二次函數(shù)中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題（三大題型）-2025年中考數(shù)學(xué)押題（含答案）

二次函數(shù)中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題（三大

題型）-2025年中考數(shù)學(xué)押題

二次期數(shù)中平移■翻折、施轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題

目錄

解密中考.................................................................................1

題型特訓(xùn)提分.............................................................................2

【題型一】二次函數(shù)中的平移綜合問(wèn)題...................................................2

【題型二】二次函數(shù)中的翻折綜合問(wèn)題...................................................7

【題型三】二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題..................................................12

解密中考

考情分析:二次函數(shù)中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容,更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有

一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，平移為高頻考點(diǎn)，?？冀馕鍪阶兓?；翻折為中頻,涉及對(duì)稱軸變換;旋轉(zhuǎn)低頻，多與坐標(biāo)系

結(jié)合。各地差異小，平移占比約30%,翻折20%,旋轉(zhuǎn)10%左右。

2.從題型角度看，平移、翻折多現(xiàn)選擇填空（直接求解析式）或解答題第一問(wèn)（基礎(chǔ)變換）;旋轉(zhuǎn)常融綜合題

（如與幾何圖形結(jié)合求坐標(biāo)）,壓軸題占比約15%,側(cè)重邏輯推導(dǎo)。

備考策略:在中考數(shù)學(xué)備考中，熟記變換規(guī)律（如平移“左加右減”、翻折符號(hào)變化、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式）;分類練基

礎(chǔ)題與綜合題,注意變換后圖形性質(zhì)；壓軸題需結(jié)合函數(shù)與幾何，用方程思想聯(lián)立求解,強(qiáng)化畫圖分析能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】二次函數(shù)中的平移綜合問(wèn)題

1.（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y="+kc—3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,-4）.

（1）求二次函數(shù)解析式及其對(duì)稱軸；

（2）將函數(shù)圖象向上平移巾個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象與c軸相交于點(diǎn)A,B（A在原點(diǎn)左側(cè)），當(dāng)AO-.BO=1:4時(shí),

求7n的值；

（3）當(dāng)n―1W/43時(shí),二次函數(shù)的最小值為2%,求九的值.

1.用頂點(diǎn)式分析:設(shè)原函數(shù)為y=a（x-hy+%,平移后頂點(diǎn)為（憶匕）,則新解析式為y=a（x—h'f+k'.

2.記平移規(guī)律:左右平移變從左加右減），上下平移變%（上加下減）。如向右移館個(gè)單位，得"=a（c-無(wú)

—m）2+ko

3.分步平移:先左右再上下,或反之，結(jié)果一致。

4.一般式轉(zhuǎn)換:若為一般式，先配方成頂點(diǎn)式再平移，避免符號(hào)錯(cuò)誤。

0

2.(2025?安徽合肥?一模)已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)71(-1,-5),5(1,-9).

⑴求b,c的值.

(2)求當(dāng)一3時(shí)，二次函數(shù)V=爐+般+°的最大值.

(3)現(xiàn)將該二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象沿著比軸的正方向平移R(k>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的二次函

數(shù)圖象，當(dāng)2W宓W4時(shí)，新的二次函數(shù)有最小值，最小值為7,求平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式.

3.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=a/3+五一4與宓軸交于點(diǎn)A、B,與％軸交于點(diǎn)

C,點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，08=00=204,連接BC.

備用圖

⑴求拋物線的解析式.

（2）如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A、E關(guān)于夕軸對(duì)稱，線段BE沿著射線平移.平移

后的線段記為MN,當(dāng)ABCP面積最大時(shí),求PM+MN+ND的最小值.

2

（3）在（2）的基礎(chǔ)上將拋物線y=ax+bx-4：沿射線AC方向平移2V5個(gè)單位長(zhǎng)度得新拋物線如，在新

拋物線y'上是否存在點(diǎn)Q,使ZQFB=NACO+45°?若存在,請(qǐng)直接出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)

明理由.

4.(2025?海南?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a00)與宏軸交于71(—4,0),

8(1,0)兩點(diǎn)，與0軸交于點(diǎn)。(0,—2),連接

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC下方一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作夕軸的平行線交直線AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E

是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,PE.當(dāng)線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求PE—BE的最大值，及此時(shí)點(diǎn)E

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將拋物線y=arc?+就+eg#0),先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再像上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

新拋物線yi,點(diǎn)N是新拋物線上一點(diǎn)，連接CN,當(dāng)4ACN=ACBA-ACAB時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

5.(2025?湖南衡陽(yáng)?一模)拋物線L」.y=~x2+bx+c^x軸交于A(—4,0),5(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

C,點(diǎn)P是拋物線Li上的一動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(-4<m<0).

⑴求拋物線二的表達(dá)式.

⑵如圖1,連接AP,并延長(zhǎng)4P交y軸于點(diǎn)。，連接BP,交y軸于點(diǎn)E.點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OD+

4OE的值是否為定值，若是,請(qǐng)求出定值;若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)將該拋物線加向左平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，得到如圖2所示的拋物線L2剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,

點(diǎn)河為拋物線L對(duì)稱軸上一點(diǎn).在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N,使以點(diǎn)A,P,河，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

【題型二】二次函數(shù)中的翻折綜合問(wèn)題

6.（2025?湖南?二模）已知拋物線y=ax2—2ax—4（a>0）.

（1）如圖1,將拋物線y=aX^-2ax-4在直線y=-4下方的圖象沿該直線翻折，其余部分保持不變,得

到一個(gè)新的函數(shù)圖象“W”.翻折后，拋物線頂點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4恰好在立軸上，求拋物線y=a〃—2a①

—4的對(duì)稱軸及a的值；

（2）如圖2,拋物線y=ax2-2ax-4（a>0）的圖象記為“G”,與y軸交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)B的直線與（1）中的

圖象"W"（2>1）交于P,。兩點(diǎn)，與圖象“G”交于點(diǎn)D

①當(dāng)a=六時(shí)，求煞的值；

②當(dāng)a￥4時(shí),請(qǐng)用合適的式子表示等（用含a的式子表示）.

1.明確對(duì)稱軸：

力軸翻折:頂點(diǎn)仇,k）變仇,一k）,開(kāi)口反向（a變一a）,解析式為沙=—a（力一九尸一鼠

y軸翻折:頂點(diǎn)變（一九,k）,開(kāi)口不變，解析式為y=a（C+h）2+鼠

2.一般式處理:先配方成頂點(diǎn)式再翻折，避免符號(hào)錯(cuò)誤。

3.利用對(duì)稱點(diǎn):任一點(diǎn)（力,妨關(guān)于軸翻折后坐標(biāo)代入原函數(shù)，直接推導(dǎo)新解析式（如關(guān)于力軸翻折,

用nt—y替換）。

7.(2025?山東濟(jì)南?一模)如圖1,拋物線G經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(—3,0)、0(0,3),對(duì)稱軸為直線c=—1,直線BE與宏軸

所夾銳角為45°,與U軸交于點(diǎn)E.

⑴求拋物線G和直線BE的表達(dá)式；

(2)將拋物線G沿二、四象限的角平分線平移，使得平移后的拋物線與直線班;恰好只有一個(gè)交點(diǎn)，求拋

物線平移的距離；

⑶如圖2,將拋物線G沿直線BE翻折,得到新曲線G,G與0軸交于M、N兩點(diǎn),請(qǐng)直接寫出7點(diǎn)坐

標(biāo).

__________________________

8.(2025?廣西南寧?一模)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線4=12+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-3),(-1,0).

⑴求出該拋物線的解析式；

⑵當(dāng)一1＜小時(shí)，求"的最小值；

(3)把拋物線夕=〃+就+。的圖象在立軸下方的部分向上翻折，將向上翻折得到的部分與原拋物線位

于力軸下方的部分組合的圖象記作圖象Q,若直線工="與圖象Q的上下部分分別交于4B兩點(diǎn)，當(dāng)線

段48=4時(shí)，求"的值.

2

9.（2025?上海靜安?一模）已知拋物線y=ax'+bx+°（01#0）上,其9與2：部分對(duì)應(yīng)值如下表:

X-3-1032

y-80202

⑴求此拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P,將此拋物線沿著平行于立軸的直線Z翻折,翻折后得新拋物線.

①設(shè)此拋物線與比軸的交點(diǎn)為4、B（點(diǎn)力在點(diǎn)B的左側(cè)），且AABP的重心G恰好落在直線I上,求此時(shí)

新拋物線的表達(dá)式；

②如果新拋物線恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求新拋物線在直線I上所截得的線段長(zhǎng).

_____________________________

10.(2025?吉林?一模)如圖，已知拋物線y=x'2+bx+c經(jīng)過(guò)A(3,4)和8(—2,4)兩點(diǎn)，將該拋物線位于c軸

下方的部分沿T軸翻折，其余部分不變,得到的新圖象記為“W”，圖象W交4軸于點(diǎn)C.

⑴①求拋物線y=x2+bx+c的解析式；

②求二次函數(shù)y=a;2+brr+c的最小值.

(2)①直接寫出圖象W的解析式；

②求當(dāng)圖象W所對(duì)應(yīng)的函數(shù)"隨力增大而增大時(shí)工的取值范圍.

⑶若直線沙=—/+b與圖象W有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出b的值.

【題型三】二次函數(shù)中的旋轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題

11.（2025?湖南永州.一模）如圖，已知拋物線G；y=—d+4,將拋物線G繞點(diǎn)河（1,0）旋轉(zhuǎn)180°,得到拋物線

C2：U="+?7KC,拋物線G,G相交于入，B兩點(diǎn).

⑴求?71的值;

（2）求直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式；

（3）拋物線G,G位于4口兩點(diǎn)之間的部分圖形記作W,過(guò)點(diǎn)M的直線/與W相交于E,尸兩點(diǎn)，連接

BE,BF,求△BEF面積的最大值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的E點(diǎn)坐標(biāo).

1,確定旋轉(zhuǎn)中心與角度:初中?？祭@原點(diǎn)或頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。

繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)180°：頂點(diǎn)仇㈤變（―h,f）,a變—a,解析式為y=-a（x+h）2-ko

繞頂點(diǎn)轉(zhuǎn)180°：頂點(diǎn)不變，開(kāi)口反向，解析式為y=-a（x-h/+乳

2.坐標(biāo)變換法:任一點(diǎn)0y）旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)代入原函數(shù)，整理得新解析式（如繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)180°，用立一-,，v一

一夕替換）。

3.驗(yàn)對(duì)稱性:旋轉(zhuǎn)后圖像應(yīng)關(guān)于中心對(duì)稱，檢查頂點(diǎn)與開(kāi)口方向是否符合。

_________?

12.(2025?四川成都，二模)如圖，平面直角坐標(biāo)系疣>沙中,拋物線。皿=法+就+。經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O、C(2,0),將

該拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線G，兩拋物線交于8、C兩點(diǎn),拋物線5與V軸交于點(diǎn)D.

⑴求拋物線G的表達(dá)式；

⑵當(dāng)m時(shí),求△08。的面積；

(3)若直線y=kx+2m(m>0)與拋物線G交于E、尸兩點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè),記直線DE的斜率為

瓦，直線DF的斜率為無(wú),當(dāng)自+自為定值時(shí)，求山的值.

13.（2024?河南焦作,二模）已知拋物線y=ax'2-2ax+a+2的頂點(diǎn)為D.

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求a的值及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）在⑴的條件下，把c>0時(shí)函數(shù)g=ar/—2加+a+2的圖象記為Mi,將圖象監(jiān)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,

得到新圖象M，設(shè)圖象M與圖象M組合成的圖象為河.

①圖象此的解析式（寫出自變量的取值范圍）；

②若直線沙=力+成與圖象及■有3個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍.

________0

二次期數(shù)中平移■翻折■痛轉(zhuǎn)綜合問(wèn)題

目錄

解窘中考.................................................................................1

題型帶詞提分.............................................................................2

【題型一】二次由數(shù)中的平移嫁合問(wèn)題...................................................2

【題型二】二次函敷中的制折綜合問(wèn)題..................................................13

【題型三】二次函數(shù)中的建橋綠合問(wèn)題..................................................22

解密中考

考情分析:二次函數(shù)中平移、翻折、旋轉(zhuǎn)綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容,更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有

一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，平移為高頻考點(diǎn)，?？冀馕鍪阶兓环蹫橹蓄l,涉及對(duì)稱軸變換;旋轉(zhuǎn)低頻，多與坐標(biāo)系

結(jié)合。各地差異小，平移占比約30%,翻折20%,旋轉(zhuǎn)10%左右。

2.從題型角度看，平移、翻折多現(xiàn)選擇填空（直接求解析式）或解答題第一問(wèn)（基礎(chǔ)變換）;旋轉(zhuǎn)常融綜合題

（如與幾何圖形結(jié)合求坐標(biāo)）,壓軸題占比約15%,側(cè)重邏輯推導(dǎo)。

備考策略:在中考數(shù)學(xué)備考中，熟記變換規(guī)律（如平移“左加右減”、翻折符號(hào)變化、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)公式）;分類練基

礎(chǔ)題與綜合題,注意變換后圖形性質(zhì)；壓軸題需結(jié)合函數(shù)與幾何，用方程思想聯(lián)立求解,強(qiáng)化畫圖分析能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】二次函數(shù)中的平移綜合問(wèn)題

1.（2025?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y="+kc—3的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,-4）.

（1）求二次函數(shù)解析式及其對(duì)稱軸；

（2）將函數(shù)圖象向上平移巾個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象與c軸相交于點(diǎn)A,B（A在原點(diǎn)左側(cè)），當(dāng)AO-.BO=1:4時(shí)，

求7n的值；

（3）當(dāng)n―1W/43時(shí),二次函數(shù)的最小值為2%,求九的值.

【答案】（1）夕—x2—2x—3,對(duì)稱軸為直線①=1

（2）m=^

（3）n——2

【知識(shí)點(diǎn)】g=ax1+brr+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、y—ax2+bx+c的最值、二次函數(shù)

圖象的平移

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值,二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象

和性質(zhì)，利用分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

（1）代入點(diǎn)B坐標(biāo)計(jì)算，求出b,再根據(jù)土=一三求出對(duì)稱軸即可；

2a

（2）設(shè)點(diǎn)4f0）、B（4t,0）,則平移后拋物線的對(duì)稱軸仍然為直線/=1=4（41）,通過(guò)對(duì)稱軸不變來(lái)解出

力，從而得出上移距離m,

（3）先求出拋物線的頂點(diǎn)為（1,—4）,再分/二九一和3＞力=九一兩種情況來(lái)討論函數(shù)的最小值即

可，注意求出的口值和z=?i—1V1和3＞力=九一得到的幾范圍一?致才是有解.

【詳解】解）解:將（1,—4）代入函數(shù)表達(dá)式得：-4=1+6—3,則b=—2,

即拋物線的表達(dá)式為：g="—2劣—3,

則拋物線的對(duì)稱軸為直線/=1；

（2）解：當(dāng)40:60=1:4時(shí)，

設(shè)點(diǎn)A（—1,0）、B（4t,0）,

則平移后拋物線的對(duì)稱軸仍然為直線?=1=J⑷一力），則方=2，

則點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為：（一年，。）、（|-,0）,

則新拋物線的表達(dá)式為：+力一套）=62—2/一3+2,

即?72=號(hào)；

（3）解：由⑴知,拋物線的頂點(diǎn)為（1,-4）,

當(dāng)力二九一1V1,即打V2時(shí)，

拋物線在頂點(diǎn)處取得最小值，即一4=2n，則n=—2;

當(dāng)3＞力=打一1＞1時(shí)，即24幾44時(shí)，

則拋物線在力二九一1時(shí)取得最小值，即（九一iy—2（n—1）—3=2n,

解得：n=0（舍去）或6（舍去）,

綜上，TI=-2.

________P

Co。國(guó)巧

1.用頂點(diǎn)式分析:設(shè)原函數(shù)為y=a{x-h)2+%,平移后頂點(diǎn)為(憶我),則新解析式為y=a(x-h')2+k'.

2.記平移規(guī)律:左右平移變從左加右減)，上下平移變％(上加下減)。如向右移館個(gè)單位，得g=a(c-九

—m)2+fco

3.分步平移:先左右再上下,或反之，結(jié)果一致。

4.一般式轉(zhuǎn)換:若為一般式，先配方成頂點(diǎn)式再平移，避免符號(hào)錯(cuò)誤。

2.(2025?安徽合肥?一模)已知二次函數(shù)0=x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(—1,—5),B(l,-9).

⑴求b,c的值.

(2)求當(dāng)一5W24—3時(shí)，二次函數(shù)0=〃+be+c的最大值.

(3)現(xiàn)將該二次函數(shù)夕=x2+bx+c的圖象沿著比軸的正方向平移卜(k>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的二次函

數(shù)圖象，當(dāng)2&尤&4時(shí)，新的二次函數(shù)有最小值，最小值為7,求平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式.

【答案】⑴—2,—8

(2)27

⑶y=x2-16x+55

【知識(shí)點(diǎn)】y=a/+be+c的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象的平移

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值,二次函數(shù)圖象與幾何

變換，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

⑴把點(diǎn)A(—1,—5),B(l,—9)代入9=d+be+c,即可求得6、c的值；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得；

(3)平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式為沙=O—l—ky—9,分三種情況討論:①當(dāng)1+%<2,即0<k<1時(shí)，2

在對(duì)稱軸的右側(cè)，②當(dāng)2<l+kV4,即1<k<3時(shí)，③當(dāng)1+k>4,即k>3時(shí)，2<c<4在對(duì)稱軸

的左側(cè)，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】⑴解:將點(diǎn)4—1,—5),3(1,-9)代入,

得(―5=1—b+c,解得(6=-2，

寸I—9=l+b+c,[c=-8,

.'.b,c的值分別是一2,—8.

(2)解：：二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2—2x—8=(a;—I)2—9,

/.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線c=l.

,/1>0,

/.二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，當(dāng)立<1時(shí)，夕隨c的增大而減小.

*.*—5&x4-3,

：.當(dāng)x=-5時(shí)，二次函數(shù)g=/+b/+。有最大值，最大值為y—(―5—I)2—9=36—9=27.

(3)解:平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=(力一1—k)2—9,該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線/=1+k.

分三種情況討論：

①當(dāng)l+k&2,即0Vk<l時(shí)，2W力44在對(duì)稱軸的右側(cè)，

/.二次函數(shù)在力=2取得最小值，

/.(2—1—fc)2—9=7,解得k=5或k=—3,不符合題意.

②當(dāng)2VI+kV4,即IV%V3時(shí)，二次函數(shù)在N二l+k取得最小值,此時(shí)最小值為一9,不符合題意.

③當(dāng)l+k>4,即k>3時(shí)，2&力&4在對(duì)稱軸的左側(cè)，

/.二次函數(shù)在1=4時(shí)取得最小值，

（4—1—A;）2—9=7,解得k=7或k=—1（舍去），

此時(shí)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=（力一1—7）2—9=（rr—8）2—9,即9=婷-16a:+55.

綜上所述，平移后新的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2—16x+55.

3.（2025?重慶?模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx~4：^x軸交于點(diǎn)A、B,與￡軸交于點(diǎn)

。，點(diǎn)。是拋物線的頂點(diǎn)，OB=OC=2OA,連接BC.

⑴求拋物線的解析式.

（2）如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)A、E關(guān)于沙軸對(duì)稱，線段跳;沿著射線平移.平移

后的線段記為MN,當(dāng)△BCP面積最大時(shí)，求PM+MN+ND的最小值.

（3）在（2）的基礎(chǔ)上將拋物線夕=如?+辰—4沿射線AC方向平移2V5個(gè)單位長(zhǎng)度得新拋物線y',在新

拋物線式上是否存在點(diǎn)Q,使AQPB=乙4co+45°?若存在,請(qǐng)直接出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【答案】（1）夕=—4

（2）最小值為+2

（3）存在，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2-或20+yror.

【知識(shí)點(diǎn)】線段周長(zhǎng)問(wèn)題（二次函數(shù)綜合）、角度問(wèn)題（二次函數(shù)綜合）、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積問(wèn)

題（二次函數(shù)綜合）

【分析】（1）對(duì)于一^二次方程Q力2+反—4=0,根據(jù)二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系，的=-2,/2=4.由根

與系數(shù)關(guān)系可得：力1+電=—~=2,力避2=—―=—8,得到a=4,b=—1,即可得到答案；

aa2

⑵設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（館,4山2一小一4）,從點(diǎn)p向2軸作垂線，及為垂足，PH交于點(diǎn)G.過(guò)點(diǎn)E作EF//

222

BC交y軸于點(diǎn)F.求出=——?7i+2?n—8=—~（?n—2）+10.得到SARCP=—（jn—2）+2020.當(dāng)m

2時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,—2）,△BCP面積最大.得到PN+7W+ND的最小值為+2;

（3）點(diǎn)Q有兩個(gè)位置Qi和,分別在第三象限和第四象限，分情況進(jìn)行解答即可.

【詳解】（1）解：對(duì)于沙=。/+64—4,令力=0,g=—4.

/.OC=I-4|=4,05=0（7=4,OA=^-OB=2.

/.根據(jù)圖象可知：點(diǎn)A坐標(biāo)為（一2,0）,點(diǎn)口坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)。坐標(biāo)為（0,-4）.

對(duì)于一^元二次方程a/+b/-4=0,根據(jù)二次函數(shù)和一^元二次方程的關(guān)系，為=—2,力2=4.

由根與系數(shù)關(guān)系可得：/1+冗2=——=2,XyX^———=—8

aa

：.a--^-,b=-1.

拋物線的解析式為y--^-x2—x—4：.

（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為,從點(diǎn)P向2軸作垂線，H為垂足，PH交于點(diǎn)G.

過(guò)點(diǎn)E作EF〃B。交y軸于點(diǎn)F.

根據(jù)題意OB=4,03=。。，AOBC為等腰直角三角形.

故直線相當(dāng)于直線夕=c向下平移了4個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)平移性質(zhì)直線BC的解析式為：沙=2—4.

???點(diǎn)G坐標(biāo)為（?71,m—4）.

,**S^QCP=S&GCP+S.GBP=fGP.OH+fGP.BH=%GP.OB,OB=4,

GP—VG-VP~g-4）—?n-4）=―-1-m2+2m—8

/.S^BCP=—（77i—2）2+20<20.

當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,—2）,ABCP面積最大.

2

此時(shí)點(diǎn)H與點(diǎn)E重合，點(diǎn)河與點(diǎn)G重合，HP=EP=\yP\=，x2-2-4|=4=OC

當(dāng)點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,—2）時(shí)，HF為和為ABOC的中位線，點(diǎn)F坐標(biāo)為（0,—2）,點(diǎn)N的軌跡在與射線BC平

行的射線EF上.

作點(diǎn)。關(guān)于直線EF對(duì)稱點(diǎn)C,根據(jù)△CFC為等腰直角三角形，可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2,-2）.

/.CN=C'N.

-,-NM=CP=2,NM//CP,

：.四邊形CPAW在MW■平移時(shí)始終為平行四邊形，PTWuCN.

/.PM+MN+ND=C'N+MN+ND>CD+MN=CD+2.

對(duì)于夕=]d一2_4,,。=一+=1,如=9-1-4=--1-.

CD=J（—2—lJ+（—2+=雪.

.?.PAl+TW+ND的最小值為4|L+2.

故△BCF面積最大時(shí)，PAl+MN+ND的最小值為當(dāng)L+2.

（3）根據(jù)題意。4=2,OC=4,則AC=-x/AO~+OC2=2濾，故拋物線"=—"一/一4沿射線人。方向平移

2V5個(gè)單位長(zhǎng)度得新拋物線y'.相當(dāng)于拋物線g先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)'.

如圖，

KT22

根據(jù)平移性質(zhì)可得式=(a;-2)—(竄一2)—4—4=-^-x—3x—4.

由(2)知BE=AO=2,PE=CO=4,AC=PB=V22+42=275.

AE=OB=4,OC=EP=4,則AF=BC=V42+42=472.

在4ACB和ABPA中，AC=BP,AB=BA,BC=AP,

：.AACB空/\BPA(SSS).

NAPB=/BCA=NACO+NBCO=AACO+45°.

/B4P=45°,49=2,

直線AP相當(dāng)于直線y=-x向左平移了2個(gè)長(zhǎng)度單位，

直線AP的解析式為y=—(a?+2)=—x—2.

如圖，點(diǎn)。有兩個(gè)位置Q和Q2,分別在第三象限和第四象限：

①點(diǎn)Q是AP和新拋物線”的交點(diǎn)，滿足NQFB=AAPB=NACO+45°.

結(jié)合直線4P和新拋物線式的解析式：,re?—3c—4——X—2.

解得c=2—2V2或2+2V2,

由于Q在第三象限，所以Qi的橫坐標(biāo)為2-22.

②作出點(diǎn)A關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)，然后作，工軸，T為垂足，再連接PA'交拋物線右側(cè)于點(diǎn)Q2.

這樣根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì),ZQ2PB=AQ.PB=AAPB=AACO+45°.

設(shè)A4交BP于點(diǎn)R.

?/SAABF=±AB-EP=^-BP-AR,

.?.AR=6x4+(2—)=^^.BR=AB2-BB?=,

oo

???cos/HAT=cos/BAR,即=羋，

AA'AB

把AT—AO+a;.,=2+x.,,AA'—2AR=,AB=6,AR=代入比例式解得:

55

_38

以,一5-

在Rt/\ATA'中，4T=〃/=VAfA2-AT2=譽(yù).

O

.?.點(diǎn)4的坐標(biāo)為(學(xué)，一卷).

設(shè)直線AP，的解析式為：V=ka;+b,代入點(diǎn)P和點(diǎn)A'的坐標(biāo)得：

f—4=2fc+b[fc=-v

{-等=和+“解得“=v

直線AP的解析式為：9:一]7一平.

結(jié)合拋物線K可得：一臺(tái)一爭(zhēng)，解得-2°+嚴(yán)或2。一嚴(yán).

由于點(diǎn)Q在第四象限，所以Q2的橫坐標(biāo)為：2。+^^.

綜合①②可得，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2—或20+yi^.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直

角三角形、勾股定理、函數(shù)的平移和對(duì)稱等知識(shí)，分情況討論是解題的關(guān)鍵.

4.(2025?海南?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c(a￥0)與①軸交于A(—4,0),

8(1,0)兩點(diǎn)，與0軸交于點(diǎn)C(0,—2),連接AC,BC.

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1,點(diǎn)P是拋物線上位于直線4。下方一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作9軸的平行線交直線AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E

是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BE,PE.當(dāng)線段PD長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，求PE—BE的最大值,及此時(shí)點(diǎn)E

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將拋物線y=a/+近+c(a￥0),先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再像上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到

新拋物線伏,點(diǎn)N是新拋物線上一點(diǎn)，連接CN,當(dāng)ZACN=ACBA-ACAB時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】⑴y"+年①―2

(2)PE—BE的最大值為32，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,—1)

(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(二巫,3—47)或(一5/所,3+47).

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、線段周長(zhǎng)問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次

函數(shù)圖象的平移

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，一次函數(shù)與幾何綜合等等，正確作出輔助線

并利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

(1)拋物線y—ax2+bx+c(a7t0)與/軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與夕軸交于點(diǎn)。(0,—2)，待定系數(shù)法求

解析式，即可求解；

⑵先求得直線AC的解析式為y———2.設(shè)P(?TZ，0?7Z2+等Tn—2)，則。(viz,―2),得出PD的關(guān)

系式，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)P,B,E三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，PE—BE取得最大值為PB,延長(zhǎng)PO,交①軸于點(diǎn)F,得

出△PBF,△QBE為等腰直角三角形，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1);

(3)根據(jù)平移得出新拋物線納的解析式，設(shè)直線C7V與2軸交于點(diǎn)Q,證明△AOC?△COB,/XQOC-

/\COA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出Q的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線CN的解析式為y=-2x-2,聯(lián)立拋物線解析

式%=緊一1,即可求解.

【詳解】(1)解：:拋物線y=ax2+bx+C(QWO)與/軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與0軸交于點(diǎn)C(0,—2),

(16a—4b+c=0Q=2

<a+b+c=Ofe=-1-,

[c=-2

c=-2

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為g=+9力一2;

(2)設(shè)直線4。的解析式為y=kx+n,

.J—4fc+n=0.1-

2"1=—2'

???直線4。的解析式為?力一2.

+2^,貝ID^m,--2),

??,點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC下方一動(dòng)點(diǎn)，

PD—(―-2)—+2^)=--ym2—2m=--^-(m+2)2+2,

V-y<0,

當(dāng)m=-2時(shí)，PD取得最大值為2,此時(shí)點(diǎn)P(-2,-3).

，,點(diǎn)、E是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

:.PE-BE&PB,

???當(dāng)點(diǎn)P,B,石三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，PE一跳?取得最大值為PB,

延長(zhǎng)P。，交力軸于點(diǎn)F,如圖，

則PF_L力軸，

：.PF=3,OF=2,

：.BF=OF+OB=3,

：.PB=YPF2+OF2=3V2,

?；PF_LBF,BF=PF=3,

???AFBF為等腰直角三角形，

??."BP=45°,

???跳;為等腰直角三角形，

：.OE=OB=\,

,?-E(0,-1).

?,?當(dāng)線段PO長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，PE—BE的最大值為3V2,此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-1);

2

/oV.-12.391/,3\25

//ZvZ7O

???將拋物線沙二32+坂；+°(0彳0),先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,再像上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,得到新拋物線％的;

解析式為縱=4(力+得■—1)—等"+2=4/+4力-1.!

設(shè)直線CN與2軸交于點(diǎn)Q,如圖，:

……____—_4

vA(-4,0),B(l,0),C(0,-2),

:.OA=4,OC=2,OB=1,

.OAOC

,,京=市=2o,

???AAOC=ZCOB=9Q°,

：.AAOC-ACOB,

???4ACO=4CBO,

???4ACN=ACBA-ACAB,

：.AACN=/ACO-ACAB,

???4ACN=AACO-"CO,

：.4QCO=/CAB.

???ZQOC=ZCOA=90°,

???AQOC-ACOA,

.OQ=OC

,,OC-OA'

.OQ=2

??24，

OQ=1,

Q(—1,0).

設(shè)直線CN的解析式為g=d/+e,

.J—d+e=0.Jd=-2

/，le=-2，0―，

???直線CN的解析式為g=—2力一2.

.(y=-2x-2.CXi=-5+Vi7L2=-5-Vi7

2,

"\y=^x+j：x-l"1^=3-717，［紡=3+717.

.?.點(diǎn)N的坐標(biāo)為(T^N,3—47)或(十巫,3+JF).

5.(2025?湖南衡陽(yáng)?一模)拋物線Lry=-yrr2+bx+c^x軸交于A(—4,0),B(l,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)

。，點(diǎn)P是拋物線心上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(—4＜?。?).

⑴求拋物線〃的表達(dá)式.

（2）如圖1,連接AP,并延長(zhǎng)4P交y軸于點(diǎn)。，連接BP,交y軸于點(diǎn)E.點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，OO+

4OE的值是否為定值，若是,請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶將該拋物線的向左平移4個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,得到如圖2所示的拋物線L2剛好經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,

點(diǎn)及為拋物線L2對(duì)稱軸上一點(diǎn).在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N,使以點(diǎn)A,P,河，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.

【答案】（1%+2

（2）00+4OE的值為定值10,理由見(jiàn)詳解

（3）N點(diǎn)坐標(biāo)為（一■1,2+呼）,（一■1,2—

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、特殊四邊形（二次函數(shù)綜合）、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線和菱形的綜合等

知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法和菱形的判定和性質(zhì).

⑴利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)P作PF_Lc軸于點(diǎn)F,得出△4PF?△ADO,ABOE?ABFP，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列

出關(guān)于小的代數(shù)式，化簡(jiǎn)代數(shù)式即可得出結(jié)論；

⑶根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)分類討論，根據(jù)題意畫出圖形，假設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)邊平行且相等列出方程,解

方程即可得出坐標(biāo).

【詳解】（1）解:將A（—4,0）,B（l,0）兩點(diǎn)代入y=—++c得，

0=—8—4b+c

0=—j+6+c

b=

解得~l

c=2

拋物線J的表達(dá)式為y—―—+2；

⑵解：OD+4OE的值為定值10,理由如下，

_____________________________

圖1

如圖，過(guò)點(diǎn)P作PF_L/軸于點(diǎn)F,則AAPF?△ADO,i\BOE?ABFP,

.ODOAOE=PF

"PF-AF5OB-BF5

即OD=咒蘆，OE=^-

Dr

假設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為m,―——m+2),則點(diǎn)F坐標(biāo)為(m,0),

1Q

/.FF=-ym2-ym+2,AF=m+4,OA=4,BF=l-m,OB=1,

—1-m2--|-m+2)—ym2--|-m+2

：.OD=,OE=

m+41—m

—1-m2--1-m

OO+4OE=

m+41—m

整理得，OD+4OE=-：。(館+4)(--1)=w

(m+4)(1—m)

???OD+4OE的值為定值10;

⑶解:平移后拋物線，的表達(dá)式為9=一寺3+4)2—曰0+4)+2+2,

整理得g=--^-x2—^x—10,

y=—^x2—^x—10

聯(lián)立＜

y=--^2?—|■力+2

(力二一3

解得

〔沙=2'

???點(diǎn)P坐標(biāo)為(-3,2),

根據(jù)勾股定理得，AP=V(-3+4)2+(2-0)2=V5

11

211

拋物線L2的對(duì)稱軸為直線2

①當(dāng)以點(diǎn)p為圓心AP長(zhǎng)為半徑畫圓時(shí)，此圓與直線劣=一］無(wú)交點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P到直線2=—今的距離為

-3-

②當(dāng)以點(diǎn)4為圓心4P長(zhǎng)為半徑畫圓時(shí),如下圖所示,

圖2

假設(shè)交點(diǎn)“坐標(biāo)為（一號(hào),可，

AM2=（-3+^-）2+（0-y）2=（V5）2

解得y=或y=-^y-,

即聞一？,吟），此（一墨—吟），

假設(shè)乂（電,仇）,乂（02也），

?.?NiMi//PAN%=PA,N2M2//PA,N2M2=PA

Qi+*=-3+4,br—=2;a2+號(hào)=-3+4,b2+=2;

解得Qi=1-1-,4=2+;a2=1-,62—2—；

所以此時(shí)NK一■1,2+呼）,M（—Q—吟）；

③當(dāng)AP為菱形的對(duì)角線時(shí)，作R4的垂直平分線,交對(duì)稱軸于點(diǎn)略，如下圖所示,

圖2

假■設(shè)峪（一?，。3）,

.?.AT3P2=峪4

即（一3+?）+（2—%y=（―乎+4）+嵋，

解得加=2

?？，2）：

假設(shè)“5（&3力3）,根據(jù)PM〃峪4,皿=峪4得，:

___________________________________.

劭+3=-4+—,2—劣=2,

解得口3=-1,&=0,

所以此時(shí)M（一日,0）

綜上可得N點(diǎn)坐標(biāo)為（—告,2+平2—乎）或（-y,0）.

【題型二】二次函數(shù)中的翻折綜合問(wèn)題

6.（2025?湖南?二模）已知拋物線y=ax2-2ax-4（a>0）.

（1）如圖1,將拋物線y=ax2-2ax-4在直線y=-4下方的圖象沿該直線翻折，其余部分保持不變,得

到一個(gè)新的函數(shù)圖象“W”.翻折后，拋物線頂點(diǎn)入的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A恰好在2軸上，求拋物線夕=a〃—2ac

—4的對(duì)稱軸及a的值；

（2）如圖2,拋物線y=a/—2arc—4（a>0）的圖象記為“G"，與"軸交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)8的直線與⑴中的

圖象“W”（x>l）交于P,。兩點(diǎn)，與圖象“G”交于點(diǎn)D

①當(dāng)a=”時(shí)，求有的值；

②當(dāng)Q04時(shí),請(qǐng)用合適的式子表示篇■（用含a的式子表示）.

【答案】（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線力=1;a=4

⑵①1;②

4+a

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形問(wèn)題（二次函數(shù)綜合）、y=ax2+fcc+c的圖象與性質(zhì)、全等三角形綜合問(wèn)題、其他問(wèn)題

（二次函數(shù)綜合）

【分析】本題考查二次函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

（1）根據(jù)題意，分別求出拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，即可求解；

（2）①證明△CFW空/\DCN，即可求解；

②當(dāng)a>0且aW4和a>4時(shí)，證明△CFQ?ADPT,進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解；

【詳解】（1）解:拋物線的對(duì)稱軸為直線：,=—，即為①=1.

2a

當(dāng)/=1時(shí)

根據(jù)翻折可知點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為一8,即點(diǎn)4的坐標(biāo)為（1,一8）.

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：a—2a—4=—8,

解得：a=4,

即拋物線的對(duì)稱軸為直線力=1；a=4

⑵解：:a=4,

4x2-8x-4（力40或%>2）