2025年中考數(shù)學(xué)押題：幾何圖形選填壓軸題（解析版）

幾何圖形選填崖軸題

目錄

解密中考..................................................................................1

題型特訓(xùn)提分..............................................................................2

【題型一】平行線中求角的度數(shù)............................................................2

【題型二】三角形中求線段戢角............................................................5

【題型三】多邊附中求線段或角...........................................................10

【題型四】四邊形中求線段或.角...........................................................13

【慝型五】國中求線盤或角...............................................................19

【題型六】國中求扇財或不規(guī)則圖移的面積................................................23

【題型七】圖形平移中求線段我角.........................................................27

【慝型八】圖形於橋中求線盤或角.........................................................32

誤區(qū)點找.................................................................................36

易售點一:舒展三角形多解題漏解........................................................36

易臂點二:直角三角形多解題漏解........................................................43

解密中考

考情分析:幾何圖形選填壓軸題含特殊三角形、特殊平行四邊形、圓等綜合問題是全國中考的熱點內(nèi)容，更是

全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看，以等腰三角形、直角三角形等為基礎(chǔ)的多解題,特殊四邊形與圓為載體的幾何求解問題是

高頻考點、必考點，所以必須提高對幾何圖形性質(zhì)的理解和掌握。

2.從題型角度看，以選擇題、填空題最后一題為主，分值3分左右，著實不少！

備考策略:幾何圖形選填壓軸題備考需聚焦高頻考點，如動態(tài)最值、多結(jié)論推理、幾何變換綜合。首先夯實基

礎(chǔ),熟背全等/相似判定、解直角三角形、圓的性質(zhì)等核心定理，歸納手拉手、將軍飲馬等經(jīng)典模型。訓(xùn)練時注重

特殊值法、極限位置法快速排除選項，結(jié)合尺規(guī)作圖輔助分析,錯題按“條件-突破口-易錯點”分類整理?？记?/p>

限時刷題保持題感，重點突破圖形折疊、動點軌跡等復(fù)雜情境，提升數(shù)形結(jié)合與逆向推導(dǎo)能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】平行線中求角的度數(shù)

1.（2025?全國?二模）如圖是一款手機支架，若張角/BCD=70°,支撐桿CB與桌面夾角NB=65°,那么此

時面板CD與水平方向夾角N1的度數(shù)為（）.

C.65°D.70°

【答案】A

【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題成為解題的

關(guān)鍵.由題意可得：DE///DEC=/B=65°;然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解答.

【詳解】解:如圖，過點D作DE〃AB,

NDEC=/B=65°,

?//BCD=70°,

：.Z1=180°"BCD—ZCED=45°.

故選：A.

平行線中求角的度數(shù)，先辨角的位置關(guān)系（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角），直接用定理轉(zhuǎn)化。遇拐點

型等）過點作平行線，分解圖形為基本模型。結(jié)合對頂角、鄰補角及三角形外角性質(zhì)，標

注已知角逐步推導(dǎo)，復(fù)雜圖形可拆分或延長線段顯化關(guān)系，注意隱含平行條件（如矩形對邊、三角板

直角邊）。

2.（2025?上海閔行?模擬預(yù)測）如圖，已知AB〃CD,EF交CD于點及NA=30°,/LEF=50°,那么ZF=

【答案】20

【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形的外角的定義及性質(zhì)

0

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

由平行線的性質(zhì)推出/BMF=/DEF=50°,由三角形的外角性質(zhì)即可求出NF的度數(shù).

【詳解】解：???AB〃CD,

NBMF=NDEF=50°,

：./F=ZBMF-ZA=50°-30°=20°.

故答案為：20

3.（2025?山西忻州?模擬預(yù)測）圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其幾何示意圖，其中

AB,CD都與地面Z平行，ZBCE>=60°,434。=55°,若力M7/8。,則NM4c等于（）

A.90°B.65°C.60°D.75°

【答案】B

【知識點】平行公理推論的應(yīng)用、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)

【分析】本題考查了平行公理推論、平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.先根據(jù)平行公理推論

可得AB//CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AACD=125°，從而可得AACB=65°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解

即可得.

【詳解】解：GD都與地面，平行，

：.AB//CD,

：./BAG+乙4c0=180°,

/BAG=55°,

ZACD=180°-55°=125°,

?//BCD=60°,

AACB=NACD-ZBGD=65°,

AMUBC,

：.乙肱4。=乙4cB=65°,

故選：B.

4.（2025?山西?一模）如圖，一條光線AB經(jīng)平面鏡的反射光線BC經(jīng)凹透鏡折射后，其折射光線CD的反向

延長線過凹透鏡的一個焦點網(wǎng).已知光線AB的入射角為45°,反射光線8C與折射光線CD的夾角

NBCD=155°,則光線CD與光線48所夾的銳角為（）

I)

【答案】A

【知識點】利用鄰補角互補求角度、三角形的外角的定義及性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

【分析】本題主要考查了物理知識、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、鄰補角的性質(zhì)等知識點，掌握三角

形的相關(guān)性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵.

如圖：延長相交于點E,由題意可得：4耳8。=乙4_571=/283=/￡83=45°,由鄰補角的定義可

得NBCE=25°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得ABGE=70°,再最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得NBEG即

可.

【詳解】解:如圖：延長相交于點E,

由題意可得：NHBC=NABH=2CBG=NEBG=45°,

?：/BCD=155°,

ABCE=180°-/BCD=25°,

ABGE=NBCE+ZCBG=70°,

?/ABGE+AEBG+4EBG=180°,

/BEG=180°-ABGE-2EBG=65°.

故選4

5.（2025?山東青島?模擬預(yù)測）2023年5月底，由中國商飛公司制造的C919圓滿完成商業(yè)首飛，對中國涉足

國際航空領(lǐng)域大國政治具有象征意義.如圖是C919機翼設(shè)計圖，已知乙BCD=153°,DE；與

水平線的夾角為17°,則ACDE等于.

【答案】46°

【知識點】平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用、根據(jù)平行線判定與性質(zhì)求角度

【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用，作DF〃人B,CG〃人B,則。尸〃CG〃4B,根據(jù)平行線得

到乙4BC=/BCG=90°,/DCG=/FDC=63°,最后根據(jù)/CDE=/EDC—/FDE代入計算即可.

【詳解】解:如圖，作。?〃AB,CG〃AB,點G在點。右邊，點。在點F右邊，

?：BC±AB,

：./AB。=90°,

?：CG//AB,

A/AB。=/BCG=90°,

/BCD=153°,

AADCG=NBCD-ABCG=153°-90°=63°,

?：DF//CG,

：.NDCG=2FDC=6考,

?.?DE與水平線的夾角為17°,

ZFDE=17°,

：.NCDE=AFDC-AFDE=63°-17°=46°,

故答案為：46°.

【題型二】三角形中求線段或角

6.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在△48。中，點。，E分別是邊的中點，連接AD,0E.若4ABC

的面積是8,則△BDE的面積是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【知識點】根據(jù)三角形中線求面積

【分析】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形的中線

與面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?點D是邊BC的中點，△ABC的面積等于8,

S&ABD=—SAABC=4,

???E是AB的中點，

故選：A.

口圓巧

三角形中求線段和角，先判三角形類型（等腰、直角等），用對應(yīng)性質(zhì)（等邊對等角、勾股定理）。線段

常借全等/相似轉(zhuǎn)化，遇中點連中線、倍長法,截長補短處理和差;角度用內(nèi)角和、外角定理,結(jié)合角

平分線、三角函數(shù)（正弦/余弦定理），復(fù)雜時作高或輔助線構(gòu)造基本圖形推導(dǎo)。

7.（2025?廣東東莞?模擬預(yù)測）如圖，在△4BC中，=4D是NR4C的平分線.若AB=10,AD=

6,則的長為.

【答案】16

【知識點】三線合一、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)等腰三角

形的性質(zhì)得到AD_LBC,=CD,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：?.?AB=4C,AO是/BAC的平分線，

:.AD_LBC,BD=CD,

：AB=10,人。=6,

BD=y/ABi-AD-=8,

/.BC=2BD=16,

故答案為：16.

8.（2025?河南關(guān)B州?模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，乙4cB=90°,設(shè)="且①+'是定值，點。

是4。上一點，點E為中點,連接CE,將線段CE沿繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段EF交AC于點

G,若點A關(guān)于直線0E的對稱點恰為點尸，則下列線段長為定值的是（）

A.ADB.CDC.CGD.DE

【答案】B

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、相似三角形的判定與

性質(zhì)綜合

【分析】連接ED,DF,AF,在4。上取點H,使CH=BC,連接BH，過點E作EK_L4。于點K,根據(jù)直角三

角形的性質(zhì)得出AE=CE=BE,設(shè)乙BAC=a，則乙陽。=2/BAC=2%求出AEAF=y（180°-ZABF）

=45°+a,得出ADFA=ADAF=45°+a—a=45°,求出AADF=180°-45°-45°=90°,得出4EDC=135°

一90。=45。，求出S=BC,/HCB=90°,得出BH=J1BC=為，/出AH=AC-BC=t—y,AD=DK

x+y

二卷入仁得二即二得用二乎/從而求出CD=AC-AD=x-^^-CG=CD-DG=

NZZ/Z2

x+y22

y(^~y)=x+y即可得出答案.

22x2x

【詳解】解:連接即，DF,AF,在力。上取點H,使CH=BC=y,連接過點E作EKLAC于點K,如圖

所示:

?.?在4ABC中,乙4cB=90°,點E為4B中點，

：.AE=CE=BE,

：.ABAC=NACE,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知：EF=CE,NFEC=90°,

/./\AEF和△CEB為等腰三角形，ZAEF+ACEB=180°-90°=90°,

設(shè)/A4C=a,則ABEC=2ABAC=2a,

乙4EF=90°—2a,

/.NEAF=y(180o-ZA￡；F)=45°+a,

根據(jù)軸對稱可知：AD=OF,NADE=AFDE,

：.ADFA=ADAF=45°+a—a=45°,

NADF=180°-45°-45°=90°,

：.DF±AC,

/ADE+AADF+AFDE=360°,

NADE=2FDE=135°,

/血。=135°—90°=45°,

,:CH=BC,ZHCS=90°,

/BHC=45°,BH^V2BC^V2y,

AH—AC—CH—x—y,

???4EDK=ABHC,

：.ED//BH,

.AP=鉆=i

：.AD=DK=^-AH=^^-,

22

/.DE為△ABK的中位線,

:.ED=^BH=^y,

.?.DE、AD均不是定值，

.?.CD為定值，

?：EK±AC,FD±AC,

：.EK//DF,

???/FDK=/BCA=90°,

：.DF//BC,

：.DF//EK//BCf

.AK=AE=1

???EK為△ABC的中位線，

???EK=^BC=j-yfAK=j-AC=j-xf

DK=AK-AD=-j-x-=y?/,

?：EK//DF,

MDFG?/\KEG,

Ly

.DG_DF「2=x-y

GK一醞—工，—y

2yy

DG=x-y

iy-DGy

nG-y)

：.DG=

2x

:.CG=CD-DG=^^-y(x-y')_x-+y2

2x2x

.?.CG不是定值，

綜上分析可知，CD為定值,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角形中位

線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握相關(guān)的判定

和性質(zhì).

9.（2025?遼寧?一模）如圖，在△ABC中，AC=BC,以點C為圓心，適當長為半徑作弧，分別交47、8C于

點、E,再分別以點E,斤為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點G,作射線CG交48于點

過點。作DH//BC交AC于點H.若CH=a，則BC=（用含a的代數(shù)式表示）.

【答案】2a

【知識點】作角平分線（尺規(guī)作圖）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】由作法得CD平分乙4CB,證明DH=CH=a,AH=DH=a,再證明△ADH■?△ABC,再利用相似三,

角形的性質(zhì)可得答案.:

【詳解】解：由作法得CD平分乙4cB,；

:"ACD=/BCD,\

........……____—_4

?：DH//BC,

??.AHDC=/BCD,/ADH=AABC,

：.4ACD=/HDC,

:.DH—CH—a,

???AC=BC,

：.乙4=/ABC,

??.ZA=ZADH9

:.AH—DH—a,

?：DH//BC,

???AADH?AABC,

.AH=DH

"AC-BC?

.DH=AH=a=1

"BC-AC-2^-T，

??.BC=2a.

故答案為：2Q.

【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，證明

Q是解本題的關(guān)鍵.

10.（2025?陜西西安?一模）如圖，在四邊形ABCD中，連接BO,NADB=NCBZ?=90°,NBDC=2NABD.

已知E是BC邊上的一點，連接現(xiàn);，過點石作EFLCD于點尸，且BE=EF.若80=3,CD=5,則

的長為.

【答案】竽

【知識點】內(nèi)錯角相等兩直線平行、角平分線的判定定理、用勾股定理解三角形、利用平行四邊形的判定與性質(zhì)

求解

【分析】結(jié)合題意,再根據(jù)角平分線的判定可得DE平分4BDC,利用平行線的判定，可推出四邊形ABED是

平行四邊形，即AB=DE,根據(jù)勾股定理可得BC=^/CD2-BD2=V52-32=4,設(shè)BE=EF=’,再利用

SGBC=B*D=迎產(chǎn)+CD-EF,代入數(shù)值解方程可得BE=EF=今,再利用勾股定理可得AB=

DE=^~.

【詳解】解：???/CBD=90°,EF_LCD,BE=EF,

:.DE平分2BDC,

：.ZBDE=2EDC,

?：ZBDC=24ABD,

：.NABD=ABDE,

：.AB//DE,

ZADB=ZCBD,

：.AD//BE,

四邊形ABED是平行四邊形，

/.AB=DE,

?:BD=3,CD=5,/CBD=90°,

ABC=^CD2-BD2=V52-32=4,

設(shè)BE=EF=5

..a_BCBD_BE-BD,CD-EF

'~2―2H2，

-4xl3^5^

"2=2+2，

解得工=年，

：.BE=EF=^,

：.DE=y/BD2+BE2=砂+^j=,

：.AB=DE=^~,

故答案為：呼.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，平行線的判定，勾股定理，角平分線的判定，熟練掌握以上

知識是解題的關(guān)鍵.

【題型三】多邊形中求線段或角

11.（2025?河南駐馬店?一模）如圖，直線?！ǎ?，正五邊形ABCDE的邊AB在直線上,頂點。在直線h上,

過點。作正五邊形的對稱軸分別交于點G,H,尸，則NOGF的度數(shù)為（）

A.18°B.30°C.36°D.42°

【答案】A

【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形的外角的定義及性質(zhì)、正多邊形的內(nèi)角問題

【分析】本題考查了正五邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角定理，掌握正多邊形的內(nèi)角問題是解題的關(guān)

鍵.

過點。作DQ，AB于點Q,先求出正五邊形的內(nèi)角NEDC=ADCB=108°,再根據(jù)其軸對稱性求出Z1,

/2,再由三角形的外角性質(zhì)即可解決.

【詳解】解:過點。作。Q，AB于點、Q,

_____________________________

?/NEDC=4DCB=21180=10go

5

,/IJ/l2,DQ±AB,

：.DQJ_Zi,

?.?正五邊形是軸對稱圖形，

/I/DC?=54°,ACDQ=^EDQ=yAEDC=54°,

Z2=90°-ZCDQ=36°,

ZnGF=Zl-Z2=18°,

故選：A.

本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點的求解，以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)

用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.（2025?上海楊浦?一模）如圖，已知正五邊形ABODE的邊長是4,聯(lián)結(jié)AC.BD交于點F,那么CF的長是

【答案】-2/-2+2

【知識點】等腰三角形的性質(zhì)和判定、正多邊形的內(nèi)角問題、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了正多邊形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等，先求出

ACBD=ACDB=ZACB=36°，則可求出=CF,2DFC=2DCF，則。F=。。=4,設(shè)BF=CF='，則

BD=①+4,證明△FBC?△CBD，利用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可.

【詳解】解：；五邊形ABCDE是正五邊形，

:.BC=CD=4,/BCD=I8。*（5-2）=儂。，

5

=o,

ACBD=ZCDB=180。-jBCD3g

同理可得乙408=36°,

NFBC=ZFCB=ACDB=36°,

ADCF=ZBGD-ABCA=72°,ADFC=AFBC+ZFCB=72°,BF=CF,

ZDFC=ZDCF,

:.DF=DC=4,

設(shè)BF=CF=c，則BD=2+4,

?/ZFBC=AFCB=ACDB=36°,

/XFBC?/\CBD,

.BDCD0nx+44

??而=—=7

解得a;=2A/5—2或2=-2V5-2（舍去），

CF=2V5-2,

故答案為：2函一2.

13.（2025?安徽蚌埠?一模）如圖,將正五邊形沿BF折疊，若21=18°,則N2的度數(shù)為（）

【答案】。

【知識點】正多邊形的內(nèi)角問題、折疊問題

【分析】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和以及折疊的性質(zhì)，根據(jù)多邊形內(nèi)角和可得/C=/。=NABC=108°,根

據(jù)折疊的性質(zhì)得出/CBF=45°,進而根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°,即可求解.

【詳解】解：五邊形ABCDE是正五邊形，

ZC=ZD=ZABC=（J*18。=108"

5

由折疊的性質(zhì)得，ZCBF=ZCfBF

VZ1=18°,

/.4CBF=/C'BF=］（108°—18°）=45°

在四邊形BCDF中，

Z2=360°-ACBF-/C—=360°-45°-108°-108°=99°

故選：D.

14.（2025?福建漳州?模擬預(yù)測）中國古建筑中的字臺樓閣很多都采用八邊形結(jié)構(gòu).如圖1是漳州市威鎮(zhèn)閣,

其外層屋檐的平面示意圖可抽象成正八邊形，如圖2所示，則這個正八邊形的一個外角的度數(shù)為

圖】圖2

【答案】45

【知識點】正多邊形的外角問題

【分析】本題考查多邊形的外角和.熟練掌握多邊形的外角和為360°,是解題的關(guān)鍵.根據(jù)多邊形的外角和進

行計算即可.

【詳解】解:正八邊形的一個外角的度數(shù)為360°+8=45°,

故答案為：45.■

15.（2025?陜西咸陽?一模）如圖是由正方形尸和正五邊形4BCDE疊放在一起形成的圖形，點G是邊［

CD的中點，則ZAOF的度數(shù)為.

……____……—/

【答案】36°/36度

【知識點】正多邊形的內(nèi)角問題、直角三角形的兩個銳角互余

【分析】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和可得=

108°,結(jié)合直線AG為正五邊形的對稱軸，可得NEAG=/A4G=1x108°=54°,進一步結(jié)合正方形的性質(zhì)

可得答案.

【詳解】解：：正五邊形ABCDE,點、G是邊CD的中點，

/EAB=（5-2］義180=log。,直線AG為正五邊形的對稱軸,

5

NEAG=NBAG=x108°=54°,

,:正方形OFBP,

：.ZAPO=/1OPB=90°,

：.乙4OP=90°—54°=36°;

故答案為：36°

【題型四】四邊形中求線段或角

16.（2025?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測）如圖，LJABCD中，以點口為圓心,適當長為半徑作弧,分別交BA,BC

于點E,尸，分別以點E和點尸為圓心，大于皆即的長為半徑作弧,兩弧在AABC內(nèi)交于點O,作射線

交AD于點G,交CD的延長線于點若48=3〃=3,3。=5,日2的長為（）

【答案】B

【知識點】作角平分線（尺規(guī)作圖）、等腰三角形的性質(zhì)和判定、利用平行四邊形的性質(zhì)求解、相似三角形的判定

與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)，由角平分線的定義結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得4G=4B=3,DG=AD-AG=2,證明/XABG?

^DHG,由相似三角形的性質(zhì)計算即可得解.

【詳解】解：由作圖可得：平分AABC,

???/ABH=/CBH,

???四邊形ABCD為平行四邊形，

??.AB//CD,AD//BC,AD=BC=5,

：.AAGB=ZHBC,

：.4ABH=AAGB,

：.AG=AB=3,DG=AD-AG=2f

???ABIICD,

???叢ABGsRDHG,

.AG_^BG_即3=BG

"DGGH923，

??.BG/

故選：B.

技I巧

四邊形中求線段和角，先判類型（平行四邊形、梯形等），用對應(yīng)性質(zhì)（對邊平行、對角線平分等）。線

段常連對角線分三角形,借全等/相似、勾股定理轉(zhuǎn)化,梯形作高或平移腰;角度用內(nèi)角和360。,結(jié)

合平行線性質(zhì)、三角形外角定理，遇中點連中位線，復(fù)雜圖形補形或拆分基本模型推導(dǎo)。

17.（2025?河北石家莊?一模）如圖,在菱形4BCD中，對角線AC,AD相交于點0,47=6,AABC=120°.

點人與4關(guān)于過點O的直線I對稱，直線，與人。交于點P.當點4落在BD的延長線上時，AP的值

【答案】3g-3

【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、解直角三角形的相關(guān)計算

【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形，軸對稱的性質(zhì)，連接A4,過P作PEUAO于H,由菱形的性質(zhì)

推出4。_1打0,4。=9>1。，>1。平分ADAB,ADIIBC,得到NABC+ABAD=180°,求出NBAD=60°,

求出APAO=30°,40=3,由軸對稱的性質(zhì)推出直線Z垂直平分AA',得至IOA=OA,由等腰三角形的性質(zhì)

得到/AOP=45°,判定△POH是等腰直南三角形，得到PH=,設(shè)=力，由tanAPAH=第,求出

AH—，得到V3x+rc=3,求出x=――，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AH—2PH=3A/3

一3.

【詳解】解:連接44,過P作PHJ_49于

________0

???四邊形4BCD是菱形，

???ACrBD,AO=^-AC,AC平分/BAB,AD//BC,

：.AABCA-ABAD=180°,

???ZABC=120°,

???/歷10=60°,

??.N_B4O=/BAD=30°,

???AC=6,

:.AO—3,

??,點A與A關(guān)于直線/對稱，

???直線/垂直平分44、

：.OA=OA\

???直線Z平分乙4OD,

??.ZAOF=45°,

???AFOH是等腰直角三角形，

:?PH=OH,

設(shè)PH=%

ta.nZ.PAH—tan30°=勺=

fAH3

PH=A/3T,

T=3,

._3(V3-1)

"X~2，

/PAH=30°,AAHP=90°,

/.AP=2PH=2x=3V3-3.

故答案為：3，^-3.

18.（2025?廣東東莞?模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，AB=3,4,對角線與相交于點O,點H為射線延長線

上一點，連接C歸交人。于點E,若AH=1,則0H的長度為（）

口V26c2。

A—

20.,D呼

【答案】。

【知識點】用勾股定理解三角形、與三角形中位線有關(guān)的求解問題、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判

定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，取AD的中點F,連接

OF,則可得AFOE?AAHE，則可求得AE,再利用勾股定理，即可解答,作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解:如圖，取AD的中點F,連接OF,

，:四邊形4BCD是矩形，

DO=BO.NDAB=90°,

?.?點F是D4的中點，

.?.OF是△ZMB的中位線，

：.OF=^-AB=^,OF//BH,/OFE=90°,

：.ZFOE=ZH,ZOFA=ZEAH=90°,

.?.△FOE?△AHE,

.FEEO_FO_3

,,亞一施一商一E'

?/AF=^-AD=2,

■-AE=^,

5

根據(jù)勾股定理可得HE=-JAH-+AE1=坐匚，

5

.CF—何y3_3V41

?QE-丁義2-

：.OH=OE+EH=^^~,

.LU0Zi

故選：D.

19.（2025?北京海淀?模擬預(yù)測）如圖，正方形邊長為a,點后是正方形ABCD內(nèi)一點，滿足ZAEB=90°.連

接CE,則下面給出的四個結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號為（）

①AE+CE>Ma；②CEM在4a；③ABCE的度數(shù)最大值為60°；④當CE=a時，tanAABE=

1；

~2'

A.①②B.①④C.①②③D.①③④

【答案】B

……____——血

【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)正方形的性質(zhì)證明、解直角三角形的相關(guān)計算

【分析】本題主要考查了圓與正方形綜合、解直角三角形、勾股定理等知識點，根據(jù)題意得到點E的運動軌跡

是解題的關(guān)鍵.

如圖：連接AC交BD于取AB中點O,連接OC,先證明點E在以點。為圓心，AB為直徑的圓上運動，當

A.E,。三點共線，即點E運動到點H時AB+CE=47,當。、O、E三點共線時，CE有最小值，據(jù)此可判斷

①②;如圖：當CE與。O相切時/BCE有最大值,證明①△OBC空出△OEC,得到CE=BC=a,AOCE=

20cB,則tanZOCE=萼=4，再證明/ABE=ABCO=NOCE,得至Utan/ABE=tan/OCE=4，即

CE22

可判斷③④.

【詳解】解:如圖：連接AC交BD于取AB中點O,連接OC,

?.?四邊形ABCD是正方形，

4D

，一—7~一-------------71

~-

BC

：.ZAHB=90°;

?/AAEB=90°,

.?.點E在以點O為圓心，AB為直徑的圓上運動，

?/ZAHB=90°,

.?.點H在。。上，

?：AE+CE>AC=V2AB=V2a,

：.當A、E、。三點共線，即點E運動到點H時，AE+CE=AC,故①正確;

?.?點E在以點O為圓心，為直徑的圓上運動，

當C、O、E三點共線時，CE有最小值，

在Rt/\OBC中，由勾股定理得OC=VOB2+BC2=卓華

CE的最小值為^~a—~，a=辰?1a,故②錯誤;

如圖：當CE與<30相切時/BCE有最大值，

/D

“7'?------------------1

OB=OEQC=OC

???Rt/XOBC^Rt/\OEC(HL),

:,CE=BC=a,AOCE=AOCB

：.tanZOCE=,

.'.ZOCE^30°,

ZBCE#60°,

A/BCE的度數(shù)最大值不是60°,故③錯誤；

,:BC=EC,OB=OE,

：.OC垂直平分BE,

NABE+NBOC=NBOC+2BCO,

：.NABE=ZBCO=ZOCE,

tanAABE=tanZOCE=--,故④正確.

綜上，正確的有①④.

故選：B.

20.（2025?山西忻州?模擬預(yù)測）在矩形ABCD中，AB=3,4D=3四,對角線AC,交于點O,過點A作

AE±BO,垂足為E,N為AD中點,連接BN交AE于點P,則PE的長為.

【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相

關(guān)計算

【分析】如圖，延長AE交BC于點7/,先利用三角函數(shù)求得AABD=60°,得出AABO為等邊三角形，得出BE

=EO、DE=3BE，再證出4ADE?AHBE和AANP?AHBP，得出PH=4g，進而即可得解.

5

【詳解】如圖，延長AE交BC于點X,

在矩形ABCD中，

AB=3、AD=3存ABAD=90°,

ADL

：.tanAABD———二V3,

AB

：./ABD=60°,

?.?四邊形ABCD是矩形，

AC=BD,AO=^-AC.BO=^-BD,

:.AO—BO,

???△ABO為等邊三角形，:

?：AE±BO,；

:?BE=EO、DE=3BE,\

?：ADUBC,\

........……____——”

??.ZADE=4EBH,ZDAE=/BHE,

???4ADE?

???AD=3BH、AE=3EH,

???BH=?AH=4HE,

在Rt/\ABH中，由勾股定理可得AH=2V3,

???AD//BC,

???叢ANP?叢HBP,

???N為AD中點、,

：.AN=^~,

.=3

??麗一］，

:.PH=^AH=%I,

55

故答案為：筆

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練掌握

以上知識點并能正確添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

【題型五】畫中求線段或角

21.（2025?河北保定?一模）如圖，4B,。是圓O上的三點，已知/O4B=21°,那么/C的度數(shù)為（）

A.60'B.611C.681D.691

【答案】。

【知識點】等邊對等角、圓周角定理

【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理是解題關(guān)鍵.連接OB,先根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得ZO的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可得.

【詳解】解:如圖，連接OB,

?：OA^OB,=21°,

ZOBA=ZOAB=21°,

ZO=180°-AOBA-ZOAB=138°,

由圓周角定理得：/C=；/O=69°,

故選：D.

圓中求線段和角，緊扣圓的性質(zhì)：連半徑、作弦心距，構(gòu)造直角三角形（半徑、半弦、弦心距）,用垂徑

定理、勾股定理求線段;借圓周角定理（同弧/等弧、直徑對直角）、圓心角定理、弦切角定理轉(zhuǎn)化角

度，圓內(nèi)接四邊形對角互補。遇切線連切點與圓心，遇交點用相交弦/切割線定理,輔助線多圍繞

“弧-角—線段”對應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)。

22.（2025?天津?一模）如圖，04交（DO于點8,AC切。。于點C,。點在0O上，若=26°,則NA為

【答案】38°/38度

【知識點】圓周角定理、切線的性質(zhì)定理

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，利用圓周角定理求出AAOC=52°是解

題的關(guān)鍵.先由圓周角定理得到AAOC=52°,由切線的性質(zhì)得到NACO=90°,即可利用三角形內(nèi)角和定理

求出ZA的度數(shù).

【詳解】解：26°,

乙4OC=2/。=52°,

AC切（30于點。，

A/ACO=90°,

乙4=90°—乙40。=38°,

故答案為：38°.

23.（2025?湖南衡陽?模擬預(yù)測）如圖，在。。中，是切線，切點是直線CO交。。于點。，A,點E為

。。上的一點，連接班；，。石.若NC=24°,則NE的度數(shù)為（）

A.66°B.33°C.34°D.24°

【答案】B：

__血

【知識點】直角三角形的兩個銳角互余、圓周角定理、切線的性質(zhì)定理

【分析】考查切線的性質(zhì)、直角三角形銳角互余、圓周南定理及推論,如圖所示，連接OB,首先由切線得到

/OBC=90°,然后求出/BQD=90°-/。=66°,最后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】如圖所示，連接OB,

；BC是。。的切線，切點是B

.-.ZOBC=90°

在RtLOBC中，/C=24°

AZBOD=90°-ZC=66°

?.?圓周角/E與圓心角ABOD所對的弧是BD,

Z￡；=yZBOn=33°.

故選：B.

24.（2025?江蘇南京?二模）如圖，內(nèi)接于0O,AACB=90°，點。在前上，4E，CD于點E.若

Zl=30°,BB=6,則CE的長為

【知識點】含30度角的直角三角形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了圓周角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造相似.連接

AD,ZADB=90°,=利用同弧所對的圓周角相等，乙4BD=/ACE,可得三角形相似，再找

到對應(yīng)線段成比例即可求出.

【詳解】解：連接4D.

?/ZACB=90°,^Zl=30°,

?/乙4cB=90°,

.?.AB是圓的直徑,

ZADB=90°,

?：AE±CD,

：./AEG=90°,

NADB=NAEC,

NABD=ZACE,

：.△ADB?AAEC,

.DB_AB-

"ECAC'

■：BD=6,

：.CE=3.

故答案為：3.

25.（2025?吉林長春?一模）如圖，是。O的直徑，弦CD，于點G,點尸是CD上一點，且滿足CF-.

。尸=1：3,連接AF并延長交。O于點E,連接給出下列結(jié)論：

?AADC=AAED-,

@AD2=AE-AF；

③當@=靛時，cos/4ED=李；

④當人斤=3,。尸=2時，△OEF的面積是40.

上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②④

【知識點】利用垂徑定理求值、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角三角形的相關(guān)計算

??

【分析”艮據(jù)圓周角定理及垂徑定理推出AC=AD,