2025年新高二數(shù)學(xué)（人教A版暑假銜接）新課預(yù)習(xí)-1.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算（學(xué)生版）-新高二暑假銜接VIP

第一章《空間向量與立體幾何》1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算【劃重點】1．理解空間向量的有關(guān)概念.2．類比平面向量，會用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差.3．理解向量共線、向量共面的定義.4．掌握共線向量定理和共面向量定理，會證明空間三點共線、四點共面．【知識梳理】知識點一空間向量的概念1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．注：空間中的任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．2．長度或模：向量的大小．3．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4．幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點二空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點三共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2．直線的方向向量在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．知識點四共面向量1．共面向量如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.【例題詳解】一、向量概念的應(yīng)用例1(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同(2)下列命題中，正確的是（

）.A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則跟蹤訓(xùn)練1(1)下列關(guān)于空間向量的說法中錯誤的是（

）A．零向量與任意向量平行B．任意兩個空間向量一定共面C．零向量是任意向量的方向向量D．方向相同且模相等的兩個向量是相等向量(2)給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點為起點，則它們的終點構(gòu)成一個圓；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則；⑤空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、空間向量的加減運(yùn)算例2(1)空間向量（

）A． B． C． D．(2)已知空間向量，化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．跟蹤訓(xùn)練2(1)（多選）已知平行六面體，則下列各式運(yùn)算結(jié)果是的為（

）A． B．C． D．(2)在正方體中，________．三、空間向量的線性運(yùn)算例3(1)已知在空間四邊形中，，則（

）A． B． C． D．(2)如圖，平行六面體中，AC與BD的交點為M，設(shè)，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．跟蹤訓(xùn)練3(1)在三棱錐中，是的中點，則________.(2)如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC的中點．(=1\*romani)化簡：－－＝________；(=2\*romanii)用，，表示，則＝________.四、向量共線的判定及應(yīng)用例4(1)滿足下列條件，能說明空間不重合的A、B、C三點共線的是()A． B．C． D．(2)如圖，已知空間四邊形，點，分別是，的中點，點，分別是，上的點，且，.用向量法求證：四邊形是梯形.跟蹤訓(xùn)練4(1)已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A． B． C． D．(2)已知A，B，C三點共線，O為直線外空間任意一點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))，則m＋n＝________.五、向量共面的判定例5(1)對于空間任意一點和不共線的三點、、，有如下關(guān)系：，則（

）.A．四點、、、必共面B．四點、、、必共面C．四點、、、必共面D．五點、、、、必共面(2)已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，求證：(=1\*romani)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(=2\*romanii)BD∥平面EFGH.跟蹤訓(xùn)練5(1)對于空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，有如下關(guān)系：，則（

）A．四點P、A、B、C不一定共面 B．四點P、A、B、C必共面C．四點O、P、B、C必共面 D．無法判斷(2)如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個點，且，，，，，.求證：(=1\*romani)A?B?C?D四點共面，E?F?G?H四點共面；(=2\*romanii)；(=3\*romaniii).【課堂鞏固】1．已知，，，為空間中的任意四點，則（

）A． B． C． D．2．下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.3．對于空間中的三個向量，，，它們一定是（

）A．共面向量 B．共線向量 C．不共面向量 D．無法判斷4．若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對5．在下列條件中，能使與，，一定共面的是（

）A． B．C． D．6．（多選）在正方體中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為的是（

）A． B．C． D．7．（多選）如圖所示，在長方體中，，則在以八個頂點中的兩個分別為始點和終點的向量中（

）A．單位向量有8個B．與相等的向量有3個C．與的相反向量有4個D．向量共面8．空間中任意四個點，，，，則________．9．如圖，在長方體中，設(shè)，，，則______．10．已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【課時作業(yè)】1．正方體中，化簡（

）A． B． C． D．2．如圖，在平行六面體中，E是的中點，則（

）A． B．C． D．3．對空間中任意一點和不共線的三點，能得到在平面內(nèi)的是（

）A． B．C． D．4．有下列命題：①若與平行，則與所在的直線平行；②若與所在的直線是異面直線，則與一定不共面；③若、、兩兩共面，則、、一定也共面；④若與是平面上互不平行的向量，點，點，則與、一定不共面．其中正確命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．35．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（

）A．B．C．D．6．若向量與不共線且，，，則（

）A．，，共線 B．與共線C．與共線 D．，，共面7．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間任意四點，則有；②是，共線的充要條件；③若，共線，則；④對空間任意一點O與不共線的三點A，B，C，若幣（其中x，y，），則P，A，B，C四點共面.其中不正確命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知，是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．，共線 B．，共線C．，，共面 D．，，不共面9．（多選）如圖，在三棱柱中，P為空間一點，且滿足，，則（）A．當(dāng)時，點P在棱上 B．當(dāng)時，點P在棱上C．當(dāng)時，點P在線段上 D．當(dāng)時，點P在線段上10．（多選）空間四點及空間任意一點，由下列條件一定可以得出四點共面的有（

）A． B．C． D．11．如圖，已知空間四邊形，連接分別是的中點，則________．12．光丘樓亦稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，其墩臺為磚石