四川省成都市新都區(qū)2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

四川省成都市新都區(qū)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)z滿足：（i為虛數(shù)單位），則z為（

）A． B． C． D．2．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，的三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則的面積為（

）

A．120 B．60 C．30 D．153．將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），再將圖象向左平移后得函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．4．在正四棱錐的所有棱長均相等，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，已知，，，，以y軸為旋轉(zhuǎn)軸，將四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，得一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則此旋轉(zhuǎn)體的表面積為（

）

A． B． C． D．6．中，角所對的邊分別為，，，交于點(diǎn)，且，則的值為（

）A． B． C．6 D．37．八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則的值為（

）A．14 B．12 C．10 D．88．四面體中，若，，，則此四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)都是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．方程無復(fù)數(shù)解 B．若，則C． D．10．下列命題正確的是（

）A．一個(gè)三棱錐被過三條側(cè)棱的中點(diǎn)的平面所截，截得的兩部分為一個(gè)三棱臺和一個(gè)小三棱錐，則此三棱臺與小三棱錐的體積比為7B．圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48C．圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則截面三角形面積的最大值為48D．若一個(gè)平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形至少有一組對邊互相平行11．的內(nèi)心為P，外心為O，重心為G，若，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的內(nèi)切圓半徑為 B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若，則．13．歐拉公式：（i是虛數(shù)單位，）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，可求出的最大值為．14．如圖，平面四邊形中，，，，，沿將折起成直二面角（折起后原來平面圖形的D點(diǎn)變?yōu)榭臻g圖形的P點(diǎn)），則折起后四面體的內(nèi)切球半徑為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)，其中，且函數(shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為．(1)求的解析式；(2)求在區(qū)間上的值域．16．如圖，邊長為6的正中，點(diǎn)D在邊上，且，點(diǎn)M在線段上．(1)若，求的值；(2)若，求x及的值．17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若．

(1)求角C的大?。?2)設(shè)D是上一點(diǎn)，且，，且，求的面積．18．如圖，四棱錐中，底面是邊長為4的菱形，，，E為中點(diǎn)，與交點(diǎn)為O．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若，求點(diǎn)C到平面的距離．19．（1）若對恒成立，求的值；（2）求的值域；（3）正五棱錐的所有棱長均為，求此正五棱錐的表面積．

參考答案1．【答案】B【分析】直接由復(fù)數(shù)除法、乘方即可求解.【詳解】.故選B.2．【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間距離公式求得三角形三邊關(guān)系，結(jié)合勾股定理判斷直角三角形，利用三角形面積公式計(jì)算得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈娜旤c(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，所以，，,因?yàn)椋?則直角三角形的面積為.故選C.3．【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮以及平移變換規(guī)律，即可得答案.【詳解】將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到的圖象，再將圖象向左平移后得函數(shù)的圖象，即，故選D【方法總結(jié)】在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí),提倡“先平移,后伸縮”,但“先伸縮,后平移”也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中,所以也必須熟練掌握.無論是對x的哪種變換,切記每一種變換總是對x而言,即圖象變換要看“變量”起多大變化,而不是“角”變化多少.4．【答案】D【分析】取線段中點(diǎn)，得出異面直線與所成角為，結(jié)合解三角形知識即可求解.【詳解】取線段中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角為，不妨設(shè)正四棱錐的所有棱長均為2，則，，所以.故選D.5．【答案】C【分析】將所求拆分為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積與圓柱的一個(gè)底面面積之和即可求解.【詳解】此旋轉(zhuǎn)體的表面積為底面半徑為4、高為3的圓錐的側(cè)面積加上底面半徑為4、高為5的圓柱的側(cè)面積再加上該圓柱的一個(gè)底面面積；故所求為.故選C.6．【答案】B【分析】根據(jù)條件得到，在中，利用余弦定理得到，從而得到，即可求解.【詳解】因?yàn)?，，得到，在中，，，由余弦定理得到，所以，即，所以，得?故選B.7．【答案】A【分析】通過轉(zhuǎn)化得：，展開，利用向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【詳解】如圖：連接因?yàn)橹虚g是邊長為2的正方形，且圖中的各個(gè)三角形均為等腰直角三角形，所以，，，.所以.故選A.【方法總結(jié)】向量的數(shù)量積的求法：(1)求兩個(gè)向量的數(shù)量積，首先確定兩個(gè)向量的模及向量的夾角，其中準(zhǔn)確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解，向量的加、減與數(shù)量積的混合運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．8．【答案】A【分析】首先得出點(diǎn)在平面的射影為三角形外接圓的圓心，由此結(jié)合正弦定理建立方程求得三棱錐的高，再結(jié)合勾股定理列方程求得外接球的半徑，進(jìn)一步即可求解.【詳解】

設(shè)點(diǎn)在平面的射影為，，因?yàn)?，所以，這表明點(diǎn)為三角形外接圓的圓心，注意到，，所以由正弦定理可得，解得，所以外接球球心在的延長線上，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，所以此四面體的外接球的表面積為.故選A.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】關(guān)鍵是首先得出三棱錐的高以及底面外接圓的半徑，從而得外接球的半徑，由此即可順利得解.9．【答案】BC【分析】對于A，由求根公式即可判斷；對于B，待定系數(shù)即可判斷；對于C，由模的計(jì)算公式直接驗(yàn)算即可判斷；對于D，舉反例即可判斷.【詳解】對于A，方程有復(fù)數(shù)解，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，則，解得，即，故B正確；對于C，設(shè)，，所以，故C正確；對于D，取，則，故D錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】ACD【分析】對于A，由相似比即可判斷；對于BC，只需判斷軸截面頂角的正弦值的最大值即可判斷；對于D，畫出截面四邊形的情況即可判斷.【詳解】對于A，一個(gè)三棱錐被過三條側(cè)棱的中點(diǎn)的平面所截，截得的兩部分為一個(gè)三棱臺和一個(gè)小三棱錐，則截面三角形與三棱錐底面三角形相似，相似比為，面積比為，同理小三棱錐與大三棱錐的高的比為，所以此三棱臺與小三棱錐的體積比為，故A正確；對于BC，圓錐被過其頂點(diǎn)的某平面所截，截面形狀為一個(gè)三角形，若圓錐的底面半徑，高，則母線，設(shè)截面等腰三角形頂角為，則截面三角形面積為，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時(shí)，頂角最大，此時(shí)，這表明此時(shí)軸截面頂角是個(gè)鈍角，即頂角可以在某個(gè)時(shí)刻取到直角，所以截面三角形面積的最大值為，若圓錐的底面半徑，高，由題意當(dāng)截面與軸截面重合時(shí)，頂角最大，此時(shí)，這表明此時(shí)軸截面頂角是個(gè)銳角，即頂角的正弦值在截面與軸截面重合時(shí)，取到最大值，且最大值為，所以截面三角形面積的最大值為，故B錯(cuò)誤，C正確；對于D，如圖所示：要使截面是四邊形，可能有以下情形，根據(jù)對稱性，在這里只考慮豎著切，且截面平行于平行六面體的某個(gè)面的情形也只畫了一種特殊情形，由以上可以看出，若一個(gè)平行六面體被某平面所截，所得截面形狀為四邊形，則此四邊形要么是梯形，要么是平行四邊形，故D正確.故選ACD.11．【答案】ABD【分析】取邊的中點(diǎn)，得內(nèi)心P、外心O、重心G都在中線上，且，由三角形面積相等求出可判斷A；求出可判斷B；由余弦定理得，平方關(guān)系求出，得的外接圓半徑，利用可判斷C；利用可判斷D.【詳解】取邊的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋詢?nèi)心P、外心O、重心G都在中線上，且，，內(nèi)切圓半徑，對于A，由得，解得，故A正確；對于B，因?yàn)椋?，，故B正確；對于C，由余弦定理得，，所以，所以的外接圓半徑，，所以，所以，，故C錯(cuò)誤；對于D，的外接圓半徑，，所以，故D正確.故選ABD.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】解題的關(guān)鍵點(diǎn)是判斷出內(nèi)心P、外心O、重心G都在中線上.12．【答案】【分析】根據(jù)二倍角的正弦公式及平方關(guān)系運(yùn)算求解即可．【詳解】∵，∴，∴，故答案為：．13．【答案】2【分析】由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)即可求解.【詳解】，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以的最大值為2.故答案為：2.14．【答案】【分析】分別求出三棱錐的表面積、體積，結(jié)合等體積法即可列方程求解.【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)?，平面，所以平面，而平面，從而，設(shè)所求為，三棱錐的表面積、體積分別為，，而，，從而，解得.故答案為：.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】關(guān)鍵在于利用等體積法建立關(guān)于的方程，由此即可順利得解.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為，知，再根據(jù)周期公式求出即可；（2）根據(jù)正弦型函數(shù)圖象寫出值域即可.【詳解】（1）．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象的對稱中心與對稱軸的距離的最小值為，設(shè)最小正周期為，則，即，所以，又，所以，所以．（2）因?yàn)?，所以，由正弦型函?shù)的圖象可得．16．【答案】(1)(2)，【分析】（1）直接分解向量即可求解；（2）由三點(diǎn)共線求得參數(shù)的值，然后求得各自的模、數(shù)量積，結(jié)合向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）∵，而，∴，則即為所求．（2）∵，得，∴，又∵，∴，∵M(jìn)、B、D三點(diǎn)共線，∴，則即為所求x的值．則，∴，∴，∴，同理可求：，∴，∴即為所求．17．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換即可求解；（2）方法一：在、中，分別利用余弦定理得到，方法二：分解向量得，平方也可得，再結(jié)合以及正弦定理可求出，結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）∵，由正弦定理知：，∴，∵，，∴，∵，．（2）由題意得，，，，方法一：在中，，在中，，∵，∴，化簡得．

在中，，∴，整理得．又∵，則，∴，則，∴，即為的面積．方法二：∵，∴，，∵且得：，又∵，則，∴，則，∴．18．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）只需證明，結(jié)合線面平行的判定定理即可得解；（2）只需證明平面，在結(jié)合面面垂直的判定定理即可得解；（3）首先證明面，由等體積法即可列方程求解.【詳解】（1）設(shè)，連結(jié)，∵E為中點(diǎn)，O為中點(diǎn)，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）連結(jié)，∵，O為中點(diǎn)，∴，又∵底面為菱形，∴，∵且兩直線在平面內(nèi)，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（3）由（2）得：，由，同理可得：，而平面，∴面可求：，，，∴，而中，，可求：，，可求：，而，則，則即為所求點(diǎn)C到平面的距離．19．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)和角公式和余弦的倍角公式，得到，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果；（2）利用和角公式得到，令，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（3）利用（1）中結(jié)果，求得，再利用正