青島三中2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

青島三中2025年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．圓與圓的公切線有幾條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條2．函數(shù)在的圖像大致為（）A． B．C． D．3．有一項(xiàng)活動(dòng),在4名男生和3名女生中選2人參加,必須有男生參加的選法有（）種.A．18 B．20 C．24 D．304．設(shè)且，則“”是“”的()A．必要不充分條件B．充要條件C．既不充分也不必要條件D．充分不必要條件5．下列等式不正確的是（）A． B．C． D．6．從圖示中的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率為()A． B．C． D．7．已知有相同兩焦點(diǎn)F1、F2的橢圓+y2=1和雙曲線-y2=1，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則ΔF1PF2的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍有三角形 D．等腰三角形8．已知集合，，在集合內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)元素，則這個(gè)元素屬于集合的概率為（）A． B． C． D．9．已知集合，，則為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的極值情況是（）．A．有極大值，極小值2 B．有極大值1，極小值C．無(wú)極大值，但有極小值 D．有極大值2，無(wú)極小值11．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為（）A． B． C． D．12．在打擊拐賣(mài)兒童犯罪的活動(dòng)中,警方救獲一名男孩,為了確定他的家鄉(xiāng),警方進(jìn)行了調(diào)查:知情人士A說(shuō),他可能是四川人,也可能是貴州人；知情人士B說(shuō),他不可能是四川人；知情人士C說(shuō),他肯定是四川人；知情人士D說(shuō),他不是貴州人.警方確定,只有一個(gè)人的話不可信.根據(jù)以上信息,警方可以確定這名男孩的家鄉(xiāng)是（）A．四川 B．貴州C．可能是四川,也可能是貴州 D．無(wú)法判斷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓C1：，圓C2：，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值_____．14．某人進(jìn)行射擊訓(xùn)練，射擊一次命中靶心的概率是0.9，各次射擊相互獨(dú)立，他連續(xù)射擊3次，則“第一次沒(méi)有命中靶心后兩次命中靶心”的概率是______.15．若關(guān)于的不等式（，且）的解集是，則的取值的集合是_________．16．以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），圓C的極坐標(biāo)方程是，則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；（2）若函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，證明：.18．（12分）已知四棱錐的底面是菱形，且，，，O為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)B到平面的距離.19．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面平面.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.21．（12分）已知（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.22．（10分）小陳同學(xué)進(jìn)行三次定點(diǎn)投籃測(cè)試，已知第一次投籃命中的概率為，第二次投籃命中的概率為，前兩次投籃是否命中相互之間沒(méi)有影響.第三次投籃受到前兩次結(jié)果的影響，如果前兩次投籃至少命中一次，則第三次投籃命中的概率為，否則為.（1）求小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率；（2）記小陳同學(xué)三次投籃命中的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

首先求兩圓的圓心距，然后判斷圓心距與半徑和或差的大小關(guān)系,最后判斷公切線的條數(shù).【詳解】圓，圓心，，圓,圓心，，圓心距兩圓外切，有3條公切線.故選C.本題考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題型.2、C【解析】

利用定義考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)值的符號(hào)以及與的大小關(guān)系辨別函數(shù)的圖象．【詳解】，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，排除D選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，則，排除A選項(xiàng)；又，排除B選項(xiàng)．故選C．本題考查函數(shù)圖象的辨別，在給定函數(shù)解析式辨別函數(shù)圖象時(shí)，要考查函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及特殊值，利用這五個(gè)要素逐一排除不符合要求的選項(xiàng)，考查分析問(wèn)題的能力，屬于中等題．3、A【解析】

分類(lèi)：（1）人中有人是男生；（2）人都是男生.【詳解】若人中有人是男生，則有種；若人都是男生，則有種；則共有種選法.排列組合中，首先對(duì)于兩個(gè)基本原理：分類(lèi)加法、分步乘法，要能充分理解，它是后面解答排列組合綜合問(wèn)題的基礎(chǔ).4、C【解析】或;而時(shí),有可能為.所以兩者沒(méi)有包含關(guān)系,故選.5、A【解析】

根據(jù)排列組合數(shù)公式依次對(duì)選項(xiàng)，整理變形，分析可得答案．【詳解】A，根據(jù)組合數(shù)公式，，A不正確；B，，故B正確；C，故C正確；D，故D正確；故選：．本題考查排列組合數(shù)公式的計(jì)算，要牢記公式，并進(jìn)行區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

先利用定積分公式計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積，并計(jì)算出長(zhǎng)方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率計(jì)算公式可得出答案．【詳解】圖中陰影部分的面積為，長(zhǎng)方形區(qū)域的面積為1×3＝3，因此，點(diǎn)M取自圖中陰影部分的概率為．故選C．本題考查定積分的幾何意義，關(guān)鍵是找出被積函數(shù)與被積區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義：又；故選B8、D【解析】

利用線性規(guī)劃可得所在區(qū)域三角形的面積，求得圓與三角形的公共面積，利用幾何概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】表示如圖所示的三角形，求得，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，既在三角形內(nèi)又在圓內(nèi)的點(diǎn)的軌跡是如圖所示陰影部分的面積，其面積等于四分之三圓面積與等腰直角三角形的面積和，即為，所以在集合內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)元素，則這個(gè)元素屬于集合的概率為，故選D.本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問(wèn)題常見(jiàn)類(lèi)型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總面積以及事件的面積；幾何概型問(wèn)題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤.9、A【解析】

利用集合的交集運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知集合中，集合中求的是值域的取值范圍，所以的取值范圍為答案選A求解集合基本運(yùn)算時(shí)，需注意每個(gè)集合中求解的是x還是y,求的是定義域還是值域，是點(diǎn)集還是數(shù)集等10、A【解析】

求導(dǎo)分析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn),進(jìn)而求得原函數(shù)的單調(diào)性再判斷即可.【詳解】由題,函數(shù)定義域?yàn)?,令有.故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),故有極大值,極小值2.故選：A本題主要考查了函數(shù)極值的求解,需要求導(dǎo)分析單調(diào)性.同時(shí)注意函數(shù)在和上分別單調(diào)遞減.屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸常為,故選B.12、A【解析】

先確定B,C中必有一真一假，再分析出A,D兩個(gè)正確，男孩為四川人.【詳解】第一步,找到突破口B和C的話矛盾,二者必有一假.第二步,看其余人的話,A和D的話為真,因此男孩是四川人.第三步,判斷突破口中B,C兩句話的真假,C的話為真,B的話為假,即男孩為四川人.故選：A本題主要考查分析推理，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可得到的最小值.【詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，以及半徑，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即.本題主要考查了圓的對(duì)稱(chēng)圓的方程的求法，以及兩圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把的最小值轉(zhuǎn)化為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.14、0.081.【解析】分析:根據(jù)題意三次射擊互相獨(dú)立，故概率為：詳解：射擊一次命中靶心的概率是0.9，各次射擊相互獨(dú)立，第一次沒(méi)有命中靶心后兩次命中靶心的概率為：故答案為：0.081.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了互相獨(dú)立事件的概率的計(jì)算，當(dāng)A，B事件互相獨(dú)立時(shí)，.15、【解析】

由題意可得當(dāng)x=時(shí)，4x=log2ax，由此求得a的值．【詳解】∵關(guān)于x的不等式4x＜log2ax（a＞0，且a≠）的解集是{x|0＜x＜}，則當(dāng)x=時(shí)，4x=log2ax，即2=log2a，∴（2a）2=，∴2a=，∴a=，故答案為．本題主要考查指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．16、2【解析】分析：先求出直線的普通方程，再求出圓的直角坐標(biāo)方程，再利用公式求直線被圓C截得的弦長(zhǎng).詳解：由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=，故弦長(zhǎng)=.故答案為2.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查直線和圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些問(wèn)題的掌握水平.(2)求直線被圓截得的弦長(zhǎng)常用公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并由單調(diào)性得出函數(shù)的極值；（2）利用參變量分離法得出關(guān)于的方程在上有唯一解，構(gòu)造函數(shù)，得出，構(gòu)造函數(shù)，求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值轉(zhuǎn)化即可?！驹斀狻浚?）的定義域?yàn)?，∵，?dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，∴有極小值，無(wú)極大值，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無(wú)極大值；（2）函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，∴有唯一解，令，則令，則，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)為增函數(shù)，又，，∴在上存在唯一零點(diǎn)，則，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上有最小值.ly，∴.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，構(gòu)造新函數(shù)是難點(diǎn)，也是解題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想，屬于難題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)連結(jié),推導(dǎo)出,由此能證明平面.(2)利用等體積法求距離即可.【詳解】(1)證明:連結(jié),四棱錐的底面是菱形,且，,,O為AB的中點(diǎn)...平面.(2)在中,,則,,.故點(diǎn)B到平面的距離.本題考查線面垂直的判斷定理,考查等體積法求點(diǎn)到面的距離,難度一般.19、（1）或；（2）.【解析】

（1）求出函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，設(shè)，求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，通過(guò)討論對(duì)稱(chēng)軸的范圍，求出m的范圍即可.【詳解】(1)的對(duì)稱(chēng)軸的方程為，若函數(shù)在上具有單調(diào)性，所以或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在圖象上方，則在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)，綜上.該題考查的是有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)比較熟悉，再者要注意單調(diào)包括單調(diào)增和單調(diào)減，另外圖像落在直線的下方的等價(jià)轉(zhuǎn)化，恒成立問(wèn)題要向最值靠攏.20、（1）詳見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）在平面內(nèi)知道兩條相交直線與垂直，利用判定定理即可完成證明；（2）通過(guò)輔助線，將與平行四邊形關(guān)聯(lián)，從而計(jì)算出長(zhǎng)度，然后即可求解三棱錐的體積.【詳解】解：（1）平面，，又四邊形為正方形，，且，平面，為的中點(diǎn)，，且，平面；（2）作于，連接，如圖所示：平面平面，面，由（1）知平面，，又平面平面，面，平面，平面，平面平面，平面，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，，本題考查立體幾何中的線面垂直關(guān)系證明以及體積計(jì)算，難度一般.計(jì)算棱錐體積的時(shí)候，可以采取替換頂點(diǎn)位置的方式去計(jì)算，這樣有時(shí)候能簡(jiǎn)化運(yùn)算.21、（1）；（2）【解析】分析：（1）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式后，再結(jié)合復(fù)數(shù)模的公式，即可求解；（2）化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z為1+i，由條件可得a+b+（a+2）i=1﹣i，解方程求得a，b的值．詳解：（1）化簡(jiǎn)得（2）解得點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問(wèn)題高考必考，常見(jiàn)考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的計(jì)算.22、（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求小陳同學(xué)三次投籃都沒(méi)有命中的概率，再用1減得結(jié)果，（2）先確定隨機(jī)變量取法，再利用組合數(shù)求對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.詳解：（1）小陳同學(xué)三次投籃都沒(méi)有命中的概率為(1－)×(1－)×(1－)＝；所以小陳同學(xué)三次投籃至少命中一次的概率為1－＝.（2）ξ可能的取值為0，1，2，1．P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝×(1－)×