組合問題試題及答案

組合問題試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.從5個元素中選2個的組合數(shù)是（）A.10B.8C.6D.42.7個不同元素選3個的組合數(shù)為（）A.21B.35C.42D.563.組合數(shù)\(C_{4}^2\)的值是（）A.6B.8C.4D.104.從8個元素里選4個的組合數(shù)是（）A.70B.60C.50D.405.若\(C_{n}^3=10\)，則\(n\)的值為（）A.5B.6C.7D.86.組合數(shù)\(C_{6}^3\)與\(C_{6}^4\)的關系是（）A.\(C_{6}^3>C_{6}^4\)B.\(C_{6}^3<C_{6}^4\)C.\(C_{6}^3=C_{6}^4\)D.無法確定7.從9個元素中選取5個的組合數(shù)是（）A.126B.162C.180D.2008.已知\(C_{n}^2=28\)，則\(n\)是（）A.7B.8C.9D.109.從10個元素選3個的組合數(shù)為（）A.120B.140C.160D.18010.組合數(shù)\(C_{5}^1\)的值是（）A.5B.10C.15D.20答案：1.A2.B3.A4.A5.A6.C7.A8.B9.A10.A多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列組合數(shù)中等于\(C_{5}^2\)的有（）A.\(C_{5}^3\)B.\(C_{6}^2-C_{5}^1\)C.\(C_{4}^2+C_{4}^1\)D.\(C_{7}^2-C_{6}^2\)2.以下說法正確的是（）A.\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)B.\(C_{n}^m+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^m\)C.\(C_{n}^0=1\)D.\(C_{n}^n=1\)3.從6個元素中選組合，以下組合數(shù)正確的有（）A.\(C_{6}^2=15\)B.\(C_{6}^3=20\)C.\(C_{6}^4=15\)D.\(C_{6}^5=6\)4.關于組合數(shù)性質，正確的有（）A.\(C_{n}^m\)隨\(m\)增大先增大后減小B.\(C_{n}^m\)當\(m=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)或\(m=\lceil\frac{n}{2}\rceil\)時取得最大值C.\(C_{n}^m\)與排列數(shù)\(A_{n}^m\)有關系\(A_{n}^m=m!C_{n}^m\)D.\(C_{n}^m\)中\(zhòng)(n\geqm\)且\(n,m\)為非負整數(shù)5.若\(C_{n}^m=C_{n}^k\)，則（）A.\(m=k\)B.\(m+k=n\)C.\(m=k\)或\(m+k=n\)D.\(m\)與\(k\)無確定關系6.計算組合數(shù)可能用到的公式有（）A.\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)B.\(C_{n}^m=\frac{A_{n}^m}{m!}\)C.\(C_{n}^m+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^m\)D.\(C_{n}^0=1\)7.從7個元素中選取若干個元素的組合情況有（）A.選0個元素有\(zhòng)(C_{7}^0=1\)種B.選1個元素有\(zhòng)(C_{7}^1=7\)種C.選2個元素有\(zhòng)(C_{7}^2=21\)種D.選7個元素有\(zhòng)(C_{7}^7=1\)種8.以下組合數(shù)計算正確的是（）A.\(C_{4}^1=4\)B.\(C_{4}^2=6\)C.\(C_{4}^3=4\)D.\(C_{4}^4=1\)9.組合數(shù)\(C_{8}^3\)與以下哪些相等（）A.\(C_{8}^5\)B.\(\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}\)C.\(C_{9}^3-C_{8}^2\)D.\(C_{7}^3+C_{7}^2\)10.關于組合數(shù)\(C_{n}^m\)，其中\(zhòng)(n=10\)，\(m\)取哪些值時\(C_{10}^m\)較大（）A.\(m=4\)B.\(m=5\)C.\(m=6\)D.\(m=7\)答案：1.ABC2.ABCD3.ABCD4.ABCD5.C6.ABCD7.ABCD8.ABCD9.ABCD10.ABC判斷題（每題2分，共10題）1.\(C_{n}^m\)中\(zhòng)(n\)必須大于\(m\)。（）2.\(C_{6}^2=C_{6}^4\)。（）3.\(C_{n}^m+C_{n}^{m+1}=C_{n+1}^{m+1}\)。（）4.從5個元素選0個元素的組合數(shù)是0。（）5.組合數(shù)\(C_{7}^3\)表示從7個元素中選3個元素的排列情況數(shù)。（）6.\(C_{n}^m\)是一個整數(shù)。（）7.若\(C_{n}^m=C_{n}^k\)，則\(m\)一定等于\(k\)。（）8.計算\(C_{9}^4\)可以用\(\frac{9!}{4!(9-4)!}\)。（）9.組合數(shù)\(C_{5}^3\)大于\(C_{5}^2\)。（）10.\(C_{10}^0+C_{10}^1+C_{10}^2+\cdots+C_{10}^{10}=2^{10}\)。（）答案：1.×2.√3.√4.×5.×6.√7.×8.√9.×10.√簡答題（每題5分，共4題）1.簡述組合數(shù)\(C_{n}^m\)的計算公式。答案：組合數(shù)\(C_{n}^m\)的計算公式為\(C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)，也可由\(C_{n}^m=\frac{A_{n}^m}{m!}\)得出，其中\(zhòng)(n!=n\times(n-1)\times\cdots\times1\)，\(0!=1\)。2.舉例說明組合數(shù)性質\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)。答案：比如\(C_{5}^2\)，\(C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10\)，\(C_{5}^{5-2}=C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5-3)!}=10\)，即\(C_{5}^2=C_{5}^3\)，體現(xiàn)了該性質。3.計算\(C_{6}^3\)并寫出過程。答案：根據(jù)公式\(C_{6}^3=\frac{6!}{3!(6-3)!}=\frac{6\times5\times4\times3!}{3!\times3!}=\frac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20\)。4.說明組合與排列的區(qū)別。答案：組合只關注選取元素的組合情況，不考慮元素順序；而排列不僅要選取元素，還需考慮元素的排列順序。例如從\(a\)、\(b\)、\(c\)中選兩個元素，組合有\(zhòng)(ab\)、\(ac\)、\(bc\)；排列有\(zhòng)(ab\)、\(ba\)、\(ac\)、\(ca\)、\(bc\)、\(cb\)。討論題（每題5分，共4題）1.在實際生活中，哪些場景會用到組合數(shù)的知識？答案：如抽獎活動確定中獎組合、從多個員工中選部分組成項目小組、從多種菜品中選幾種搭配套餐等場景，都要用到組合數(shù)知識來計算不同的組合情況數(shù)。2.探討組合數(shù)性質在簡化計算中的作用。答案：組合數(shù)性質如\(C_{n}^m=C_{n}^{n-m}\)、\(C_{n}^m+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^m\)等，可減少計算量。比如計算\(C_{8}^6\)，利用\(C_{8}^6=C_{8}^2\)，計算更簡便，提高計算效率與準確性。3.組合數(shù)與二項式定理有什么聯(lián)系？答案：二項式\((a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^ka