7.5 正態(tài)分布 課件(共28張)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊人教A版

一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為1.超幾何分布：若隨機變量X服從超幾何分布，則有2.超幾何分布的均值：其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n-N+M}，r＝min{n，M}.

溫故知新：超幾何分布二項分布試驗類型

抽樣

抽樣試驗種數(shù)有

種物品有

種結(jié)果總體個數(shù)

個

個隨機變量取值的概率利用

計算利用

計算聯(lián)系當(dāng)

時，超幾何分布

二項分布不放回

有放回兩兩有限無限古典概型獨立重復(fù)試驗總體N很大近似3.超幾何分布與二項分布的聯(lián)系與區(qū)別：人教A版2019選擇性必修第三冊7.5正態(tài)分布

第七章《隨機變量及其分布》

高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家，一生中的重要貢獻(xiàn)不勝枚舉．德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態(tài)分布的曲線，這就傳達(dá)了一個信息：在高斯的科學(xué)貢獻(xiàn)中，對人類文明影響最大的是正態(tài)分布．

那么，什么是正態(tài)分布？正態(tài)分布的曲線有什么特征？

情境引入：

現(xiàn)實中，除了前面已經(jīng)研究過的離散型隨機變量外，還有大量問題中的隨機變量不是離散型的，它們的取值往往充滿某個區(qū)間甚至整個實軸，但取一點的概率為0，我們稱這類隨機變量為連續(xù)型隨機變量（continuousrandomvariable）．下面我們看一個具體問題．

問題：自動流水線包裝的食鹽，每袋標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為400g．由于各種不可控制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間或多或少會存在一定的誤差（實際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量）．用X表示這種誤差，則X是一個連續(xù)型隨機變量，檢測人員在一次產(chǎn)品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽，獲得誤差X（單位：g）的觀測值如下：－0.6－1.4－0.73.3－2.9－5.21.40.14.40.9－2.6－3.4－0.7－3.2－1.72.90.61.72.91.20.5－3.72.71.1－3.0－2.6－1.91.72.6.0.42.6－2.0－0.21.8－0.7－1.3－0.5－1.30.2－2.12.4－1.5－0.43.8－0.11.50.3－1.80.02.53.5－4.2－1.0－0.20.10.91.12.20.9－0.6－4.4－1.13.9－1.0－0.61.70.3－2.4－0.1－1.7－0.5－0.81.71.44.41.2－1.8－3.1－2.1－1.62.20.34.8－0.8－3.5－2.73.81.4－3.5－0.9－2.2－0.7－1.31.5－1.5－2.21.01.31.7－0.9（1）如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布？（2）如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布？思考：(1)如何描述這100個樣本誤差數(shù)據(jù)的分布?(2)如何構(gòu)建適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂坍嬚`差X的分布?根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數(shù)據(jù)的分布，如圖(1)所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的頻率，所有小矩形的面積之和為1.

觀察圖形可知：誤差觀測值有正有負(fù)，并大致對稱地分布在X=0的兩側(cè)，而且小誤差比大誤差出現(xiàn)得更頻繁.頻率/組距X-60-4-200.150.050.100.20426圖(1)

隨著樣本數(shù)據(jù)量越來越大，讓分組越來越多，組距越來越小，由頻率的穩(wěn)定性可知，頻率分布直方圖的輪廓就越來越穩(wěn)定，接近一條光滑的鐘形曲線，如圖(2)所示.頻率/組距X-60-4-200.150.05圖(2)0.100.20426PX-60-4-200.150.05圖(3)0.100.20426

根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，可用圖(3)中的鐘形曲線(曲線與水平軸之間的區(qū)域的面積為1)來描述袋裝食鹽質(zhì)量誤差的概率分布.例如，任意抽取一袋食鹽，誤差落在[-2，-1]內(nèi)的概率，可用圖中黃色陰影部分的面積表示.追問1：由函數(shù)知識可知，圖(3)中的鐘形曲線是一個函數(shù).那么，這個函數(shù)是否存在解析式呢?

答案是肯定的.在數(shù)學(xué)家的不懈努力下，找到了以下刻畫隨機誤差分布的解析式：其中μ∈R，σ>0為參數(shù).

探究新知：

顯然，對任意的x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方，可以證明x軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1.我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2).f(x)x

μaA圖(4)BxbO

若X～N(μ，σ2)，則如圖(4)所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區(qū)域A的面積，而P(a≤X≤b)為區(qū)域B的面積.1.正態(tài)曲線特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時，稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

早在1734年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗(A．DeMoivre，1667-1754)在研究二項概率的近似計算時，已提出了正態(tài)密度函數(shù)的形式，但當(dāng)時只是作為一個數(shù)學(xué)表達(dá)式．直到徳國數(shù)學(xué)家高斯(C．F．Gauss，1777-1855）提出“正態(tài)誤差”的理論后，正態(tài)密度函數(shù)才取得“概率分布”的身份．因此，人們也稱正態(tài)分布為高斯分布．

正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計中占有重要地位，它廣泛存在于自然現(xiàn)象、生產(chǎn)和生活實踐之中．在現(xiàn)實生活中，很多隨機變量都服從或近似服從正態(tài)分布，例如，某些物理量的測量誤差，某一地區(qū)同年齡人群的身高、體重、肺活量等，一定條件下生長的小麥的株高、穗長、單位面積產(chǎn)量，自動流水線生產(chǎn)的各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)（如零件的尺寸、纖維的纖度、電容器的電容），某地每年7月的平均氣溫、平均濕度、降水量等，一般都近似服從正態(tài)分布．追問2：觀察正態(tài)曲線及相應(yīng)的密度函數(shù),你能發(fā)現(xiàn)正態(tài)曲線的哪些特點?

由X的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點：(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱；(2)曲線在x=μ處達(dá)到峰值

(3)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.f(x)x

μaA圖(4)BxbO2.正態(tài)曲線的特點追問3：一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?

由于正態(tài)曲線關(guān)于x=μ對稱，因此，當(dāng)參數(shù)σ固定時，正態(tài)曲線的位置由μ確定，且隨著μ的變化而沿x軸平移，所以參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，可以用均值來估計，故有E(X)=μ.0.4x-3μ=12-1圖(5)-213Oμ=－1μ=0yσ=1

探究新知：

當(dāng)μ取定值時，因為正態(tài)曲線的峰值與σ成反比，而且對任意的σ>0，正態(tài)曲線與x軸之間的區(qū)域的面積總為1.因此，當(dāng)σ較小時，峰值高，正態(tài)曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；當(dāng)σ較大時，峰值低，正態(tài)曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，所以σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度，可以用標(biāo)準(zhǔn)差來估計，故有D(X)=σ2.0.4x-3σ=0.52-1圖(6)-213Oσ=2μ=0yσ=10.8追問3：一個正態(tài)分布由參數(shù)μ和σ完全確定，這兩個參數(shù)對正態(tài)曲線的形狀有何影響?它們反映正態(tài)分布的哪些特征?(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當(dāng)μ一定時，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3.正態(tài)曲線的性質(zhì)(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.

在實際問題中，參數(shù)μ，σ可以分別用樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差來估計，故有(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對稱，且在x=μ處取得最大值；σ=0.5012-1-2xy-33X=μσ=1σ=2例：李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布.(1)估計X，Y的分布中的參數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的估計結(jié)果，利用信息技術(shù)工具畫出X和Y的分布密度曲線;(3)如果某天有38min可用，李明應(yīng)選擇哪種交通工具?如果某天只有34min可用，又應(yīng)該選擇哪種交通工具?請說明理由.解：(1)隨機變量X的樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為6；隨機變量Y的樣本均值為34，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為2.用樣本均值估計參數(shù)μ，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計參數(shù)σ，可以得到

X～N(30，62)，Y～N(34，22).(2)由(1)得X～N(30，62)，Y～N(34，22)，作出X和Y的分布密度曲線如圖示.(3)應(yīng)選擇在給定時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具.由圖可知，P(X≤38)<P(Y≤38)，P(X≤34)>P(Y≤34).所以，如果有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大，應(yīng)選擇騎自行車；如果只有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應(yīng)選擇坐公交車.

4.正態(tài)曲線下的面積規(guī)律－x1

－x2x2x1

a－a正態(tài)曲線下對稱區(qū)域的面積相等對應(yīng)的概率也相等利用“對稱法”求正態(tài)分布下隨機變量在某個區(qū)間的概率012-1-2xy-334μ=10.51－aa1－a1－2a1.若X～N(2,32)，則E(X)=______，D(X)=______

2932

2.X～N(μ，σ2)，若E(X)=3，σ(X)=2，則μ=___，σ=___

3.若X～N(1，σ2)，且P(X<0)=a，則(1)P(X>1)=_______；(2)P(X>0)=______；(3)P(X>2)=______；(4)P(X<2)=______；(5)P(0<X<2)=______；(6)P(0<X<1)=________0.5－a

學(xué)以致用：

假設(shè)X～N(μ，σ2)，可以證明：對給定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一個只與k有關(guān)的定值.5.特殊區(qū)間的概率

由此看到，盡管正態(tài)變量取值范圍是(-∞，+∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區(qū)間[μ-3σ，μ+3σ]內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認(rèn)為這種情況幾乎不可能發(fā)生.

在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ，μ+3σ]中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3σ原則.若隨機變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2).特別地，當(dāng)μ=0，σ=1時，稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.1.正態(tài)分布：正態(tài)密度函數(shù)：2.特殊區(qū)間的概率：

課堂小結(jié)：(1)曲線在x軸的上方，與x軸不相交；(3)曲線與x軸之間的面積為1；(4)當(dāng)μ一定時，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3.正態(tài)曲線的性質(zhì)(5)參數(shù)μ反映了正態(tài)分布的集中位置，σ反映了隨機變量的分布相對于均值μ的離散程度.

在實際