高考數學 壓軸圓錐講義：圓錐曲線中的探索性問題與不良結構問題（學生版）

專題15圓錐曲線中的探索性問題與不良結構問題

一、考情分析

圓錐曲線中的探索性問題與不良結構問題是近年高考的熱點，探索性問題通常為探索是否存

在符合的點、直線或結果是否為定值，求解時一般是先假設結論存在，再進行推導，有時也會出

現探索曲線位置關系的試題，結構不良問題時,兼顧開放性與公平性，形式不固化，問題條件或

數據缺失或冗余、問題目標界定不明確、具有多種評價解決方法的標準等特征，選擇不同的

條件，解題的難度是有所不同的，能較好地考查學生分析問題解決問題的能力.

二、解題秘籍

（-）解決探索性問題與不良結構問題的注意事項及方法

1.解決探索性問題的注意事項

探索性問題，先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在.

（1）當條件和結論不唯一時要分類討論；

（2）當給出結論而要推導出存在的條件時，先假設成立，再推出條件；

（3）當條件和結論都不知，按常規(guī)方法解題很難時，要開放思維，采取另外合適的方法.

2.存在性問題的求解方法

（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為：假設滿足條件的

元素（點、直線、曲線或參數）存在，用待定系數法設出，列出關于待定系數的方程組，若方程組

有實數解,則元素（點、直線、曲線或參數）存在；否則，元素（點、直線、曲線或參數）不存在.

（2）反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法.

3.結構不良問題的主要特征有：①問題條件或數據部分缺失或冗余；②問題目標界定不明確；

③具有多種解決方法、途徑；④具有多種評價解決方法的標準；⑤所涉及的概念、規(guī)則和原

理等不確定.

【例1】（2023屆江西省贛州厚德外國語學校、豐城中學高三上學期10月聯考）已知雙曲線

22

C:A-當=1經過點（2,-3）,兩條漸近線的夾角為60。,直線/交雙曲線于A,B兩點.

ab

（1）求雙曲線C的方程.

⑵若動直線/經過雙曲線的右焦點是否存在X軸上的定點,使得以線段A8為直

徑的圓恒過M點？若存在，求實數加的值；若不存在,請說明理由.

【解析】（1）???兩條漸近線的夾角為60。,..?漸近線的斜率土2=土石或±@,即/,=后或

a3

b=——a；

3

當Z?=石〃時，由一■-yy=1得：/=1方=3,?二雙曲線。的方程為：X2——=1；

cib3

當b=心~a時，方程=1無解；

3a2b1

2

綜上所述：..?雙曲線c的方程為：/一匕=1.

3

(2)由題意得：鳥(2,0),

假設存在定點”(m,0)滿足題意，則涼?礪=0恒成立；

方法一：①當直線I斜率存在時，設l:y=k(x-2),A(xl,y1),B(x2,y2),

產(-2)(3-八o

由上口得：(3-蟲+4人-印+3)=。,,360+用＞0，

4k24公+3

占+%=正三，平2=k2_3，

22

:.MAMB=(^xl-Z7?)(x2~^n)+yxy2=^x2一加式+x2)+m+k(占勺-2(x；+x2)+4)

(4左2+3)(1+陰4k2(2k2+m]

22222

=(1+k)占馬-(2%2+7")(X]+X2)+/7J+4k=+m+4k=0,

左二3上2—3

;.(4公+3)(1+左2)—4左2(2妤+川)+"+4左2)(嚴—3)=0,

整理可得：k2(m2-4/n-5)+(3-3/n2)=0,

,\irr-4771-5=0zet

由《a2n特：〃?=T；

[3-3m=0

.,.當〃7=-1吐加.布=0恒成立；

②當直線/斜率不存在時,/:x=2,則4(2,3).3(2,-3),

當M(-1,0)時,MA=(3,3),〃6=(3,-3),；.涼.骯g=0成立；

綜上所述：存在加(-1,0),使得以線段A8為直徑的圓恒過M點.

方法二:①當直線/斜率為o時,/：y=o,則A(To),B(I,O),

MA-MB=m2-1=0m=±l；

②當直線“斜率不為。時，設/:x=ty+2,A(%,％),3(孫丹)，

E+2,、⑶2一IN0

?,?%+%=一月，%%=口‘

2

MAMB=(xl—m](x2-〃2)+弘%=^%2—mix1+x2}+m+yty2

=(以+2)(仇+2)一勿伽]+2+優(yōu)+2)+〃/+yry2

2

=(』+1)%%+(2t—+y2^+4-4m+m

9(/+l)12t(2t—mt},(12/M—15)r+9,

—二----L+4-4/77+m2=-----------------+(2—〃。x2=0：

3?-l3Z2-13r2-1''

12m-159

當二^—=1,即加=-1時，麻?詼=0成立；

綜上所述：存在河(-1,0),使得以線段A3為直徑的圓恒過”點.

【例2】(2023屆云南省師范大學附屬中學高三上學期月考)已知雙曲線

22___

:二一2r=l(b>a>0)的右焦點為尸(c,o),從①虛軸長為2耳；②離心率為2；③雙曲線

a"b'

C的兩條漸近線夾角為60。中選取兩個作為條件，求解下面的問題.

(1)求C的方程；

(2)過點F的直線/與雙曲線C的左、右兩支分別交于A8兩點,0為坐標原點，記AAOBQFOB

面積分別為力S,,若*=6+1，求直線/的方程.

d2

(注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.)

c2=a2+Z?\

a=1,

【解析】(1)若選①②，可知￡=2,解得卜=6

a

c=2,

2b=273,

c的方程為尤2-21=1.

3

若選①③,因為…a~'

2b=2?

2

...(?的方程為1-±=1.

3

-=2,

-=2,a

若選②③,設遞增的漸近線的傾斜角為區(qū)可知a二八。

Ijlll<b

U—OU,、一=tan6=tan60°，

2a

a+Z72=2

ca2+b2=c1

此時無法確定a,b,c

(2)F(2,0),由題意知，直線I斜率不為0,?.設直線/：x=ry+2.

x=ty+2,

2

由2y得⑶2-1)丁+12。+9=0,

=1,''

I3

設A&,%),8(無2,%),IM3%I,則可知3產-1w0且A>0恒成立,

-12t9.6T6

9

+3^2=z-2~~77，,必%>°,??￡<——^t>——.

3t-13t-133

...S&AOB-S0F—S^BOF,S_0F]=?%?]=招I]?，_=2+后

SgOFSgOFSgoF?%?'%

由（%+%尸-2%%=10產+2得且+&=10*+2.10產+2_4

y%3產-1”寸%%3?——-3產-1'

「」=±6滿足"一巫或"巫.

33

.??直線/的方程為>=正尤一地或y=一也x+也.

33-33

（二）是否存在型探索性問題

求解此類問題一般是先假設存在，再根據假設看看能否推導出符合條件的結論.

22

【例3】（2022屆天津市南開中學2高三上學期檢測）已知橢圓C：=+[=15>>>0）的

ab

左、右焦點分別為月、%,且工也是拋物線E：y2=4x的焦點,p為橢圓C與拋物線E在第

一象限的交點，且|尸用=j

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y=Mx-1）與橢圓C交于R,S兩點，問是否在x軸上存在一點T,使得當女變動時,

總有NOTS=NOTR?說明理由.

【解析】（1）?.?修也是拋物線E：）?=4x的焦點，:心（1Q）,

：.c=l，且拋物線的準線方程為x=-l.

設點P（Xo,%）,

552

\?|尸耳|=§，一?％o+1=§，?.?%o=§，

2A/22A/648i

?"二訪=亍.以+/=1'

???/一/=c?=1,解得〃2=4,從=3,

22

二橢圓方程為L+二=1：

43

（2）假設存在了（。0）滿足NO7S=NO77?.設氏（不凡）,5（孫％），

聯立IsXtz-n，消丁整理得G+4〃）f一8k2x+442—12=0,

由韋達定理有西+%2=q，%1%2=4：，:①，其中△>（）恒成立,

,'""D十個K

由ZOTS=ZOTR（顯然TS,TR的斜率存在），故kTS+砧=0,即一^+萼；=。②，

—I%2—t

由H,S兩點在直線y=k（xT）上，故乂=左（玉一1）,%=左（9一1）,

代入②整理有2%%-（%+。（再+W）+2/=。③,

將①代入③即有：暮6/-雋94=。④,要使得④與k的取值無關,當且僅當"t=4”時成立，

3+4H

綜上所述存在7（4,0），使得當k變化時，總有ZOTS=NOTR.

（三）探索直線是否過定點

求出此類問題一般是設出直線的斜截式方程y=kx+t，然后根據已知條件確定匕r的關系式，

再判斷直線是否過定點.

22

【例4】（2022屆北京市房山區(qū)高三上學期期末）已知橢圓E:二+與=1（a>6>0）的離心

ab

率為日,A,2分別為橢圓E的上、下頂點，且|AB|=2.

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）設直線/與橢圓E交于M,N（不與點A,8重合）兩點,若直線A"與直線AN的斜率之

和為2,判斷直線/是否經過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，說明理由.

【解析】（1）由離心率為巫，可得￡=且

2a2

因為A,3為橢圓的上、下頂點，且|AB|=2,所以處=2即6=1,

又/=/+

解得：〃=2

所以橢圓E的標準方程為片+>2=1

4

（2）直線，經過定點證明如下：

①當直線/的斜率存在時，設/：y=^+f,（/H±i）,

y=kx+t

由I*,得（1+4左2）冗2+8依+4〃—4=0,

——+y=1

14,

則A=（8Q）2—4（1+4左2）（4〃—4）>0得：t2<4k2+l

設Ma，%）”%,%）

1-Skt4d-4

則匹臺’

則L+L=3+J=2…（1）（…）

再x2x1x2

二8g1）：,

-4（r+l）（r-l）-

所以心發(fā)-1,經檢驗，可滿足產＜4/+1,

所以直線/的方程為了=丘+左一1,即丁=上（》+1）—1

所以直線/經過定點

②當直線/的斜率不存在時，設=yM）,N（m,-yM）,

貝1=+二2kzi=2

mm

解得7"=-1,此時直線/也經過定點（-1,-1）

綜上直線/經過定點（-1,7）.

（四）探索結果是否為定值

此類問題一般是把所給式子用點的坐標或其他參數表示，再結合韋達定理或己知條件進行化

簡，判斷化簡的結果是否為定值.

【例5】（2022屆云南省三校高三聯考）在平面直角坐標系尤帆中，橢圓

E』+a=1（。＞6＞0）過點'

abJ/I，J

（1）求橢圓E的方程；

（2）點%）是單位圓x2+y2=1上的任意一點，設P,M,N是橢圓E上異于頂點的三點

uuuuuaULW1iniir。iiimTo

且滿足OP=x0OM+%ON.探討瑞2+揭2是否為定值？若是定值，求出該定值，若不是定

值,請說明理由.

f_2_+J_=i

【解析】⑴因為點橢圓上，所以＜￡*，解得〃=1,〃=8,

所以橢圓方程為工+9=1.

8

（2）令M（%,%）,N（A：2，%）,則尸（玉石+%孫/%+%%），

所以￡^+5%+%%)2=1'

O

即［1+才卜+旨￡卜+(^^+2%%%%)=1.

又工+"1，4+￡=1芯+￥=1，所以馬萼上+2W1%=0,

ooo

即也及=Y

1

xrx28'

所以（％%）2==泊,那=（1-yi）（i-yf）=1-（yi+禿）+必?修

即資+%=1，又工+才=1，"+及=1，所以靖+吟=8,

88

一uuuruum

所以OM2+ON2=%；+%；+y；+y；=9,

加UULT2皿2斗一怙0

故31+ON為正值9.

【例6】（2022屆天津市耀華中學高三上學期月考）已知。為坐標原點，雙曲線

0：口一1=1（1>0,4>0）和橢圓口:二+1=13>62>。）均過點71，攣且以6的

01bl%&I3J

兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.

（1）求C-C?的方程；

（2）是否存在直線/,使得/與C1交于A,2兩點，與C?只有一個公共點，且|西+而|=|市|?

證明你的結論；

（3）橢圓C2的右頂點為。，過橢圓C?右焦點的直線乙與C?交于〃、N兩點,M關于％軸的

s

對稱點為S,直線SN與X軸交于點尸,△MQ2,△加尸Q的面積分別為S],S2,問寸是否為定值?

32

若是,求出該定值；若不是，請說明理由.

41141

【解析】⑴根據題意：膏一至t=仁+礪=1,

以G的兩個頂點和C2的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形，邊長為應

故％=1,q=1,故必=&2+1，代入計算得到瓦=69=6,瓦=近,

/產2

2

故G：y---=l,c2：—+—=1-

（2）假設存在直線方程滿足條件，

當直線斜率不存在時,x=占或尤=-月,代入計算得到y(tǒng)=土應，驗證不成立；

（y=kx+b

當直線斜率存在時，設直線方程為〉二丘+%則/2

I--1--=1

I32

即（2+3/）/+6&+362-6=0,八=36左262一4（362—6）（2+3公）=0,

化簡得至!|/=3左2+2.

y=kx+b

設A（4%）,3（孫3），y2/_],故（3〃—1）/+6物:+3必一3=o,

_6kb

“2一3^猾T，|況+網=網+萬+/，故礪,加

故，

即xlx2-\-yiy2=玉%2+(g+5)(仇+人)=。,即儼+1)再入2+幼(再+%2)+〃=°,

即(尸—化簡得至1」2〃=3/+3,

'73F-13左2-1

f2=方程組無解，假設不成立.

（2b/=3kz+3

故不存在直線滿足條件.

（3）焦點坐標為（1,0），易知直線方程斜率不為零，設直線方程為x=my+l,

M（%，X）,N（如女），則S（孫一方），

x=my+1為+丫2=一^^

式+日=1，化簡得到（2毋+3）/+4my-4=0,

4

{y/2=一2心

直線WS方程為：丁=生之工-再）+九

玉-x2

取y=o得到

再％+ZX_（加必+1）%+（根%+1）%_4_~2m2^+3

%+%%+%Ji+%4m

2m2+3

今=鬻=杏=亭，故、是定值為正1.

€23—A/32%2

（六）探索直線與圓錐曲線的位置關系

探索直線與圓的位置關系一般根據圓心到直線距離與圓的半徑的大小進行判斷，探索直線與

橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系一般根據判別式.

【例7】已知定理：如果二次曲線加+。2+m+@+尸=0與直線mr+"y+4=0（#0）有兩個

公共點P、Q,0是坐標原點，則OP±OQ的充要條件是（A+C）q2-（mD+nE）q+（m2+n2）F=0.

（1）試根據上述定理寫出直線/：尤+2y-3=0與圓C:x2+y2+x_6y+c=0相交于P,Q,坐標

原點為。，且OP，OQ的充要條件，并求c的值；

22

（2）若橢圓=+[=1與直線”+沖+4=0相交兩點P、Q,而且OP^QQ,試判斷直線尸。與

ab

無2+2____

圓>一,，i的位置關系,并說明理由.

a2b2

【解析】(1)由定理可知OP，OQ的充要條件為:2X(-3)2-(1-12)X(-3)+(1+4)C=0,

BP18-33+5c=O,.-.c=3.

22

(2)?.?橢圓A+4=l與直線mx+〃y+q=o相交兩點p、2,

ab

?"5+5）"T療+/）=。，即，+/=二^?

???圓/+'2=「的半徑為曰:二層5=溪7,

a2b2\a2b2

又圓心（0,0）到直線PQ的距離為"=-1==,

7m+n

d=r,

無2,2=_I_

，直線PQ與圓＞一工+工相切.

a2b2

（七）探索類比問題

此類問題多是橢圓與雙曲線的類比

22

【例8】設耳、8分別為橢圓C:二+與=1（。＞0）＞0）的左、右兩個焦點.

ab

⑴若橢圓C上的點A11，3到耳、與兩點的距離之和等于4,寫出橢圓C的方程；

（2）設K是（1）中所得橢圓上的動點，求線段4K的中點的軌跡方程；

（3）已知橢圓具有性質：若M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩個點，點尸是橢圓上任意一點,

當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kpM、kPN時，那么kpM與kPN之積是與點P位置無關的

22

定值.試對雙曲線=1寫出具有類似特性的性質，并加以證明.

ab

【解析】（1）點A.在橢圓C上,且到小層兩點的距離之和等于4,則V［|］2a=4,

I~+~^~=x

ab

22

解得“=2,〃=3,橢圓C的方程為上+匕=1；

43

（2）。=乒齊=1,則有MT。）,設線段KK的中點為（無力則有

_m-1

X~2Jm=2x+l

n\n=2y'

y=-i

I2

又K是橢圓上的動點，則有M+d=i,即-—--F-~~y）=1,即［x+工］+勺-=1.

4343I2）3

故線段大K的中點的軌跡方程為］》+gj+手=1

Y22

（3）類似特性的性質為：若M、N是雙曲線2V=1上關于原點對稱的兩個點，點尸是雙

ab

曲線上任意一點,當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kpM、kpN時，那么kpM與kpN之積是與

點P位置無關的定值.

證明：設戶（X。,幾）,M（SJ）,N（—s,T）,則指-5=1,腦=二，%=篝,

27

=%)-=%T

一,-22

XQ—SXo+5Xo—5

（八）不良結構問題

近年不良結構問題,通常是要求學生從備選條件中選擇部分條件解題，選擇不同的條件，所用

知識可能不同，難易程度也可能不同.

【例9】在①尸產=5+1,②%=2%=2,③PF，左軸時,尸尸=2這三個條件中任選一個，補充

在下面的橫線上，并解答.

問題：已知拋物線。：尸=2m（0>0）的焦點為￡點戶伍,九）在拋物線C上,且_____.

（1）求拋物線C的標準方程；

⑵若直線/：x-y-2=。與拋物線C交于A.B兩點，求AABF的面積.

【解析】（1）解：選擇條件①，

由拋物線的定義可得PF=x。欄,

因為尸尸=須+1,所以無o+~|=%+1,解得P=2,

故拋物線C的標準方程為y2=4x.

選擇條件②，

因為%=2%=2,所以y0=2,x0=l,

因為點尸（%，％）在拋物線C上，

所以尤=2內。,即2P=4,解得p=2,

所以拋物線C的標準方程為y2=4x.

選擇條件③.

當尸尸_Lx軸時,P尸=孑+§=2,所以p=2.

故拋物線C的標準方程為y2=4x.

（2）解：設4（%,%）,5仁,%）,由（1）知/（1,0）.

由。[x—=y—-2?=0，得>.Ty-8=0,

則X+%=4,%%=-8,

所以IM-%|==J16+32=46，

故AB=Jl+Rj]—y21=yjlx4#:=4^/6.

因為點p到直線/的距離〃=4二3=立，

所以A4B廠的面積為工48"=、45后、走=2右.

222

三、跟蹤檢測

1.(2023屆廣東省佛山市順德區(qū)高三上學期教學質量檢測)已知動圓C經過點P(LO),且與

直線x=-l相切,記動圓C圓心的軌跡為E.

⑴求E的方程；

(2)已知尸(4,%)(%>0)是曲線E上一點,A3是曲線E上異于點P的兩個動點,設直線PA、

3兀

PB的傾斜角分別為圓/，且a+/?=T，請問：直線AB是否經過定點？若是，請求出該定點，

4

若不是，請說明理由.

2.(2023屆江蘇省泰州市泰興市高三上學期期中)已知圓。：/+產=16,點A(6,0)，點、B

為圓。上的動點，線段的中點M的軌跡為曲線C.

⑴求曲線C的方程；

⑵設7(2,0)，過點T作與無軸不重合的直線/交曲線C于E、F兩點.

(i)過點T作與直線/垂直的直線相交曲線C于G、8兩點，求四邊形EGFH面積的最大值；

(ii)設曲線C與x軸交于P、。兩點，直線PE與直線。/相交于點N,試討論點N是否在定

直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.

3.(2023屆上海師范大學附屬嘉定高級中學高三上學期期中)己知雙曲線C:/-y2=i,過點

T(t,0)作直線/和曲線C交于A,B兩點.

(1)求雙曲線C的焦點和它的漸近線；

⑵若f=0,點A在第一象限,，x軸,垂足為連結BH，求直線BH斜率的取值范圍；

⑶過點T作另一條直線機"和曲線C交于&F兩點.問是否存在實數f,使得荏.甌=0和

|而|=|甌]同時成立.如果存在,求出滿足條件的實數/的取值集合；如果不存在,請說明理由.

4.(2023屆湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯盟學校高三上學期期中聯考)設點P

為圓C:無2+>2=4上的動點，過點尸作%軸垂線，垂足為點Q,動點/滿足2麗=V3P2(點尸、

。不重合)

⑴求動點”的軌跡方程E；

⑵若過點7(4,0)的動直線與軌跡E交于A、B兩點，定點N為，直線NA的斜率為《，直

線的斜率為心，試判斷匕+&是否為定值.若是,求出該定值；若不是，請說明理由.

22

5.(2023屆湖南省郴州市高三上學期教學質量監(jiān)測)已知橢圓E：卞+3=1(°>6>0)的離

心率為他，過坐標原點0的直線交橢圓E于尸,A兩點，其中P在第一象限，過尸作x軸的垂線，

2

垂足為C,連接AC.當C為橢圓的右焦點時,△PAC的面積為血.

⑴求橢圓E的方程；

(2)若B為AC的延長線與橢圓E的交點，試問：NAPB是否為定值，若是，求出這個定值；若不

是，說明理由.

6.(2023屆云南省部分重點中學高三上學期10月份月考)已知拋物線C：y2=2/7x(p>0)

的焦點為F，點。(如2)在拋物線C上，且修斤|=2.

(1)求拋物線C的標準方程.

⑵直線/：x=陽+t與拋物線C交于A,JB兩點,點尸(yO),若ZAPO=NBPO(。為坐標原

點)，直線/是否恒過點M?若是，求出定點M的坐標；若不是，請說明理由.

7.(2023屆上海市高橋中學高三上學期9月月考)在平面直角坐標系中,0為坐標原點，動點

G到耳(-73,0),F2(73,0)的兩點的距離之和為4.

(1)試判斷動點G的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程C.

⑵已知直線y=M無-與圓修1-百丫+丁、；交于M、N兩點,與曲線C交于P、

Q兩點,其中“、尸在第一象限,d為原點。到直線i的距離，是否存在實數k，使得

T=(|NQ]-[加尸|)?2/取得最大值,若存在，求出k和最大值；若不存在，說明理由.

8.(2022屆廣東省潮州市高三上學期期末)已知橢圓C:J+￡=l(a>6>0)的離心率為手，

以原點。為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線2x-魚y+6=0相切.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)已知點48為動直線尸網片2)(際0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點瓦

使得由+麗?荏為定值？若存在，試求出點E的坐標和定值；若不存在，請說明理由.

9.(2022屆河北省深州市高三上學期期末)已知拋物線。：/=4了,點尸為。的焦點,過廠的

直線/交C于4,8兩點.

(1)設A3在C的準線上的射影分別為P,。,線段尸。的中點為R,證明：AR//FQ.

(2)在無軸上是否存在一點T,使得直線AT,的斜率之和為定值？若存在，求出點T的坐標；

若不存在,請說明理由.

10.已知橢圓￡:9+%2=1(〃>1)的離心率為白，圓A:x2+(y—〃)2=產土〉0)與橢圓E相交

于&。兩點.

(1)求4B-AC的最小值;

(2)若片，外分別是橢圓E的上、下焦點，經過點耳的直線/與橢圓E