湖南省邵陽(yáng)市邵東縣第三中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

湖南省邵陽(yáng)市邵東縣第三中學(xué)2025屆高二下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)的圖像可以是中心對(duì)稱圖形C．，使D．若是的極值點(diǎn)，則2．函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的大致圖象如圖所示，設(shè)g(x)=f(x)exA．15 B．25 C．33．已知．則（）A． B． C． D．4．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是3的取法有（）A．12種 B．15種 C．17種 D．19種5．已知對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)，使，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A．在軸上 B．在軸上C．當(dāng)時(shí)在軸上 D．當(dāng)時(shí)在軸上6．下列命題為真命題的個(gè)數(shù)是（）①，是無(wú)理數(shù)；②命題“?∈R，”的否定是“?x∈R，＋1≤3x”；③命題“若,則”的逆否命題為真命題；④。A．1 B．2 C．3 D．47．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．8．設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是（）（注：若，則，）A．7539 B．7028 C．6587 D．60389．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．某次考試共有12個(gè)選擇題，每個(gè)選擇題的分值為5分，每個(gè)選擇題四個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選擇項(xiàng)都沒(méi)有把握，最后選擇題的得分為分，學(xué)生對(duì)12個(gè)選擇題中每個(gè)題的四個(gè)選項(xiàng)都能判斷其中有一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，對(duì)其它三個(gè)選項(xiàng)都沒(méi)有把握，選擇題的得分為分，則的值為()A． B． C． D．11．復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是（）A.B.C.－D.－12．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為1，則輸出的值為（）A． B．2 C．0 D．無(wú)法判斷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的__________條件．14．若，則____．15．用0到9這10個(gè)數(shù)字，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為__________．16．將一顆骰子拋擲兩次，用表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則的概率為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn且對(duì)任意的正整數(shù)n都有:（1）求S1（2）猜想Sn的表達(dá)式并證明18．（12分）某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個(gè)樣本，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)估計(jì)學(xué)校1800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)；（2）若成績(jī)小于15秒認(rèn)為良好，求該樣本中在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)；（3）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).19．（12分）設(shè)函數(shù)，，(其中).（1）時(shí),求函數(shù)的極值;（2）證：存在，使得在內(nèi)恒成立，且方程在內(nèi)有唯一解.20．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的值；（3）確定的所有可能取值，使得對(duì)任意的，恒成立.21．（12分）甲將要參加某決賽，賽前，，，四位同學(xué)對(duì)冠軍得主進(jìn)行競(jìng)猜，每人選擇一名選手，已知，選擇甲的概率均為，，選擇甲的概率均為，且四人同時(shí)選擇甲的概率為，四人均末選擇甲的概率為．（1）求，的值；（2）設(shè)四位同學(xué)中選擇甲的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．22．（10分）從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，．（）設(shè)表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和均值．（）若有輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這輛車共遇到個(gè)紅燈的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：求導(dǎo)f′（x）=3x2+2ax+b，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，若存在極小值點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象便知一定存在極大值點(diǎn)，并且該極大值點(diǎn)在極小值點(diǎn)的左邊，從而知道存在實(shí)數(shù)x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增，從而判斷出A的結(jié)論錯(cuò)誤，而根據(jù)f（x）的值域便知f（x）和x軸至少一個(gè)交點(diǎn)，從而B的結(jié)論正確，而a=b=c=0時(shí)，f（x）=x3為中心對(duì)稱圖形，從而判斷C正確，而根據(jù)極值點(diǎn)的定義便知D正確，從而得出結(jié)論錯(cuò)誤的為A．詳解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)；∴在極小值點(diǎn)的左邊有一個(gè)極大值點(diǎn)，即方程f′（x）=0的另一根，設(shè)為x1；則x1＜x0，且x＜x1時(shí)，f′（x）＞0；即函數(shù)f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增,∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．該函數(shù)的值域?yàn)椋ī仭蓿?∞），∴f（x）的圖象和x軸至少一個(gè)交點(diǎn)；∴?x0∈R，使f（x0）=0；∴選項(xiàng)B正確；C．當(dāng)a=b=c=0時(shí)，f（x）=x3，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；∴f（x）是中心對(duì)稱圖形,∴選項(xiàng)C正確；D．函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,∴選項(xiàng)D正確．故選：A．點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)函數(shù)研究了函數(shù)的極值點(diǎn)，零點(diǎn)，對(duì)稱性，單調(diào)性等性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

結(jié)合圖象可得到f'(x)-f(x)<0成立的x的取值范圍，從而可得到g(x)【詳解】由圖象可知，y軸左側(cè)上方圖象為f'(x)的圖象，下方圖象為對(duì)g(x)求導(dǎo)，可得g'(x)=f'(x)-f(x)ex，結(jié)合圖象可知x∈(0,1)和x∈(4,5)時(shí)，f'(x)-f(x)<0，即g(x)在0,1和本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.3、C【解析】

由二項(xiàng)式定理及利用賦值法即令和，兩式相加可得，結(jié)合最高次系數(shù)的值即可得結(jié)果.【詳解】中，取，得，取，得，所以，即，又，則，故選C．本題主要考查了二項(xiàng)式定理及利用賦值法求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)，屬于中檔題.4、D【解析】試題分析：分三類：第一類，有一次取到3號(hào)球，共有取法；第二類，有兩次取到3號(hào)球，共有取法；第三類，三次都取到3號(hào)球，共有1種取法；共有19種取法.考點(diǎn)：排列組合，分類分步記數(shù)原理.5、B【解析】

設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置．【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選：B.本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時(shí)要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．6、B【解析】

由①中，比如當(dāng)時(shí)，就不成立；②中，根據(jù)存在性命題與全稱命題的關(guān)系，即可判定；③中，根據(jù)四種命題的關(guān)系，即可判定；④中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，即可判定，得到答案.【詳解】對(duì)于①中，比如當(dāng)時(shí)，就不成立，所以不正確；對(duì)于②中，命題“”的否定是“”，所以正確；③中，命題“若，則”為真命題，其逆否命題為真命題，所以正確；對(duì)于④中，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，可得，所以錯(cuò)誤；故選B.本題主要考查了命題真假的判定，其中解答中熟記全稱命題與存在性命題的關(guān)系，以及四種命題的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)平面向量加法及數(shù)乘的幾何意義，可得，故選A．本題主要考查了平面向量的加法法則的應(yīng)用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

由題意正方形的面積為，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案．【詳解】由題意知，正方形的邊長(zhǎng)為1，所以正方形的面積為又由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對(duì)稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值是，故選C．本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、A【解析】

化簡(jiǎn)求得復(fù)數(shù)為，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.10、A【解析】

依題意可知同學(xué)正確數(shù)量滿足二項(xiàng)分布，同學(xué)正確數(shù)量滿足二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式分別求得兩者的方差，相減得出正確結(jié)論.【詳解】設(shè)學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為，則得分（分），，，所以，同理設(shè)學(xué)生答對(duì)題的個(gè)數(shù)為，可知,，所以，所以.故選A.本小題主要考查二項(xiàng)分布的識(shí)別，考查方差的計(jì)算，考查閱讀理解能力，考查數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.已知隨機(jī)變量分布列的方差為，則分布列的方差為.11、C【解析】試題分析：，虛部為。考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算。12、B【解析】

由條件結(jié)構(gòu)，輸入的x值小于0，執(zhí)行y＝﹣x，輸出y，等于0，執(zhí)行y＝0，輸出y，大于0，執(zhí)行y＝1x，輸出y，由x＝1＞0，執(zhí)行y＝1x得解．【詳解】因?yàn)檩斎氲膞值為1大于0，所以執(zhí)行y＝1x＝1，輸出1．故選：B．本題考查了程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)，條件結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，算法不循環(huán)執(zhí)行．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、必要非充分【解析】

結(jié)合直線和雙曲線的位置關(guān)系，先判斷充分條件，再判斷必要條件得解.【詳解】當(dāng)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線有可能與雙曲線相切，也有可能相交（直線與雙曲線的漸近線平行），所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的非充分條件；直線與雙曲線相切時(shí)，直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要條件.所以“直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)”是“直線與雙曲線相切”的必要非充分條件．故答案為：必要非充分本題主要考查充分條件和必要條件的判定，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.14、【解析】

通過(guò)，即可求出的值，通過(guò)，即可求出的值，最終可求出的值．【詳解】令，可得令，可得本題通過(guò)賦值法來(lái)研究二項(xiàng)展開式系數(shù)的和，是一道基礎(chǔ)題．15、136【解析】分析：由題意，末尾是0或1，分類討論，即可得出結(jié)論．詳解：由題意，末尾是0或1．

末尾是0時(shí)，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且被1整除的三位數(shù)有，

末尾是1時(shí)，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且被1整除的三位數(shù)有，

∴用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且被1整除的三位數(shù)有，即答案為136.點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．16、【解析】分析：利用列舉法求出事件“”包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能出事件“”的概率．詳解：將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次，用表示向上點(diǎn)數(shù)之和，則基本數(shù)值總數(shù)，事件“”包含的基本事件有：共6個(gè)，∴事件“”的概率．即答案為.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）12,23【解析】

（1）分別代入n=1,2,3計(jì)算即可求解；（2）猜想:Sn=【詳解】當(dāng)n=1,S當(dāng)n=2,當(dāng)n=3,（2）猜想:Sn證明：①當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N*)則當(dāng)n=k+1時(shí)，由(Sk+1-1)2整理得Sk+1即n=k+1時(shí),猜想也成立.綜合①②得Sn本題考查遞推數(shù)列求值，數(shù)學(xué)歸納法證明，考查推理計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題18、人；（2）人；15.70.【解析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖能估計(jì)學(xué)校1800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)．（2）利用頻率分布直方圖能求出該樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)．（3）根據(jù)頻率分布直方圖，能求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)．解析：學(xué)校1800名學(xué)生中，成績(jī)屬于第四組的人數(shù)人；（2）樣本在這次百米測(cè)試中成績(jī)良好的人數(shù)是：人；由圖可知眾數(shù)落在第三組，是，.19、(1)；;(2)見(jiàn)解析.【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出滿足條件的m的范圍，從而證出結(jié)論即可．【詳解】解：（I）當(dāng)時(shí),,令,得,,當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:極大值極小值由表可知,；；（II）設(shè)，，，若要有解，需有單減區(qū)間，則要有解，由，，記為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)則，當(dāng)時(shí)單增，令，由，得，需考察與區(qū)間的關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，，，在上，單增，故單增，，無(wú)解；②當(dāng)，時(shí)，，，因?yàn)閱卧觯谏?，在上?dāng)時(shí)，（i）若，即時(shí)，，單增，，無(wú)解；（ii）若，即，，在上，，單減；，，在區(qū)間上有唯一解，記為；在上，單增，，當(dāng)時(shí)，故在區(qū)間上有唯一解，記為，則在上，在上，在上，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)若要恒成立且有唯一解，當(dāng)且僅當(dāng)，即，由有聯(lián)立兩式解得.綜上，當(dāng)時(shí)，本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．20、（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）（3）【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可．

（2）由（1）及知所以，令，利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化求解．

（3）記，則，說(shuō)明，由（2），，所以利用放縮法，轉(zhuǎn)化求解即可．．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）及知所以令，則，所以，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立若當(dāng)時(shí)，恒成立，則（3）記則又，故在的右側(cè)遞增，，由（2），，所以當(dāng)時(shí)，綜上的取值范圍是本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，然后轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的最值問(wèn)題．注意放縮法的應(yīng)用．21、(1)(2)的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望為2【解析】

（1）