2025新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：選填題解題技巧（解析版）

為考送嬪殿解敗技巧會(huì)玫陪

目錄

解法探究...............................................................................1

方法~~直接法..........................................................................1

方法二排除法........................................................................4

方法三特例法........................................................................6

方法四構(gòu)造法........................................................................8

方法五數(shù)形結(jié)合法...................................................................11

方法六建系法.......................................................................15

多選題方法攻略.......................................................................19

高考通關(guān)..............................................................................28

解法探究

方法一直接法

直接法在選擇題中的具體應(yīng)用就是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、公

式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識(shí),通過嚴(yán)謹(jǐn)推理、準(zhǔn)確運(yùn)算、合理驗(yàn)證，從而直接得出正確結(jié)論，然后

對(duì)照題目所給出的選項(xiàng)“對(duì)號(hào)入座”，從而確定正確的選擇支.這類選擇題往往是由計(jì)算題、應(yīng)用題

或證明題改編而來，其基本求解策略是由因?qū)Ч?直接求解.

由于填空題和選擇題相比，缺少選擇支的信息，所以常用到直接法進(jìn)行求解.直接法是解決選

擇、填空題最基本的方法，適用范圍廣，只要運(yùn)算正確必能得到正確答案，解題時(shí)要多角度思考問

題，善于簡化運(yùn)算過程，快速準(zhǔn)確得到結(jié)果.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(24—25高三上?北京?階段練習(xí))設(shè)等比數(shù)列｛狐｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S。為其前幾項(xiàng)和，若如=2,a2a3a4

=。9，則S3=()

A.6B.8C.12D.14

【答案】。

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可計(jì)算出公比q,由等比數(shù)列前項(xiàng)和的定義即可求得S3.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,則Q2a3。4=。9^=。時(shí)=CZ-1Q8,

又因?yàn)殡?2,則8/=2q8,所以q2=4

又等比數(shù)列｛Q/的各項(xiàng)均為正數(shù)，故q=2,

則$3=。1+。2+。3=。1(1+9+/)=2(1+2+4)=14.

故選：D

2.(24-25高三上?河北滄州?期中)溶液的酸堿度是用來衡量溶液酸堿性強(qiáng)弱程度的一個(gè)指標(biāo),在化學(xué)

???

中，常用PH值來表示溶液的酸堿度.的計(jì)算公式為PH=—lgc（H+）,其中c（H+）表示溶液中氫

離子的濃度，單位是摩爾/升.已知人溶液中氫離子的濃度是0.135摩爾/升，則A溶液的值約為

（參考數(shù)據(jù)：lg2a0.301,lg3x0.477）

A.0.268B.0.87C.1.13D.1.87

【答案】B

【分析】由PH的計(jì)算公式及對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：由題意得

F7/=—lgO.135

=-lg(135x10-3)

=-lgl35+3

=—lg(33x5)+3

=-31g3-Ig5+3

——31g3—(1—lg2)+3

=-31g3+lg2+2

心0.87

故選

3.（2024高三?全國?專題練習(xí)）每年的5月25日是全國大中學(xué)生心理健康日.某高校計(jì)劃在這一天開展

有關(guān)心理健康的宣傳活動(dòng)，現(xiàn)計(jì)劃將6位老師平均分成三組分別到三個(gè)不同的班級(jí)進(jìn)行宣講,則不同

的排法總數(shù)為（）

A.540B.120C.90D.60

【答案】。

（分析］先將6位老師平均分成三組，再將三組分配即可.

【詳解】將位老師平均分成三組，共有更匪

6種可能,

三組老師分別到三個(gè)不同的班級(jí)進(jìn)行宣講,每個(gè)班級(jí)都有老師宣講,

廠2廠2c2

則有?^=90種排法.

故選：C.

4.（24-25高三上?天津?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（2）=2cos（℃+

則。的取值范圍為（）

C.

A?毋引B?已知D（米知

【答案】。

【分析】xE（0,左），求出0%+9的范圍，對(duì)應(yīng)極小值點(diǎn)時(shí)，區(qū)間的右端點(diǎn)在（3乃,5兀］上，/G7T7T

6

調(diào)遞增，包含在區(qū)間［7,2力上，分別得出3的范圍后取交集可得.

式,7T

【詳解】力e（0,不）時(shí)，⑦力+《e—,COT+—

OO6

/(a;)在(0,萬)有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)，則3萬V3乃+看<5兀，*V0〈筆■,

0）71.71COX.7T717T

+_L—乃EU亍十石'萬十石

63,萬

/CO7C.7C

7L^——+—廠rr

則<3o57—11

CDX.7U2①、3，

〔三+不<《92萬

所以磊<34號(hào),

故選：D.

二、填空題

5.(24—25高三上?江西南昌?階段練習(xí))已知向量五石的夾角為與，4=(心,1),同=1,則\a-b\=

O

【答案】V7

【分析】利用向量的數(shù)量積的定義，求得a-b=一1,再根據(jù)區(qū)一可=y/a2-2a-b+f，即可求解.

【詳解】因?yàn)橥?1,同=V(V3)2+l2=2,(a,b)=,

所以五?b=同?|b|cos(a,b)=2x1xcos^-=—1,

o

所以同=(a—6)2=Va2-2a-b+6"=A/4—(—2)+1=V7.

故答案為：

6.(24—25高三上?天津?階段練習(xí))已知拋物線婿=2pMp>0),經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)(1,2)的切線截圓C：

(x-af+婿=4(a>0)的弦長為22，則a的值為.

【答案】1

【分析】由題意可得：靖=4力,設(shè)切線方程力=zn(g—2)+1,結(jié)合相切可得nz=1,根據(jù)垂徑定理結(jié)合弦長關(guān)

系列式求解即可.

【詳解】因?yàn)閽佄锞€y2—2p/(p>0),過點(diǎn)(1,2),則2P=4,得至【Jp=2,所以婿=4/，

顯然切線斜率不為0,設(shè)切線方程為x=m(y—2)+1=my+1—2m,

，消去力得好—4my+4（2m—1）=0,

則△=16m2—16(2m—1)=0,整理得到m2—2m+1=0,解得m=l,

所以切線方程為力=g—1,即力一g+l=0,

又因?yàn)閳A。：(/一a)?+y1=4(a>0)的圓心C(a,0),半徑7=2,

則圓心C(a,O)到直線/一g+1=0的距離d=,a>0,

由題意可得(血)2=22,整理得到4+20—3=0,解得Q=1或0=一3(舍).

\V2'

故答案為：［

方法二排除法

排除法是一種間接解法，也就是我們常說的篩選法、代入驗(yàn)證法，其實(shí)質(zhì)就是舍棄不符合題目要求的

選項(xiàng),找到符合題意的正確結(jié)論.也即通過觀察、分析或推理運(yùn)算各項(xiàng)提供的信息，對(duì)于錯(cuò)誤的選項(xiàng)，逐一

剔除,從而獲得正確的結(jié)論.具體操作起來,我們可以靈活應(yīng)用，合理選取相應(yīng)選項(xiàng)進(jìn)行快速排除，比如，

可以把一些簡單的數(shù)代入，符合條件的話就排除不含這個(gè)數(shù)的范圍選項(xiàng)，不符合條件的話就排除含這個(gè)數(shù)

的范圍選項(xiàng),即：如果有兩個(gè)選項(xiàng)A(a>1)、B(a>1)，你就可以選取1這個(gè)數(shù)看是否符合題意,如果1符合

題意，你就排除如果1不符合題意,你就排除A,這樣就能快速找到正確選項(xiàng)，當(dāng)然,選取數(shù)據(jù)時(shí)要考慮

選項(xiàng)的特征，而不能選取所有選項(xiàng)都含有或都不含有的數(shù);也可以根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)對(duì)熟悉的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行論證

再排除，比如，四個(gè)選項(xiàng)當(dāng)中有四個(gè)知識(shí)點(diǎn)，你就可以把熟悉掌握的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行論證，看是否符合題意即可

快速而且正確找到選項(xiàng),而不會(huì)因?yàn)槟硞€(gè)知識(shí)點(diǎn)不會(huì)或模棱兩可得到錯(cuò)誤選項(xiàng).

而歷年高考的選擇題都采用的是“四選一”型，即選擇項(xiàng)中只有一個(gè)是正確的，所以排除法是快速解決

部分高考選擇試題從而節(jié)省時(shí)間的有效方法.那對(duì)于填空題呢，其實(shí)也是可以的，比如有些填空題如果你

己經(jīng)求出了結(jié)果，但并不確定這個(gè)結(jié)果中的某個(gè)端點(diǎn)值是否要取,你就可以代入驗(yàn)證進(jìn)行排除.所以，我們

要熟練掌握這種能幫助你快速找到正確結(jié)論的方法，從而提高解題效率，為后面的試題解答留有更充足的

時(shí)間！

【典例訓(xùn)練】

7.下面四個(gè)命題：

初:命題“VnGN,2"”的否定是F%GN,端W2"”；

「2：向量a=b=(1,—ri),則7n=7i是aJ_b的充分且必要條件；

p3：已知雙曲線《一"=l(a>0,6>0)的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(1,2),則該雙曲線的離心率為0;

azbz

P4：在等比數(shù)列｛bj中，若“5=2,d=8,則b7=+4.

其中為真命題的是

A.P1，P2B.。2,。3C.P2,PiD.Pl，P3

【答案】8

【解析】方法一,:

對(duì)于Pl：命題“VneN,"2>2"'的否定是就42"”，所以Pl是假命題，排除A,。;

對(duì)于P3：雙曲線-----=l(a>0,6>0)的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(1,2),則有a=2,則離心率e=￡■=

a2b2aa

=方，所以M是真命題，排除故選B.

4

8.已知S”為數(shù)列｛狐｝的前n項(xiàng)和,且log2(S?+1)=n+1,則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為

3,72=1

nn-1n+1

A.an=2B.a=C.a=2D.an=2

n2n，心2n

【答案】R

n+1

【解析】由log2(Sn+l)=?i+1,得S九+1=2,

當(dāng)九=1時(shí)，Q1=Si=3;(解題時(shí)，到這一步就可以進(jìn)行排除，得出正確選項(xiàng)，因?yàn)镼1=S1=3,4、中

的Q1均不為3,故可排除，選B.)

當(dāng)71>2時(shí)，“=S九一S『1=2n.

3,n=1

所以數(shù)列｛。九｝的通項(xiàng)公式為a=.故選

n2n,n>2

9.(24-25高三上?天津?階段練習(xí))函數(shù)/(乃=("+?"也2的大致圖象為()

2“2，'

【答案】A

【分析】結(jié)合函數(shù)的定義域，零點(diǎn)，x>0時(shí)函數(shù)值的符號(hào)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，即可求解.

【詳解】由/(工)=I，；'2：n2知J(—1)=0,所以選項(xiàng)。不合題意；

又名=0時(shí)，丁-2'-2"-2"=0,所以:EWO,故選項(xiàng)B不合題意，

因?yàn)閤>0時(shí)，，>—2,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，2X>2~X,

又2弧度是第二象限角，故sin2>0,于是,>0時(shí)，/(c)>0,所以選項(xiàng)。不合題意，

故選：A.

10.若不等式aF+2ax-4<2.?+4x對(duì)任意實(shí)數(shù)K均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(-2,2)B.(-00,_-)U(2,+00)

C.(--*2]D.(9-]

【答案】。

【解析】當(dāng)。=2時(shí)，不等式為-4<0，恒成立，符合題意，排除A、B；

當(dāng)a=-2時(shí)，不等式為『++1=(1+2°，不恒成立，不符合題意，排除。，故選C.

IL（2024高三全國?專題練習(xí)）設(shè)a=3葭22.4,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

【答案】。

【分析】設(shè)/㈤=e'-x-1，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，得到=0,得出5>x+i,進(jìn)而求得

b>c，再利用作商法，將（多丫的商的結(jié)果與1進(jìn)行比較，從而可求得上<1,得到方<a,即可求解.

hr

-=e02t-12-02+1

【詳解】由題意，得2,2

令/（x）=e-X-1,K>O,則/'（x）=e'T>0,

所以/（x）在（0,4「上單調(diào)遞增，

所以/（x）>/（0）-0,即e'>0],

bc

所以則b>c,故排除

所以I口I97.39，所以b,

所以a>方.

故選：。.

方法三特例法

特例法也就是我們常說的特殊值驗(yàn)證法，有時(shí)也用特殊數(shù)值、特殊圖形、特殊位置代替題設(shè)中普遍條

件，得出特殊結(jié)論,再對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn),從而做出正確的選擇.特別是對(duì)于一些比較棘手的高考選擇題

或填空題，若能注意到其特殊情況,從特殊性入手，也許就可以簡捷快速地解決問題.

常用的特例有特殊數(shù)值、特殊點(diǎn)、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.特例法是解答

選擇題的最佳方法之一，具體是通過特例的方式提高解題速度,題中的一般情況必須滿足我們?nèi)≈档奶厥?/p>

情況,從而我們選取適當(dāng)?shù)奶刂祹椭覀兊玫秸_的結(jié)論.比如，某個(gè)數(shù)列，可以考慮等差數(shù)列或等比數(shù)列

的情形;某個(gè)三角形,可以考慮直角三角形或等邊三角形;橢圓上某點(diǎn)，可以考慮長軸或短軸的端點(diǎn)等，但

考慮的前提是一定要滿足這種情況適合題中所有條件.

近年來高考選擇、填空題中可用或結(jié)合用特例法解答的試題能占到30%左右,所以要想快速準(zhǔn)確地

贏得時(shí)間獲取高分，一定要學(xué)會(huì)、會(huì)用并且靈活使用特例法！

【典例訓(xùn)練】

12.若\'2x+l為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.0C.~~D.1

【答案】B

…f（l）=/（-I）...（l+a）ln-=（-l+a）ln3人

【詳解】J（x）為偶函數(shù)，則3，得。=0

13.已知曲線C：靖+靖=16（夕>0）,從。上任意一點(diǎn)P向立軸作垂線段PP',P'為垂足，則線段PP,的中

點(diǎn)7的軌跡方程為（）

A-^■+^=1（y>0）B$+（=IG/>O）

C.力1=1（夕>0）D.^-+^=l（y>0）

【答案】A

【詳解】曲線。上取一點(diǎn)（0,4）,向多軸作垂線段，中點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）,代入ABCD知，只有A符合

14.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）若a>0,b>0,則使a+6W4成立的一個(gè)充分不必要條件為（）

A.-+-^<1B.上+單>4C.+D.2+華>4

ababab

【答案】。

【分析】利用特殊值法代入可知4B、。均錯(cuò)誤，再利用基本不等式計(jì)算可得。正確.

【詳解】對(duì)于A,易知當(dāng)a=4）=4時(shí)滿足工+《41,但此時(shí)不成立，可知A錯(cuò)誤：

a0

對(duì)于B,當(dāng)。=4力=4,可知之+羋>4成立，但a+?W4不成立，可知8錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于。，由a：+b：48可得片里《口2+〃&8,即可得a+bW4,即充分性成立；

當(dāng)a=3,b=l時(shí)，滿足a+A?4,但此時(shí)a2+〃W8不成立，即必要性不成立，可得。正確；

對(duì)于。，當(dāng)a=4/=1時(shí)，易知之+f>4成立，此時(shí)a+b44不成立，可得。錯(cuò)誤.

ab

故選：C

15.（24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí)）下列函數(shù)，滿足”對(duì)于定義域內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)力1，電（為#e2），都

有/口）+/日匿2"2&”的是（）

A./（.r）=.v+sin.vB./（X）-4X-X'C./（x）-21n（.x+l）D./（r）=x|r|

【答案】c

【分析】利用賦值法可判斷ABD,令g（X）=?1n（K+1）-2x,利用導(dǎo)數(shù)可得=21n31）4,可判斷C.

【詳解】對(duì)于A,令工.一兀，工.二兀，貝”力11+力匚1=-3兀，h+r?-6兀，不滿足條件，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,令'尸0,凡=1,則口=3,卜+卜：=?,不滿足條件，故3錯(cuò)誤；對(duì)于。，因?yàn)?/p>

g（x）=21n（x+l）-2Kx>-l）,求導(dǎo)得《'（加密?2.高,

當(dāng)-1<x<0時(shí)，g'E>°,函數(shù)g⑺在（-L0）單調(diào)遞增，

當(dāng)x>0時(shí),g'l、i<°,函數(shù)g（、）在（。，+8）單調(diào)遞減，???

所以g(r?g(O),即加(x+l)-2x4加0+l)-2x0=0萬/ln(x+l)?2x

即/3?21n(x+l)Sh,所以〃.\;)+/h)424+2工滿足條件，故0正確；

對(duì)于。，令占=0,?%=3，則/(i)+“I」-，八+2v；-6,不滿足條件，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

16.(24—25高三上?四川?期中)已知(X』TAJ」是函數(shù)-log.'圖象上不同的兩點(diǎn)，則()

r.+.x.+r,j\+r2.r.+x,

ATiCog：—B—

A.__-D?__

,x.+x,Vi+r>l,or.+r.

cJ'i+J'2<iog：-4H-D---s

【答案】A

【分析】設(shè)o<*<工，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式，特殊值法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由題意不妨設(shè)0c<0，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以log.T<1叫\(zhòng).，即「<二.

lo&r.+log.r^log-lx.r,)<log,代習(xí)

zm+LJ|+J'2.X.+X,

r.+j\<21og-------~—<log——"八

則2,即22,A正確，B錯(cuò)誤；

3x+x

取-2,則兒■o，匕=1盧+心.1-ioB：2>iog：-108：,°錯(cuò)誤.

x.=—x,=—、,y.+j,=-3=log—<log.-=log,TJ+T2

取4,-2,則J：=-26=T,"-8S-2,D錯(cuò)誤.

故選：4

方法四構(gòu)造法

構(gòu)造法是一種創(chuàng)造性思維,是綜合運(yùn)用各種知識(shí)和方法，依據(jù)問題給出的條件和結(jié)論給出的信息，把

問題作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?構(gòu)造與問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，揭示問題的本質(zhì)，從而找到解題的方法

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

17.(2024?廣東?二模)函數(shù)的定義域?yàn)镽J(>=3,若▼代艮/")>1,則〃0>2；+1的解集為

()

A.(-2,2)B.(->'w0)C.I-00，？)D.(-°o--wo)

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(%)=%-1,解不等式即可得出答案.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)/(、)=八；1,滿足力1=3,/'(?"=]>1,

?M

則由/(x)>x+l可得2x_l>x+l,解得：\>2.

故選：B.

18.(2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/Q)的導(dǎo)函數(shù)為/(土)，且/俳)+/(-T)=0.對(duì)于

r(x)

任意的實(shí)數(shù):V,均有成立，若〃一3'=-16,則不等式力#>)的解集為()

A.(-8,-3)B.(Y°，3)c.(-3,+8)D.(&*00)

【答案】。

g")=3g(r)=^

【分析】構(gòu)造函數(shù)s，2,，然后由已知可得s’，丁的單調(diào)性，最后將不等式轉(zhuǎn)化為

g|X)>g(3),即可得到答案.

,,__/(x)<^--^-c=>/,(x)-/(x)ln2>0人g(x)=〃"

【詳解】八/ln2J<J八，，令,

r(x)-2*-2V(x)ln2/(xj-Zlx)ln2

g㈤=.......---------=-----~~->0

則13)-，則g(K)在(Y°,")上單調(diào)遞增.

/(3)

由/(-3)=-16J(T)為奇函數(shù)，得/(3)=16,則泰3)=丁=?,

/(X)/(X)/(3)

從而原不等式,可化為T'-，即T>2',此即為giii>g13).

由于g(2)在I)上單調(diào)遞增，故這等價(jià)于\>3,所以不等式的解集為！3'*°].

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造新的函數(shù)并利用已知條件.

19.(2024,遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知a,加R,若24as則b的可能值為()

A.2.5B.3.5C.4.5D.6

【答案】B

【分析】構(gòu)造函數(shù)",s二T,求導(dǎo)確定其單調(diào)性，結(jié)合/C)=/(4)可得答案.

InaIndInx

，設(shè)〃則?

【詳解】由a"得ab/(a)/(b),

又/‘⑶1-lnx

當(dāng)。<x<e時(shí),/(re)>0,/(')單調(diào)遞增,

當(dāng)一\>e時(shí)，r(as)<o,y(x)單調(diào)遞減.

In，，IniIn4

---“4)

因?yàn)榘?244，所以24a<e<b44.

結(jié)合選項(xiàng)可知B正確，ACO錯(cuò)誤.

故選：B.

20.（2023?河北?三模）已知函數(shù)/（x）=e+x-r-ah】x在區(qū)間（l,e：）上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是（）

D.(O.e)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，令。⑴“e'+r,轉(zhuǎn)化為g（x）=g（alnx）在區(qū)間（l,e;）上恰有2個(gè)實(shí)根，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為

K=aln工即”一記'在區(qū)間（1,e’）上恰有2個(gè)實(shí)根，得到‘""=『與J=a的圖象在區(qū)間（L屋）上恰有2

個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)，”△：的單調(diào)區(qū)間和極值，進(jìn)而得到答案.

【詳解】由函數(shù)/（、）-C+r-r"-aln、.在區(qū)間（l,e：）上恰有2個(gè)零點(diǎn)，

令/（x）=0,可得e'+x=x"+alnx=+alnx,

令夕??e'+J,則g（r）=g（alnx）在區(qū)間（l,e2）上恰有2個(gè)實(shí)根，

_r

因?yàn)間（T）在R上單調(diào)遞增，所以r=alnx即“一菽在區(qū)間（1,e：）上恰有2個(gè)實(shí)根，

/KK）=——、

所以函數(shù)''Inx與的圖象在區(qū)間Z（11，匕）上恰有2個(gè)交點(diǎn),

力3hix-1

又由lln\「，當(dāng)X€(1,e)時(shí)，力'(x)<0；當(dāng)K€(e,d)時(shí)，力'(、)>0,

所以函數(shù)人△:在區(qū)間（Le）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（e,e-）上單調(diào)遞增,

當(dāng)一1，時(shí)且才⑻=eg）=T,所以e<a<亍，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是

故選：4

21.（23—24高三上?山西運(yùn)城?階段練習(xí)）已知a?l+sinO［，b=l+lnl」，c=LOr°,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式，得到C〉L1,設(shè)g（X）=X-即X,利用導(dǎo)數(shù)得到gm在（0,+8）上單調(diào)遞增,根據(jù)

g（K）>g（0）-0j”ja<cg/（x）rinr-ln（l+x），x€（（M）j”［a>6，即可求解.

［詳解］由c=l0嚴(yán)=（1+°」廠=1+Cj001+C；,00F+…+C：001">1+C；O001+.=1.1

設(shè)g（x）=i-，n'可得g'3=l-cos\20恒成立，函數(shù)gE在（0,+8）上單調(diào)遞增，

所以gI、gm=°,所以K>SinK在在（O.M）上恒成立，

所以a=l+smO1<1+0」=1」，所以a<c,?M

設(shè)?x）=cosx-l+mEx€（0,l）,可得夕”上一曲r+K>0

所以?（X）>夕⑼=0,所以8$X>1-卡

設(shè)/(X)-sinx-ln(l+x),x€(0.1)

:

/'(x)=cosx--L>i-Lr__L-x(r+2Xx-l)>0

可得1+r21+r-2(1^)~

所以/（①）在（0,1）上單調(diào)遞增，所以力°11>力°）?°,可得sin（M即a>b,

所以％<a<c.

故選：B.

方法五數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法:對(duì)于一些含有幾何背景的題，若能根據(jù)題目中的條件,作出符合題意的圖形，并通過對(duì)圖

形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結(jié)果.這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和

截距、向量的夾角、解析幾何中兩點(diǎn)間距離等.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

22.（24—25高三上?北京?期中）已知定點(diǎn)430,80,4），若點(diǎn)。在圓。：產(chǎn)+廠=4上運(yùn)動(dòng)，則

的最小值為（）

A.2MB.6C.2+2^5D.2+2713

【答案】A

【分析】設(shè)點(diǎn)。0力，且卜子「回，由此可求得0（°，1）,利用三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)可確定當(dāng)

AC,0三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)門二JL則|。8卜Jx'+（J-4）’=2y/5-2y

設(shè)點(diǎn)Dw）,且口卜3叫=*+…，-乒F,

解得」?1,；.存在點(diǎn)“的）,使得印卜#"L

???

y

R\

O]JA

???2陽+”"(倒+；網(wǎng)=2(倒+即歸平q(當(dāng)且僅當(dāng)月co

三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))，

.-.(2|C4|+1明L=：!|明=2^(3-0)'+(0-1)'=2M

故選：4

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓的問題中的線段長度和最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)阿波羅尼斯

圓的性質(zhì)，將所求線段進(jìn)行長度轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用幾何關(guān)系來進(jìn)行求解.

23.(23—24高三上?江西南昌?開學(xué)考試)已知函數(shù)J■e'和J的圖象與直線J-2-X交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

分別為4,。，則()

A.a>bB.a+b<2C.ai>>1D.a:+b:>2

【答案】。

【分析】作出函數(shù)J=e和J=lin-的圖象以及直線J=2-x的圖象，即可判斷a,b大小沒判斷A；利用反函

數(shù)的性質(zhì)可判斷B；利用基本不等式可判斷C,。.

【詳解】作出函數(shù)J=e和J=3的圖象以及直線j=1的圖象，如圖，

由函數(shù)J=e'和『=Im"的圖象與直線J=2-K交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a,b,

結(jié)合圖象可知0<a<b,4錯(cuò)誤；

由題意知4(a,e"),5(b,lnb),也即4(a,2-a)網(wǎng)瓦2-匕),

由于函數(shù)J=e'和J=lnr互為反函數(shù)，

二者圖象關(guān)于直線『='對(duì)稱，而AB為J=e'和j=Inx的圖象與直線J=2-x的交點(diǎn),

故4B關(guān)于J=、對(duì)稱，故a=?-瓦a+b=2,B錯(cuò)誤；

,q+b、」，

由0<。<。。+。=2,故2',C錯(cuò)誤；

因?yàn)?<a<b,故。：+分’>?而，:式優(yōu)+武）>（。+萬）’，

結(jié)合。+5=2,即得a：+5：>2正確，

故選：。

24.（24—25高三上?湖南?階段練習(xí)）已知己是單位向量，向量后滿足卜一7,則W的最大值為（）

A.2B.4C.3D.1

【答案】B

【分析】設(shè)。力=IQB=b,由*卜3

，可得點(diǎn)k在以A為圓心，3為半徑的圓上，利用向量的模的幾何意

義，可得W的最大值.

【詳解】

設(shè)火■包仍“，因?yàn)椴贰辈?,

即同例平卜3,即囤=3,

所以點(diǎn)B在以A為圓心，3為半徑的圓上，

又N是單位向量，則|°月卜1,

故冏最大值為同+網(wǎng)=1+③=4,即目的最大值為生

故選：B.

/（X）■2?iw（<vx+^>）［d>>0,|^>|<上

25.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知"I"，其中相鄰的兩條對(duì)稱軸的距離為3,且

/（X）經(jīng)過點(diǎn)則關(guān)于x的方程/（x）=sE在［0,刈上的不同解的個(gè)數(shù)為（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【分析】把方程解的個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而利用數(shù)形結(jié)合可找到答案.

?！?—T=-2-兀-

【詳解】由已知相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為可得32?啊|,又（y>0,可得/=3,

1

由函數(shù).門Vl經(jīng)過點(diǎn)?1I則支可=-1,即g”F,

同」<p---/（r）=2an［3x-^|

又陽2，可得6，所以I6九

???

因?yàn)楹瘮?shù)J'-anx的最小正周期為7=

/（x）=2sinf3x-^T=—

所以函數(shù)I6）的最小正周期為3,

所以在［°-兀］函數(shù)”*-皿1"-力有三個(gè)周期的圖象，

在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示，由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn),

故選：4

26.（24—25高三上?遼寧沈陽?期中）已知。＞0,bwR，若關(guān)于X的不等式⑷,受丁+永一i泗在

,6

1°，+8）上恒成立，則.+￡的最小值是（）

A.4B.4。C.8D.S邪

【答案】。

【分析】結(jié)合一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，由不等式可得兩函數(shù)有共同零點(diǎn)a，由此得a是方程

x：+以-8=0的根，可得。力的關(guān)系，消b再利用基本不等式求解最值可得.

［詳解】設(shè)八?n=外一'gm=.r+bx_8,

又。＞0,所以了'"在1O.?「I單調(diào)遞增，

當(dāng)℃4時(shí)J3＜。；當(dāng)一：時(shí),/（x）＞0,

由田,?圖象開口向上，日°J-3，可知方程X5=。有一正根一負(fù)根，

即函數(shù)g’□在；0,“有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為異號(hào)零點(diǎn)；

由題意知?jiǎng)t當(dāng)。時(shí)，gdKO；當(dāng)時(shí)，glCNO,

所以a是方程亡+以-8=。的根，

4勿。

2_+_-8=0b=4a-二

5Ha*a，即a，且a＞0,

,6.26.4”ri'.

o+—=4a——+—=4a+—＞24a-=S

所以。aaa\a,

4g=i

4々■—ik

當(dāng)且僅當(dāng)a，即〔。=一時(shí)，等號(hào)成立,

則a的最小值是8,

故選：C

方法六建系法

建立平面直角或空間直角坐標(biāo)系,這樣相對(duì)直觀，易把題中條件轉(zhuǎn)化，把代數(shù)與幾何有機(jī)結(jié)合.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

27.(2024.廣東梅州.模擬預(yù)測(cè))直三棱柱45c-44C中，120',AB=AC=9，則異面直線A4,

與月C所成角的余弦值為()

2正立

A.4B.4C.~D.4

【答案】A

【分析】由題意，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線R4與月°所在直線的方向向量，由空間

向量夾角的余弦值的坐標(biāo)公式求解即可.

【詳解】以A為原點(diǎn)，在平面月8。中過A作力。的垂線交于D,

以AD所在直線為x軸，AC所在直線為J'軸，月月所在直線為二軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)橹比庵?18c中，，

1nl

所以122J)X|0,0,l))4(o.O.O1,^'0.H),

麗_

[22JXC,-(0,l,l)

設(shè)異面直線.與月q所成身為8,???

BAAC3

4

所以異面直線屈4與月。所成角的余弦值為彳.

故選：A.

28.（24-25高二上?貴州貴陽?期中）圖，已知圓柱QC的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，E為下底面

所成角的正弦值為（）

E

廊后屈

正~

A.~10~B.10c.TD.~~10

【答案】A

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式求解即可.

【詳解】

因?yàn)槭?2低，所以乙4QE=60°,所以/°/后=60?，

如圖所示，以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

^(0,0,0),B(0,2,0),0,(0,1,2),5^,1,0

則I--A

0-1,2)

所以前=

AEBO,.正

-7T

所以異面直線451與80所成角的余弦值為

則異面直線AE與慶\所成角的正弦值為

故選：A.

^BAD■■-^―

29.（23—24高一下.湖北武漢.期末）在平行四邊形月87。中，3,43=1/。=2,P是以。為圓

心，石為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，且力=4通+"而，則4+4的最大值為（）

ULu.坦

A.2+百B.C.2+"D.~7

【答案】。

【分析】先利用余弦定理求出月C,易得4C18,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)

P（^cosr.^sin^），根據(jù)平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示結(jié)合三角函數(shù)即可得解.

乙4QC-三

【詳解】由題意3,

在“CD中，由余弦定理得力。'-DA'+DC'-2DADCcosZADC-3,

所以4c.,

則AC1+CD:=月。：，故4cleD,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

則仄-1,0）,2（0,73）,5（1,73），設(shè)R與（》夕,倔in。）,

故4P=（"8sa。sind-TJ）,瓦=（i,o）,而=（_1,_君），

又赤=而+"屈=貝,0)+"(-1,-質(zhì),

gf)|V3cosVising-VII-I"“,一回”

真cos6=入-以(A=1+73cossin5

??

所以l召sn”旨,所以,

所以4+"-2+"cosO-25ine?2+"cos(6+#)42+3,其中80"—,sin/=?M

當(dāng)且僅當(dāng)cos13+夕1=1時(shí)，取最大值，且它的最大值為2+".

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

30.(24-25高三上?北京?階段練習(xí))已知正方形力BCD的邊長為2,以R為圓心的圓與直線力。相切.若

點(diǎn)p是圓q上的動(dòng)點(diǎn)，則DBAP的最大值是.

【答案】8

【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè),用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積,由F在圓上可求得最大值.

【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則月(-2,0),--2,2),區(qū)0,0),

易知圓B的半徑為J5,圓方程為+1--,

設(shè)RTJ),則麗?(，-?)萬?(什打)，

貝寸赤赤=2(x+2)-2j=4+2(.r-j),

設(shè)工-.r-/，貝口,=c-f,代入圓方程并整理