2026版大一輪高考數(shù)學(xué)-第一章　§1.2　常用邏輯用語VIP

§1.2常用邏輯用語課標(biāo)要求1.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質(zhì)定理與必要條件、數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對兩種命題進(jìn)行否定.1.充分條件、必要條件與充要條件的概念若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p是q的充分不必要條件p?q且q?pp是q的必要不充分條件p?q且q?pp是q的充要條件p?qp是q的既不充分也不必要條件p?q且q?p2.全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：短語“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”表示.(2)存在量詞：短語“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“?”表示.3.全稱量詞命題和存在量詞命題名稱全稱量詞命題存在量詞命題結(jié)構(gòu)對M中任意一個(gè)x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立簡記?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定?x∈M，綈p(x)?x∈M，綈p(x)1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)當(dāng)p是q的充分條件時(shí)，q是p的必要條件.(√)(2)“三角形的內(nèi)角和為180°”是全稱量詞命題.(√)(3)“x>1”是“x>0”的充分不必要條件.(√)(4)命題“?x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12”是真命題.2.命題“?x∈R，x2－x＋2≥0”的否定為()A.?x∈R，x2－x＋2<0B.?x∈R，x2－x＋2≤0C.?x∈R，x2－x＋2≤0D.?x∈R，x2－x＋2<0答案A解析命題“?x∈R，x2－x＋2≥0”的否定為命題“?x∈R，x2－x＋2<0”.3.設(shè)x>0，y>0，則“x2>y2”是“x>y”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C4.已知“p：2≤x<3”是“q：x>m”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

答案(－∞，2)解析由題意可知，{x|2≤x<3}是{x|x>m}的真子集，可得m<2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，2).1.謹(jǐn)記兩個(gè)常用結(jié)論(1)p是q的充分不必要條件，等價(jià)于綈q是綈p的充分不必要條件.(2)命題p和綈p的真假性相反，若判斷一個(gè)命題的真假有困難時(shí)，可先判斷此命題的否定的真假.2.理清一個(gè)關(guān)系“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，而B不能推出A，要注意區(qū)別上述兩種說法的不同.題型一充分、必要條件的判定例1(1)(2024·連云港模擬)“λ＝－1”是“直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)λ＝－1時(shí)，直線l2：－3x＋3y－3＝0，即x－y＋1＝0，與直線l1：x－y＋9＝0平行，充分性成立；直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行，有λ(λ－2)＝3，解得λ＝－1或λ＝3，其中當(dāng)λ＝3時(shí)，兩直線重合，舍去，故λ＝－1，必要性成立.故“λ＝－1”是“直線l1：x＋λy＋9＝0與l2：(λ－2)x＋3y＋3λ＝0平行”的充要條件.(2)祖暅原理是一個(gè)涉及幾何求積的著名命題.內(nèi)容為：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是幾何體的高.意思是兩個(gè)等高的幾何體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.設(shè)A，B為兩個(gè)等高的幾何體，p：A，B的體積相等，q：A，B在同一高處的截面積相等.根據(jù)祖暅原理可知，p是q的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件答案C解析已知A，B為兩個(gè)等高的幾何體，由祖暅原理知q?p，而p不能推出q，可舉反例，兩個(gè)相同的圓錐，一個(gè)正置，一個(gè)倒置，此時(shí)兩個(gè)幾何體等高且體積相等，但在同一高處的截面積不一定相等，則p是q的必要不充分條件.思維升華充分、必要條件的三種判定方法(1)定義法：根據(jù)p?q，q?p是否成立進(jìn)行判斷.(2)集合法：根據(jù)p，q成立對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對所給題目的條件進(jìn)行一系列的等價(jià)轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化成容易判斷充分、必要條件是否成立為止.跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)x∈R，則“cosx＝1”是“sinx＝0”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析當(dāng)cosx＝1時(shí)，x＝2kπ(k∈Z)，此時(shí)sinx＝0；當(dāng)sinx＝0時(shí)，x＝kπ(k∈Z)，此時(shí)cosx＝1或cosx＝－1，所以“cosx＝1”是“sinx＝0”的充分不必要條件.(2)(2025·北京房山區(qū)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，對于實(shí)數(shù)a，b，則“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析由定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)－f(x)＝0，得函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，而f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，因此f(a)>f(b)?f(|a|)>f(|b|)?|a|<|b|?a2<b2，所以“a2<b2”是“f(a)>f(b)”的充要條件.題型二充分、必要條件的應(yīng)用例2(1)已知p：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是；若p是q的必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(－∞，1)(－∞，1]解析因?yàn)閜：x≤1，q：x≤a，若p是q的必要不充分條件，則(－∞，a](－∞，1]，因此a<1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1).若p是q的必要條件，則(－∞，a]?(－∞，1]，因此a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，1].(2)已知p：x>1或x<－3，q：x>a(a為實(shí)數(shù)).若綈q的一個(gè)充分不必要條件是綈p，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案[1，＋∞)解析由已知得綈p：－3≤x≤1，綈q：x≤a.設(shè)A＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|x≤a}，若綈p是綈q的充分不必要條件，則綈p?綈q，綈q?綈p，所以集合A＝{x|－3≤x≤1}是集合B＝{x|x≤a}的真子集.所以a≥1.思維升華求參數(shù)問題的解題策略(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解.(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練2(1)已知p：1x>1，q：x>m，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A.[0，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，0] D.(－∞，1]答案C解析由1x>1可得x(x－1)<0，解得0<x<1記A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分條件，則A是B的子集，所以m≤0，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0].(2)已知α：－1<x<0，β：m－1<x<－3m.若α是β的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

答案(－∞，0)解析因?yàn)棣潦铅碌某浞植槐匾獥l件，所以{x|－1<x<0}是{x|m－1<x<－3m}的真子集，則m-1≤-1,-3m≥0所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－∞，0).題型三全稱量詞與存在量詞命題點(diǎn)1含量詞的命題的否定例3(多選)下列說法正確的是()A.“菱形是正方形”是全稱量詞命題B.“?x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“?x，y∈R，x2＋y2<0”C.命題“有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除”的否定是“有一個(gè)奇數(shù)能被3整除”D.“A＝B”是“sinA＝sinB”的必要不充分條件答案AB解析對于A，“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方形”是全稱量詞命題，故A正確；對于B，由全稱量詞命題的否定知其否定是“?x，y∈R，x2＋y2<0”，故B正確；對于C，命題“有一個(gè)奇數(shù)不能被3整除”的否定是“所有的奇數(shù)都能被3整除”，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)锳＝B時(shí)，sinA＝sinB成立，而sinA＝sinB時(shí)，A＝B不一定成立，如A＝π3，B＝2π3，故“A＝B”是“sinA＝sinB”的充分不必要條件，故D命題點(diǎn)2含量詞的命題的真假判斷例4(多選)下列命題中，為真命題的是()A.?x∈R，2x－1>0B.?x∈R，x2＋1<2xC.?xy>0，x＋y≥2xyD.?x，y∈R，sin(x＋y)＝sinx＋siny答案AD解析對于A項(xiàng)，?x∈R，2x-1>0對于B項(xiàng)，∵x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，當(dāng)x<0，y<0時(shí)，x＋y<0<2xy，C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，取x＝y(tǒng)＝0，則sin(x＋y)＝sin0＝0＝sin0＋sin0＝sinx＋siny，D項(xiàng)正確.命題點(diǎn)3含量詞的命題的應(yīng)用例5(1)(2024·臺州模擬)若命題“?x∈R，使x2－x－m＝0”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.m-14C.mm≥-答案C解析因?yàn)椤?x∈R，x2－x－m＝0”是真命題，所以Δ＝1－4×(－m)≥0，解得m≥－14(2)已知命題“?x∈R，ax2－ax＋1≤0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案[0，4)解析由題意得不等式ax2－ax＋1>0對?x∈R恒成立.①當(dāng)a＝0時(shí)，不等式1>0在R上恒成立，符合題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，若不等式ax2－ax＋1>0對?x∈R恒成立，則a>0,Δ＝a2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，4).思維升華含量詞命題的解題策略(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一個(gè)成立即可.當(dāng)一個(gè)命題的真假不易判定時(shí)，可以先判斷其否定的真假.(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價(jià)命題求參數(shù)的范圍.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2024·新課標(biāo)全國Ⅱ)已知命題p：?x∈R，|x＋1|>1；命題q：?x>0，x3＝x，則()A.p和q都是真命題B.綈p和q都是真命題C.p和綈q都是真命題D.綈p和綈q都是真命題答案B解析對于命題p，取x＝－1，則有|x＋1|＝0<1，故p是假命題，綈p是真命題，對于命題q，取x＝1，則有x3＝13＝1＝x，故q是真命題，綈q是假命題，綜上，綈p和q都是真命題.(2)(多選)(2025·?？谀M)以下說法正確的是()A.“?x∈R，3x2－2≥0”的否定是“?x∈R，3x2－2<0”B.“x>3”是“l(fā)og3(2x＋1)>2”的充分不必要條件C.若命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－1，3)D.若命題“?x∈R，2ax2＋ax－38≤0”是真命題，則－3≤a≤答案AD解析對于A，“?x∈R，3x2－2≥0”的否定是“?x∈R，3x2－2<0”，故A正確；對于B，log3(2x＋1)>2即log3(2x＋1)>log39，解得x>4，因?yàn)閤>4?x>3，且x>3?x>4，所以“x>3”是“l(fā)og3(2x＋1)>2”的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；對于C，命題的否定是假命題，則命題“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命題，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)椤?x∈R，2ax2＋ax－38≤0”是真命題，即2ax2＋ax－38≤0對?x∈R恒成立.當(dāng)a＝0時(shí)，命題成立；當(dāng)a≠0時(shí)，a<0,Δ＝a2＋3a≤0,解得－3≤a課時(shí)精練[分值：84分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共40分)1.“x<0”是“x2＝－x”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析x2＝－x?x≤0，因?yàn)閤<0?x≤0，但x≤0?x<0，所以“x<0”是“x2＝－x”2.命題“?x∈R，ex>lnx＋1”的否定是()A.?x∈R，ex≤lnx＋1B.?x∈R，ex≤lnx＋1C.?x?R，ex>lnx＋1D.?x?R，ex>lnx＋1答案A解析根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，則命題“?x∈R，ex>lnx＋1”的否定為“?x∈R，ex≤lnx＋1”.3.(2025·常州調(diào)研)已知a，b∈R，則“b＝ea”是“a＝lnb”的()A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件答案A解析根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的互化公式可知b＝ea?a＝lnb，所以“b＝ea”是“a＝lnb”的充要條件.4.(2025·朔州模擬)已知A，B為實(shí)數(shù)，則“AB<0”是“Ax2＋By2＝1為雙曲線方程”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案C解析當(dāng)Ax2＋By2＝1表示雙曲線時(shí)，AB<0，而當(dāng)AB<0時(shí)，Ax2＋By2＝1表示的是雙曲線，所以“AB<0”是“Ax2＋By2＝1為雙曲線方程”的充要條件.5.下列敘述錯(cuò)誤的是()A.命題“?x∈R，x2－1≤－1”的否定是“?x∈R，x2－1>－1”B.若冪函數(shù)y＝(m2－2m－2)x2－4m在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的值為－1C.?x∈(0，＋∞)，2x>log2xD.設(shè)a∈R，則“a2>3”是“a>3”的充分不必要條件答案D解析對于A，命題“?x∈R，x2－1≤－1”的否定是“?x∈R，x2－1>－1”，A正確；對于B，由m2-2m-2＝1,2-4對于C，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y＝2x的圖象在直線y＝x上方，函數(shù)y＝log2x的圖象在直線y＝x下方，則2x>log2x，C正確；對于D，由a2>3，得a<－3或a>3，因此“a2>3”是“a>3”的必要不充分條件，D錯(cuò)誤.6.(2024·南通模擬)若“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則k的取值范圍為()A.(－∞，－2] B.(－∞，2]C.(－∞，－2) D.(－∞，2)答案A解析依題意知命題“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”為假命題，則“?x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”為真命題，所以2sinxcosx≥ksinx，則k≤2cosx在x∈(0，π)時(shí)恒成立，解得k≤－2，所以k的取值范圍為(－∞，－2].7.(2025·寧波模擬)命題“?x∈[－2，1]，x2－x－a>0”為假命題的一個(gè)充分不必要條件是()A.a≤－14 B.a≤C.a≥6 D.a≥8答案D解析若命題“?x∈[－2，1]，x2－x－a>0”為假命題，則命題的否定“?x∈[－2，1]，x2－x－a≤0”為真命題，即a≥x2－x，x∈[－2，1]恒成立，對于函數(shù)y＝x2－x＝x-122－14，x∈當(dāng)x＝－2時(shí)，取得最大值y＝6，所以a≥6，選項(xiàng)中只有{a|a≥8}是{a|a≥6}的真子集，所以命題“?x∈[－2，1]，x2－x－a>0”為假命題的一個(gè)充分不必要條件為a≥8.8.(2023·新高考全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：Snn為等差數(shù)列，則(A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件答案C解析方法一甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d，則Sn＝na1＋n(n-1)2d，Snn＝a1＋n-12d＝d2因此Sn反之，乙：Sn即Sn＋1即nan＋則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.方法二甲：{an}為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，即Sn＝na1＋n(n則Snn＝a1＋n-12d＝d2n＋因此Sn反之，乙：Sn設(shè)數(shù)列Snn的公差為則Sn＋1n＋1－Snn＝D，Sn即Sn＝nS1＋n(n－1)D，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，當(dāng)n＝1時(shí)，上式成立，又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，因此{(lán)an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共18分)9.下列既是存在量詞命題又是真命題的是()A.?x∈R，|x|<0B.?x∈Z，cosπ2x＝－C.至少有一個(gè)x∈Z，使x能同時(shí)被3和5整除D.每個(gè)平行四邊形都是中心對稱圖形答案BC解析選項(xiàng)A為存在量詞命題，因?yàn)樗袑?shí)數(shù)的絕對值非負(fù)，即|x|≥0，所以A是假命題；選項(xiàng)B為存在量詞命題，當(dāng)x＝2時(shí)，滿足cosπ2·2＝cosπ＝－1選項(xiàng)C為存在量詞命題，15能同時(shí)被3和5整除，所以C既是存在量詞命題又是真命題；選項(xiàng)D是全稱量詞命題，所以D不符合題意.10.下列說法正確的是()A.命題“?x≥1，x2>1”的否定是“?x<1，x2≤1”B.“a>0且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集為R”的充要條件C.“a>0”是“a>1”的必要不充分條件D.已知a，b∈R，則“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要條件是“ab>0”答案BC解析對于A，命題的否定是“?x≥1，x2≤1”，故A錯(cuò)誤；對于B，若a>0且Δ＝b2－4ac≤0，則不等式的解集為R，充分性成立，若不等式的解集為R，則a>0且Δ＝b2－4ac≤0，即必要性成立，故B正確；對于C，若a>0，不可以推出a>1，例如a＝12，即充分性不成立，若a>1，可以推出a>0，即必要性成立，故C對于D，例如a＝b＝0，可以推出|a＋b|＝|a|＋|b|，即|a＋b|＝|a|＋|b|不可以推出ab>0，故D錯(cuò)誤.11.下列說法正確的為()A.異面直線所成的角的范圍是[0，π]B.已知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|2x－a<0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>4C.若命題“?x∈R，mx2＋mx＋1<0”是假命題，則0<m<4D.已知p：0<x≤1，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≥6答案BD解析對于A，異面直線所成的角的范圍是0，π2對于B，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，得集合A真包含于集合B，所以a2>2，即a>4，B對于C，若命題是假命題，則“?x∈R，mx2＋mx＋1≥0”是真命題，故m＝0或m>0,Δ＝m2-4m≤0,對于D，由p是q的充分條件，則p?q，即對于0<x≤1，4x＋2x－m≤0恒成立，令t＝2x，t∈(1，2]，則m≥t2＋t對于t∈(1，2]恒成立，又y＝t2＋t＝t＋122－14∈(2，6]，則三、填空題(每小題5分，共15分)12.為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明：.

答案存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)解析因?yàn)槊}“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，則命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”為真命題，所以為了證明“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題，只要證明存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù).13.(2025·晉城聯(lián)考)已知集合P＝{y|y＝x＋a，－1<x≤2}，Q＝{x|ln(2－x)<0}，若x∈P是x∈Q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

答案[0，2]解析由y＝x＋a，－1<x≤2，則a－1<y≤a＋2，所以P＝{y|a－1<y≤a＋2}，由ln(2－x)<0，即ln(2－x)<ln1，解得1<x<2，所以Q＝{x|1<x<2}，因?yàn)閤∈P是x∈Q的必要不充分條件，則Q?P，所以a解得0≤a≤2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，2].14.已知命題“?x∈[－1，2]，x2－3x＋a>0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(－∞，－4]解析由題意得，“?x∈[－1，2]，x2－3x＋a≤0”是真命題，則a≤－x2＋3x對?x∈[－1，2]恒成立，在區(qū)間[－1，2]上，－x2＋3x的最小值為－(－1)2