2025年高二升高三數(shù)學暑假培優(yōu)講義專題2 導數(shù)中的二次求導-(選擇性必修第二、三冊) 含答案

2025年高二升高三數(shù)學暑假培優(yōu)講義專題2導數(shù)中的二次求導-(選擇性必修第二、三冊)含答案導數(shù)中的二次求導1二階導數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)在x處可導，則稱y'的導數(shù)為函數(shù)y=f(x)在Eg若函數(shù)fx=x3，則2二階導數(shù)的意義二階導數(shù)是一階導數(shù)的導數(shù).從原理上看，它表示一階導數(shù)的變化率；從圖形上看，它反映的是函數(shù)圖像的凹凸性.若在(a,b)內f''x>0，則f(x)在(a,b)內為凹函數(shù)；若在(a,b)內f''Egfx=efx=lnx了解函數(shù)凹凸性，對于部分題型有助于更快地找到解題思路，特別是在切線放縮.3二次求導的運用①二階導數(shù)在高中教材中沒有介紹，我們不好直接使用二階導數(shù)性質，甚至它的符號f''(x)②二次求導除了可以判斷函數(shù)凹凸性，還有一個重要運用，(i)使用場景：某些函數(shù)一次求導f'x后，解f'x>0和f'x<0(ii)思考：若能知道y=f'(iii)解題步驟：設gx=f'x，對gx求導g'x，求出若g'【題型一】判斷函數(shù)的凹凸性【典題1】判斷以下幾個超越函數(shù)的凹凸性1fx=x?ex21(★)判斷以下幾個超越函數(shù)的凹凸性1fx=lnxx【題型二】二次求導與函數(shù)的單調性【典題1】若函數(shù)fx=sinxx，0<x1<【典題2】求函數(shù)fx【典題3】求gx1(★★)求函數(shù)fx2(★★)求函數(shù)fx=sinx?lnx在區(qū)間3(★★★)求函數(shù)fx=x+a【題型三】?二次求導與不等式證明【典題1】已知函數(shù)fx(1)若xf'x2證明x?1f【典題2】設函數(shù)fx(1)求f(x)的單調區(qū)間(2)若gx=ax?ex，求證：在1(★★★)證明當x>0時，x?2(★★★)已知函數(shù)fx=ex，(1)設Fx=fx?g(x)，當(2)當a=?e時，直線x=m,x=n(m>0,n>0)與函數(shù)3(★★★★)已知函數(shù)fx=ax(1)求a(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0導數(shù)中的二次求導1二階導數(shù)的概念如果函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x)在x處可導，則稱y'的導數(shù)為函數(shù)y=f(x)在Eg若函數(shù)fx=x3，則2二階導數(shù)的意義二階導數(shù)是一階導數(shù)的導數(shù).從原理上看，它表示一階導數(shù)的變化率；從圖形上看，它反映的是函數(shù)圖像的凹凸性.若在(a,b)內f''x>0，則f(x)在(a,b)內為凹函數(shù)；若在(a,b)內f''Egfx=efx=lnx了解函數(shù)凹凸性，對于部分題型有助于更快地找到解題思路，特別是在切線放縮.3二次求導的運用①二階導數(shù)在高中教材中沒有介紹，我們不好直接使用二階導數(shù)性質，甚至它的符號f''(x)②二次求導除了可以判斷函數(shù)凹凸性，還有一個重要運用，(i)使用場景：某些函數(shù)一次求導f'x后，解f'x>0和f'x<0(ii)思考：若能知道y=f'(iii)解題步驟：設gx=f'x，對gx求導g'x，求出若g'【題型一】判斷函數(shù)的凹凸性【典題1】判斷以下幾個超越函數(shù)的凹凸性1fx=x?ex2【解析】1f'x故f(x)在(?∞,?2)上凸，在(?2,+∞)(2)f'x=x?1exx2，(3)f'x=lnx+1，f''x【點撥】對于常見的超越函數(shù)，需要了解下它們的圖象，特別是凹凸性，日后會經常見到它們的蹤影，比如二次求導、求最值.、不等式證明、切線放縮等.1(★)判斷以下幾個超越函數(shù)的凹凸性1fx=lnxx【答案】1(1)f(x)在(0,e32)上凸，在(e32,+∞)上凹(3)f(x)在(?∞,2)上凸，在(2,+∞)【題型二】二次求導與函數(shù)的單調性【典題1】若函數(shù)fx=sinxx，0<x【解析】(要比較a,b的大小，顯然想到y(tǒng)=ff'x=(要知道原函數(shù)y=fx的單調性，則分析y=則g當0<x<π時，g'x<0，即g∴gx<g0=0，∴f'x<0，∴當0<x1<x2【點撥】①要研究函數(shù)的單調性，則需要分析導函數(shù)的正負性；②當一次求導后，發(fā)現(xiàn)導函數(shù)不太“友善”(不能轉化為常見的“一次型導數(shù)y=kx+b”，“二次型導數(shù)y=ax2+bx+c”【典題2】求函數(shù)fx【解析】f(x)的定義域是(?1,+∞)，f'設gx(導函數(shù)y=f'x的正負性與則g'(此時要分析y=令tx=g當?1<x<0時，t'x>0，g當x>0時，t'x<0，g∴g'x在x=0處有最大值，而g'0=0∴g'x≤0,函數(shù)當?1<x<0時，gx>g0當x>0時，gx<g0(注意到g0=0，事情就這么巧，分析出∴f(x)的單調增區(qū)間是(?1,0),遞減區(qū)間是(0,+∞).【點撥】①本題的思路是②本題中作了“3次求導”；當導函數(shù)形式較為復雜，利用導數(shù)畫出導函數(shù)的趨勢圖，數(shù)形結合便較容易得到它的正負性了，此時也要注意一些特殊點，比如g'【典題3】求gx【解析】g'令px=g故p'當x≥0時，p'x≥1?cosx≥0，故p(x)(注意三角函數(shù)的有界性)(此時pxmin=p0=1?a，分析正負性要確定①當a≤1時，px≥p0故g(x)在[0,+∞)上單調遞增；②當a>1時，p0=1?a<0，且故存在x0∈(0,ln(a+1)]，使得(ln(a+1)這取點較難，而當x→+∞，p(x)→+∞，也可知y=p當0<x<x0時，g'(x)<0，當x>x0時，g'綜上所述，當a≤1時，g(x)在[0,+∞)上單調遞增；當a>1時，g(x)在[0,+∞)上先減后增.【點撥】本題是二次求導在處理含參函數(shù)單調性中的運用，在分析導函數(shù)正負性，要確定是否存在零點，有時要分類討論.1(★★)求函數(shù)fx【解析】f'令gx=x令tx=x?lnx?1，則∴tx在(1,+∞)遞增，∴tx>t1∴gx在(1,+∞)遞增，∴gx>g1∴fx在(1,+∞)遞增2(★★)求函數(shù)fx=sinx?lnx在區(qū)間【解析】∵fx=sinxlnx①當x∈(1,π2)時，f②當x∈(π2則g'x=?sinxlnx+2cosxx又∵f'∴在(π2,π)內存在唯一的x當x∈(π2,x0當x∈(x0,π)時，f綜上所述，f(x)在(1,π)內先增后減.3(★★★)求函數(shù)fx=x+a【解析】f設gx則g'x=lnx+1>0，∴g(x)在(1,+∞)①當a≥0時，gx>0，即f'x>0②當a<0時，g1=a<0，當x?+∞時則存在x0∈(1,+∞)使得當x∈(1，x0)時，g(x)<0，即f當x∈(x0，+∞)時，綜上所述，當a≥0時，fx在(1,+∞)遞增；當a<0時fx在(1,+∞)上先減后增.【題型三】?二次求導與不等式證明【典題1】已知函數(shù)fx(1)若xf'x2證明x?1f【解析】(1)f'(x)=x+1題設xf'x≤令gx=lnx?x當0<x<1，g'(x)>0；當x≥1時，g'(x)≤0，x=1是g(x)的最大值點，gx綜上，a的取值范圍是[?1,+∞)．2方法1要證x?1f只須證明0<x≤1時，fx<0；當x>1時，f(即需要了解函數(shù)f(由(1)可知f'(x)=lnx+1x令gx=f顯然當0<x≤1時，g'x≤0，當x>1即f'x=lnx+1x∴f'x≥f1由于f1(這點關鍵，解題中多注意“特殊點”，由于要“了解函數(shù)f(x)則0<x≤1時，fx<0；當x>1∴x?1方法2由(1)知，gx≤g1當0<x≤1時，fx當x>1時，f(x)=lnx+(xlnx?x+1)=lnx+x(lnx+1(這步提出x有些“巧妙”)令?(x)=lnx+1x?1(x>1)所以當x>1時，?'(x)>所以當x>1時，?(x)>?(1)=0，即x>1時，f(x)=lnx+(xlnx?x+1)=lnx+x(lnx+1所以當x>1時，(x?1)f(x)>0，綜上，x?1f【點撥】比較第二問兩種方法，還是方法一的“二次求導”的思路來得自然些，當一次求導后感覺到“解f'x>0和f'x<0難度較大或甚至解不出(即很難得到【典題2】設函數(shù)fx(1)求f(x)的單調區(qū)間(2)若gx=ax?ex，求證：在【解析】(1)①當a≤0時，f'(x)<0在(0,+∞)上恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上是單調減函數(shù)，②當a>0時，令f'(x)=0，解得當x∈(0,1a)時，f'(x)當x∈(1a,+∞)時，f'(x)綜上所述：當a≤0時，f(x)的單調減區(qū)間為(0,+∞)；當a>0時，f(x)的單調減區(qū)間為(0,1a)(2)證明：當x>0時，要證fx?ax+e令?x=e∵?'(x)=ex?1x令s(x)=e則s'x=ex+又∵s1=e?1>0∴s(x)在(13(這是“隱零點問題”，得到零點的取值范圍較為關鍵)即?'(x)在(0,+∞)上有唯一零點，設?'(x)的零點為t(1則?'(t)=et?∴當x∈(0,t)時，?'(x)<?'(t)=0，?(x)為減函數(shù)，當x∈(t,+∞)時，?'(x)>?'(t)=0，?(x)為增函數(shù)，∴當x>0時，?x又13<t<1，∴1t+t>2∴?(x)>0=1即在x>0時，f(x)>g(x).1(★★★)證明當x>0時，x?【證明】設f(x)=sinx－x+則f'(x)=cosx令gx則g令tx則t'x=1－cosx≥0∴當x>0時，t(x)從而有tx>t∴當x>0時，g(x)∴gx>g0=0,即當∴當x>0時，f(x)單調遞增，∴fx>f2(★★★)已知函數(shù)fx=ex，(1)設Fx=fx?g(x)，當(2)當a=?e時，直線x=m,x=n(m>0,n>0)與函數(shù)【答案】(1)F(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞,0),(0,+∞)，無單調遞減區(qū)間．(2)見解析【解析】(1)F(x)=e而F'(x)=e當a>0時，F(xiàn)'故F(x)的單調遞增區(qū)間為(－∞,0),(0,+∞)，無單調遞減區(qū)間．(2)證明：因為直線x=m與x=n平行，故該四邊形為平行四邊形等價于f(m)－g(m)=f(n)－g(n)且m>0,n>0．當a=－e時，F(xiàn)(x)=f(x)?則F'(x)=e則g'故F'(x)=e而F'故x∈(0,1)時F'(x)<0，F(xiàn)(x)單調遞減；x∈而F(m)=F(n)，故0<m<1<n，或0<n<1<m，所以(m－1)(n－1)<0．3(★★★★)已知函數(shù)fx=ax(1)求a(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0【答案】(1)a=1(2)見解析【解析】(1)因為fx則f(x)≥0等價于?(x)=ax－a－lnx≥0，求導可知?'(x)則當a≤0時?'(x)<0，即y=?(x)在所以當x0>1時，?(因為當0<x<1a時?'(x)<0、當x>所以?x又因為?(所以1a=1，解