2024-2025學(xué)年下學(xué)期期末備考初二數(shù)學(xué)專題01 二次根式（精講）VIP

第14頁（共14頁）專題01二次根式1．二次根式的概念一般地，我們把形如（a>0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號．2．二次根式有無意義的條件類型條件字母表示二次根式有意義被開方數(shù)（式）為非負數(shù)有意義a≥0二次根式無意義被開方數(shù)（式）為負數(shù)無意義a<03．二次根式的性質(zhì)（1）；（2）；（3）．4．代數(shù)式用基本運算符號（基本運算包括加、減、乘、除、乘方和開方）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子叫代數(shù)式．5．二次根式的乘法（1）一般地，二次根式的乘法法則：．（2）二次根式乘法法則的逆用：．6．二次根式的除法法則（1）一般地，二次根式的除法法則：．（2）二次根式除法法則的逆用：7．最簡二次根式滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．8．二次根式的加減二次根式加減的法則：二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并．二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：（1）將各個二次根式化成最簡二次根式；（2）找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式——將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變．9．二次根式的混合運算（1）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．（2）在二次根式的運算中，有理數(shù)的運算律、多項式乘法法則及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然適用．二次根式混合運算的結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式．考點01二次根式的概念、有無意義的條件（1）必須含有二次根號“，“”的根指數(shù)為2，即“”，我們一般省略根指數(shù)2，寫作“”．（2）被開方數(shù)必須是非負數(shù)，如和都不是二次根式．（3）二次根式中的被開方數(shù)既可以是一個數(shù)，也可以是一個含有字母的式子．（4）式子表示非負數(shù)a的算術(shù)平方根，因此a≥0，≥0．二次根式具有雙重非負性．（5）在具體問題中，如果已知二次根式，就隱含a≥0這一條件．（6）形如的式子也是二次根式，b與是相乘的關(guān)系，要注意當b是分數(shù)時不能寫成帶分數(shù)，例如可寫成，但不能寫成．【典例1】（2025?崇明區(qū)三模）下列式子中，不屬于二次根式的是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，逐一分析即可．【解答】解：、是二次根式，不符合題意；、因為，所以是二次根式，不符合題意；、因為，由于被開方數(shù)是負數(shù)，所以在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義，不屬于二次根式，符合題意；、由于被開方數(shù)是正數(shù)，是二次根式，不符合題意．故選：．【典例2】（2025?無錫校級二模）要使二次根式有意義，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：，解得：，故選：．【典例3】（2025春?魯山縣期中）若二次根式有意義，則的取值范圍是A． B．且 C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件分析即可．【解答】解：由題意得，，解得，故選：．考點02二次根式的性質(zhì)與化簡（1）；（2）；（3）．【拓展】（1）若，則a=0，b=0；（2）若，則a=0，b=0；（3）若，則a=0，b=0；（4）若，則a=0，b=0，c=0．【典例4】（2025春?東莞市期中）如果，那么的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：，，解得，故選：．【典例5】（2025春?諸暨市期中）若，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次公式的性質(zhì)：和絕對值的性質(zhì)進行計算即可．【解答】解：，，故選：．【典例6】（2025春?懷寧縣期中）已知，那么的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)列出關(guān)于的不等式，求出的取值范圍即可．【解答】解：，，解得．故選：．考點03二次根式中的規(guī)律問題求解與二次根式有關(guān)的規(guī)律探究題時，常會用到從特殊到一般的推理方式得到數(shù)學(xué)結(jié)論．【典例7】（2024秋?黔江區(qū)期末）觀察下列等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，按上述規(guī)律，計算．【分析】首先根據(jù)題意，可得：，然后根據(jù)分母有理數(shù)化的方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，故答案為：．【典例8】（2023秋?昌黎縣期末）小明做數(shù)學(xué)題時，發(fā)現(xiàn)；；；；；按此規(guī)律，若，為正整數(shù)），則．【分析】找出一系列等式的規(guī)律為的正整數(shù)），令求出與的值，即可求得的值．【解答】解：根據(jù)題中的規(guī)律得：的正整數(shù)），，，，則．故答案為：73．【典例9】（2024秋?衡陽月考）觀察并分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，，2，，，，，那么第10個數(shù)據(jù)應(yīng)是．【分析】根據(jù)0，，2，，，，，即可得到0，，，，，，，從而得到第個數(shù)為．【解答】解：第十個數(shù)為．故答案為：．考點04二次根式的乘除運算1．二次根式的乘法運算（1）乘法法則：（2）推廣：①．②．（3）逆用：．．（4）乘法交換律和結(jié)合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可應(yīng)用．2．二次根式的除法運算（1）除法法則：．（2）逆用：（3）推廣：①②，其中．【典例10】（2025春?東莞市期中）計算：．【答案】．【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡得出答案．【解答】解：原式．【典例11】（2024春?延吉市校級期中）計算：．【答案】．【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則即可求解．【解答】解：原式．【典例12】（2024春?永吉縣期中）計算：．【答案】．【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則，即可求解．【解答】解：原式．考點05二次根式的加減運算二次根式的加減法與整式的加減法類似，步驟如下：（1）將各個二次根式化成最簡二次根式；（2）找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；（3）合并被開方數(shù)相同的二次根式——將系數(shù)相加仍作為系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變．【注意】（1）化成最簡二次根式后被開方數(shù)不相同的二次根式不能合并，但是不能丟棄，它們也是結(jié)果的一部分．（2）整式加減運算中的交換律、結(jié)合律、去括號法則、添括號法則在二次根式運算中仍然適用．（3）根號外的因式就是這個根式的系數(shù)，二次根式的系數(shù)是帶分數(shù)的要化為假分數(shù)的形式．【典例13】（2024秋?西峽縣期末）計算：（1）；（2）．【分析】根據(jù)二次根式的加減法法則和二次根式的性質(zhì)與化簡進行解題即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【典例14】（2024秋?白銀期末）計算：．【分析】先將二次根式化為最簡，然后合并同類二次根式即可．【解答】解：原式．【典例15】（2025春?玉環(huán)市期中）計算：．【答案】．【分析】先把各個二次根式化成最簡二次根式，然后合并即可．【解答】解：原式．考點06二次根式的混合運算與化簡求值（1）二次根式的混合運算順序與整式的混合運算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）．（2）在二次根式的運算中，有理數(shù)的運算律、多項式乘法法則及乘法公式（平方差公式、完全平方公式）仍然適用．（3）二次根式混合運算的結(jié)果一定要化成最簡二次根式或整式．（4）在進行二次根式的計算時，能用公式的要盡量使用公式，有時還需要靈活運用公式和逆用公式，這樣可以使計算過程大大簡化．【典例16】（2025春?藤縣期中）計算：．【答案】9．【分析】先把各二次根式化為最簡二次根式，再把括號內(nèi)合并后進行二次根式的乘法運算，然后合并即可．【解答】解：原式．【典例17】（2025春?宜城市期中）計算：．【答案】0．【分析】先根據(jù)二次根式的乘法和除法法則運算，然后化簡二次根式后合并同類二次根式．【解答】解：原式．【典例18】（2025春?武陟縣期中）計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先進性分母有理化，然后合并同類二次根式解題即可；（2）先運算二次根式的乘除法，然后合并同類二次根式解題．【解答】解；（1）原式；（2）原式．考點07在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解將正數(shù)化為的形式，利用平方差或者完全平方公式進行因式分解．【典例19】（2025?游仙區(qū)三模）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】．【分析】因此此題可根據(jù)提公因式及平方差公式進行分解因式即可．【解答】解：．故答