第1章 平行線（優(yōu)類型）-浙教版七年級《數(shù)學(xué)》下冊考點解惑

思維導(dǎo)圖第1章平行線思維導(dǎo)圖【類型覆蓋】類型一、平移的性質(zhì)求陰影【解惑】如圖，將左邊的正方形向右平移5個單位，兩個正方形重合，則圖中陰影部分的面積是（

）A．5 B．25 C．50 D．以上都不對【答案】B【分析】本題考查了圖形的平移，平移前后圖形的大小，形狀完成相同，利用平移的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可知，把左邊正方形的陰影部分向右平移5個單位長度，與右邊陰影部湊成一個完整的正方形，所以陰影部分的面積．故選：B．【融會貫通】1．如圖，兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著點到點的方向平移到三角形的位置，，，，陰影部分的面積為，則平移距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平移的基本性質(zhì)，掌握①平移不改變圖形的形狀和大??；②經(jīng)過平移，對應(yīng)點所連的線段平行且相等，對應(yīng)線段平行且相等，對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．由平移可得，推出，求出，即可解決問題．【詳解】解：由平移可得：，，，，，，，即，，即平移距離為，故選：B．2．如圖，把直角三角形沿AB所在直線平移到三角形的位置，若，，，則圖中陰影部分的面積是．

【答案】13【分析】本題考查了平移的基本性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，再證明，據(jù)此根據(jù)梯形面積計算公式求解即可．【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得，∵，∴，∵，∴，故答案為：13．3．如圖，的邊長，將沿方向平移，得到，連接，則陰影部分的周長為．【答案】13【分析】本題考查平移的基本性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：將沿方向平移cm（cm），得到，，，，陰影部分的周長cm．故答案為：13．類型二、三角板旋轉(zhuǎn)平行【解惑】如圖，直線，現(xiàn)將一個含30°角的直角三角板的銳角頂點放在直線上，將三角板繞點旋轉(zhuǎn)，使直角頂點落在與之間的區(qū)域，邊與直線相交于點，若，則圖中的的值為（

）A．65° B．75° C．85° D．80°【答案】A【分析】過A作CEl1，得到CEl1l2，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3，進(jìn)而求得∠4，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出答案．【詳解】解：過C作CEl1，∵l1l2，∴CEl1l2，∴∠3=∠1=35°，∴∠4=90°-∠3=55°，∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．故選：A．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．已知一副三角板按如圖方式擺放，其中，那么（

）度．A．30 B．45 C．60 D．75【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟記三角板的各內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，再利用平角等于列式計算即可得解．【詳解】解：∵∴∴．故選：C．2．如圖所示，將一副三角板中的兩塊三角板重合放置，其中和的兩個角頂點O重合在一起．三角板保持不動，將三角板繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)一周的過程中，若，則的大小為．【答案】或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點B在上方時，當(dāng)點B在下方時，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】解：當(dāng)點B在上方時，如圖所示：∵，∴，∵，∴；當(dāng)點B在下方時，如圖所示：∵，∴，∵，∴；綜上，的度數(shù)為或．故答案為：或．3．在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在上，，．小明將從圖中位置開始，繞點A按每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第秒時，邊與邊平行．【答案】5或17【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)．分兩種情況：①在上方；②在下方，畫出相應(yīng)的圖形，利用平行線的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】解：①當(dāng)在上方，∵，，∴，∵，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)時間為：（秒）；②當(dāng)在下方，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴旋轉(zhuǎn)角度為：，∴旋轉(zhuǎn)時間為：（秒），綜上所述：在旋轉(zhuǎn)過程中，第5或17秒時，邊與邊平行，故答案為：5或17．類型三、平行的性質(zhì)與判定證明依據(jù)【解惑】在下列解答中，填空（理由或數(shù)學(xué)式）．如圖，已知直線，，．(1)求的度數(shù)；解：（已知），且（________），（________）（已知），（________）．________（等量代換）．(2)求證：直線．證明：（________），________（________）．又（已知），（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．【答案】(1)對頂角相等；等量代換；兩直線平行，同位角相等；(2)已知；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定和性質(zhì)：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)定理，結(jié)合已知求解過程逐步推導(dǎo)即可得出答案；（2）根據(jù)平行線的判定定理，結(jié)合已知證明過程逐步推導(dǎo)即可得出答案．【詳解】（1）解：（已知），且（對頂角相等），（等量代換）（已知），（兩直線平行，同位角相等）．（等量代換）．（2）證明：（已知），（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．又（已知），（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．【融會貫通】1．如圖，已知，，于點D，于點，試說明．請補(bǔ)全說理過程，即在橫線處填上結(jié)論或理由．解：∵，，，①，（②），（③），又，（已知），（④），（⑤），（等量代換）．【答案】①；②同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；③兩直線平行，內(nèi)錯角相等；④同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行；⑤兩直線平行，同位角相等．【分析】根據(jù)平行線的判定可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，再等量代換即可得．本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），又，（已知），（同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行），（兩直線平行，同位角相等），（等量代換）．2．把下面解答過程中的理由或推理過程補(bǔ)充完整．如圖，，，．（1）試說明；（2）推導(dǎo)證明與的位置關(guān)系．解：（1）∵（已知）________（________）又（已知）________（________）（________）（2）∵（已知）∴________（________）又∵（已知）∴________________（等量代換）∴________【答案】（1）；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；等量代換；同位角相等，兩直線平行；（2）；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；3；【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，等量代換，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)解答即可．【詳解】解：（1）∵（已知）（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又（已知）（等量代換）（同位角相等，兩直線平行）（2）∵（已知）∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）又∵（已知）∴（等量代換）∴．3．如圖，已知，，垂足分別為、，．試說明：，在下列解答中，在橫線填空（理由或數(shù)學(xué)式）．解：∵，（________），∴（________）∴（________）∴________（________）又∵（________），∴（________）∴________（________）∴（________）【答案】已知；垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；已知；同角的補(bǔ)角相等；；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等【分析】本題考查了垂直的定義，平行線的判定和性質(zhì)，同角的補(bǔ)角相等．根據(jù)相關(guān)知識點逐一判斷填空即可．【詳解】解：∵，（已知），∴（垂直的定義）∴（同位角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又∵（已知），∴（同角的補(bǔ)角相等）∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）∴（兩直線平行，同位角相等）類型四、作圖(最短)【解惑】如圖，某護(hù)城河在處直角轉(zhuǎn)彎，河寬均為，，到外河岸的距離都為，從處到達(dá)處，需經(jīng)兩座橋：，（橋?qū)挷挥嫞O(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北方向的，如何架橋可使從處到處所走的路程最短？【答案】見解析【分析】本題屬于最短路徑問題，分析題意，利用平移河寬，將折線問題轉(zhuǎn)化為直線是解題關(guān)鍵；過點作垂直于河岸，等于河寬；過點作垂直于河岸，連接，分別與河岸相交于點，，接下來再過作河岸的垂線，即可找到兩座橋的位置．【詳解】解：如圖所示，作法如下：（1）過點作垂直于河岸，等于河寬；過點作垂直于河岸，（則河寬，即相當(dāng)于將橋平移到，的位置）．（2）連接，分別與河岸相交于點，．（3）過點作垂直于河岸于點，過點作垂直于河岸于點，由作圖可知，∴最短路徑為，∴，即為兩座橋的位置．【融會貫通】1．作圖題(1)如圖，要把河中的水引到水池，在河岸的什么地方開始挖渠。才能使水渠的長度最短？請畫出圖形，并說明理由．

答：在__________開始挖掘

理由：____________________．(2)在正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點稱為“格點”，每個小正方形的邊長均為1，的三個頂點均在“格點”處．①在給定方格紙中，平移，使點與點對應(yīng)，請畫出平移后的；②線段與線段的關(guān)系是__________．【答案】(1)點H，垂線段最短(2)①見解析；②平行且相等【分析】（1）過點P作于點H，根據(jù)垂線段相等，得到點H即為開挖點；（2）①找到點A、C平移后的對稱點，順次連接，即可得到；②根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到線段與線段的關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖所示，過點P作于點H，在點H開始挖掘，理由是垂線段最短，故答案為：點H，垂線段最短（2）①如圖所示，即為所求，②根據(jù)平移的性質(zhì)可知，線段與線段的關(guān)系是平行且相等，故答案為：平行且相等【點睛】此題考查了垂線段最短、平移的作圖與性質(zhì)等知識，熟練掌握平移的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．[應(yīng)用意識]如圖，P，Q兩村之間隔著兩條河，需要架設(shè)兩座橋，橋與河岸垂直．設(shè)兩條河的寬度相同且保持不變，則橋建在何處才能使兩村之間的路程最短？（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】見解析【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行作圖即可．【詳解】解：如圖所示：

（1）過點作，垂足為，過點作，垂足為；（2）分別在和上截取河的寬度；（3）連接，分別交和于點和；（4）過點和分別作和的垂線段，垂足分別為和；（5）連接和．則橋建在和處才能使兩村之間的路程最短．【點睛】本題考查最短路徑問題．解題的關(guān)鍵是掌握兩點之間線段最短，利用平移思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．3．按要求畫圖．(1)①如圖①由點A到河邊l的最短路線的依據(jù)是________________．②如果從點A經(jīng)過點B再到河邊l，要使路程最短，在圖中畫出行走路線．(2)如圖②，內(nèi)有一點P．過點P作交于點C，交于點D．【答案】(1)①垂線段最短

②見解析(2)見解析【分析】（1）①根據(jù)“點到直線的距離，垂線段最短”即可得到答案；②先連接AB，再過點B作直線l的垂線段，即為所求；（2）利用平移的作法作出兩條已知射線的平行線即可．【詳解】（1）解：①由點A到河邊l的最短路線的依據(jù)是：垂線段最短，故答案為：垂線段最短；②如圖，即為所求作：（2）解：如圖，、即為所求作：類型五、平行的折線模型【解惑】（1）如圖①，，試問與的關(guān)系是什么？并說明理由；（2）如圖②，，試問與的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論；（3）如圖③，，試問與的關(guān)系是什么？請直接寫出結(jié)論．【答案】（1），見解析；（2）；（3）【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．（1）過點作，從而推出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可知，，從而推出與的關(guān)系；（2）分別過點，，，作，，，從而推出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可推出與的關(guān)系；（3）分別過點，，，，，作，，，，，從而知道，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等，可推出與的關(guān)系．【詳解】解：（1），理由如下：如圖，過點作，，，，，，；（2）同理（1）得：，理由如下：分別過點，，，作，，，，，，（3）同理（1）得：．理由如下：分別過點，，，，，作，，，，，，，，，，，，，．【融會貫通】1．應(yīng)用意識：小明到工廠參加社會實踐活動時，發(fā)現(xiàn)工人師傅測量一塊木板的兩邊與是否平行時，將某測量工具（）按如下圖所示的方式放置，交于點交于點，測得．小明馬上用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識幫師傅進(jìn)行了說明，請你幫小明寫出規(guī)范的說明過程．【答案】見解析【分析】此題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，過在左邊作，即可得到，再由可得，得到，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可得判定，即可得到．【詳解】解：如圖，過在左邊作．因為，所以，因為，所以，因為，所以，所以，所以．2．閱讀下列材料：已知：如圖1，直線，點E是之間的一點，連接得到．求證：．小冰是這樣做的：證明：過點E作，則有．圖1即．請利用材料中的結(jié)論，完成下面的問題：已知：直線，直線分別與交于點E、F．(1)如圖2，和的平分線交于點G．猜想的度數(shù)，并證明你的猜想；(2)如圖3，和為內(nèi)滿足的兩條線，分別與的平分線交于點和．求證：．【答案】(1)90°，見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，角平分線的定義，作出輔助線構(gòu)造平行線是解題的關(guān)鍵．對于（1），先由材料中的結(jié)論得，再根據(jù)平行線的定義得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得，最后代入整理可得結(jié)論；對于（2），作，可得，由上述可得，及，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，即可得，進(jìn)而得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖2所示，猜想：．證明：由材料中的結(jié)論得，∵分別平分和，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴；（2）證明：如圖3，過點作，∵，∴，由結(jié)論可得，∴．∵平分，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．3．生活情境·山路“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界，數(shù)學(xué)活動課上，老師把山路抽象成圖2的樣子，并提出了一個問題：在圖2中，，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】本題考查了平行的判定及性質(zhì)；過點向左作，過點向右作，由平行線的判定方法得，由平行線的性質(zhì)得，，由角的和差得，即可求解；掌握平行的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點向左作，過點向右作，則，，，，，，，，，，，．類型六、平行線中的角平分線【解惑】問題情境：如圖，，定點E，F(xiàn)分別在直線，上，在平行線，之間有一個動點P，滿足．求，，滿足的數(shù)量關(guān)系．思路點撥：由于點P是平行線，之間一動點，因此需對點P的位置進(jìn)行分類討論，過點P作的平行線，通過平行線的性質(zhì)推出，，的數(shù)量關(guān)系．(1)問題解決：如圖1，當(dāng)點P在的左側(cè)時，寫出，，滿足的數(shù)量關(guān)系_____；如圖2，當(dāng)點P在的右側(cè)時，寫出，，滿足的數(shù)量關(guān)系______．(2)問題遷移：如圖3，、分別平分和，且點P在左側(cè)．①若，則的度數(shù)為_______；②猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)問題拓展：如圖4，若與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，與的角平分線交于點，以此類推，直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，(2)①②(3)【分析】本題考查了平行線的判定及性質(zhì)；（1）當(dāng)點P在的左側(cè)時，過點P作，由平行線的判定方法得，由平行線的性質(zhì)得，，即可求解；當(dāng)點P在的右側(cè)時，同理可求解；（2）①由（1）知，，即可求解；②，分別平分和，設(shè)：，，即可求解；（3）同理可得，，可得，即可求解；掌握查了平行線的判定及性質(zhì)，能根據(jù)題意進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：當(dāng)點P在的左側(cè)時，如圖，過點P作，，，，，；當(dāng)點P在的右側(cè)時，如圖，過點P作，，，，，；故答案為：，；（2）解：①由（1）知，，，分別平分和，，，，，，故答案為；②如圖3，，分別平分和，設(shè)：，，則，，即：；（3）解：同理可得，，，故：．【融會貫通】1．如圖，直線、被所截，，，點E是直線上的動點（點E與點D不重合），連結(jié)，作的角平分線交直線于點．(1)如圖1，點E在點D左側(cè)，若，求的度數(shù)；(2)射線平分．①如圖2，點E在點D左側(cè)，求的度數(shù)．②若是反向延長線上的一點，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以角的計算，熟練掌握平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及角的和差倍分的計算是解決本題的關(guān)鍵．（1）首先推導(dǎo)出，進(jìn)而得到．由平分，得到；（2）①由平分，得．由平分，得，進(jìn)而求得；②分兩種情況討論：當(dāng)點位于點左側(cè)時，當(dāng)點位于點右側(cè)時，分別解答即可．【詳解】（1）解：，，，，，又平分，；（2）解：①由（1）知：，，又平分，，平分，，；②當(dāng)點位于點左側(cè)時，如圖2．由①得：，，當(dāng)點位于點右側(cè)時，如圖3，由題意可得，，又平分，平分，，，，綜上，為或．2．已知：，E、G是上的點，F(xiàn)、H是上的點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，過F點作交延長線于點，作、的角平分線交于點，交于點，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義：（1）由平行線的性質(zhì)得，再由內(nèi)錯角相等得出；（2）過點作，則，由平行線的性質(zhì)得到，，設(shè)，，由角平分線的定義得到，，再由平行線的性質(zhì)得到；證明得到，則，可得，則．【詳解】（1）證明：，，又，，；（2）解；如圖，過點作，∵，，，，設(shè)，，、分別平分、，，，又，，又，，∴，，，．3．已知直線，點為平面上一點，連接與．

(1)如圖①，點在直線、之間，說明：；(2)如圖②，點在直線、之間，與的平分線相交于點，利用（1）中的結(jié)論，寫出與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖③，點落在與外，與的角平分線相交于點，（2）中與之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)；理由見解析(3)成立；理由見解析【分析】本題主要考查平行的性質(zhì)，角之間的關(guān)系，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點P作，根據(jù)平行的性質(zhì)得到，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)，分別平分，，得到即可證明．（3）分別過點P，Q作，根據(jù)平行的性質(zhì)得到，角平分線的性質(zhì)得到，即可得到答案．【詳解】（1）說明：過點P作，，，，，，，；

（2）解：說明：由（1）知，，，分別平分，，，，，即；（3）解：成立說明：分別過點P，Q作，，，，，，，，，，又與的角平分線相交于點Q，，，，即．

類型七、平行線中的數(shù)量關(guān)系【解惑】綜合與實踐（1）如圖1，，點P在，之間，，求的度數(shù)．（2）如圖2，若，點P在的下方，則之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）如圖3，在（2）的條件下，的平分線和的平分線交于點E，求的度數(shù)．（結(jié)果用含的式子表示）【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．（1）過點P作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，最后求出結(jié)果即可；（2）過點P作，根據(jù)平行公理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，最后求出結(jié)果即可；（3）過點E作，根據(jù)平行線公理得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)角平分線定義得出，根據(jù)解析（2），得出，最后得出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）如圖1，過點P作，，．∵，，，．（2）．理由：如圖2，過點P作，∵，，，，，，，．（3）如圖3，過點E作，∵，，，的平分線和的平分線交于點E．，由（2）得，，，．【融會貫通】1．（1）如圖1，，，，求的度數(shù)；（2）如圖2，，點P在射線上運(yùn)動，記，，當(dāng)點P在B，D兩點之間運(yùn)動時，請寫出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點P在B，D兩點外側(cè)運(yùn)動時（點P與點O，B，D三點不重合），請直接寫出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）（2），理由見解析（3）或【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，應(yīng)用分類討論思想解題是解題關(guān)鍵（1）通過平行線性質(zhì)可得，再代入，，可求即可；（2）過P作交于E，推出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出答案；（3）分兩種情況：P在的延長線上；P在延長線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，即可得出答案．【詳解】解：（1）過點P作，，，，∵，，，；（2），理由：如圖2，過P作交于E，，，，；（3）①如圖所示，當(dāng)P在的延長線上時，；過點作∴，，；②如圖所示，當(dāng)P在延長線上時，；過點作，，，，；綜上所述：或．2．已知直線，直線和直線，交于點和，點是直線上一動點．(1)猜想論證：如圖，當(dāng)點在線段上運(yùn)動時，，，之間存在什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．請把下列過程補(bǔ)充完整：猜想：．證明：過點作．，______（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）．又，，______（______）．，（______）．(2)類比探究：如圖，當(dāng)點在線段的延長線上運(yùn)動時，上述中的結(jié)論是否成立？若不成立，請寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；如圖，當(dāng)點在線段的延長線上運(yùn)動時，請直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，不必寫理由．【答案】(1)見解析(2)不成立，應(yīng)為，見解析；．【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是添加輔助線，利用平行線的性質(zhì)把兩個角轉(zhuǎn)化到同一個頂點的位置．過點作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，利用等量代換可得：；仿照的證明過程添加輔助線，然后利用平行線的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：猜想：，證明：過點作，，（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行），又，，（兩直線平行內(nèi)錯角相等），，（等量代換），故答案為：，，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等量代換；（2）中的結(jié)論不成立，，理由如下：如下圖所示，過點作，，，又，，，，；，如下圖所示，過點作，，，，，．3．如圖，已知直線，點、分別在直線和直線上的點，點在直線與直線之間（其中和均為鈍角）．(1)求證：．小明同學(xué)做法如下，請同學(xué)們幫助小明同學(xué)將以下①②③處補(bǔ)充完整證明：如圖，過點作直線，（①）②（平行于同一條直線的兩條直線平行）③又(2)若，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：．(3)若的度數(shù)為，且，則與的數(shù)量關(guān)系為（用含的式子表示）．(4)如圖，若，點為平面內(nèi)一動點，點為射線上一動點，連接，的長為定值，，當(dāng)?shù)闹底钚r，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；(2)(3)(4)【分析】此題考查平行線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是添加輔助線得出平行線解答．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，兩直線平行，內(nèi)錯角相等解答即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)解答即可；（4）當(dāng)時，的值最小，進(jìn)而利用結(jié)論解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點作直線，，兩直線平行，內(nèi)錯角相等，，平行于同一條直線的兩條直線平行，，又，；故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；；；（2）如圖，過點作直線，，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，，平行于同一條直線的兩條直線平行，，又，，；故答案為：；（3）如圖，過點作直線，，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，，平行于同一條直線的兩條直線平行，，又，，；故答案為：；（4）當(dāng)時，的值最小，，，，，，．類型八、平行線中的光線問題【解惑】實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等．如圖1，一束光線m射到平面鏡a上，被a反射后的光線為n，則入射光線m、反射光線n與平面鏡a所夾的銳角．(1)利用這個規(guī)律人們制作了潛望鏡，圖2是潛望鏡工作原理示意圖，、是平行放置的兩面平面鏡．已知光線沿直線m進(jìn)入潛望鏡，最后沿直線n射出，求證：．(2)顯然，改變兩面平面鏡、之間的位置關(guān)系，經(jīng)過兩次反射后，入射光線m與反射光線n之間的位置關(guān)系會隨之改變，如圖3，一束光線m射到平面鏡上，被反射到平面鏡上，又被反射．若被反射出的光線n和光線m平行，且則(3)請你猜想：圖3中，當(dāng)兩平面鏡、的夾角時，可以使任何入射光線m經(jīng)過平面鏡、的兩次反射后，與反射光線n平行，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)，理由見解析【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是對性質(zhì)定理和判定定理的熟練掌握和靈活運(yùn)用．（1）先由得出，再根據(jù)已知得出，從而得出；（2）先由，求出，再根據(jù)，得出；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)平角定義求出，由，，得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵（已知），（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），，（已知），（等量代換），，即：，∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．（2）解：，，，，，故答案為：96；（3）解：理由：∵，，，，，，．【融會貫通】1．如圖1，是兩個互相平行的鏡面，根據(jù)鏡面反射規(guī)律：若一束光線照射到鏡面上，反射光線為，則一定有．光線是由鏡反射得到．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，鏡上有一光源P，發(fā)射的光線交反射光線于點Q，若，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，證明見解析(2)，證明見解析【分析】本題考查了平行線性質(zhì)與判定的實際應(yīng)用，讀懂題意找出圖中的相等的角是解決此題的關(guān)鍵．（1）求出，根據(jù)，推出，根據(jù)平行線的判定推出即可．（2）由平行線的性質(zhì)得，結(jié)合可求出．【詳解】（1），證明∶∵，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴；（2），證明∶∵，∴，∵，∴．2．【學(xué)習(xí)新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為，反射光線與水平鏡面的夾角為，則．(1)【初步應(yīng)用】生活中我們可以運(yùn)用“激光”和兩塊相交的平面鏡進(jìn)行測距．如圖2當(dāng)一束“激光”射到平面鏡上，被平面鏡反射到平面鏡上，又被平面鏡反射后得到反射光線，回答下列問題：①當(dāng)，（即時，求的度數(shù)；②當(dāng)時，任何射到平面鏡上的光線經(jīng)過平面鏡和的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據(jù)所學(xué)知識及新知說明理由．（提示：三角形的內(nèi)角和等于(2)【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡，，，入射光線經(jīng)過三次反射，得到反射光線已知，若要使，請直接寫出的度數(shù)________；【答案】(1)①；②詳見解析(2)【分析】（1）①由可求，再根據(jù)已知的平行條件可得，從而求解；②由的度數(shù)求出，再根據(jù)，，可求出，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)可得；（2）過點作，根據(jù)平行公理推論證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)，找出角與角之間的關(guān)系，求出，，進(jìn)而可得，在由三角形內(nèi)角和為，求出．【詳解】（1）解：（①∵，∴．又∵，∴．②由題意知，．∵，∴，∴，∴，∴．（2）如圖，過點作，．

∴．∵，∴，∵，∴，∴．同理可得，∴．又∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是正確識別圖形，找出角與角之間的關(guān)系．3．【知識鏈接】①三角形三個角的和是．②如圖，光線AB照射一個平面鏡后被反射，反射光線為，則．【課本問題】（1）如圖，一束平行光線AB，DE照射一個平面鏡后被反射，寫出反射光線與平行的理由；【問題改編】（2）如圖，，是兩個鏡面平行的平面鏡，光線AB照射到鏡面上，反射光線經(jīng)鏡面反射后的光線為CD．AB與CD平行嗎？為什么？（3）如圖，，是兩個鏡面垂直的平面鏡，光線射在鏡面上，反射光線經(jīng)鏡面反射后的光線為．與是否平行？為什么？【答案】（1）見解析；（2）平行；見解析；（3）平行；見解析；【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定；（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)已知可得，，則，即可得證；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及得出-，-，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則，即可得證；（3）同（2）得-，-，根據(jù)，得出，即可得證．【詳解】解：（1）如圖，，．，，．．（2）平行如圖，，，-．同理-．，．．．（3）平行．如圖，，-．同理-．，．，90°．．．類型九、平行線中的比值【解惑】如圖1，已知BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠EBD+∠EDB＝90°．（1）求證：ABCD；（2）如圖2．射線BF．DF交于點F，且∠BFD＝30°，當(dāng)∠ABE＝3∠ABF時，試探?jīng)Q∠CDF與∠CDE的比值，并說明理由；（3）若點H是直線CD上一動點（不與點D重合），BI平分∠HBD．請直接寫出∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析（2）（3）∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°?2∠EBI【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝2∠EBD，∠BDC＝2∠BDE，然后求出∠ABD＋∠BDC＝180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行證明；（2）作EP∥AB，F(xiàn)Q∥AB，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)解答即可；（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD＝2∠EBD，∠HBD＝2∠IBD，然后分點H在點D的左邊和右邊兩種情況，表示出∠ABH和∠EBI，從而得解．【詳解】證明：（1）∵BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD＝2∠EBD，∠CDB＝2∠EDB，又∵∠EBD＋∠EDB＝90°，∴∠ABD＋∠CBD＝2×90°＝180°，∴AB∥CD；（2）作EP∥AB，F(xiàn)Q∥AB，如圖3，又∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，AB∥CD∥FQ，∴∠BED＝∠ABE＋∠CDE＝90°，∴∠BFD＝∠ABF＋∠CDF∴∠BFD＝∠ABE＋∠CDF＝30°＝∠BED，∴＝（3）∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠EBD，∵BI平分∠HBD，∴∠HBD＝2∠IBD，如圖1，點H在點D的左邊時，∠ABH＝∠ABD?∠HBD，∠EBI＝∠EBD?∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵AB∥CD，∴∠BHD＝∠ABH，∴∠BHD＝2∠EBI，如圖2，點H在點D的右邊時，∠ABH＝∠ABD＋∠HBD，∠EBI＝∠EBD＋∠IBD，∴∠ABH＝2∠EBI，∵AB∥CD，∴∠BHD＝180°?∠ABH，∴∠BHD＝180°?2∠EBI，綜上所述，∠BHD＝2∠EBI或∠BHD＝180°?2∠EBI．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于（3）分情況討論并理清圖中各角度之間的關(guān)系．【融會貫通】1．如圖，已知AM//BN，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．（1）①當(dāng)∠A＝50°時，∠ABN的度數(shù)是；②∵AM//BN，∴∠ACB＝∠；（2）當(dāng)∠A＝x°，求∠CBD的度數(shù)（用x的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)點P運(yùn)動時，∠ADB與∠APB的度數(shù)之比是否隨點P的運(yùn)動而發(fā)生變化？若不變化，請求出這個比值；若變化，請寫出變化規(guī)律．（4）當(dāng)點P運(yùn)動到使∠ACB＝∠ABD時，請直接寫出2∠DBN的度數(shù)．【答案】（1）130°，CBN；（2）90°-0.5x°；（3）不變，1：2；（4）90°【分析】（1）①由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可直接求出；②由平行線的性質(zhì)，兩直線平行，內(nèi)錯角相等可直接寫出；（2）由角平分線的定義可以證明∠CBD=∠ABN，即可求出結(jié)果；（3）不變，∠APB:∠ADB=2:1，證∠APB=∠PBN，∠PBN=2∠DBN，即可推出結(jié)論；（4）由平行線的性質(zhì)可得∠ACB=∠CBN，可得∠ABC=∠DBN，再由角平分線的定義、平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）①∵AM∥BN，∠A=50°，∴∠ABN=180°-∠A=130°，故答案為：130°；②∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，故答案為：CBN；（2）∵AM∥BN，∴∠ABN＋∠A=180°，∴∠ABN=180°-x°，∴∠ABP＋∠PBN=180°-x°，∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP＋2∠DBP=180°-x°，∴∠CBD=∠CBP＋∠DBP=；（3）不變，∠APB:∠ADB=2:1，∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB:∠ADB=2:1；（4）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，當(dāng)∠ACB=∠ABD時，則有∠CBN=∠ABD，∴∠ABC＋∠CBD=∠CBD＋∠DBN，∴∠ABC=∠DBN，∴∠ABC=∠DBN=∠CBP=∠DBP，∴2∠DBN=∠ABN，∵∠A+∠ABN=180°，∴2∠DBN+∠A=（∠A+∠ABN）=90°．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知兩條射線OM∥CN，動線段AB的兩個端點A、B分別在射線OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，F(xiàn)在線段CB上，OB平分∠AOF．（1）請在圖中找出與∠AOC相等的角，并說明理由；（2）判斷線段AB與OC的位置關(guān)系是什么？并說明理由；（3）若平行移動AB，那么∠OBC與∠OFC的度數(shù)比是否隨著AB位置的變化而發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個比值．【答案】（1）與相等的角是；（2），證明詳見解析；（3）與的度數(shù)比不隨著位置的變化而變化，【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得、，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出即可得解；（2）根據(jù)兩直線的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可證明；（3）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，從而得到比值不變．【詳解】（1）∴又與相等的角是；（2）理由是：即（3）與的度數(shù)比不隨著位置的變化而變化平分，【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)以及判定定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，已知，，點是射線上一動點（與點不重合），分別平分和，分別交射線于點.（1）；；（2）當(dāng)點運(yùn)動到某處時，，求此時的度數(shù).（3）當(dāng)點運(yùn)動時，：的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規(guī)律；【答案】(1)100°，50°；（2）25°；（3）∠APB：∠ADB=2：1.【分析】（1）由平行線的性質(zhì)：兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得100°；再根據(jù)角平分線的定義可得2∠CBP+2∠DBP=100°，即可得50°.（2）由平行可得∠ACB=∠CBN，結(jié)合已知可得∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解決問題；即==25°.（3）可以證明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN．【詳解】解：（1）∵AM∥BN，∠A=80°，∴∠A+∠ABN=180°，∴∠ABN=100°；∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP，∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=100°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=50°；故答案為100°，50°；（2）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，又∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，∴∠ABC=∠ABN==25°，（3）不變．理由如下：∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，又∵BD平分∠PBN，∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，即∠APB：∠ADB=2：1．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．類型十、平行線中的定值【解惑】我國古代觀星，并對星圖進(jìn)行藝術(shù)加工可以追溯到公元前，敦煌星圖是世界現(xiàn)存古代星圖中星數(shù)較多，年代最早的星圖，繪制于唐代．元朝數(shù)學(xué)家郭守敬重新觀測了二十八星宿（東南西北各七宿，圖1是其中的南方七宿之翼），編制了當(dāng)時最先進(jìn)的歷法《授時歷》．小明學(xué)習(xí)了平行線知識，畫出了“南方七宿之翼”的上半部分（如圖2），；

(1)當(dāng)，時，根據(jù)所學(xué)知識，可求得______；(2)當(dāng)時，如圖2，猜想和的數(shù)量關(guān)系______；(3)小明又發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a和b不平行時，則相交于點P，得到，如圖3，如果為定值，求的值．（備注：請運(yùn)用平行線知識解決本題，用“外角定理”或“內(nèi)角和定理”不得分）【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）分別過A，B兩點作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再代入計算即可求解；（2）分別過A，B兩點作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再代入計算即可求解；（3）分別過A，B，E作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，結(jié)合為定值可得m，n互為相反數(shù)，進(jìn)而完成解答．【詳解】（1）解：如圖2：分別過A，B兩點作，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為；

（2）解：如圖2，分別過A，B兩點作AC∥a，BD∥a，∵a∥b，∴a∥AC∥BD∥b，∴，∴，∴，∴，∵，∴．故答案為；（3）解：如圖3，分別過A，B，E作，

∴，∴，∴，∴，即，∵為定值，即為定值，∴m，n互為相反數(shù)，∴，故答案為．【融會貫通】1．酷熱的夏天過后汛期即將來臨，為了便于夜間查看盤龍江水及兩岸河堤的情況，防汛指揮部在盤龍江兩岸各安置了探照燈和．如圖1，燈射線自順時針方向旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射線自順時針方向旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，若燈每秒鐘轉(zhuǎn)動度，若燈每秒鐘轉(zhuǎn)動b度，且滿足：，假設(shè)這一帶盤龍江兩岸是平行的，即．且．(1)求a、b的值．(2)若燈B射線先旋轉(zhuǎn)30秒，燈射線才開始轉(zhuǎn)動，求燈轉(zhuǎn)動多少秒時，兩燈燈光第一次平行．(3)如圖2，兩燈同時轉(zhuǎn)動t秒，在燈射線到達(dá)之前，若射出來的光線交于點C．①（用含有t的式子表示）；②過點C作交于點D，在轉(zhuǎn)動過程中，的值是一個定值嗎？若是，請求出這個定值．若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)①；②為定值，【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，列代數(shù)式，解一（二）元一次方程(組)，平行線的性質(zhì)，平行公理的推論．利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，列方程組解出即可；（2）設(shè)轉(zhuǎn)動時間，并表示出燈和燈轉(zhuǎn)動的角度，再利用平行線的性質(zhì)，列出方程解出即可；（3）①利用鋸齒形中各角的關(guān)系即可列出代數(shù)式；②利用①的結(jié)論和②中的條件，用表示出與，即可探究出的值．【詳解】（1）解：依題意得：，解得：；（2）當(dāng)兩燈燈光第一次平行時，則：，解得：；（3）①如圖，過點C作，，，，∴，經(jīng)過秒，，，故答案為：；②為定值，，，，，，，，．2．已知，P是截線上的一點，與，分別交于E，F(xiàn)．

(1)如圖（1），P在AB、CD之間，若，，求的度數(shù)；(2)如圖（1），當(dāng)點P在線段EF上運(yùn)動時，與的平分線交于Q，則是否為定值？若是定值，請求出定值；若不是，說明其范圍；(3)如圖（2），當(dāng)點P在線段FE的延長線上運(yùn)動時，與的平分線交于Q，的值是否為定值？若是，求出定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)15°(2)是定值，(3)是，【分析】（1）過點作，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行角得相關(guān)計算可求的度數(shù)；（2）由（1）的結(jié)論結(jié)合角平分線的性質(zhì)可以解決問題；（3）過點P作，過點Q作，由平行線性質(zhì)得，，從而得，同理可得，再由角平分線的定義即可求解．【詳解】（1）解：（1）如圖，當(dāng)點在線段，之間時，過點作．

∵，，∴．，，．．（2）解：是定值，如圖，

由（1）知，∴，，∴，同理可得，又∵DQ、BQ分別平分，∴，，∴，∴．（3）解：如圖，過點P作，過點Q作，

∵，∴

，∴，，∴，同理可得，又∵DQ、BQ分別平分與，∴，，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，及角平分線的定義，運(yùn)用角的和與差解決問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．問題情境在綜合與實踐課上，同學(xué)們以“一個含的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動如圖1，已知兩直線a，b且和直角三角形，，，．(1)在圖1中，，求的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線a向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)是一個定值，請寫出這個定值，并說明理由；(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，平分，此時發(fā)現(xiàn)與又存在新的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)；(2)定值為；理由見詳解；(3)；【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；（2）過點作，由此可得，進(jìn)而可得出結(jié)論；（3）根據(jù)AB平分，可知，過點作，則，根據(jù)，，可知，，則，進(jìn)而可知，則．【詳解】（1）解：如圖標(biāo)出，∵，∴，∵，∴；（2）解：定值為：，理由如下：過點作，則，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；（3）解：，理由如下：∵AB平分，∴，過點作，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握連續(xù)性的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1．小明與小亮要到科技館參觀小明家、小亮家和科技館的方位如圖所示，則科技館位于小亮家的（）A．南偏東方向 B．北偏西方向 C．南偏東方向 D．北偏西方向【答案】A【分析】本題考查了方向角，熟練掌握方向角的定義和平行線的性質(zhì)是正確解決本題的關(guān)鍵．作，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再根據(jù)，可得，根據(jù)方向角的定義即可得到答案．【詳解】解：如圖，作，則，，，，，科技館位于小亮家的南偏東方向，故答案為：A．2．生活情境·路線圖如圖所示是一條街道的路線圖，若，且，那么當(dāng)?shù)扔冢?/p>

）時，．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，首先利用平行線的性質(zhì)定理得到，然后利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行得到的度數(shù)即可，熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定方法的區(qū)別與聯(lián)系是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：且，，，，，故選：B．3．生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從光源P點照射到拋物線上的光線，等反射以后沿著與平行的方向射出，若，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，又因為，所以，再根據(jù)，即可解得．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故選：C．4．探照燈、汽車燈以及很多其他燈具都可以反射光線．如圖是一探照燈燈碗，從上一點O照射到燈碗上的光線，經(jīng)反射后都沿著與平行的方向射出．若，則°．【答案】60【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得，那么，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：60．5．如圖，點在點北偏東方向，點在點北偏西30°方向，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】本題考查了方向角，平行線的判定和性質(zhì)，過點作，可得，即得，，再根據(jù)角的和差即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點作，∵，∴，∴，，∴，故答案為：．

6．健康騎行越來越受到老百姓的喜歡，自行車的示意圖如圖，其中．若，則的度數(shù)是．【答案】/80度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定并靈活運(yùn)用．過點作，得出，即可得，結(jié)合，得出，然后根據(jù)得出，即可求解．【詳解】解：過點作，∵，∴，∴，，，，，，，故答案為：．7．如圖，已知，、分別平分、，且，求證證明：（）、分別平分、（），（）（）∵，∴，（），（）（）【答案】已知；已知；角平分線的定義；角平分線的定義；兩直線平行，錯角相等，；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；等角的補(bǔ)角相等【分析】本題考查了角平分線的定義，以及平行線的判定與性質(zhì)，等角的補(bǔ)角相等．根據(jù)以上知識寫出證明的理由，即可求解．【詳解】證明：（已知）、分別平分、（已知），（角平分線的定義）（等量代換）∵，∴，（兩直線平