蘇科版2025年新九年級(jí)數(shù)學(xué)暑假銜接講義考點(diǎn)15直線與圓的位置關(guān)系(原卷版+解析)

/八年級(jí)數(shù)學(xué)《暑假作業(yè)?新課程無(wú)憂銜接》（蘇科版）考點(diǎn)15直線與圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交。（d＜r）2、直線與圓有唯一的公共點(diǎn)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（d=r）3、直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離。（d＞r）直線與圓的位置關(guān)系可以用它們的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)區(qū)分，它們的結(jié)果是一致的。直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．因圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：

這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．【新課程預(yù)習(xí)練·無(wú)憂銜接】一、單選題1．如圖是兩個(gè)同心圓，大圓的直徑AC固定不動(dòng)，小圓的直徑BD繞著圓心0旋轉(zhuǎn)，BD與AC不在同一條直線上，在BD旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，下面說(shuō)法正確的是（）A．∠ADC的大小始終不變 B．四邊形ABCD存在是矩形的情形C．四邊形ABCD的最大面積等于AC·BD． D．AD的最大值等于（AC+BD）2．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C為AB左側(cè)⊙O上一點(diǎn)，若∠P=50°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°3．如圖，點(diǎn)為的內(nèi)心，，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：；乙：四邊形的面積是定值；丙：當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值．則下列說(shuō)法正確的是（）A．只有甲正確 B．只有丙錯(cuò)誤 C．乙、丙都正確 D．甲、乙、丙都正確4．如圖，I為的內(nèi)心，有一直線通過(guò)I點(diǎn)且分別與AB、AC相交于D點(diǎn)、E點(diǎn)若，，則I點(diǎn)到BC的距離為何？（）A． B． C．2 D．35．如圖，點(diǎn)，，在O上，，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（）A．30° B．56° C．28° D．34°6．如圖，與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、，，若，則的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．40° D．50°7．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，，均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)是（）A．的外心 B．的內(nèi)心C．的外心 D．的內(nèi)心8．如圖，在中，平分，使用尺規(guī)作射線，與交于點(diǎn)，下列判斷正確的是（）A．平分 B．C．點(diǎn)是的內(nèi)心 D．點(diǎn)到點(diǎn)，，的距離相等9．如圖，是的直徑，過(guò)點(diǎn)作的切線，連接，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°10．如圖，中，，它的周長(zhǎng)為16，若圓O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．611．如圖，是等腰三角形，且與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．12．如圖，，與分別相切于點(diǎn)，，，，則（）A． B．2 C． D．3二、填空題13．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），⊙A與x軸相切，點(diǎn)P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點(diǎn)B．若∠APB＝30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___．14．如圖，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BD于點(diǎn)E，則線段CE的最小值是___．15．如圖，以等邊三角形的邊為直徑畫半圓，分別交，于點(diǎn)，，是圓的切線，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)．若的長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)為______．

16．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，的半徑為，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為________．三、解答題17．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）求證：∠E=90°；（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為4，AC長(zhǎng)為7，求BC的長(zhǎng)；18．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且DE=OE（1）求證：∠BAC＝3∠ACD；（2）點(diǎn)F在弧BD上，且∠CDF＝∠AEC，連接CF交AB于點(diǎn)G，求證：CF＝CD；（3）在（2）的條件下，若OG＝4，F(xiàn)G=11，求⊙O的半徑．19．如圖，點(diǎn)是以為直徑的半圓上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)．已知：，設(shè)的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為，的長(zhǎng)度為（當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，）．小銳同學(xué)根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，分別對(duì)函數(shù)，隨自變量變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小銳同學(xué)的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）按照下表中自變量的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量，分別得到了，與的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)補(bǔ)全表格：cm012345678cm8.005.814.383.352.551.851.210.600.00cm0.000.902.242.672.892.832.340.00上表中______．（精確到0.1）（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中，描出補(bǔ)全后的表中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，，并畫出函數(shù)，的圖象（已經(jīng)畫出）；（3）結(jié)合函數(shù)圖象解決問(wèn)題：①當(dāng)，的長(zhǎng)都大于時(shí)，長(zhǎng)度的取值范圍約是______；（精確到0.1）②繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，判斷點(diǎn)，，能否在以為圓心的同一個(gè)圓上？（填“能”或“否”）20．如圖，在⊙中，是直徑，，垂足為P，過(guò)點(diǎn)的的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),連接．（1）求證：為⊙的切線；（2）若⊙半徑為3，，求．

八年級(jí)數(shù)學(xué)《暑假作業(yè)?新課程無(wú)憂銜接》（蘇科版）考點(diǎn)15直線與圓的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交。（d＜r）2、直線與圓有唯一的公共點(diǎn)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。（d=r）3、直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離。（d＞r）直線與圓的位置關(guān)系可以用它們的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)區(qū)分，也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系來(lái)區(qū)分，它們的結(jié)果是一致的。直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．因圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(diǎn)(圓心)的位置關(guān)系．圖(1)中直線與圓心的距離小于半徑；圖(2)中直線與圓心的距離等于半徑；圖(3)中直線與圓心的距離大于半徑．

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線的距離為d，那么要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：

這三個(gè)命題從左邊到右邊反映了直線與圓的位置關(guān)系所具有的性質(zhì)；從右邊到左邊則是直線與圓的位置關(guān)系的判定．【新課程預(yù)習(xí)練·無(wú)憂銜接】一、單選題1．如圖是兩個(gè)同心圓，大圓的直徑AC固定不動(dòng)，小圓的直徑BD繞著圓心0旋轉(zhuǎn)，BD與AC不在同一條直線上，在BD旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，下面說(shuō)法正確的是（）A．∠ADC的大小始終不變 B．四邊形ABCD存在是矩形的情形C．四邊形ABCD的最大面積等于AC·BD． D．AD的最大值等于（AC+BD）【答案】C【分析】利用圓周角的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)和判定來(lái)判斷．【詳解】解：A．利用圓周角不變，而∠ADC并不是圓周角，所以A是錯(cuò)誤的；B．若四邊形ABCD是矩形，則∠ADC=90°，則D在大圓上，出現(xiàn)矛盾，所以B是錯(cuò)誤的；C．過(guò)D作DH⊥AC于H，BG⊥AC于G，∴S四邊形ABCD=S△ACD+S△ABC=×AC×DH+×AC×BG=×AC×(DH+BG)≤×AC×BD．∴四邊形ABCD的最大面積等于AC?BD．∴C符合題意．D．∵BD與AC不在同一條直線上．∴AD的最大值不可能是×(AC+BD)，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】考查的圓周角的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，關(guān)鍵是理解三角形的三邊關(guān)系是解決最值問(wèn)題常用的手段．2．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)C為AB左側(cè)⊙O上一點(diǎn)，若∠P=50°，則∠ACB的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【答案】D【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和定理可求出∠AOB，再由圓周角定理可求出答案．【詳解】解：如圖，連接OA、OB，∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠P＝50°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，∴∠C＝∠AOB＝65°，故選：D．【點(diǎn)睛】考查切線性質(zhì)、四邊形的內(nèi)角和是360°、圓周角定理，熟練掌握切線性質(zhì)和圓周角定理是解答的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)為的內(nèi)心，，，點(diǎn)，分別為，上的點(diǎn)，且．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：；乙：四邊形的面積是定值；丙：當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值．則下列說(shuō)法正確的是（）A．只有甲正確 B．只有丙錯(cuò)誤 C．乙、丙都正確 D．甲、乙、丙都正確【答案】B【分析】點(diǎn)為的內(nèi)心，可用角平分線的性質(zhì)，再用三角形全等可判斷甲和乙，當(dāng)最小，即當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小即可判斷丙．【詳解】（1）∵點(diǎn)為的內(nèi)心，∴當(dāng)于，于時(shí)，．當(dāng)，不垂直于，時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，于．則．∵，∴．∵，∴．∵點(diǎn)為的內(nèi)心，，，∴．∴≌．∴．故甲的判斷正確．（2）如圖1，連接．由（1）可知，四邊形的面積為．∵點(diǎn)的位置固定，∴四邊形的面積是定值．故乙的判斷正確．（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．由（1）可得，．∴的周長(zhǎng)．∴當(dāng)最小，即當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)不垂直于，故丙的判斷不正確．綜上所述，答案選B．【點(diǎn)睛】考查的是三角形的內(nèi)心，熟悉掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，I為的內(nèi)心，有一直線通過(guò)I點(diǎn)且分別與AB、AC相交于D點(diǎn)、E點(diǎn)若，，則I點(diǎn)到BC的距離為何？（）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理，可以求得DF的長(zhǎng)，再根據(jù)等面積法，可以求得IG、IH的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，即可得到的長(zhǎng)，從而可以得到點(diǎn)I到BC的距離．【詳解】解：連接AI，作于點(diǎn)G，于點(diǎn)J，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)F，如圖所示，，，，，，，設(shè)，為的內(nèi)心，，，，解得，，即I點(diǎn)到BC的距離是，故選：A．【點(diǎn)睛】考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、角平分線的性質(zhì)，勾股定理，知道三角形的內(nèi)心是角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，點(diǎn)，，在O上，，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則（）A．30° B．56° C．28° D．34°【答案】D【分析】分別求出∠AOC和∠OCD，利用三角形內(nèi)角和為180°，即可求出∠D．【詳解】解：因?yàn)镃D是的切線，∠OCD=90°，∵∠ABC=28°，∴∠AOC=56°，∴∠D=180°∠AOC∠OCD=34°，故選D．【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定義等內(nèi)容，要求學(xué)生掌握利用圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑和一條弧所對(duì)的圓周角是其所對(duì)的圓心角的一半分別求出∠OCD和∠AOC，再利用三角形的內(nèi)角和公式求出∠D的方法，本題較基礎(chǔ)，思路也很明顯，因此著重對(duì)學(xué)生基本功的考查．6．如圖，與相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接、，，若，則的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．40° D．50°【答案】B【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAB＝90°，則利用互余可計(jì)算出∠O＝50°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠ADC的度數(shù)．【詳解】解：∵AB是⊙O的切線，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵，∴∠O＝90°?40°＝50°，∴∠ADC＝∠O＝×50°＝25°．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．7．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，，，均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)是（）A．的外心 B．的內(nèi)心C．的外心 D．的內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格利用勾股定理得出，進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：由勾股定理可知：，所以點(diǎn)O是的外心，故選：A．【點(diǎn)睛】考查三角形的外接圓與外心問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理得出．8．如圖，在中，平分，使用尺規(guī)作射線，與交于點(diǎn)，下列判斷正確的是（）A．平分 B．C．點(diǎn)是的內(nèi)心 D．點(diǎn)到點(diǎn)，，的距離相等【答案】C【分析】利用基本作圖得到CD平分∠ACB，則根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可判斷E點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，從而得到正確的選項(xiàng)．【詳解】解：由作法得CD平分∠ACB，∵AG平分∠CAB，∴E點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心故選：C．【點(diǎn)睛】考查了作圖-基本作圖:熟練掌握5種基本作圖(作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線;過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線)．也考查了三角形的內(nèi)心．9．如圖，是的直徑，過(guò)點(diǎn)作的切線，連接，與交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，．若，則的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】根據(jù)切線與過(guò)切點(diǎn)的直徑，可得BA⊥AC，可得△ABC為直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余可求∠B=50°，利用圓周角性質(zhì)∠B=∠AED=50°．【詳解】解：∵是的直徑，過(guò)點(diǎn)A作的切線，∴BA⊥AC，∴△ABC為直角三角形，∴∠B+∠C=90°，∴∠B=90°-∠C=90°-40°=50°，∴∠AED=∠B=50°．故選擇C．【點(diǎn)睛】考查切線的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，圓周角性質(zhì)，掌握切線的性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，圓周角性質(zhì)．10．如圖，中，，它的周長(zhǎng)為16，若圓O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，則DF的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理求出AD=AF，BE=BD，CE=CF，得出等邊三角形ADF，推出，根據(jù)BC=6，求出BD+CF=6，求出AD+AF=4，即可求出答案．【詳解】解：∵⊙O與BC，AC，AB三邊分別切于E，F(xiàn)，D點(diǎn)，∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，∵BC=BE+CE=6，∴BD+CF=6，∵AD=AF，∠A=60°，∴△ADF是等邊三角形，∴AD=AF=DF，∵AB+AC+BC=16，BC=6，∴AB+AC=10，∵BD+CF=6，∴AD+AF=4，∵AD=AF=DF，∴DF=AF=AD=，故選：A．【點(diǎn)睛】考查了對(duì)切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出AD+AF的值，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．11．如圖，是等腰三角形，且與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接．若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接BD，由題意易得∠BDC=90°，∠DBC=55°，∠BED=∠BDE=62.5°，進(jìn)而可得∠C=35°，然后根據(jù)三角形外角可求解．【詳解】解：連接BD，如圖所示：∵與相切于點(diǎn)，∴∠BDC=90°，∵，∴，∠C=35°，∵BD=BE，∴∠BED=∠BDE=62.5°，∴；故選B．【點(diǎn)睛】考查切線的性質(zhì)定理及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)定理及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，，與分別相切于點(diǎn)，，，，則（）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】先判斷出，進(jìn)而判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，與分別相切于點(diǎn)，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了切線長(zhǎng)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），⊙A與x軸相切，點(diǎn)P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點(diǎn)B．若∠APB＝30°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___．【答案】或．【分析】連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，根據(jù)題意和30°直角三角形的性質(zhì)求出AP的長(zhǎng)度，然后由圓和矩形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出OC的長(zhǎng)度，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】如下圖所示，連接AB，作AD⊥x軸，AC⊥y軸，∵PB與⊙A相切于點(diǎn)B∴AB⊥PB，∵∠APB＝30°，AB⊥PB，∴PA=2AB=．∵∴四邊形ACOD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，5），所以AC=OD=8，CO=AD=5，在中，．①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)上方時(shí)，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)下方時(shí)，∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】考查了勾股定理，30°角直角三角形的性質(zhì)和矩形等的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．14．如圖，在三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑的⊙O交BD于點(diǎn)E，則線段CE的最小值是___．【答案】8【分析】連接AE，可得∠AED＝∠BEA＝90°，從而知點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙Q上，繼而知點(diǎn)Q、E、C三點(diǎn)共線時(shí)CE最小，根據(jù)勾股定理求得QC的長(zhǎng)，即可得線段CE的最小值．【詳解】解：如圖，連接AE，則∠AED＝∠BEA＝90°，∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙Q上，∵AB＝10，∴QA＝QB＝5，當(dāng)點(diǎn)Q、E、C三點(diǎn)共線時(shí)，QE＋CE＝CQ（最短），而QE長(zhǎng)度不變，故此時(shí)CE最小，∵AC＝12，∴QC＝，∴CE＝QC?QE＝13?5＝8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理和勾股定理的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問(wèn)題．15．如圖，以等邊三角形的邊為直徑畫半圓，分別交，于點(diǎn)，，是圓的切線，過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)．若的長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)為______．

【答案】【分析】連接OD，BD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DF，再證明OD∥AB，則DF⊥AB，在Rt△ADF中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得DF=2，由BC為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠BDC=90°，則AD=CD=4，OD=4，所以O(shè)M=OD=2，在Rt△DFH中可計(jì)算出FH=，DH=FH=3，則GM=3，于是OG=GM-OM=1，BG=OB-OG=3，在Rt△BGF中可計(jì)算FG=3．【詳解】解：連接OD，BD，作DH⊥FG于H，DM⊥BC于M，如圖，

∵△ABC為等邊三角形，∴∠A=∠C=∠ABC=60°，AC=BC，∵OD=OC∴△ODC為等邊三角形，∴∠ODC=60°，∴∠A=∠ODC，∴OD∥AB，∵DF是圓的切線，∴OD⊥DF，∴DF⊥AB，在Rt△ADF中，AF=2，∠A=60°，∴∠ADF=30°∴AD=4，∴DF=，∵BC為⊙O的直徑，∴∠BDC=90°，∴BD⊥AC，∴AD=CD=4，∴OD=4，∴OM=OD=2，∵∠ABC=60°，∠FGB=90°∴∠BFG=30°∴∠DFH=60°∴∠FDH=30°在Rt△DFH中，DF=2，∴FH=，∴DH=，∴GM=3，∴OG=GM-OM=1，∴BG=OB-OG=3，在Rt△BGF中，∠FBG=60°，BG=3，∴FB=6∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)．經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．也考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．16．如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，的半徑為，P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線PQ，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為________．【答案】3【分析】連接OC和PC，利用切線的性質(zhì)得到CQ⊥PQ，可得當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，此時(shí)CP⊥AB，再求出CP，利用勾股定理求出PQ即可．【詳解】解：連接QC和PC，∵PQ和圓C相切，∴CQ⊥PQ，即△CPQ始終為直角三角形，CQ為定值，∴當(dāng)CP最小時(shí)，PQ最小，∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)CP⊥AB時(shí)，CP最小，此時(shí)CP⊥AB，∵AB=BC=AC=4，∴AP=BP=2，∴CP==，∵圓C的半徑CQ=，∴PQ==3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當(dāng)PC⊥AB時(shí)，線段PQ最短是關(guān)鍵．三、解答題17．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD是直徑，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．（1）求證：∠E=90°；（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為4，AC長(zhǎng)為7，求BC的長(zhǎng)；【答案】（1）見解析；（2）BC=【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCE=90°．然后根據(jù)AC平分∠BAD，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)AD是⊙O的直徑，可得∠ACD是直角．根據(jù)勾股定理即可求出BC的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接OC，∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵AC平分∠BAD，∴∠OAC=∠BAC．∴∠OCA=∠BAC，∴AE∥OC，∴∠E=90°；（2）解：∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD是直角．在Rt△ACD中，AC=7，AD=2×4=8，∴CD=．∵∠BAC=∠OAC，∴，∴BC=CD=．【點(diǎn)睛】考查切線的性質(zhì)，圓周角定理，掌握切線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且DE=OE（1）求證：∠BAC＝3∠ACD；（2）點(diǎn)F在弧BD上，且∠CDF＝∠AEC，連接CF交AB于點(diǎn)G，求證：CF＝CD；（3）在（2）的條件下，若OG＝4，F(xiàn)G=11，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）如圖1中，連接OD，OC，設(shè)∠D＝x．求出∠A，∠ACD，可得結(jié)論．（2）連接CO，延長(zhǎng)CO交DF于T．想辦法證明CT⊥DF，可得結(jié)論．（3）連接CO，延長(zhǎng)CO交DF于T，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于M，ON⊥CF于N．設(shè)OE＝DE＝a，OA＝OB＝2R，構(gòu)建方程求出a，R，可得結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：如圖1中，連接OD，OC，設(shè)∠D＝x．∵ED＝EO，∴∠D＝∠EOD＝x，∵OD＝OC，∴∠D＝∠OCD＝x，∴∠CEO＝∠D+∠EOD＝2x，∠COB＝∠OEC+∠OCD＝3x，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠A+∠ACO＝∠COB＝3x，∴∠A＝∠ACO＝x，∴∠ACD＝x，∴∠BAC＝3∠ACD．（2）證明：連接CO，延長(zhǎng)CO交DF于T．由（1）可知，∠AEC＝180°﹣2x，∵∠AEC＝2∠CDF，∴∠CDF＝90°﹣x，∴∠CDF+∠DCO＝90°，∴CT⊥DF，∴DT＝TF，∴CD＝CF．（3）解：連接CO，延長(zhǎng)CO交DF于T，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于M，ON⊥CF于N．由（2）可知，CD＝CF，CT⊥DF∴∠DCO＝∠FCO＝x，∵ON⊥CF，OM⊥CD，∴OM＝ON，設(shè)OE＝DE＝a，OA＝OB＝2R，∵∠GEC＝∠GCE＝2x，∴GE＝GC＝a+4，∴CD＝CF＝CG+FG＝15+a，∴EC＝CD﹣DE＝15，∵＝＝，∴，∴a2+4a﹣60＝0，∴a＝6或﹣10（舍棄），∴CG＝10，∵CG?FG＝AG?GB，∴110＝（R+4）（R﹣4），∴R＝3或﹣3，∴⊙O的半徑為3．【點(diǎn)睛】考查了圓周角定理，垂徑定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)