2025年高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第一章綜合檢測(cè)卷（拔尖C卷）(解析版)

高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)第一章綜合檢測(cè)卷（拔尖C卷）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分．1．已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，可能的取值組成的集合為A，則下列判斷正確的是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】分別討論的符號(hào)，然后對(duì)進(jìn)行化簡，進(jìn)而求出集合A，最后根據(jù)集合元素的確定性即可得出答案.【詳解】當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，.所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)含有絕對(duì)值符號(hào)的式子的化簡，考查了集合元素的特點(diǎn)，考查了分類討論思想，屬于一般難度的題.2．若集合，，則集合，之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（

）A． B． C． D．與互不包含【答案】C【分析】對(duì)分奇偶進(jìn)行討論，即可判斷集合，之間的關(guān)系.【詳解】對(duì)于集合，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：C.3．已知，若集合，則的值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)兩集合相等，對(duì)應(yīng)元素相等，然后列出方程求出即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)樗杂?，解得或?dāng)時(shí)，不滿足集合中元素的互異性，故則故選:B.4．已知“p:一元二次方程有一正根和一負(fù)根；q:.”則p是q的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及充分條件、必要條件【詳解】因?yàn)榉匠逃幸徽鸵回?fù)根，則有，所以，故p是q的充分必要條件.故選：C5．已知p：，q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也必要條件 D．無法判斷【答案】B【分析】首先分別解出命題和命題的方程，然后根據(jù)其真子集關(guān)系即可判斷出是的必要不充分條件.【詳解】解得或，解得，則命題所表示的集合真包含命題所表示的集合，故是的必要不充分條件，故選：B.6．設(shè)集合，，則是的真子集的一個(gè)充分不必要的條件是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】,若,則,BA,若,則A,若,則A,A的一個(gè)充分不必要條件是.7．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）①命題“，”的否定為“，”；②“”是“”的充要條件；③集合，表示同一集合．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)命題的否定的定義、充要條件的定義、集合的定義判斷各命題．【詳解】①全稱命題的否定是特稱命題，命題“，”的否定為“，”，正確；②且，則，反之，如，但此時(shí)，因此不是充要條件，錯(cuò)誤；③集合，不是同一集合．錯(cuò)誤，正確的命題只有一個(gè)．故選：B.8．已知命題“存在，使得等式成立”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合原命題和否命題真假的關(guān)系即可求解.【詳解】由已知命題“存在，使得等式成立”是假命題，等價(jià)于“任意的，使得等式成立”是真命題，又因?yàn)?，所以，要使，則需或.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知集合恰有4個(gè)子集，則的值可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】ABC【分析】集合恰有4個(gè)子集，則集合有2個(gè)元素，問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解即可.【詳解】因?yàn)榧锨∮?個(gè)子集，所以集合有2個(gè)元素，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則，解得.故選：ABC.10．給定集合，若對(duì)于任意，，有，且，則稱集合A為閉集合，以下結(jié)論正確的是（

）A．集合為閉集合；B．集合為閉集合；C．集合為閉集合；D．若集合為閉集合，則為閉集合．【答案】AC【分析】根據(jù)閉集合的定義和集合知識(shí)綜合的問題,分別判斷,且是否滿足即可得到結(jié)論.【詳解】對(duì)于A：按照閉集合的定義，故A正確;對(duì)于B：當(dāng)時(shí),.故不是閉集合.故B錯(cuò)誤;對(duì)于C：由于任意兩個(gè)3的倍數(shù),它們的和、差仍是3的倍數(shù),故是閉集合.故C正確;對(duì)于D：假設(shè),.不妨取,但是,,則不是閉集合.故D錯(cuò)誤.故選：AC11．下列說法正確的是（）A．命題“”的否定是“”B．命題“，”的否定是“，”C．“”是“”的必要條件.D．“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件【答案】BD【分析】根據(jù)全稱、特稱命題的否定判斷選項(xiàng)AB；根據(jù)不等式與必要條件的判定判斷選項(xiàng)C；根據(jù)充要條件的判定結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，命題“”的否定是“，”，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，命題“，”的否定是“，”，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根，則，解得，則“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，故D選項(xiàng)正確.故選：BD.12．下列命題正確的是（

）A．“”是“”的充要條件B．“”是“”的必要不充分條件C．若集合，，則D．對(duì)任意表示不大于x的最大整數(shù)，例如，那么“”是“”的必要不充分條件【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，可舉出反例；B選項(xiàng)，解方程，得到，故B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)集合間的關(guān)系得到；D選項(xiàng)，舉出反例得到充分性不成立，推理出必要性成立，得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足，但不滿足，故A錯(cuò)誤；，解得：，因?yàn)?，但，故“”是“”的必要不充分條件，B正確；，其中為偶數(shù)，故，C錯(cuò)誤；令，滿足，但，，充分性不成立，由得：，故，必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件，D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義一種集合運(yùn)算，且，設(shè)，，則所表示的集合是_____．【答案】或【分析】由集合與集合，求出兩集合的并集，求出兩集合的交集，求出屬于兩集合并集但不屬于兩集合交集的部分，即可求出．【詳解】：，，，；則或．故答案為：或．14．下列存在量詞命題是真命題的是_____________．（填序號(hào)）①有些不相似的三角形面積相等；②存在一實(shí)數(shù)，使；③存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)的值隨x的增大而增大；④有一個(gè)實(shí)數(shù)的倒數(shù)是它本身．【答案】①③④【分析】①面積相等三角形不一定相似，①對(duì)，②利用判別式可知命題錯(cuò)誤，③a為斜率大于0即可，④都可以.【詳解】三角形面積相等，只需滿足底乘以高相等即可，并不一定要相似，①對(duì)；＋x0＋1對(duì)應(yīng)的判別式為，則＋x0＋1>0恒成立，②錯(cuò)；要使函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，即可，③對(duì)；設(shè)實(shí)數(shù)為，則，④對(duì).故答案為：①③④15．“”是“”的必要非充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【分析】由題意可得是的真子集，求解即可.【詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾浅浞謼l件，所以是的真子集，所以．故答案為：16．命題“，”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是______．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)全稱命題為真命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)及充分不必要條件的定義即可求解.【詳解】由“，”為真命題，等價(jià)于在上恒成立，所以，即可.設(shè)，，則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，對(duì)稱軸為，開口向上，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即，所以的一個(gè)充分不必要條件是的真子集，則滿足條件.故答案為：（答案不唯一）.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，全集(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)交集與補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可；（2）分與由條件列不等式求范圍即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以或，又，所以.（2）由題可得：當(dāng)時(shí)，有，解得a的取值范圍為；當(dāng)時(shí)有，解得a的取值范圍為，綜上所述a的取值范圍為.18．已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求集合；(2)若，滿足：①，②，從①②中任選一個(gè)作為條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)選①，；選②，【分析】（1）根據(jù)并集的知識(shí)求得正確答案.（2）選擇條件后，根據(jù)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，由此列不等式來求得的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，求集合，.（2）若選擇條件①，，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由可得或，解得或，綜上的取值范圍是.若選擇條件②，則集合是集合的子集，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上的取值范圍是.19．已知集合，(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若______，求實(shí)數(shù)的取值范圍．請(qǐng)從①且；②“”是“”的必要條件；這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先求兩個(gè)集合，再求交集；（2）若選擇①，則，再分集合和，兩種情況，列式求解；若選擇②，則，列式求的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以（2）若選擇條件①，由且得：，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即或，即或，所以或，綜上所述：的取值范圍為：或．若選擇條件②，由“”是“”的必要條件得：，即，所以．20．已知：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，：．(1)若命題是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由命題是真命題，可得命題是假命題，再借助，求出的取值范圍作答.（2）由是的必要不充分條件，可得出兩個(gè)集合的包含關(guān)系，由此列出不等式求解作答.【詳解】（1）因?yàn)槊}是真命題，則命題是假命題，即關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，命題是真命題，即，因?yàn)槊}是命題的必要不充分條件，則，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21．已知命題p：“，使不等式成立”是假命題．(1)求實(shí)數(shù)m的取值集合A；(2)若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)【分析】（1）把特稱命題轉(zhuǎn)化為全稱命題，即可根據(jù)一元二次不等式恒成立問題得出答案；（2）利用充分條件和必要條件的關(guān)系以及不等式的解法求出結(jié)果.【詳解】（1）命題p：“，使不等式成立”是假命題，則“，使不等式恒成立”是真命題，故，解得，故，即.（2）由于命題：，整理得：，由小問1得：，由于是的充分不必要條件，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為