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浙江省紹興市上虞區(qū)城南中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在的展開(kāi)式中,項(xiàng)的系數(shù)為()A. B.40 C. D.802.一物體在力(單位)的作用下沿與力相同的方向,從處運(yùn)動(dòng)到處(單位,則力所做的功為()A.54焦 B.40焦 C.36焦 D.14焦3.函數(shù)的極值點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.4.若是的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.[-3,3] B.C. D.[-1,1]5.由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為()A.6 B.4 C. D.6.已知,命題“若,則.”的逆命題、否命題、逆否命題中真命題的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.37.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的S的值為3,則判斷框中填入的條件可以是()A. B. C. D.8.如果的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,那么展開(kāi)式中的所有項(xiàng)的系數(shù)和是()A.0 B.256 C.64 D.9.若函數(shù)存在增區(qū)間,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.10.已知扇形的圓心角為,弧長(zhǎng)為,則扇形的半徑為()A.7 B.6 C.5 D.411.雙曲線與雙曲線有相同的()A.頂點(diǎn) B.焦點(diǎn) C.漸近線 D.離心率12.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(
)A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.有一個(gè)倒圓錐形的容器,其底面半徑是5厘米,高是10厘米,容器內(nèi)放著49個(gè)半徑為1厘米的玻璃球,在向容器倒?jié)M水后,再把玻璃球全部拿出來(lái),則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為_(kāi)_______厘米14.若,滿足不等式,則的取值范圍是________.15.從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人,副隊(duì)長(zhǎng)1人,普通隊(duì)員2人,組成4人服務(wù)隊(duì),要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生,共有__________種不同的選法.(用數(shù)字作答)16.正方體ABCD-A1B1C1D三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知等差數(shù)列不是常數(shù)列,其前四項(xiàng)和為10,且、、成等比數(shù)列.(1)求通項(xiàng)公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn),點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),且.(1)若橢圓的離心率為,求橢圓的方程;(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),直線與軸相交于點(diǎn),若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),證明:點(diǎn)在直線上.19.(12分)已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,且取相等的單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),設(shè)點(diǎn).(Ⅰ)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.20.(12分)已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且函數(shù)在上為減函數(shù).(1)證明:當(dāng)時(shí),;(2)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)在正四棱錐P-BCD中,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32,高OP=6,E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD,F(xiàn)是側(cè)棱PA上的點(diǎn)且PF=12(1)求平面EFG的一個(gè)法向量n;(2)求直線AG與平面EFG所成角θ的大??;(3)求點(diǎn)A到平面EFG的距離d.22.(10分)記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)求,并求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
通過(guò)展開(kāi)二項(xiàng)式即得答案.【詳解】在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為,故答案為D.本題主要考查二項(xiàng)式定理,難度很小.2、C【解析】
本題是一個(gè)求變力做功的問(wèn)題,可以利用積分求解,由題意,其積分區(qū)間是,,被積函數(shù)是力的函數(shù)表達(dá)式,由積分公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案【詳解】由題意得:.故選:C.本題考查定積分的應(yīng)用,物理中的變力所做的功用定積分求解是定積分在物理中的重要應(yīng)用,正確解答本題的關(guān)鍵是理解功與定積分的對(duì)應(yīng).3、A【解析】
求出導(dǎo)函數(shù),然后運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行驗(yàn)證可得所求區(qū)間.【詳解】∵,∴,且函數(shù)單調(diào)遞增.又,∴函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn),即函數(shù)的極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi).故選A.本題考查函數(shù)零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用,解答本題時(shí)要弄清函數(shù)的極值點(diǎn)即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),同時(shí)還應(yīng)注意只有在導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值變號(hào)時(shí),該零點(diǎn)才為極值點(diǎn),否則導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)就不是極值點(diǎn).4、D【解析】
根據(jù)充分、必要條件的定義,可知當(dāng)時(shí),恒成立,解一元二次不等式即可?!驹斀狻恳李}意可知,當(dāng)時(shí),恒成立,所以,解得,故選D。本題主要考查充分、必要條件定義的應(yīng)用以及恒成立問(wèn)題的解法。5、D【解析】
先求可積區(qū)間,再根據(jù)定積分求面積.【詳解】由,得交點(diǎn)為,所以所求面積為,選D.本題考查定積分求封閉圖形面積,考查基本求解能力,屬基本題.6、C【解析】
先寫(xiě)出原命題的逆命題,否命題,再判斷真假即可,這里注意的取值,在判斷逆否命題的真假時(shí),根據(jù)原命題和它的逆否命題具有相同的真假性判斷原命題的真假即可.【詳解】解:逆命題:設(shè),若,則a>b,由可得,能得到a>b,所以該命題為真命題;否命題設(shè),若a≤b,則,由及a≤b可以得到,所以該命題為真命是題;因?yàn)樵}和它的逆否命題具有相同的真假性,所以只需判斷原命題的真假即可,當(dāng)時(shí),,所以由a>b得到,所以原命題為假命題,即它的逆否命題為假命題;故為真命題的有2個(gè).故選C.本題主要考查四種命題真假性的判斷問(wèn)題,由題意寫(xiě)出原命題的逆命題,否命題并判斷命題的真假是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】
模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,判斷循環(huán)條件.【詳解】程序運(yùn)行中,變量值變化如下:,判斷循環(huán)條件,滿足,,判斷循環(huán)條件,滿足,……,,判斷循環(huán)條件,滿足,,,判斷循環(huán)條件,這里應(yīng)不滿足,輸出.故條件為.判斷框中填入,故選:B.本題考查程序框圖,解題時(shí)可模擬程序運(yùn)行,根據(jù)輸出結(jié)論確定循環(huán)條件.8、D【解析】分析:先確定n值,再根據(jù)賦值法求所有項(xiàng)的系數(shù)和.詳解:因?yàn)檎归_(kāi)式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,所以n=6.令x=1,則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是,選D.點(diǎn)睛:二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法①如果是偶數(shù),則中間一項(xiàng)(第項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大;②如果是奇數(shù),則中間兩項(xiàng)第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.9、C【解析】
先假設(shè)函數(shù)不存在增區(qū)間,則單調(diào)遞減,利用的導(dǎo)數(shù)恒小于零列不等式,將不等式分離常數(shù)后,利用配方法求得常數(shù)的取值范圍,再取這個(gè)取值范圍的補(bǔ)集,求得題目所求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】若函數(shù)不存在增區(qū)間,則函數(shù)單調(diào)遞減,此時(shí)在區(qū)間恒成立,可得,則,可得,故函數(shù)存在增區(qū)間時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選C.本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查不等式恒成立問(wèn)題的求解策略,屬于中檔題.10、B【解析】
求得圓心角的弧度數(shù),用求得扇形半徑.【詳解】依題意為,所以.故選B.本小題主要考查角度制和弧度制轉(zhuǎn)化,考查扇形的弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)選項(xiàng)分別寫(xiě)出兩個(gè)雙曲線的幾何性質(zhì),比較后得到答案.【詳解】的頂點(diǎn)是,焦點(diǎn)是,漸近線方程是,離心率是;的頂點(diǎn)是,焦點(diǎn)是,漸近線方程是,離心率,比較后可知只有漸近線方程一樣.故選C.本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),屬于簡(jiǎn)單題型.12、D【解析】
先求出函數(shù)的定義域,然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論求解即可.【詳解】由可得或,∴函數(shù)的定義域?yàn)椋O(shè),則在上單調(diào)遞減,又函數(shù)為減函數(shù),∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選D.(1)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性滿足“同增異減”的結(jié)論,即對(duì)于函數(shù)來(lái)講,它的單調(diào)性依賴于函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性,當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí),則函數(shù)為增函數(shù);否則函數(shù)為減函數(shù).(2)解答本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是忽視函數(shù)的定義域,誤認(rèn)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、6【解析】
設(shè)水面的高度為,根據(jù)圓錐體的體積等于全部玻璃的體積加上水的體積列方程求解即可.【詳解】解:設(shè)在向容器倒?jié)M水后,再把玻璃球全部拿出來(lái),則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為,則,解得.故答案為:6.本題考查圓錐體積和球的體積的運(yùn)算,關(guān)鍵要找到體積之間的關(guān)系,是基礎(chǔ)題.14、【解析】
由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】解:由,滿足不等式作出可行域如圖,
令,目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)取的最小值,
聯(lián)立,解得時(shí)得最小值,.
目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)時(shí)取的最大值,
聯(lián)立,解得,此時(shí)取得最大值,.
所以,z=2x+y的取值范圍是.
故答案為:本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是基礎(chǔ)題.15、660【解析】
第一類,先選女男,有種,這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種,故有種;第二類,先選女男,有種,這人選人作為隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)有種,故有種,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理共有種,故答案為.16、60°【解析】
由正方體的性質(zhì)可以知道:DC1//AB1,根據(jù)異面直線所成角的定義,可以知道∠B1AD1【詳解】如圖所示:連接AB1,因?yàn)镈C1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案為60°本題考查了異面直線所成的角,掌握正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)條件列方程組,根據(jù)首項(xiàng)和公差求通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列是等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的前項(xiàng)求和公式求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差,解得:;(2),,是公比為8,首項(xiàng)為的等比數(shù)列,.本題考查等差和等比數(shù)列的基本量的求解,屬于基礎(chǔ)題型,只需熟記公式.18、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè),由,得,且,得,,,∴橢圓的方程為;(2)由題意,得,∴橢圓的方程,則,,,設(shè),由題意知,則直線的斜率,直線的方程為,當(dāng)時(shí),,即點(diǎn),直線的斜率為,∵以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),∴,∴,化簡(jiǎn)得,又∵為橢圓上一點(diǎn),且在第一象限內(nèi),∴,,,由①②,解得,,∴,即點(diǎn)在直線上.19、(Ⅰ)曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為:,直線的參數(shù)方程化為普通方程為:(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)曲線的極坐標(biāo)方程,然后兩邊乘以轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.利用加減消元法消掉參數(shù),求得直線的普通方程.(Ⅱ)寫(xiě)出直線標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程,代入曲線的直角坐標(biāo)方程,化簡(jiǎn)后根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,求得的值.【詳解】解:(Ⅰ)曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為:,即;直線的參數(shù)方程化為普通方程為:.(Ⅱ)直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為,①將①式代入,得:,②由題意得方程②有兩個(gè)不同的根,設(shè)是方程②的兩個(gè)根,由直線參數(shù)方程的幾何意義知:.本小題主要考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程,考查參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程,考查直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的求法,考查直線參數(shù)方程的幾何意義,屬于中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)由于是奇函數(shù),,因此要證明的不等式可變形為要證明,因此只要說(shuō)明與異號(hào),即與的大小和與的大小關(guān)系正好相反即可,這由減函數(shù)的定義可得,證明時(shí)可分和分別證明即可;(2)這個(gè)函數(shù)不等式由奇函數(shù)的性質(zhì)可化為,然后由單調(diào)性可去“”,并注意將和限制在定義域內(nèi),可得出關(guān)于的不等式組,就可解得范圍.【詳解】(1)∵定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴為奇函數(shù).若,則,∴,∴,∴成立.若,則,∴.∴,∴成立.綜上,對(duì)任意,當(dāng)時(shí),有恒成立.(2),得,解得,故所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義以及單調(diào)性與奇偶性解不不等式,解題的關(guān)鍵就是利用奇偶性將不等式進(jìn)行變形,結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化,同時(shí)要注意自變量要限制在定義域內(nèi),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.21、(1)n=(0,1,2)(2)直線AG與平面EFG所成角θ=arcsin(3)6【解析】
(1)建立空間直角坐標(biāo)系,求出EF=(3,2,-1),EG=(-2,4,-2),設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y,z),由n?EF(2)求出AG=(-8,2,2),由sinθ=|cos<AG,n(3)求出EA=(6,2,-4),由點(diǎn)A到平面EFG的距離d=【詳解】(1)∵在正四棱錐P-BCD中,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32,高OP=6E是側(cè)棱PD上的點(diǎn)且PE=13PD,F(xiàn)是側(cè)棱PAG是△PBC的重心.如圖建立空間直角坐標(biāo)系.∴D(0,-6,0),P(0,0,6),E(0,-2,4),A(6,0,0),B(0,6,0),C(-6,0,0),G(-2,2,2),EF=(3,2,-1),EG=(-2,4,設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量n=(x,y,z)則n?EF=3x+2y-z=0平面EFG的一個(gè)法向量n=(0,1,2)(2)AG=(-8,2,則sinθ=|∴直線AG與平面EFG所成角θ=arcsin(3)EA=(6,2,∴點(diǎn)A到平面EFG的距離d=|本題主要考查了平面的法向量
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