AB；（II）求證：C∥平面AD；（III）求平面與平面所成銳二面角的余弦值19．（12分）已知關(guān)于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一個(gè)模為的虛根，求實(shí)數(shù)k的值．20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（Ⅰ）試計(jì)算，，，，并猜想的表達(dá)式；（Ⅱ）求出的表達(dá)式，并證明（Ⅰ）中你的猜想.21．（12分）已知函數(shù)的圖象與直線相切于點(diǎn)．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的公式和條件中所給的期望和方差的值，得到關(guān)于和的方程組，解方程組得到要求的兩個(gè)未知量．詳解：隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，，則由，

可得故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)分布的期望與方差的簡(jiǎn)單應(yīng)用，通過(guò)解方程組得到要求的變量，這與求變量的期望是一個(gè)相反的過(guò)程，但是兩者都要用到期望和方差的公式．2、B【解析】試題分析：直線與平面的位置關(guān)系，平面與平面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，確定正確選項(xiàng)即可．：①α與β平行．此時(shí)能夠判斷①存在平面γ，使得α，②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α與β平行，如正方體的底面與相對(duì)的側(cè)面．也可能α與β不平行．②不正確．③不能判定α與β平行．如α面內(nèi)不共線的三點(diǎn)不在β面的同一側(cè)時(shí)，此時(shí)α與β相交；④可以判定α與β平行．∵可在α面內(nèi)作l'∥l，m'∥m，則l'與考點(diǎn)：平面與平面平行的性質(zhì)；平面與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．3、D【解析】

根據(jù)條件概率公式可得解.【詳解】事件分為兩種情況：兩個(gè)均為奇數(shù)和兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)，所以，，由條件概率可得：，故選D.本題考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

分析:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值．詳解:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圓柱體積的最大值為8π，點(diǎn)睛:(1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.5、C【解析】

本題是一個(gè)求變力做功的問(wèn)題，可以利用積分求解，由題意，其積分區(qū)間是，，被積函數(shù)是力的函數(shù)表達(dá)式，由積分公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案【詳解】由題意得：．故選：C．本題考查定積分的應(yīng)用，物理中的變力所做的功用定積分求解是定積分在物理中的重要應(yīng)用，正確解答本題的關(guān)鍵是理解功與定積分的對(duì)應(yīng)．6、D【解析】

根據(jù)組合數(shù)的公式得到和，再比較選項(xiàng)得到答案.【詳解】．，可知故選：D．本題考查組合數(shù)的計(jì)算公式，意在考查基本公式，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解析】

根據(jù)線性回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，可得，然后代值計(jì)算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：所以回歸直線方程為當(dāng)當(dāng)時(shí)，故選：D本題考查線性回歸方程，掌握回歸系數(shù)的求法以及回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算將其化為形式，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為【詳解】由題可知，所以z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選D.本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于簡(jiǎn)單題．9、B【解析】

為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4同時(shí)兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7的概率，利用公式求解即可．【詳解】解：由題意，為拋擲兩顆骰子，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4時(shí)兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7的概率．拋擲兩顆骰子，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4，基本事件有個(gè)，紅骰子的點(diǎn)數(shù)小于4時(shí)兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7，基本事件有3個(gè)，分別為（1，6），（2，5），（3，4），．故選：．本題考查條件概率的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

解一元二次不等式求得集合，根據(jù)是的子集列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由解得，所以，由于且包含于，所以，故的取值范圍是.故選：B本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據(jù)包含關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

先將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)確定象限.【詳解】解：∵，∴，∴復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為12、C【解析】分析：構(gòu)造函數(shù)，利用已知條件確定的正負(fù)，從而得其單調(diào)性．詳解：設(shè)，則，∵，即，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞增．又是奇函數(shù)，∴是偶函數(shù)，∴，，∵，∴，即．故選C．點(diǎn)睛：本題考查由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)研究的單調(diào)性和奇偶性，由奇偶性可以把變量值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，從而比較大?。?、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

通過(guò)三角形的面積公式可知當(dāng)點(diǎn)P到直線AB的距離最小時(shí)面積最小，求出與直線2x﹣y﹣2＝0平行且為拋物線的切線的直線方程，進(jìn)而利用兩直線間的距離公式及面積公式計(jì)算即得結(jié)論．【詳解】依題意，A（﹣2，0），B（0，﹣2），設(shè)與直線x+y+2＝0平行且與拋物線相切的直線l方程為：x+y+t＝0，聯(lián)立直線l與拋物線方程，消去y得：y2+4y+4t＝0，則△＝16﹣16t＝0，即t＝1，∵直線x+y+2＝0與直線l之間的距離d，∴Smin|AB|d1．故答案為1．本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．14、【解析】

由，得tanα＝-2，由二倍角的正切公式化簡(jiǎn)后，把tanα的值代入即可．【詳解】∵sina+2cosa=0，得，即tanα＝-2，∴tan2α＝．故答案為本題考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．15、2【解析】

根據(jù)題意，列出關(guān)于的等量關(guān)系式，結(jié)合，求得的值，利用方差公式求得結(jié)果.【詳解】一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是8，且，所以，化簡(jiǎn)得，又，所以的值分別為或，所以該組數(shù)據(jù)的方差為：，故答案是：2.該題考查的是有關(guān)求一組數(shù)據(jù)的方差的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有方差公式，屬于簡(jiǎn)單題目.16、【解析】分析：分子分母同時(shí)乘以，化簡(jiǎn)整理，得出，再得模。詳解：，所以。點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算公式。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）分布列見(jiàn)解析，；（Ⅱ）沒(méi)有.【解析】

（Ⅰ）由頻率分布表可知，任取1件產(chǎn)品，內(nèi)徑在[26，28)的概率，所以，根據(jù)二項(xiàng)分布的計(jì)算公式分別求出時(shí)的概率，列出分布列，再根據(jù)期望公式求出期望；（Ⅱ）首先依題意填寫列聯(lián)表，再求得的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表即可得出結(jié)論。【詳解】(I)任取1件產(chǎn)品，內(nèi)徑在[26，28)的概率，故，，＝，＝，＝，故X的分布列為：X0123P故；（II）依題意，所得列聯(lián)表如下所示內(nèi)徑小于28mm內(nèi)徑不小于28mm總計(jì)甲機(jī)器生產(chǎn)6832100乙機(jī)器生產(chǎn)6040100總計(jì)12872200的觀測(cè)值為，故沒(méi)有99%的把握認(rèn)為生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器種類與產(chǎn)品的內(nèi)徑大小具有相關(guān)性。本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的求法，獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其應(yīng)用。18、（Ⅰ）見(jiàn)解析（II）見(jiàn)解析（III）【解析】

（I）C⊥平面ABC，得A⊥平面ABC，從而A⊥AC，再結(jié)合已知可證得線面垂直；（II）連接，與A相交于點(diǎn)O，連接DO，可證DO∥，從而證得線面平行；（III）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩平面和平面的法向量，由法向量的夾角余弦值求得二面角的余弦值．【詳解】（I）∵C⊥平面ABC，A∥C∴A⊥平面ABC，∴A⊥AC又AC⊥AB，AB∩A=A∴AC⊥平面AB·（II）連接，與A相交于點(diǎn)O，連接DO∵D是BC中點(diǎn)，O是中點(diǎn)，則DO∥，平面AD，DO平面AD∴平面AD（III）由（I）知，AC⊥平面AB，A⊥AB如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz·則A（0，0，0），B（2，0，0），（2，4，0），D（1，0，1），=（1，0，1），=（2，4，0）設(shè)平面AD的法向量為=（x,y,z），則，即取y=1，得=（-2，1，2）平面AC的法向量為=（2，0，0）Cos<,>==-·則平面AD與平面AC所成銳二面角的余弦值為本題考查線面垂直的判定與線面平行的判定，考查用向量法求二面角．立體幾何中線面間的平行與垂直一般用判定定理進(jìn)行證明，而求空間角一般用空間向量法求解．19、1【解析】分析：設(shè)兩根為、，則，，得，利用韋達(dá)定理列方程可求得的值，結(jié)合判別式小于零即可得結(jié)果.詳解：由題意，得或，設(shè)兩根為、，則，，得，．所以．點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘除運(yùn)算，韋達(dá)定理的使用，實(shí)系數(shù)方程有虛數(shù)根的條件，共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、共軛復(fù)數(shù)的模，意在考查基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與綜合應(yīng)用，屬于中檔題.20、(Ⅰ)答案見(jiàn)解析；(Ⅱ)，證明見(jiàn)解析.【解析】分析：（1）利用公式，將已知轉(zhuǎn)換成關(guān)于的遞推公式，計(jì)算，，，，在通過(guò)分子和分母的規(guī)律猜想出.（2）根據(jù)，結(jié)合通項(xiàng)公式的累乘法求出.再運(yùn)用求和證明（1）的猜想.詳解：（Ⅰ）由，得，，，，猜想.（Ⅱ）證明：因?yàn)棰伲寓?，?②得，所以.化簡(jiǎn)得，所以，，，…，，把上面各式相乘得，所以，，.點(diǎn)睛：數(shù)列問(wèn)題注意兩個(gè)方面的問(wèn)題：（1）的特殊性；（2）時(shí)，①消去，如，可以計(jì)算；②消去，如，可以計(jì)算.21、（Ⅰ）a＝3，b＝﹣1（Ⅱ）單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣3，1）．單調(diào)增區(qū)間為：（∞，﹣3），（1，+∞）【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）的圖象與直線15x﹣y﹣28＝0相切于點(diǎn)（2，2），建立方程組，即可求a，b的值；（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)小于0，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【詳解】（I）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）＝3x2