2025屆高考數(shù)學(xué)模擬試題（卷）（5）（教師版）VIP

2025屆高考數(shù)學(xué)模擬試題（卷）（五）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題知，則，所以．故選：B．2．復(fù)數(shù)=(i是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A．IB．-iC．1D．-1【答案】D【詳解】故答案為D3．設(shè)是兩個不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.

4．已知則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，可得當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，且時函數(shù)連續(xù)，則在上單調(diào)遞減，不等式，可化為，即，解得：，則原不等式的解集為：，故選：A5．據(jù)典籍《周禮?春官》記載，“宮?商?角?徵?羽”這五音是中國古樂的基本音階，成語“五音不全”就是指此五音.如果把這五個音階全用上，排成一個五音階音序，要求“宮”不為末音階，“羽”不為首音階，“商”“角”不相鄰，則可以排成不同音序的種數(shù)是（

）A．50 B．64 C．66 D．78【答案】A【詳解】①若“宮”為首音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；②若“宮”為第2音階，“商”“角”可取音階，排成的音序有種；③若“宮”為第3音階，“商”“角”可取14，15，24，25音階，排成的音序有種；④若“宮”為第4音階，“商”“角”可取13，15，25，35音階，排成的音序有種.由分類加法計數(shù)原理可知，一共有種排法.故選：A.6．如圖，在中，點是線段上靠近點的三等分點，過點的直線分別交直線、于點、.設(shè)，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合平面向量的減法可得出，結(jié)合，，可得出，利用、、三點共線，可求出的值.【詳解】連接，因為點是線段上靠近點的三等分點，則，即，所以，，又因為，，則，因為、、三點共線，設(shè)，則，所以，，且、不共線，所以，，，故，因此，.故選：C.7．設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，過的直線與交于、兩點，記點到直線的距離為，且.若點的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由拋物線的定義可得，設(shè)點、，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，則，由韋達(dá)定理可得，所以，，故，所以，，整理可得，即，因為，解得.故選：C.8．校足球社團為學(xué)校足球比賽設(shè)計了一個獎杯，如圖，獎杯的設(shè)計思路是將側(cè)棱長為6的正三棱錐的三個側(cè)面沿AB，BC，AC展開得到面，使得平面均與平面ABC垂直，再將球放到上面使得三個點在球的表面上，若獎杯的總高度為，且，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖：連接、、，取、、中點、、，連接、、，由已知側(cè)棱長為的正三棱錐，即，又因為，所以，因為平面，，均與平面垂直，設(shè)，，三點所在的圓為圓，底面的中心為，則，又因為獎杯總高度為，設(shè)球半徑為，球心到圓面的距離為，則，即，如圖，易知≌，因為，所以是邊長為的等邊三角形，設(shè)的外接圓半徑為，則，則在直角中，，即，解得，所以．故選：C．二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．下列關(guān)于概率統(tǒng)計的知識，其中說法正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是1；B．若一組樣本數(shù)據(jù)的對應(yīng)樣本點都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為；C．已知隨機變量，若，則；D．某班有50名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，則理論上說在分的人數(shù)約為17人．（參考數(shù)據(jù)：，，【答案】ACD【詳解】對于選項A，8個數(shù)據(jù)從小到大排列，由于，所以第25百分位數(shù)應(yīng)該是第二個與第三個的平均數(shù)，故A正確；對于選項B，因為樣本點都在直線上，說明是負(fù)相關(guān)且線性相關(guān)性很強，所以相關(guān)系數(shù)為，故B錯誤．對于選項C，因為，所以，解得，故C正確；對于選項D，由，可得在90~100分的人數(shù)是，故D正確.故選：ACD．10．已知函數(shù)的最大值為2，則（

）A．B．函數(shù)圖象的一個對稱中心是點C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖象先向右平移個單位長度后，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為【答案】AB【詳解】對于A，因為（其中），且函數(shù)的最大值為2，所以，解得，又因為，所以，故A正確；對于B，解法一：由A選項可知，，令，解得，當(dāng)時，，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；解法二：由A選項可知，，將代入的解析式，得，所以的圖象關(guān)于點中心對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時，，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得在上單調(diào)遞減，故C錯誤；對于D，將的圖象先向右平移個單位長度，得到的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，得到的圖象，故D錯誤．故選:AB．11．“黃金雙曲線”是指離心率為“黃金分割比”的倒數(shù)的雙曲線（將線段一分為二，較大部分與全長的比值等于較小部分與較大部分的比值，則這個比值稱為“黃金分割比”）.若黃金雙曲線的左右兩頂點分別為，虛軸上下兩端點分別為，，左右焦點分別為為雙曲線任意一條不過原點且不平行于坐標(biāo)軸的弦，為的中點.設(shè)雙曲線的離心率為，則（

）A．B．C．直線與雙曲線的一條漸近線垂直D．直線與雙曲線的左支有兩個不同的交點【答案】AC【詳解】對于A，設(shè)線段長度為1，較大部分為，則較小部分為，由題黃金分割比為，且若為黃金雙曲線，則離心率為，即A正確；對于B，設(shè)，其中，又在雙曲線線上，所以，兩式相減可得，即，可得，所以，可得B錯誤；對于C，易知，所以，易知雙曲線的一條漸近線斜率為，則，因此直線與雙曲線的一條漸近線垂直，即C正確；對于D，由離心率為可得，解得，可得一條漸近線的斜率為，而直線的斜率，根據(jù)漸近線性質(zhì)可知直線與雙曲線的左右兩支各有一個交點，即D錯誤.故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．某地為了更好地開發(fā)當(dāng)?shù)氐穆糜钨Y源，決定在兩座山頭建一條索道，現(xiàn)測得兩座山高分別為米，米．從山腳下的處測得處的仰角為，處的仰角為，，點，，在同一水平面內(nèi)，，，則兩座山的山頂，之間的距離是米．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】【詳解】在中，，所以米，在中，米，在中，，則米．故答案為：12．若為銳角，＝，則.【答案】【詳解】為銳角，，又，，，，故答案為：．14．?dāng)?shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上首個提出二進(jìn)制計數(shù)法的人，任意一個十進(jìn)制正整數(shù)均可以用二進(jìn)制數(shù)表示.若正整數(shù)，其中或，則可以用位二進(jìn)制數(shù)表示.記的二進(jìn)制各個位數(shù)和為，則.例如，因此.已知正整數(shù)1024且，則這樣的有個；.【答案】454095【詳解】詳解：（1），要使，則是位二進(jìn)制數(shù)，且的前10位中恰好有兩個1，其余位均為0，因為最高位必為1，所以有個滿足題意的的值.（2）由于是最大的6位二進(jìn)制數(shù)，故的二進(jìn)制數(shù)中最少1個1，最多6個1，即當(dāng)時，.當(dāng)時，位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位為0，故共有個二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有1個1，其余位均為0）；當(dāng)時，位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位只有一個1，故共有個二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有2個1，其余位均為0）；當(dāng)時，位二進(jìn)制數(shù)最高位必為1，其余位只有2個1，故共有個二進(jìn)制數(shù)（或者理解為前6位中恰有3個1，其余位均為0）；…當(dāng)時，6位二進(jìn)制數(shù)全是1，故共有個二進(jìn)制數(shù)，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足．(1)若，求數(shù)列的前項和；(2)若數(shù)列滿足，且數(shù)列的前項和，求數(shù)列的通項公式．【詳解】（1）當(dāng)時，由，則，由，則，所以等差數(shù)列的公差為，所以，故故數(shù)列的前項和．.............6分（2）當(dāng)時，，可得，當(dāng)時，，將代入上式，則，綜上所述，．，可得，又因為，則，由方程，可得，解得，由，則等差數(shù)列的公差為3，所以，由，則．.............13分16.（15分）如圖，橢圓過點，短軸長為，橢圓的左、右頂點分別為，，過橢圓的右焦點且與軸相交的直線與橢圓相交于，兩點，與拋物線相交于，兩點.(1)求橢圓的方程；(2)若，求直線在軸上截距的范圍.【詳解】（1）根據(jù)題意得解得所以，焦點.所以橢圓的方程是：..............4分（2）由題可設(shè)直線方程為：，，，，.由得,由題知，，,.............6分.又點到直線的距離，.............10分由得，由題知，得，..，，解得：且,或，直線在軸上截距的取值范圍是............15分17.（15分）某商場進(jìn)行抽獎活動，設(shè)置摸獎箱內(nèi)有紅球個，白球個，黑球個，小球除顏色外沒有任何區(qū)別.規(guī)定：摸到紅球記分，摸到白球記分，摸到黑球記分.抽獎人摸個球為一次抽獎，總分記為，若，則獲獎.方案一：從中一次摸個球，記錄分?jǐn)?shù)后不放回.方案二：從中一次摸個球，記錄分?jǐn)?shù)后放回.(1)若甲顧客按照方案一摸球記分，求甲顧客獲獎的概率；(2)若乙顧客按照方案一摸球記分，求第二次摸到紅球條件下，乙顧客獲獎的概率；(3)若丙顧客按照方案二摸球記分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）若，則甲顧客摸到個紅球個白球、或者是個紅球個白球個黑球，所以，.............4分（2）記事件乙顧客按照方案一摸球獲獎，由（1）可知，記事件乙顧客第二次摸到紅球，則，，所以，...........9分（3）摸到次紅球的概率為，摸到次白球的概率為，摸到次黑球的概率為，則的可能取值有、、、、、、，，，，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：故...........15分18．（17分）已知．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．(2)若恰有1個極大值點和1個極小值點．①求極大值與極小值的和；②判斷零點的個數(shù)．【詳解】（1）由題可得，函數(shù)的定義域為0,+∞，，........................................（2分）當(dāng)時，，，........................................（4分）故切點為1,0，切線在該點處的斜率為，故曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為，即．........................................（5分）（2）由（1）得，因為分母在定義域內(nèi)恒成立，所以導(dǎo)函數(shù)的符號取決于分子的符號，令，其對應(yīng)一元二次方程的判別式．........................................（6分）若，此時，則且不恒為0，所以f'x≥0且不恒為0，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，故沒有極值點，........................................（7分）若，此時或，則gx=0有兩個不等實根，不妨設(shè)，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，則同號．當(dāng)時，，兩根均為負(fù)數(shù)，則gx>0在0,+∞上恒成立，所以f'x>0，所以在0,+當(dāng)時，，兩根均為正數(shù)，故當(dāng)或時，gx>0，所以f'x>0，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時，gx<0，所以f'x<0，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，故有極大值點，極小值點．故時，恰有1個極大值點和1個極小值點．........................................（11分）①，故極大值與極小值的和為0．........................................（13分）②由①知，，，則，又由①知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為f1=0，所以，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在，上各有一個零點，又f1=0，所以有3個零點．........................................（17分）19.（17分）空間直角坐標(biāo)系中，任何一個平面的方程都能表示成（其中），且為該平面的法向量.(1)若平面，，且，求實數(shù)的值；(2)請利用法向量和投影向量的相關(guān)知識證明：點到平面的距離為，若記集合所圍成的幾何體為，求的內(nèi)切球的表面積；(3)記集合中所有點構(gòu)成的幾何體為.①求的體積的值；②求的相鄰（有公共棱）兩個面所成二面角的大小.【答案】(1)(2)(3)①16；②【分析】（1）根據(jù)題意可得兩個面的法向量，結(jié)合向量垂直運算求解；（2）分析可知幾何體為正八面體.法1：根據(jù)題中公式直接求內(nèi)切圓半徑，即可得表面積；法2：利用等體積法求內(nèi)切圓半徑，即可得表面積；（3）根據(jù)題意分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征.①利用割補法求體積；②求相應(yīng)的法向量，利用空間向量求二面角.【詳解】（1）根據(jù)題意，平面的法向量，平面的法向量，所以，故...........3分（2）不妨設(shè)，在平面內(nèi)取一點，則向量，取平面的一個法向量，所以點到平面的距離為對于，當(dāng)時，表示經(jīng)過，，的平面在第一象限的部分.由對稱性可知表示，，這六個頂點形成的正八面體.法1：設(shè)內(nèi)切球的半徑為，則即為原點到平面的距離，則.所以內(nèi)切球的表面積為；.............9分法2：考慮；即為三個坐標(biāo)平面與圍成的四面體，其四個頂點分別為，，，，此四面體的體積為，由對稱性知，正八面體的體積，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，正八面體的表面積為，所以，解得：.所以內(nèi)切球的表面積為；............9分（3）由（2）可知所圍幾何體是關(guān)于平面，，對稱的，其在第一卦限的形狀為正三棱錐，如圖其中、OB、兩兩垂直，且.集合所表示的幾何圖形也