浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B．40 C． D．802．一物體在力（單位）的作用下沿與力相同的方向，從處運(yùn)動(dòng)到處（單位，則力所做的功為（）A．54焦 B．40焦 C．36焦 D．14焦3．函數(shù)的極值點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．4．若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．[－3,3] B．C． D．[－1,1]5．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為()A．6 B．4 C． D．6．已知，命題“若，則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．37．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S的值為3，則判斷框中填入的條件可以是（）A． B． C． D．8．如果的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，那么展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和是()A．0 B．256 C．64 D．9．若函數(shù)存在增區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．10．已知扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，則扇形的半徑為（）A．7 B．6 C．5 D．411．雙曲線與雙曲線有相同的（）A．頂點(diǎn) B．焦點(diǎn) C．漸近線 D．離心率12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一個(gè)倒圓錐形的容器，其底面半徑是5厘米，高是10厘米，容器內(nèi)放著49個(gè)半徑為1厘米的玻璃球，在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來(lái)，則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為_(kāi)_______厘米14．若，滿足不等式，則的取值范圍是________.15．從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人，組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有__________種不同的選法．（用數(shù)字作答）16．正方體ABCD-A1B1C1D三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列不是常數(shù)列，其前四項(xiàng)和為10，且、、成等比數(shù)列.（1）求通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，直線與軸相交于點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，證明：點(diǎn)在直線上.19．（12分）已知曲線的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，且取相等的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是（是參數(shù)），設(shè)點(diǎn)．(Ⅰ)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將直線的參數(shù)方程化為普通方程；(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值．20．（12分）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且函數(shù)在上為減函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6，E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PA上的點(diǎn)且PF=12(1)求平面EFG的一個(gè)法向量n；(2)求直線AG與平面EFG所成角θ的大??；(3)求點(diǎn)A到平面EFG的距離d．22．（10分）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

通過(guò)展開(kāi)二項(xiàng)式即得答案.【詳解】在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為，故答案為D.本題主要考查二項(xiàng)式定理，難度很小.2、C【解析】

本題是一個(gè)求變力做功的問(wèn)題，可以利用積分求解，由題意，其積分區(qū)間是，，被積函數(shù)是力的函數(shù)表達(dá)式，由積分公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案【詳解】由題意得：．故選：C．本題考查定積分的應(yīng)用，物理中的變力所做的功用定積分求解是定積分在物理中的重要應(yīng)用，正確解答本題的關(guān)鍵是理解功與定積分的對(duì)應(yīng)．3、A【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，然后運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行驗(yàn)證可得所求區(qū)間．【詳解】∵，∴，且函數(shù)單調(diào)遞增．又，∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，即函數(shù)的極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)．故選A．本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，解答本題時(shí)要弄清函數(shù)的極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，同時(shí)還應(yīng)注意只有在導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值變號(hào)時(shí)，該零點(diǎn)才為極值點(diǎn)，否則導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)就不是極值點(diǎn)．4、D【解析】

根據(jù)充分、必要條件的定義，可知當(dāng)時(shí)，恒成立，解一元二次不等式即可?！驹斀狻恳李}意可知，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，解得，故選D。本題主要考查充分、必要條件定義的應(yīng)用以及恒成立問(wèn)題的解法。5、D【解析】

先求可積區(qū)間，再根據(jù)定積分求面積.【詳解】由,得交點(diǎn)為，所以所求面積為，選D.本題考查定積分求封閉圖形面積，考查基本求解能力，屬基本題.6、C【解析】

先寫(xiě)出原命題的逆命題，否命題，再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時(shí)，根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【詳解】解：逆命題:設(shè)，若，則a＞b,由可得，能得到a＞b，所以該命題為真命題;否命題設(shè)，若a≤b，則,由及a≤b可以得到，所以該命題為真命是題；因?yàn)樵}和它的逆否命題具有相同的真假性，所以只需判斷原命題的真假即可，當(dāng)時(shí)，，所以由a＞b得到，所以原命題為假命題，即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個(gè).故選C.本題主要考查四種命題真假性的判斷問(wèn)題，由題意寫(xiě)出原命題的逆命題，否命題并判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，判斷循環(huán)條件．【詳解】程序運(yùn)行中，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿足，，判斷循環(huán)條件，滿足，……，，判斷循環(huán)條件，滿足，，，判斷循環(huán)條件，這里應(yīng)不滿足，輸出．故條件為．判斷框中填入，故選：B.本題考查程序框圖，解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行，根據(jù)輸出結(jié)論確定循環(huán)條件．8、D【解析】分析：先確定n值，再根據(jù)賦值法求所有項(xiàng)的系數(shù)和.詳解：因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n＝6.令x＝1，則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是,選D.點(diǎn)睛：二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法①如果是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；②如果是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.9、C【解析】

先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間，則單調(diào)遞減，利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式，將不等式分離常數(shù)后，利用配方法求得常數(shù)的取值范圍，再取這個(gè)取值范圍的補(bǔ)集，求得題目所求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間，則函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí)在區(qū)間恒成立，可得，則，可得，故函數(shù)存在增區(qū)間時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選C.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，屬于中檔題.10、B【解析】

求得圓心角的弧度數(shù)，用求得扇形半徑.【詳解】依題意為，所以．故選B.本小題主要考查角度制和弧度制轉(zhuǎn)化，考查扇形的弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

根據(jù)選項(xiàng)分別寫(xiě)出兩個(gè)雙曲線的幾何性質(zhì)，比較后得到答案.【詳解】的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線方程是，離心率是；的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線方程是，離心率，比較后可知只有漸近線方程一樣.故選C.本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題型.12、D【解析】

先求出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論求解即可．【詳解】由可得或，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè)，則在上單調(diào)遞減，又函數(shù)為減函數(shù)，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選D．（1）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論，即對(duì)于函數(shù)來(lái)講，它的單調(diào)性依賴于函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，則函數(shù)為增函數(shù)；否則函數(shù)為減函數(shù)．（2）解答本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視函數(shù)的定義域，誤認(rèn)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】

設(shè)水面的高度為，根據(jù)圓錐體的體積等于全部玻璃的體積加上水的體積列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來(lái)，則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為，則，解得.故答案為：6.本題考查圓錐體積和球的體積的運(yùn)算，關(guān)鍵要找到體積之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.14、【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】解：由，滿足不等式作出可行域如圖，

令，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)取的最小值，

聯(lián)立，解得時(shí)得最小值，．

目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)取的最大值，

聯(lián)立，解得，此時(shí)取得最大值，．

所以，z＝2x＋y的取值范圍是．

故答案為：本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是基礎(chǔ)題．15、660【解析】

第一類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種，故有種；第二類，先選女男，有種，這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種，故有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種，故答案為.16、60°【解析】

由正方體的性質(zhì)可以知道：DC1//AB1,根據(jù)異面直線所成角的定義,可以知道∠B1AD1【詳解】如圖所示：連接AB1,因?yàn)镈C1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案為60°本題考查了異面直線所成的角,掌握正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)條件列方程組，根據(jù)首項(xiàng)和公差求通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)求和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差，解得：；（2），，是公比為8，首項(xiàng)為的等比數(shù)列，.本題考查等差和等比數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題型，只需熟記公式.18、（1）；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)，由，得，且，得，，，∴橢圓的方程為；（2）由題意，得，∴橢圓的方程，則，，，設(shè)，由題意知，則直線的斜率，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)，直線的斜率為，∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，化簡(jiǎn)得，又∵為橢圓上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，∴，，，由①②，解得，，∴，即點(diǎn)在直線上．19、（Ⅰ）曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：，直線的參數(shù)方程化為普通方程為：（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)曲線的極坐標(biāo)方程，然后兩邊乘以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.利用加減消元法消掉參數(shù)，求得直線的普通方程.(Ⅱ)寫(xiě)出直線標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程，代入曲線的直角坐標(biāo)方程，化簡(jiǎn)后根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，求得的值.【詳解】解：(Ⅰ)曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為：，即；直線的參數(shù)方程化為普通方程為：．(Ⅱ)直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，①將①式代入，得：，②由題意得方程②有兩個(gè)不同的根，設(shè)是方程②的兩個(gè)根，由直線參數(shù)方程的幾何意義知：．本小題主要考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的求法，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【解析】

（1）由于是奇函數(shù)，，因此要證明的不等式可變形為要證明，因此只要說(shuō)明與異號(hào)，即與的大小和與的大小關(guān)系正好相反即可，這由減函數(shù)的定義可得，證明時(shí)可分和分別證明即可；（2）這個(gè)函數(shù)不等式由奇函數(shù)的性質(zhì)可化為，然后由單調(diào)性可去“”，并注意將和限制在定義域內(nèi)，可得出關(guān)于的不等式組，就可解得范圍．【詳解】（1）∵定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴為奇函數(shù)．若，則，∴，∴，∴成立．若，則，∴．∴，∴成立．綜上，對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，有恒成立．（2），得，解得，故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義以及單調(diào)性與奇偶性解不不等式，解題的關(guān)鍵就是利用奇偶性將不等式進(jìn)行變形，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化，同時(shí)要注意自變量要限制在定義域內(nèi)，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.21、（1）n=(0,1，2)（2）直線AG與平面EFG所成角θ=arcsin（3）6【解析】

(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求出EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，-2)，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y，z)，由n?EF(2)求出AG=(-8,2，2)，由sinθ=|cos<AG,n(3)求出EA=(6,2，-4)，由點(diǎn)A到平面EFG的距離d=【詳解】(1)∵在正四棱錐P-BCD中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32，高OP=6E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD，F(xiàn)是側(cè)棱PAG是△PBC的重心.如圖建立空間直角坐標(biāo)系．∴D(0,-6,0)，P(0,0，6)，E(0,-2,4)，A(6,0，0)，B(0,6，0)，C(-6,0，0)，G(-2,2，2)，EF=(3,2，-1)，EG=(-2,4，設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y，z)則n?EF=3x+2y-z=0平面EFG的一個(gè)法向量n=(0,1，2)(2)AG=(-8,2，則sinθ=|∴直線AG與平面EFG所成角θ=arcsin(3)EA=(6,2，∴點(diǎn)A到平面EFG的距離d=|本題主要考查了平面的法向量