2025年四川內(nèi)江中考數(shù)學試卷真題及答案詳解（精校打印）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁內(nèi)江市2025年初中學業(yè)水平考試暨高中階段學校招生考試試卷數(shù)學本試卷分為A卷和B卷兩部分，A卷1至4頁，滿分100分；B卷5至6頁，滿分60分．全卷滿分160分．考試時間120分鐘．注意事項：1．答題前請仔細閱讀答題卡上的注意事項．2．所有試題的答案必須按題號填寫在答題卡相應位置上，在試卷和草稿紙上作答無效．3．考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將答題卡、試卷、草稿紙一并收回．A卷（共100分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．中國是世界上最早使用負數(shù)的國家，負數(shù)早已廣泛應用到生產(chǎn)和生活中．例如，零上記作，則零下記作（

）A． B． C． D．2．古錢幣是我國珍貴的歷史文化遺產(chǎn)．下列選項是在《中國古代錢幣》特種郵票中選取的部分圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．2025年5月14日12時12分，全球首個太空計算星座在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，此次發(fā)射的太空計算星座共有12顆衛(wèi)星，其中10顆為“內(nèi)江城市衛(wèi)星星群”成員，若每顆衛(wèi)星每天處理的數(shù)據(jù)量為字節(jié)，則“內(nèi)江城市衛(wèi)星星群”每天處理的總數(shù)據(jù)量可達到字節(jié)，將數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．4．在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．某體育用品專賣店在一段時間內(nèi)銷售了雙運動鞋，其中幾種尺碼運動鞋的銷售量如下表所示：尺碼/銷售量/雙這雙運動鞋的尺碼組成的一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（

）A．， B．， C．， D．，6．如圖是正方體的表面展開圖，與“共”字相對的字是（

）A．安 B．全 C．校 D．園7．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．8．阿基米德曾說過：“給我一個支點，我能撬動整個地球．”這句話生動體現(xiàn)了杠桿原理：通過調(diào)整支點位置和力臂長度，用較小的力就能撬動重物．這一原理在生活中隨處可見．如圖甲，這是用杠桿撬石頭的示意圖，當用力壓杠桿時，另一端就會撬動石頭．如圖乙所示，動力臂，阻力臂，，則的長度是（

）A． B． C． D．9．學校準備添置一批課桌椅，原訂購60套，每套100元．店方表示：如果多購，可以優(yōu)惠．結(jié)果校方購了72套，每套減價3元，但商店獲得同樣多的利潤．求每套課桌椅的成本．設每套課桌椅的成本為x元，則可列方程為（

）A． B．C． D．10．按如下步驟作四邊形：（1）畫；（2）以點為圓心，個單位長為半徑畫弧，分別交、于點、：（3）分別以點和點為圓心，個單位長為半徑畫弧，兩弧交于點；（）連接、、．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．11．若關于x的一元二次方程有實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且12．對于正整數(shù)x，規(guī)定函數(shù)．在平面直角坐標系中，將點中的，分別按照上述規(guī)定，同步進行運算得到新的點的橫、縱坐標（其中，均為正整數(shù)）．例如，點經(jīng)過第次運算得到點．經(jīng)過第次運算得到點，經(jīng)過第次運算得到點，經(jīng)過有限次運算后，必進入循環(huán)圈，按上述規(guī)定，將點經(jīng)過第次運算后得到點是（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分．）13．分解因式：=．14．在英文單詞“”中任選一個字母，字母“a”被選中的概率是．15．如圖，是的弦．半徑于點D，且．則的長是．16．如圖，在矩形中，，點E、F分別是邊上的動點，連接，點G為的中點，點H為的中點，連接，則的最大值是．三、解答題（本大題共5小題，共48分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．）17．（1）計算：；（2）化簡：．18．如圖，點B、F、C、E在同一條直線上，．(1)求證：；(2)若，求的長．19．內(nèi)江，東漢建縣，古稱漢安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新時代內(nèi)江的三張靚麗名片，也是“心里甜”的由來，為弘揚內(nèi)江傳統(tǒng)文化，我市將舉辦中小學生“知內(nèi)江、愛內(nèi)江、興內(nèi)江”知識競賽活動．某校舉辦選拔賽后，隨機抽取了部分學生的成績，成績按百分制分為A、B、C、D四個等級，并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖表．等級成績?nèi)藬?shù)241410根據(jù)統(tǒng)計圖表中的信息解答下列問題：(1)表中______；扇形統(tǒng)計圖中，表示成績等級為D的扇形圓心角為______度．(2)若全校有3000人參加了此次選拔賽，其中成績等級為A的學生大約有多少人？(3)現(xiàn)從成績等級為A的甲、乙、丙、丁4人中隨機選出2人參加市級比賽，請通過列表或畫樹狀圖的方法求出甲、乙兩人同時被選中的概率．20．在綜合與實踐活動中，某學習小組計劃測量內(nèi)江麻柳壩大橋橋塔的高度（如圖甲）．他們設計了如下方案：如圖乙，點B、D、C依次在同一條水平直線上，在B處測得橋塔頂部A的仰角為，在C處測得橋塔頂部A的仰角為，又測得，，垂足為D，求橋塔的高度（結(jié)果保留根號）．21．如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于、兩點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)當時，請根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出關于x的不等式的解集；(3)過直線上的點C作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點．若點橫坐標為，求的面積．B卷（共60分）四、填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分．）22．已知實數(shù)a，b滿足，則．23．對于x、y定義了一種新運算G，規(guī)定．若關于a的不等式組恰好有3個整數(shù)解，則實數(shù)P的取值范圍是．24．如圖，在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，點B的坐標為．點E在邊上．將沿折疊，點D落在點F處．若點F的坐標為．則點E的坐標為．25．如圖，在中，，，，點、、分別是邊、、上的動點，則周長的最小值是．五、解答題（本大題共3小題，每小題12分，共36分．解答應寫出必要的文字說明或推演步驟．）26．2025年春節(jié)期間，我國國產(chǎn)動畫電影《哪吒之魔童鬧?！匪⑿铝酥袊娪捌狈康男录o錄，商家推出A、B兩款“哪吒”文旅紀念品．已知購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元．(1)求A、B兩款“哪吒”紀念品每個進價分別為多少元？(2)根據(jù)網(wǎng)上預約的情況，如果該商家計劃用不超過12000元的資金購進A、B兩款“哪吒”紀念品共400個，那么至少需要購進B款紀念品多少個？(3)在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)每個A款紀念品售價60元時，可售出200個，售價每增加1元，銷售量將減少5個．設每個A款紀念品售價元，W表示該商家銷售A款紀念品的利潤（單位：元），求W關于a的函數(shù)表達式，并求出W的最大值．27．如圖，在中，，的平分線交于點D，點O是邊上一點，以點O為圓心、長為半徑作圓，恰好經(jīng)過點D，交于點E．(1)求證：直線是的切線；(2)若點E為的中點，，求陰影部分的面積；(3)連接，若，求的值．28．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸相交于、兩點，與y軸交于點．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，過點B的直線與拋物線的另一個交點為點D，點M為拋物線對稱軸上的一點，連接，設點M的縱坐標為n，當時，求n的值；(3)如圖2，點N是拋物線的頂點，點P是x軸上一動點，將頂點N繞點P旋轉(zhuǎn)后剛好落在拋物線上的點H處，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．C【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：零上記作，則零下記作，故選：C．2．D【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故D選項符合題意．故選：D．3．C【分析】本題考查了科學記數(shù)法．將大數(shù)用科學記數(shù)法表示時，需將其寫成的形式，其中，為整數(shù)．【詳解】解：，故選：C．4．A【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，二次根式有意義的條件，根據(jù)題意得出，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：故選：A．5．B【分析】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的定義.根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后中間兩個數(shù)的平均值（偶數(shù)個數(shù)據(jù)時）.【詳解】解：根據(jù)表格可知，尺碼的銷售量最多（10雙），因此眾數(shù)為.總數(shù)據(jù)個數(shù)為20（偶數(shù)），需取第10和第11個數(shù)據(jù)的平均值。將所有尺碼按從小到大排列：第10和第11個數(shù)據(jù)均為，故中位數(shù)為.綜上，眾數(shù)和中位數(shù)均為25，對應選項B.故選：B．6．B【分析】本題考查了正方體的展開圖，解題關鍵是從相對面入手進行分析及解答問題．正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，據(jù)此作答．【詳解】解：∵正方體的平面展開圖中，相對面的特點是之間一定相隔一個正方形，∴在此正方體上與“共”字相對的面上的字是“全”．故選：B．7．D【分析】本題考查了整式的運算，逐一分析各選項的運算是否正確，利用冪的運算、完全平方公式、合并同類項及平方差公式進行判斷．【詳解】解：A．，錯誤．B．，錯誤．C．與不是同類項，無法合并，結(jié)果應為，錯誤．D．根據(jù)平方差公式，，正確．故選：D．8．B【分析】本題考查相似三角形的應用，根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得的長度．解題的關鍵是正確判定相似三角形并運用相似三角形的性質(zhì)列出比例式．【詳解】解：，，，，，∵動力臂，阻力臂，，，的長為．故選：B．9．B【分析】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)利潤相等建立方程．原計劃利潤為，實際利潤為，兩者相等即可求解．【詳解】解：設每套成本為元．原計劃利潤為元；實際購買時利潤為元．根據(jù)題意得：，故選B．10．D【分析】本題考查了作線段，菱形的性質(zhì)與判定，根據(jù)作圖可得四邊形是菱形，進而根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得∴四邊形是菱形，則，又∵，∴故選：D．11．C【分析】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式進行判斷即可求解．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式求解．首先確保二次項系數(shù)不為零，再計算判別式并使其非負．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程有實數(shù)根，∴二次項系數(shù)，即．令，即，解得．∴且故選：C．12．A【分析】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探究，點的坐標規(guī)律，求函數(shù)值，通過計算點每次運算后的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)其變化呈現(xiàn)周期性循環(huán)，周期為3次．利用周期性規(guī)律，確定第2025次運算后的結(jié)果．【詳解】解：初始點：（第0次運算）．第1次：橫坐標為偶數(shù)，；縱坐標為奇數(shù)，；得到點．第2次：橫坐標為奇數(shù)，；縱坐標為偶數(shù)，；得到點．第3次：橫坐標為偶數(shù)，；縱坐標為偶數(shù)，；得到點，與初始點相同，即三次一循環(huán)，，∴第次運算后對應點與第3次運算后的點相同，即．故選：A．13．．【分析】利用平方差公式分解因式即可得到答案【詳解】解：．故答案為：【點睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，掌握利用平方差公式分解因式是解題的關鍵．14．【分析】此題考查概率的求法：如果一個事件有種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件出現(xiàn)種可能，那么事件的概率．根據(jù)概率公式直接求解即可．【詳解】解：英文單詞“”中共有6個字母，字母“a”有3個，∴字母“a”被選中的概率是，故答案為：．15．2【分析】本題主要考查了垂徑定理以及勾股定理，掌握垂徑定理是解題的關鍵．先根據(jù)垂徑定理得到，在中，由勾股定理求解，再由即可求解．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴在中，，∴，故答案為：2．16．5【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，通過三角形中位線定理進行轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．連接，先由勾股定理求得，則，再由三角形中位線定理得到，即可求解的最大值．【詳解】解：連接，∵矩形中，，∴，∴，∴，∵點G為的中點，點H為的中點，∴是的中位線，∴，∴當點重合時，取得最大值為5，故答案為：5．17．（1）7；（2）3【分析】本題主要考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，同分母的分式減法計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）分別計算零指數(shù)冪，化簡絕對值，計算算術平方根以及代入特殊角的三角函數(shù)值，再進行加減計算即可；（2）根據(jù)同分母的分式減法運算法則計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．(1)見解析(2)11【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由“”直接證明即可；（2）由，，再由線段和差即可得到，最后由即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．19．(1)12，60(2)600(3)【分析】本題考查了從扇形統(tǒng)計圖獲取信息，用樣本估計總體，樹狀圖或列表法求解概率，正確讀懂統(tǒng)計圖是解題的關鍵．（1）先由等級人數(shù)除以占比求出抽取的人數(shù)，再由抽取的人數(shù)減去等級的人數(shù)即可求解；用乘以等級的占比即可求解成績等級為D的扇形圓心角；（2）用樣本估計總體的方法即可求解；（3）先畫出樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到符合題意的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】（1）解：抽取的人數(shù)：（人），則，成績等級為D的扇形圓心角：，故答案為：12，60；（2）解：（人），答：成績等級為A的學生大約有人；（3）解：畫樹狀圖為：由樹狀圖可知一共有12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中甲、乙兩人同時被選中的結(jié)果數(shù)有2種，∴甲、乙兩人同時被選中的概率是．20．【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用，設，解得到，解得到，再由，得到，解方程即可得到答案．【詳解】解；設，∵，∴，在中，，∴，在中，，∴，∵，∴，解得，∴，答：橋塔的高度為．21．(1)；(2)(3)【分析】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的幾何意義、函數(shù)圖象的特點，掌握理解函數(shù)圖象的特點是解題關鍵．（1）先根據(jù)點利用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達式；再通過反比例函數(shù)的表達式求出點A的坐標，最后利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)的表達式；（2）所求不等式的解集即為求一次函數(shù)的圖象位于反比例函數(shù)的圖象的上方時，的取值范圍；（3）根據(jù)題意得出，，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義得出，則，即可求解．【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)的圖象過點∴，故反比例函數(shù)的表達式為把點代入反比例函數(shù)得，，解得∴點的坐標為∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點∴，解得故一次函數(shù)的表達式為；（2）∵∴，即一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方∴；（3）∵點橫坐標為，代入解得：∴當時，代入，得解得：∴如圖，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，∵，∴，∵，∴．22．【分析】本題考查了平方差公式因式分解，根據(jù)平方差公式因式分解，將已知等式代入，即可求解．【詳解】解：∵，∴故答案為：．23．【分析】本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應用，能根據(jù)找不等式的解集和已知得出關于P的不等式組是解此題的關鍵．先根據(jù)新定義化簡關于的不等式，根據(jù)不等式組有3個整數(shù)解，得出，進而解不等式組，即可求解．【詳解】解：∵∴關于a的不等式組即解不等式①得：解不等式②得：∵不等式組有3個整數(shù)解，∴整數(shù)解為，∴解得：故答案為：．24．##【分析】本題考查翻折變換（折疊問題），勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，坐標與圖形變化-對稱，利用勾股定理求出正方形的邊長是解題關鍵．設，可得，在中，利用勾股定理可求出，根據(jù)翻折的性質(zhì)得出，，，設，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案．【詳解】解：在平面直角坐標系中，正方形的邊在x軸上，如圖，設與y軸交于點G，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵點A的坐標為，∴，∵將沿折疊，點D落在點F處．若點F的坐標為，∴，，，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，設，則，，在中，由勾股定理得：，∴，解得：，∴點E的坐標為，故答案為：25．【分析】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，垂線段最短，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關鍵，作點關于的對稱點，連接，得出是等腰直角三角形，當時，取得最小值，即周長最小，進而求得，即可求解．【詳解】解：如圖，作點關于的對稱點，連接，∴周長為，當四點共線時取得最小值，∵是關于的對稱點，∴，又∵∴∴是等腰直角三角形，∴∴當時，取得最小值，即周長最小又∵，，∴∴周長最小為故答案為：．26．(1)A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；(2)至少需要購進B款紀念品200個(3)，W的最大值為4500【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實際應用，二次函數(shù)的實際應用，一元一次不等式的實際應用，正確理解題意列出方程組，函數(shù)關系式和不等式是解題的關鍵．（1）設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，根據(jù)購進A款200個，B款300個，需花費14000元；購進A款100個，B款200個，需花費8000元建立方程組求解即可；（2）設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品個，根據(jù)購買資金不超過12000元建立不等式求解即可；（3）根據(jù)題意可得每個A款紀念品的利潤為元，銷售量為個，據(jù)此列出W關于a的二次函數(shù)關系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出W的最大值即可．【詳解】（1）解：設A款“哪吒”紀念品每個進價為x元，B款“哪吒”紀念品每個進價為y元，由題意得，，解得，答：A款“哪吒”紀念品每個進價為40元，B款“哪吒”紀念品每個進價為20元；（2）解：設需要購進B款紀念品m個，則需要購進A款紀念品個，由題意得，，解得，∴m的最小值為200，答：至少需要購進B款紀念品200個；（3）解：由題意得，，∵，∴當，即時，W最大，最大值為4500．27．(1)見解析(2)(3)【分析】