2025年中考數學考點過關練：分式方程

第6關分式方程

基礎練

考點1分式方程及其解法

“2024廣西賀州三模］下列式子中，是分式方程的是（）

A—=-B.—+—

233x-l3X+1

C.----------=17）,—+2=—

2.x—12x+143

2.［2024山東濟寧］解分式方程1-白=-2時，去分母變形正確的是（）

3%—12-bX

A.2-6x+2=-5B.6x-2-2=-5

C.2-6x-l=5D.6x-2+l=5

3.［2024黑龍江龍東地區(qū)］已知關于x的分式方程生-2=生無解，則k的值為（）

A.2或-1B.-2

C.2或1D.-1

4.［2024四J11遂寧］分式方程2=1-弋的解為正數，則m的取值范圍為（）

X—1x—±

A.m>-3B.m>-3且m^-2

C.m<3D.m<3且m#-2

5.［2024廣東廣州］解方程：義=三.

2%—5x

考點2分式方程的實際應用

6.［2024新疆］某校九年級學生去距學校20km的科技館研學，一部分學生乘甲車先出發(fā)，5min后其余學生再乘

乙車出發(fā)，結果同時到達.已知乙車的速度是甲車速度的1.2倍，設甲車的速度為xkm/h，根據題意可列方程為

)

.2020「

A.----------=5B,--—=5

1.2xxx1.2x

C20_20_1八20201

U.-------=一

'1.2xx12x1.2x12

7.［2024內蒙古呼倫貝爾］A,B兩種機器人都被用來搬運化工原料，A型機器人比B型機器人每小時多搬運3

0千克，A型機器人搬運900千克所用時間與B型機器人搬運600千克所用時間相等.A,B兩種機器人每小時分別

搬運多少千克化工原料?)

A.60,30B.90,120

C.60,90D.90,60

8.［2024山東威海］某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦時.后購進一批相同數量

的B型節(jié)能燈，一年用電9600千瓦時.一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈每年用電量的2倍少32

千瓦時.求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量.

9.[2024內蒙古赤峰]一段高速公路需要修復，現有甲、乙兩個工程隊參與施工，已知乙隊平均每天修復公路比

甲隊平均每天修復公路多3千米，且甲隊單獨修復60千米公路所需要的時間與乙隊單獨修復90千米公路所需要的

時間相等.

（1）求甲、乙兩隊平均每天修復公路分別是多少千米；

⑵為了保證交通安全，兩隊不能同時施工，要求甲隊的工作時間不少于乙隊工作時間的2倍，那么15天的工

期，兩隊最多能修復公路多少千米？

提升練

10.[2024山東煙臺二模]對于實數a、b,定義一種新運算“8，：a?b=2,等式右邊是實數運算.例如：1國3

a-b￡

=2=一點則方程x?-2）=2-1的解是（）

1—3Z8x—4

A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7

11.[2024河北邯鄲模擬]對于兩個不相等的實數a,b,我們規(guī)定符號max{a,b}表示a,b中較大的數，如:max{2,4}=4.

max{x,—x}=^X-^

按照這個規(guī)定，方程2的根為（）

X.l-V2B.2-&

C.1-a或1+&D.1+/或-1

12.[2024四川廣元]我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違

建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”.現需要購買A,B兩種綠植，已知A種綠植單價是B

種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株.設B種綠植單價是x元，則

可列方程是（）

.6750廠八3000n3000LC6750

A.--------50=——D.---------50=-------

3xx3xx

c6750,LC3000n3000,「八6750

6,--------1-50=------D.--------1-50=------

3xx3xx

13.［2024江蘇宜興一模］若關于x的分式方程弋+1=占有增根，則m的值為______.

x-11-x

14.［2024湖北武漢］分式方程2=*的解是_______

X—JX-1

15.［2024黑龍江牡丹江］若分式方程2=3-戶的解為正整數，則整數m的值為______

x—±±—x:

16.［2024上海楊浦三模］已知方程號-y=2,如果設y=&，那么原方程轉化為關于y的整式方程為一

4x-l.

17.［2024重慶A卷］若關于x的不等式組｛丁〈”十/至少有2個整數解，且關于y的分式方程

2(%+1)>slant—x+a

氏=2-卷的解為非負整數，則所有滿足條件的整數a的值之和為.

18.［2024陜西］解方程：福+三=1.

19J2024江西贛州校級模擬］小丁和小迪分別解方程當=1,過程如下：

X~ZZ.—X

小丁：

解：去分母，得：x-(x-3)=x-2,

去括號彳導x-x+3=x-2,

合并同類項，得3=x-2,

解得x=5,

原方程的解是x=5.

小迪：

解:去分法得x+(x-3)=l,

去括號彳導x+x-3=l,

合并同類項彳導2x-3=l,

解得x=2、

經檢驗、x=2是方程的增根，原方程無解、

你認為小丁和小迪的解法是否正確?若正確，請在框內打；若錯誤，請在框內打“x”，并寫出你的解答過程.

20.[2024浙江杭州二模]小華想復習分式方程，由于印刷問題，有一個數“?”看不清楚：卷+3=

x—22—x

(1)她把數“?”猜成5,請你幫小華解這個分式方程.

⑵小華的媽媽說：“我看到的標準答案是方程的增根是x=2,原分式方程無解.”請你求出原分式方程中“?”代表

的數是多少.

21.[2024安徽二模]觀察下列等式：

1_1_'

2X3--23'

1_111

3X4-34'

1_11.

4X5-45',…

⑴由此可推斷：-^―=_

n(n+l)

(2)根據上述規(guī)律，解方程：

1,11

----.

x(x+l)--(x+l)(x+2)-----x+2

22.[2024湖南常德校級模擬]某地響應“綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經濟轉型”發(fā)展理念，開展“美

化綠色城市”活動.某工程隊承接了60萬平方米的荒山綠化工程，由于情況有變，.……設原計劃每天綠化的面積為x

萬平方米，可列方程為弓-君加=8.

(1)根據方程題干中省略的部分是()

A.實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%,結果提前8天完成了這一任務

B.實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%,結果延誤8天完成了這一任務

C.實際工作時每天的工作效率比原計劃降低了25%,結果延誤8天完成了這一任務

D.實際工作時每天的工作效率比原計劃降低了25%，結果提前8天完成了這一任務

(2)在⑴的條件下，在下列兩個選項中任選一項作為問題：

E.實際每天綠化的面積是多少萬平方米？

F.原計劃完成這項綠化工程需要多少天?

我選的問題是(填字母).

根據選擇的問題，寫出完整的解題過程.

23.[2024重慶A卷]為促進新質生產力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現有甲、乙兩類共30條生產線的設

備進行更新換代.

(1)為鼓勵企業(yè)進行生產線的設備更新，某市出臺了相應的補貼政策.根據相關政策，更新1條甲類生產線的設

備可獲得3萬元的補貼，更新1條乙類生產線的設備可獲得2萬元的補貼.這樣更新完這30條生產線的設備，該企

業(yè)可獲得70萬元的補貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產線各有多少條？

(2)經測算，購買更新1條甲類生產線的設備比購買更新1條乙類生產線的設備需多投入5萬元，用200萬元購

買更新甲類生產線的設備數量和用180萬元購買更新乙類生產線的設備數量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補

貼后，還需投入多少資金更新生產線的設備？

24.[2024江蘇無錫二模]在跨學科探究學習中，我們發(fā)現如下兩個公式：如圖①，在串聯電路中，總電阻R滿

足R=%+/?2；如圖②，在并聯電路中，總電阻R滿足§=去+9

⑴如圖③，已知%=12優(yōu)&=4。,總電阻為12。,求R2的值

(2)如圖④，已知Ro為定值電阻，現有兩個電阻R1和a(%</?2)，請問如何擺放R1和R2的位置，能夠使

得總電阻最小?(在圖中填寫并證明)

(3)如圖⑤，現有三個電阻Rx,R2和/?3(&</?2<R3),請問如何擺放這三個電阻，能夠使得總電阻最小?(在圖

中填寫，無需證明)

(4)R

如圖⑥，已知o為定值電阻，現有四個電阻Ri,Rz,R3和R4(RI<R2<R3<RJ請問如何擺放這四個電

阻，能夠使得總電阻最小?(在圖中填寫,無需證明)

需

點「

1~~<r—|'----1—<r—1>——-

①②③

*

防科r

—―|i-----------_p------"―I1------

④⑤⑥

第6關分式方程

1.C解析：A.方程中各式的分母均不含未知數，故不是分式方程;

B.不是方程；

C.方程中各式的分母中含有未知數，故是分式方程；

D.方程中各式的分母均不含未知數，故不是分式方程.

故選C.

2A解析：方程兩邊同乘2-6x得2-6x-lx(-2)=-5,

即2-6x+2=-5.

3.A解析：公一2=曰

kx-2(x-3)=-3,

kx-2x+6=-3,

(k-2)x=-9,

1?關于x的分式方程與-2=言無解，

■■x-3或k=2,

.■.3k-6=-9或k=2,

.'1<=-1或2.

4.B解析：去分母得2=x-l-m,

解得x=m+3,

由方程的解為正數得m+3>0,

又m+3/l,

則m的取值范圍為m>-3且mw-2.

5.解:去分母得x=3(2x-5),

去括號得x=6x-15,

移項得x-6x--15,

合并同類項得-5x=-15,

解得x=3,

檢驗:當x=3時,x(2x-5)，0,

二原分式方程的解為x=3.

6.D解析：由題意得乙車的速度為1.2xkm/h,

貝U竺—生=g

x1.2x60

即空一迫=工.

x1.2X12

7.D解析：設B型機器人每小時搬運x千克化工原料，則A型機器人每小時搬運(x+30)千克化工原料，

根據題意得黑=亭，

解得x=60,

經檢驗,x=60是所列方程的解，且符合題意,

，x+30=60+30=90,

■■.A型機器人每小時搬運90千克化工原料，B型機器人每小時搬運60千克化工原料.

8.解：設一盞B型節(jié)能燈每年的用電量為x千瓦時，則一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為(2x-32)千瓦時，根據

題意，

任9600_16000

八’X-2X-32,

解得X=96.

經檢驗，x=96是原方程的解，且符合題意.

2x-32=160.

答：一盞A型燈每年的用電量為160千瓦時.

9.解：(1)由題意，設甲隊平均每天修復公路x千米，則乙隊平均每天修復公路(x+3)千米，

貝竺=色

人」xx+3,

解得：x=6.

經檢驗，x=6是原方程的解.

，x+3=9.

答：甲隊平均每天修復公路6千米，乙隊平均每天修復公路9千米.

(2)設甲隊的工作時間為m天，則乙隊的工作時間為(15-m)天，15天的工期，兩隊能修復公路w千米,

由題意得,亞=6|71+9(15-171)=-3|71+：135又m>2(15-m),

?--3<0,

隨m的增大而減小.

.?.當m=10時,w取最大值，最大值為-3x10+135=105.

答：15天的工期，兩隊最多能修復公路105千米.

10.B解析:根據題意彳導a=三-1,去分母得l=2-(x-4),解得.x=5羥檢驗，x=5是分式方程的解.

11.D解析:當x<-x,即x<0時，所求方程為r=等，

整理得+2%+1=0,即(x+1)2=0,

解得第L=%2=T，

經檢驗，x=-l是分式方程的解；

當x>-x,即x>0時，所求方程為X=等，

整理得/一2%-1=0,

解得刀3=1+V2,x4=1—企舍去).

經檢驗，x=l+a是分式方程的解.

綜上,所求方程的根為1+a或-1.

12.C解析:rA種綠植單價是B種綠植單價的3倍,B種綠植單價是x元，

■-?A種綠植單價是3x元.

6750,lc3000

根據題意得-------F5U=-----

3%X

13.-1

解析：士+“占

x+x-l=-m,

l-m

x二F

.?關于x的分式方程喜+1=洋增根，

1-771y

=1,

???X=---2---，

14.x=-3

解析:等號兩邊同時乘(x-3)(x-l),

得(x-l)x=(x-3)(x+l),

去括號，得x2—x—x2—2x—3,

移項、合并同類項，得x=-3,

經檢驗,x=-3是該分式方程的解，

所以，該分式方程的解為x=-3.

15.-1

解析：匕=3一署，

去分母得x=3(x-l)+mx,

解得人肅

由方程的解是正整數，得x為正整數，即2+m=l或2+m=3,

解得m=-l或m=1(會使原方程無意義，舍去).

16.y2—2y—1=0

解析：由題意得原方程化為y-2=2,去分母，得必—1=2%即y2—2y—1=0.

17.16

把二(久+ix<4,0?

解析：解不等式組｛3(尤+L得｛2關于X的不等式組至少有2個整數解.二彳<2,解得a<8.

2(%+1)>-X+Gtx---3

解分式方程E=2-Awy=?,

y-11-y2

???分式方程的解為非負整數，????等NO,二322,

???等H1,aH4,.?符合條件的a的值為2,6,8,?-2+6+8=16.

解題思路.

先通過解不等式組確定a<8，再解分式方程求出y=等才爪住y=等為非負整數.日等豐1就可確定a的值.

18.解:方程兩邊都乘(x+l)(x-D得2+x(x+l)=(x+l)(x-l),解得x=-3,

檢驗:當x=-3時,(x+l)(x-l)/O,.?原分式方程的解是x=-3.

19.小丁和小迪的解法都錯誤，兩框內均打"x",解答過程見解析

解析去分母得x+(x-3)=x-2,

整理彳導2x-3=x-2,

解得x=l,

經檢驗，x=l是分式方程的解.

20.⑴x=0(2)-1

解析：Q)方程兩邊同時乘(x-2),

得5+3(x-2)=-l,

解得x=0,

經檢驗，x=0是原分式方程的解.

⑵設代表的數為m,方程兩邊同時乘(x-2)得m+3(x-2)=-l,

由于x=2是原分式方程的增根，所以把x=2代入上面的等式得m+3(2-2)=-l,所以m=-l.

所以原分式方程中"?”代表的數是-L

2L(1”-W⑵一

解析:⑴略.

⑵一----1------=—

7x(x+l)(x+l)(x+2)x+2r

11+11_1

xx+1x+1x+2%+2'

11_1

xx+2%+2'

1_2

xx+2r

x+2=2x,

x=2,

經檢驗，x=2是原方程的解，

，原方程的解為x=2.

22.⑴A⑵見解析

解析：(1)1.所列方程為弓-謁蕨=8，且x表示原計劃每天綠化的面積」(l+25%)x表示實際每天綠化的面

積，

,實際工作時每天的工作效率比原計劃提高了25%,結果提前8天完成了這一任務.

故選A.

(2)選擇E,由題意知日-君氏=8,

解得x=1.5,

經檢驗,x=1.5是所列方程的解，且符合題意，

.-.(1+25%)X=(1+25%)X1.5=1.875.

答：實際每天綠化的面積是1.875萬平方米.

選擇F,設原計劃完成這項綠化工程需要y天，則實際完成這項綠化工程用了(y-8)天，

根據題意得—=(1+25%)x—,

y-8y

解得y=40,

經檢驗，y=40是所列方程的解，且符合題意.

答：原計劃完成這項綠化工程需要40天.

23.解：(1)設該企業(yè)甲類生產線有x條，則乙類生產線有(30-x)條.根據題意，得3x+2(30-x)=70,

解方程得x=10,

30-x=30-10=20.

答：該企業(yè)甲類生產線有10條,乙類生產線有20條.

(2)設更新1條甲類生產線的設備需投入m萬元，則更新1條乙類生產線的設備需投入(m-5)萬元.

根據題意，得出=