第21講 拋物線及其標準方程（思維導圖+3知識點+5考點+過關檢測）（原卷版）-2025新高二數(shù)學暑假提升講義（精講精練）

第21講拋物線及其標準方程模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．結合教材實例掌握拋物線的定義；2．掌握拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義，會求拋物線的標準方程；3．通過拋物線概念的引入和拋物線方程的推導，提高用坐標法解決幾何問題的能力.知識點1拋物線的定義1、定義：把平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)距離相等的點的軌跡叫做拋物線．定點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2、拋物線集合表示：．3、要點辨析：（1）定點F不在定直線l上，否則動點M的軌跡不是拋物線，而是過點F垂直于直線l的一條直線．（2）拋物線的定義中指明了拋物線上的點到焦點的距離與到準線的距離的等價性，故二者可相互轉化，這也是利用拋物線定義解題的實質．知識點2拋物線的標準方程1、拋物線四種標準方程標準方程圖形焦點坐標準線方程2、對標準方程的理解（1）標準方程的特征：等號的一邊是某個變量的平方，等號的另一邊是另一個變量的一次單項式．（2）拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義：拋物線的焦點到準線的距離（焦準距），所以p的值恒大于0．（3）焦點的非零坐標是一次項系數(shù)的．（4）準線與坐標軸的交點和拋物線的焦點關于原點對稱．（5）方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同，一次項系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向．p的值決定開口大小，p越大，則拋物線開口越大；p越小，則拋物線開口越小．（6）拋物線雖然是不封閉圖形，但與雙曲線不同，它沒有漸近線．知識點3解題技巧與方法1、由拋物線方程求焦點與準線方程的基本方法（1）已知拋物線方程求焦點坐標與準線方程時，一般先將所給方程式化為標準形式，由焦點方程準確得到參數(shù)，從而得焦點坐標與準線方程，要注意；（2）焦點所在坐標軸由標準方程的一次項確定，系數(shù)為正，焦點在正半軸；系數(shù)為負，焦點在負半軸。2、求拋物線標準方程的方法（1）直接法：直接利用題中已知條件確定焦參數(shù)；（2）待定系數(shù)法：先設出拋物線的方程，再根據題中條件，確定焦參數(shù).當焦點位置不確定時，應分類討論或設拋物線方程為或；注意：=1\*GB3①已知焦點坐標或準線方程可確定拋物線標準方程的形式；=2\*GB3②已知拋物線過某點不能確定拋物線標準方程的形式，需根據四種拋物線的圖形及開口方向確定?？键c一：拋物線的定義及辨析例1．（23-24高二上·浙江嘉興·月考）已知拋物線，則其焦點到準線的距離為（

）A． B． C．1 D．4【變式1-1】（23-24高二下·吉林長春·月考）已知拋物線的焦點為點在上.若到直線的距離為4，則（

）A．7 B．6 C．5 D．4【變式1-2】（23-24高二下·河南周口·月考）若拋物線上的一點A到焦點的距離為5，則點A的縱坐標是（

）A． B． C．2 D．4【變式1-3】（23-24高二下·江蘇南京·月考）已知拋物線的焦點為F，準線為l，點A在拋物線C上，點B在準線l上，若是邊長為2的等邊三角形，則的值是（

）.A．1 B． C．2 D．考點二：求拋物線的焦點或準線例2.（22-23高二上·吉林·月考）拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高二下·內蒙古赤峰·月考）拋物線的焦點坐標是（）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高二上·陜西榆林·期中）已知拋物線C：過點，則拋物線C的準線方程為（

）A． B． C． D．【變式2-3】（23-24高二上·河南鄭州·月考）拋物線的準線方程是（

）A． B． C． D．考點三：求拋物線的標準方程例3.（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知拋物線的焦點是，則拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高二上·貴州畢節(jié)·期末）準線方程為的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高二上·河南開封·期末）已知拋物線C關于x軸對稱，且焦點在直線上，則拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）焦點在直線上的拋物線的標準方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或考點四：利用定義解決最值問題例4.（23-24高二上·安徽阜陽·期末）已知，拋物線的焦點為是拋物線上任意一點，則周長的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4-1】（23-24高二上·貴州黔東南·期末）已知，C是拋物線上的三個點，F(xiàn)為焦點，，點C到x軸的距離為d，則的最小值為（

）A．10 B． C．11 D．【變式4-2】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知，點是拋物線上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式4-3】（23-24高二上·山東青島·期末）設拋物線上一點到軸的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．3 B．2 C． D．5考點五：與拋物線有關的軌跡問題例5.（23-24高二上·上?！て谀┮阎獎狱c的坐標滿足方程，則動點的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【變式5-1】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知動點P(x，y)滿足，則動點P的軌跡是（

）A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【變式5-2】（23-24高二下·廣西·月考）點到直線的距離比到點的距離大2，則點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【變式5-3】（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓與軸相切且與圓外切，則圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（23-24高二上·遼寧·月考）頂點在原點，焦點是的拋物線的標準方程是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·江西·月考）拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·江蘇淮安·期中）已知拋物線的準線方程為，則的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（22-23高二上·四川南江·月考）動圓與定圓A：外切，且和直線x＝1相切，則動圓圓心的軌跡是（

）A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線5．（22-23高二下·河南洛陽·月考）點到拋物線的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是（

）A． B．或C．或 D．6．（23-24高二上·重慶·期末）設點，拋物線上的點到軸的距離為，若的最小值為4，則（

）A．6 B．10 C．12 D．16二、多選題7．（23-24高二上·浙江嘉興·期中）對于拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．準線方程為 D．準線方程為8．（22-23高二下·湖北孝感·期中）以直線與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程為（

）A． B． C． D．三、填空題9．（22-23高二上·吉林·月考）已知拋物線：，若上一點到焦點的距離為6，則的值為.10．（23-24高二下·內蒙古赤峰·月考）拋物線的焦點到直線的距離為，則.11．（23-24高二下·上海松江·月考）已知拋物線的焦點為，若是該拋物線上一點，點，則的最小值.四、解答題12．（23-24高二上·河北保定·月考