甘肅省蘭州市2023−2024學(xué)年高二下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/甘肅省蘭州市2023?2024學(xué)年高二下冊(cè)7月期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且.設(shè)，那么等于（

）A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.43．已知5對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)成線性關(guān)系，樣本相關(guān)系數(shù)為，去掉1對(duì)數(shù)據(jù)后，剩下的4對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)成線性關(guān)系，樣本相關(guān)系數(shù)為，則（

）A． B．C． D．的大小無(wú)法確定4．假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量與，它們的可能取值分別為和，其列聯(lián)表為：101826則當(dāng)取下面何值時(shí)，與的關(guān)系最弱（

）A．8 B．9C．14 D．195．定義一個(gè)集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點(diǎn)集，任取，存在不全為0的實(shí)數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．6．已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件滿(mǎn)足，，則（

）A． B． C． D．7．在長(zhǎng)方體中，分別是為和的中點(diǎn)，與平面所成的角為，則該長(zhǎng)方體的體積為（

）A． B．6 C． D．8．乒乓球被稱(chēng)為中國(guó)的“國(guó)球”，是一種世界流行的球類(lèi)體育項(xiàng)目.已知某次乒乓球比賽單局賽制為：每?jī)汕蚪粨Q發(fā)球權(quán)，每贏1球得1分，先得11分者獲勝.當(dāng)某局打成平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝.若單局比賽中，甲發(fā)球時(shí)獲勝的概率為，甲接球時(shí)獲勝的概率為.某局打成平后，甲先發(fā)球，則“兩人又打了4個(gè)球且甲獲勝”的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．無(wú)人機(jī)在農(nóng)業(yè)領(lǐng)域的應(yīng)用對(duì)提高農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率，促進(jìn)農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展有著極為重要的意義．某地統(tǒng)計(jì)了該地近5年的農(nóng)業(yè)無(wú)人機(jī)保有量，其中用了兩種記錄方式：年份代碼12345無(wú)人機(jī)數(shù)量（架）490510550570580無(wú)人機(jī)數(shù)量（百架）4.95.15.55.75.8根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，可得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．與的樣本相關(guān)系數(shù)B．C．預(yù)測(cè)第6年該地農(nóng)業(yè)無(wú)人機(jī)的保有量約為612架D．關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為10．已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下所示，則下列說(shuō)法正確的是（

）-2130.25A． B．C． D．11．如圖，為正方體，邊長(zhǎng)為1，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．平面 B．到面的距離為C．異面直線與的距離為 D．異面直線與的夾角為三、填空題（本大題共3小題）12．隨機(jī)變量，，若，則.13．已知離散型隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且，，則的最小值為．14．已知且，設(shè)是空間中個(gè)不同的點(diǎn)構(gòu)成的集合，其中任意四點(diǎn)不在同一個(gè)平面上，表示點(diǎn)間的距離，記集合.若四面體滿(mǎn)足：平面，且，則.四、解答題（本大題共5小題）15．某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)對(duì)其生產(chǎn)的四款新能源汽車(chē)進(jìn)行市場(chǎng)調(diào)研，從購(gòu)買(mǎi)者中選取50名車(chē)主對(duì)車(chē)輛進(jìn)行性能評(píng)分，每款車(chē)都有1分，2分，3分，4分，5分五個(gè)等級(jí)，各評(píng)分的相應(yīng)人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示.評(píng)分款式1分2分3分4分5分基礎(chǔ)版基礎(chǔ)版122310基礎(chǔ)版244531豪華版豪華版113541豪華版200353(1)求這四款車(chē)得分的平均數(shù)；(2)約定當(dāng)?shù)梅植恍∮?時(shí)，認(rèn)為該款車(chē)型性能優(yōu)秀，否則認(rèn)為性能一般，根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，取顯著性水平，能否認(rèn)為汽車(chē)的性能與款式有關(guān)？說(shuō)明理由.款式性能基礎(chǔ)版豪華版合計(jì)一般優(yōu)秀合計(jì)附.16．如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點(diǎn)為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使二面角的平面角的大小為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.17．放行準(zhǔn)點(diǎn)率是衡量機(jī)場(chǎng)運(yùn)行效率和服務(wù)質(zhì)量的重要指標(biāo)之一.某機(jī)場(chǎng)自2012年起采取相關(guān)策略?xún)?yōu)化各個(gè)服務(wù)環(huán)節(jié)，運(yùn)行效率不斷提升.以下是根據(jù)近10年年份數(shù)與該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率（）（單位：百分比）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所作的散點(diǎn)圖及經(jīng)過(guò)初步處理后得到的一些統(tǒng)計(jì)量的值.y2017.580.41.540703145.01621254.227.71226.8其中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率y關(guān)于年份數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程，由此預(yù)測(cè)2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地的航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率；(2)已知2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地，B地和其他地區(qū)的航班比例分別為0.2，0.2和0.6.若以(1)中的預(yù)測(cè)值作為2023年該機(jī)場(chǎng)飛往A地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值，且2023年該機(jī)場(chǎng)飛往B地及其他地區(qū)（不包含A，B兩地）航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的估計(jì)值分別為和，試解決以下問(wèn)題：（i）現(xiàn)從2023年在該機(jī)場(chǎng)起飛的航班中隨機(jī)抽取一個(gè)，求該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率；（ii）若2023年某航班在該機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往A地的概率.（保留3位小數(shù)）附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，參考數(shù)據(jù)：，，.18．已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若對(duì)任意的，都有成立，求整數(shù)的最大值.19．某校為了解本校學(xué)生每天的體育活動(dòng)時(shí)間，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)并繪制了如下的頻率分布直方圖：(1)從這100名學(xué)生中按照分層抽樣的方式在體育活動(dòng)時(shí)間位于和的兩組學(xué)生中抽取12名學(xué)生，再?gòu)倪@12名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，用表示這3人中屬于的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)以這100名學(xué)生體育活動(dòng)時(shí)間的頻率估計(jì)該校學(xué)生體育活動(dòng)時(shí)間的概率，若從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取且名學(xué)生，求證：當(dāng)時(shí)，“抽取的名學(xué)生中恰有5人每天的體育活動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘”的概率最大.

答案1．【正確答案】A【分析】求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，所以的中點(diǎn)，所以關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選A.2．【正確答案】D【分析】根據(jù)變量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為，由兩點(diǎn)分步求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由，所以.故選D.3．【正確答案】A【分析】由散點(diǎn)圖，以及樣本中心，即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可知，，，所以樣本點(diǎn)中心是，所以去掉樣本點(diǎn)中心后，由相關(guān)系數(shù)的公式得故選A.4．【正確答案】C【分析】利用分類(lèi)變量的相關(guān)性進(jìn)行計(jì)算求解.【詳解】在兩個(gè)分類(lèi)變量的列聯(lián)表中，當(dāng)?shù)闹翟叫r(shí)，認(rèn)為兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)的可能性越小．令，得，解得，所以當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系最弱，故A，B，D錯(cuò)誤.故選C．5．【正確答案】C【分析】首先分析出三個(gè)向量共面，顯然當(dāng)時(shí)，三個(gè)向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底，即可分析出正確答案.【詳解】由題意知這三個(gè)向量共面，即這三個(gè)向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，對(duì)A，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量不共面，可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則由能推出，對(duì)D，由空間直角坐標(biāo)系易知三個(gè)向量共面，則當(dāng)無(wú)法推出，故D錯(cuò)誤.故選C．6．【正確答案】D【分析】利用條件概率公式計(jì)算可得相互獨(dú)立，再利用相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及對(duì)立事件的概率公式計(jì)算得解.【詳解】由，得，即，則事件相互獨(dú)立，事件也相互獨(dú)立，所以.故選D.7．【正確答案】C【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，令，結(jié)合線面角大小及向量法列方程求參數(shù)，最后利用棱柱體積公式求體積.【詳解】由題設(shè)，構(gòu)建如下空間直角坐標(biāo)系，令，則，所以，又面的法向量為，由與平面所成的角為，則，所以，可得，則，所以該長(zhǎng)方體的體積為.故選C.8．【正確答案】B【分析】分析出4個(gè)球贏球的一方為以下情況，甲乙甲甲，乙甲甲甲，求出兩種情況下的概率，相加即可.【詳解】平后，兩人又打了4個(gè)球，甲獲勝，則4個(gè)球贏球的一方為以下情況，甲乙甲甲，乙甲甲甲，若是甲乙甲甲，則概率為，若是乙甲甲甲，則概率為，故“兩人又打了4個(gè)球且甲獲勝”的概率為.故選B.9．【正確答案】BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)正相關(guān)得答案；對(duì)于B：直接根據(jù)公式計(jì)算；對(duì)于C：直接代入進(jìn)行預(yù)測(cè)；對(duì)于D：根據(jù)代入計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A：由表格中的數(shù)據(jù)可知與正相關(guān)，所以與的樣本相關(guān)系數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B.將代入，得，故B正確；對(duì)于C：在中，令，得，所以預(yù)測(cè)第6年該地農(nóng)業(yè)無(wú)人機(jī)的保有量約為612架，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求，再計(jì)算的期望，方差，有關(guān)概率進(jìn)行判斷.【詳解】由題意.所以；所以；.故選ACD.11．【正確答案】ABC【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量法分別判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】

選項(xiàng)A：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意，，，，，，，，，，，，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面，故A正確；B選項(xiàng)：由A知為平面的法向量，，所以到平面的距離為，故B正確，C選項(xiàng)：，，，設(shè)異面直線與的公共法向量為，則，，令，則，，,則異面直線與的距離為，故C正確，D選項(xiàng)：，，，所以異面直線與的夾角的余弦值為，夾角為.故D錯(cuò)誤，故選ABC.12．【正確答案】【分析】分析可知，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，可知，若，可得，所?故答案為.13．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差公式得到，，代入式子利用均值不等式計(jì)算得到答案.【詳解】，，故，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為.14．【正確答案】【分析】求出三棱錐的六條棱長(zhǎng)可得答案.【詳解】因?yàn)槠矫妫?，所以都是直角三角形，又因?yàn)椋?，則.故答案為.15．【正確答案】(1)3；(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，能，理由見(jiàn)解析.【分析】(1)利用平均數(shù)公式求解；(2)根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表，再求得，與臨界值表對(duì)照下結(jié)論.【詳解】(1)由題意，這四款車(chē)得分的平均數(shù)為，所以這四款車(chē)得分的平均數(shù)為3.(2)假設(shè)：汽車(chē)的性能與款式無(wú)關(guān).由題意，列聯(lián)表如下：款式性能基礎(chǔ)版豪華版合計(jì)一般201232優(yōu)秀51318合計(jì)252550則，所以能在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為汽車(chē)的性能與款式有關(guān).16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在，.【分析】(1)由面面垂直的性質(zhì)得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，，利用可得答案；(2)假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，設(shè)，求出平面，平面的一個(gè)法向量，由二面角的向量求法可得答案.【詳解】(1)平面平面，平面平面，平面平面，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得：，又，即，又平面平面；(2)假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使二面角的大小為.設(shè)，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得：，又平面的一個(gè)法向量為，，即，解得：或（舍去），此時(shí)，在線段上存在點(diǎn)，使二面角的平面角的大小為，此時(shí).17．【正確答案】(1)適宜，，；(2)（i）0.778；（ii）.【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖可判斷適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率關(guān)于年份數(shù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型，再根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程，即求出，，從而得到關(guān)于的回歸方程，再代入計(jì)算可得；(2)（i）根據(jù)全概率公式計(jì)算可得；（ii）根據(jù)條件概率公式計(jì)算可得.【詳解】(1)由散點(diǎn)圖判斷適宜作為該機(jī)場(chǎng)飛往地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率關(guān)于年份數(shù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型.令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于，，該機(jī)場(chǎng)飛往地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率關(guān)于的線性回歸方程為，因此關(guān)于年份數(shù)的回歸方程為，所以當(dāng)時(shí)，該機(jī)場(chǎng)飛往地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的預(yù)報(bào)值為，所以2023年該機(jī)場(chǎng)飛往地航班放行準(zhǔn)點(diǎn)率的預(yù)報(bào)值為.(2)設(shè)“該航班飛往地”，“該航班飛往地”，“該航班飛往其他地區(qū)”，“該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行”，則，，，，，.（i）由全概率公式得，，所以該航班準(zhǔn)點(diǎn)放行的概率為.（ii）該航班飛往地的概率為，即若年某航班在該機(jī)場(chǎng)準(zhǔn)點(diǎn)放行，判斷該航班飛往地的概率約為.18．【正確答案】(1)；(2)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；(3)3.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間作答.(3)等價(jià)變形給定的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值情況作答.【詳解】(1)函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是.(2)函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(3)，，令，求導(dǎo)得，由(2)知，在上單調(diào)遞增，，，因此存在唯一，使得，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，則，所以整數(shù)的最大值是3.19．【正確答案】(1)分布列見(jiàn)解析，；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)利用分層抽樣得到抽取的12名學(xué)生中位于和的人數(shù)，得到可能取值和對(duì)應(yīng)的概率，再由超幾何分布得到分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望；(2)由頻率分布直方圖求解出每天的運(yùn)動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘的頻率，得